广东省高州市2023-2024学年高一上学期期末教学质量监测数学试题（含答案解析）

高州市2023~2024学年度第一学期高一期末教学质量监数学全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答題前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔遊清楚.4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5．本卷主要考查内容：必修第一册.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式结合对数函数定义域以及交集的概念即可得解.【详解】由可得，或，故．故选：D．2.若，则（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用根式与分数指数幂的互化与运算法则即可得解.【详解】因为，则，所以.故选：C.3.函数的图象大致为A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】可采用排除法，根据奇偶性和特殊点的函数值的正负进行排除.【详解】因为，所以的图象关于原点对称，故排除；当时，，当时，，所以，排除B．故选A.【点睛】本题考查根据函数的奇偶性和特殊点的函数值的正负识别图像，属于基础题.4.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据零点存在定理判断．【详解】是单调递增函数，又，，求所零点在区间．故选：C．5.函数在区间上最小值为（）A.0 B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】利用三角恒等变换化简，再利用正弦函数的性质即可得解.【详解】因为，又，则，所以，故，则函数的最小值为0.故选：A．6.国家新能源车电池衰减规定是在质保期内，电池的性能衰减不能超过，否则由厂家免费为车主更换电池．某品牌新能源车动力电池容量测试数据显示：电池的性能平均每年的衰减率为，该品牌设置的质保期至多为（）（参考数据：，）A.12年 B.13年 C.14年 D.15年【答案】C【解析】【分析】根据题意列出不等式，两边取对数，即可求解.【详解】设该品牌设置的质保期至多为年，由题意可得，，则，两边取对数，即，则，即，则，因为，所以，则，又因为，所以，故选：C.7.已知为钝角，，则的值为（）A. B.-2 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据二倍角的余弦公式化简得正余弦关系，再根据同角公式求出正切，再根据二倍角和两角和的正切公式可求出结果.【详解】由得，化简得，则，则．故选：D．8.若关于的不等式的解集中恰好有3个整数，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法分类讨论求解即可.【详解】不等式因式分解为.①当时，不等式为，不等式无解，不合题意；②当时，不等式的解为，若不等式的解集中恰好有3个整数，这3个整数必为，0，1，必有，解得；③当时，不等式的解为，若不等式的解集中恰好有3个整数，这3个整数必为，0，1，必有，解得.由①②③可知实数的取值范围为.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列既是存在量词命题又是真命题的是（）A.B.C至少有一个，使x能同时被3和5整除D.每个平行四边形都是中心对称图形【答案】BC【解析】【分析】根据存在量词命题定义及真命题的判定即可依次判断各选项.【详解】对于A，因为所有实数的绝对值非负，即，所以A是假命题；对于B，当时，满足，所以B是真命题；对于C，15能同时被3和5整除，所以C是真命题；对于D，是全称量词命题，所以不符合题意．故选：BC．10.亚马逊大潮是世界潮涌之最，当潮涌出现时，其景、其情、其声，真是“壮观天下无”，在客观现实世界中，潮汐的周期性变化现象，我们通常需要借助于三角函数这一重要数学模型来研究．已知函数的图象关于直线对称，则下列选项正确的是（）A.B.直线是函数图象的一条对称轴C.在区间上单调递减D.若将函数图象上的所有点向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称，则m的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】根据正弦型函数周期公式判断A，根据正弦型函数的对称轴判断B，再由正弦型函数的单调性判断C，根据平移后图象关于y轴对称，利用诱导公式求解判断D.【详解】图象关于直线对称，，得，故A错误；所以，当时，，即，故B正确；当时，，由正弦函数单调性知函数单调递减，故C正确；由题可知平移后函数为，则的最小值为，故D正确．故选：BCD．11.已知a，b为正实数，且，则（）A.ab的最大值为4 B.的最小值为C.的最小值为 D.的最小值为2【答案】BD【解析】【分析】根据基本不等式及“1”代换即可判断各选项.【详解】对于A，，因为（当且仅当时取“=”），所以ab的最小值为4，A错误；对于B，由，得（当且仅当时取“=”），B正确；对于C，（当且仅当时，取“=”），C错误；对于D，（当且仅当时，取“=”），D正确．故选：BD．12.已知函数则方程根的个数可能为（）A.2 B.6 C.5 D.4【答案】ACD【解析】【分析】令，则，画出的图象，结合图象及二次方程解的情况即可判断.【详解】画出的图象如图所示：令，则，则，当，即时，，此时，由图与的图象有两个交点，即方程的根的个数为2，A正确；当，即时，，又，故，当时，即，则x有2解，当时，若，则x有3解；若，则x有2解，故方程的根的个数为5或4，CD正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设命题，则命题p的否定为____________．【答案】【解析】【分析】由特称命题的否定为全称命题，即可得答案.【详解】解：因为命题是特称量词命题，所以其否定是全程量词命题，即为．故答案为：14.若，则的值为___________．【答案】##【解析】【分析】利用对数的运算法则与指对数互化求得，从而得到，进而得解.【详解】因为，则，所以，则，所以.故答案为：.15.已知函数，其最小正周期为，则的一个对称中心的坐标为___________．【答案】，（答案不唯一，横坐标只需符合）【解析】【分析】根据的性质，求函数的对称中心只需满足求解即可.【详解】根据，得，则，令，即，所以．故答案为：（答案不唯一，横坐标只需符合）16.定义在上的奇函数满足，且函数在上单调递减，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】【分析】由为奇函数，然后说明为奇函数，又在上单调递减，由奇函数性质可知在整个实数上单调递减，构造不等式，利用单调性解之即可．【详解】因为为上的奇函数，所以，由，则，所以也为奇函数，又函数在上单调递减，由对称性可知，在上递减，又因为，所以所以，即，所以，故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.已知，非空集合．（1）当时，求；（2）若，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解一次不等式组化简集合，再利用集合的交并运算即可得解；（2）利用集合的补集运算与集合间的包含关系得到关于的不等式，从而得解.【小问1详解】因为非空集合，由，得，则，又，当时，，所以.【小问2详解】因为，，所以，故实数a的取值范围为．18.已知函数的图象的一个对称中心为．（1）求的单调减区间；（2）求的最小值，并求出此时的取值集合．【答案】（1）（2）最小值是，此时的取值集合是【解析】【分析】（1）由对称中心求出函数的解析式，然后将解析式化为，求解单调递减区间即可；（2）当时，有最小值，并求出此时的取值集合即可.【小问1详解】因为的图象的一个对称中心为，所以，解得，又，所以，所以，令，解得，所以的单调减区间是．【小问2详解】当时，，令，解得，所以的最小值是，此时的取值集合是．19.（1）已知角以x轴的非负半轴为始边，为终边上一点．求的值；（2）已知都是锐角，，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由三角函数定义以及诱导公式化简求值即可.（2）由题意结合两角差的余弦公式以及平方关系、角的范围即可求解.【详解】（1）（2）由，可得，又由，有，，．20.国庆黄金周期间，旅游潮、探亲潮必将形成高交通压力现象已知某火车站候车厅，候车人数与时间相关，时间单位：小时满足，经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数为人，当，候车人数相对于满厅人数会减少，减少人数与成正比，且时间为点时，候车人数为人，记候车厅候车人数为．（1）求的表达式，并求当天中午点时，候车厅候车人数（2）铁路系统为了体现“人性化”管理，每整点时会给旅客提供的免费面包数量为，则当为何值时需要提供的免费面包数量最少.【答案】（1），人（2）【解析】【分析】（1）由题意，设出函数，建立方程，解得函数解析式，则求得函数值，可得答案；（2）由（1）的函数解析式，分段整理函数解析式，求得最值，比较可得答案.【小问1详解】当时，设，，则，，故当天中午点时，候车厅候车人数为人.【小问2详解】当，，当且仅当时等号成立；当时，．又，所以当时，需要提供的面包数量最少．21.已知二次函数满足，且.（1）求的解析式；（2）当时，不等式恒成立；求实数的取值范围；（3）设，求的最大值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）设，再根据结合系数的关系求解即可；（2）化简可得，再根据在区间上的单调性求最小值即可；（3）求得，再根据对称轴与区间中点的位置关系求最大值分析即可【小问1详解】由于是二次函数，可设，恒成立，恒成立，，又，；【小问2详解】当时，恒成立，即恒成立，令，当时，单调递减，.所以；【小问3详解】，，对称轴为，①当，即时，；②当，即时，，综上所述22.若函数满足：对于任意正数m，n，都有，且，则称函数“速增函数”．（1）试判断函数与是否为“速增函数”；（2）若函数为“速增函数”，求a的取值范围．【答案】（1）是“速增函数”，不是“速增函数”（2）【解析】【分析】（1）根据“速增函数”的定义，利用作差法可判断函数；根据“速增函数”的定义，通过举反例可判断函数.（2）先根据“速增函数”的定义将问题转化为不等式恒成立问题；再利用指数运算法则和指数函数的单调性即可求解.【小问1详解】对于函数，当时，有；因为，所以，故根据“速增函数”的定义可得：是“速增函数”.对于函数，当时，有，故根据“速增函数”的定义可得：不是“速增函数”.【小问2详解】因为是“速增函数”，根据“速增函数”的定义可得：当时，恒成