函数中的四边形存在性问题-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练（教师版含解析）

专练20函数中的四边形存在性问题

1.如图，抛物线y=ax?+bx+|与直线AB交于点A(-1,0),B(4,|).点D是抛物线A,B两点

间部分上的一个动点(不与点A,B重合)，直线CD与y轴平行，交直线AB于点C,连接AD,

(1)求抛物线的解析式；

(2)设点D的横坐标为m,AADB的面积为S,求S关于m的函数关系式，并求出当S取最大值时

的点C的坐标；

(3)当点D为抛物线的顶点时，若点P是抛物线上的动点，点Q是直线AB上的动点，判断有几个位置能使

以点P,Q,C,D为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.

【答案】(1)解：•••抛物线y=ax2+bx+：与直线AB交于点A(-1,0),B(4,j).

0=a-b+-

2

•••{5U5>

-=16a+4b+-

22

解得，F7,

b=2

.••抛物线的解析式是丫=-|x2+2x+|；

(2)解：如图，过点B作BFJ_DE于点F.

.••易求直线AB的解析式为：y-1x+i.

又・・,点D的横坐标为m,

，点C的坐标是(m,|m+1)，点D的纵坐标是(-1m2+2m+|)

13

，AE=m+l,BF=4-m,CD=--m2+-m+2,

22

：.S=-CD«(AE+BF)=-X(-1m2+-m+2)x(m+l+4-m)=-S(--)2+—(-l<m<4).

22224m216

...当m=；时，S取最大值誓，此时C(5,力；

21624

(3)解：假设存在这样的点P、Q使以点P,Q,C,D为顶点的四边形为平行四边形.

♦••点D是抛物线的顶点，

；.D(2,2),C(2,|).

①如图2,当PQ〃DC,PQ=DC时.

图2

设P(x,-1x2+2x+1),则Q(x,ix+1),

解得，x=l或x=2(舍去)，

.,•Q(l,1)；

②如图3,当CD〃PQ,且CD=PQ时.

图3

设P(x,-1x2+2x+|),则Q(x,ix+i),

-x+-+-x2-2x-——3>

2222

解得，x=5或x=-2,

.♦.Q(5,3)、Q'(-2,-)；

③如图4,当PC〃DQ,且PC=DQ时.

过点P作PELCD于点E,过点Q作QFLCD于点F.则PE=QF,DE=FC.

图4

设P(x,-|x2+2x+|),则E(2,-x2+2x+|),

...Q(4-x,11x),F(2)1-ix),

，由DE=CF得，2-(-1x2+2x+|)=|-1x-|,

解得，x=l或x=2(舍去)，

，Q(3,2)

综上所述，符合条件的点Q的坐标有：(1,1)、(5,3)、(-2,-j).(3,2).

2.如图，平行四边形ABCD的顶点A在y轴上，点B、C在x轴上；OA、0B长是关于x的一元二次方程

x2-7x+12=0的两个根，且OA>OB,BC=6；

(2)若点E为x轴上一点，且SAAOE=y,

①求点E的坐标；

②判断△AOE与^AOD是否相似并说明理由；

(3)若点M是坐标系内一点，在直线AB上是否存在点F,使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形?

若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)(6,4)

(2)解：①设点E(x,0),

.1...16

.・-x4xx=—

2113

.♦.x=±.8-

•••点E坐标（|,0）或（一|,0）

②ZkAOE与AAOD相似，

oA43

-63

-=8=-==

-一

理由如下：在与△中,OE-242

AAOEDAO3

第=a.且/DAO=NAOE=90。,

.•.△AOE^ADAO；

(3)解：存在，

♦；0A=4,0B=3,BC=6,

AB-VOA2+OB2——V9+16——5，OB=OC=3,且OAJ_BO，

，AB=AC=5,且AO_LBO,

AAO平分/BAC,

①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5,

所以点F与B重合，

即F(-3,0),

②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM,

点F(3,8).

③AC是对角线时，做AC垂直平分线L,AC解析式为y=-gx+4,直线L过(|,2),且k值为：(平

面内互相垂直的两条直线k值乘积为-1),

L解析式为丫=：x+(,联立直线L与直线AB求交点，

4o

根据等积法求CN=y,勾股定理得出，AN=g,做A关于N的对称点即为F,AF=y,过F做y

轴垂线，垂足为G,FG=^x|=g,

.*.F'25(--2,57-).

综上所述:Fl(-3,0)；F2(3,8)；F3(一争争；F4(一基弟•

【解析】解：(DTOA、OB长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，

；・OA=4,OB=3,

...点B(-3,0),点A(0,4),且AD〃BC,AD=BC=6,

二点D(6,4)

故答案为：(6,4)；

3.如图，抛物线Ci的图象与x轴交A(-3,0),B(l,0)两点，与y轴交于点C(0,3),点D为抛物线的顶点.

(1)求抛物线G的解析式和D点坐标；

(2)将抛物线Ci关于点B对称后的抛物线记为C2,点E为抛物线C2的顶点，求抛物线C2的解析式和E

点坐标；

(3)是否在抛物线C2上存在一点P,在x轴上存在一点Q,使得以D,E,P,Q为顶点的四边形是平行四边

形，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由.

【答案】⑴；抛物线C1的图象与x轴交A(-3,0),B(l,0)两点

可设抛物线C1的解析式为y=a(x+3)(x—1)

将点C的坐标代入，得

3=a(0+3)(0-l)

解得：a=-l

二抛物线CI的解析式为y=-(x+3)(x-l)=-x2-2x+3=-(x+1)2+4

二抛物线C1的顶点D的坐标为(-1,4)

(2)将抛物线C1关于点B对称后的抛物线记为C2,点E为抛物线C2的顶点，设C2与x轴的另一交点

为K,如下图所示

.,.抛物线C2的二次项系数为1

•点D(-l,4),B(I,O)

二抛物线C2的顶点E的坐标为(3,-4)

抛物线C2的解析式为y=(x-3)2-4

(3)存在，

由对称性可知：BK=AB=l-(-3)=4

点K的坐标为(5,0)

①当DE为平行四边形的边时，

，DP〃EQ,DP=EQ,即EQ可看作DP平移得到

•.•点D(-l,4)到点E(3,-4)的平移方式为：先向右平移4个单位，再向下平移8个单位

•••点P到点Q的平移方式为：先向右平移4个单位，再向下平移8个单位

•.•点Q在x轴上

二点P的纵坐标为8

将y=8代入C2的解析式中，解得：x=3土2V3

,此时点P的坐标为(3+2V3，8)或(3—2V3，8)；

②当DE为平行四边形的对角线时，

由DE的中点为点B,

APQ的中点也为点B,

由点Q在x轴上，点B也在x轴上

...点P也在x轴上，即此时点P与点K重合

，此时点P的坐标为(5,0)；

综上：点P的坐标为(3+2V3，8)或(3—2V3，8)或(5,0).

4.如图，在平面直角坐标系中，RSABC的边BC在x轴上，ZABC=90°,以A为顶点的抛物线y=-x?

+bx+c经过点C(3,0),交y轴于点E(0,3),动点P在对称轴上.

(1)求抛物线解析式；

(2)若点P从A点出发，沿A-B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点

P作PDLAB交AC于点D,过点D平行于y轴的直线1交抛物线于点Q,连接AQ,CQ,当t为何值时，

△ACQ的面积最大？最大值是多少？

(3)若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P,使得以点P,M,E,C为顶点的四边形是菱形,

若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)解：将点C,E的坐标代入二次函数表达式得：「9+3b：c=°

c=3

解得户U

c=3

故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3

(2)解：；y=-x2+2x+3y=-x2+2x+3=-(x-I)2+4

，A(1,4),

设直线AC的解析式为y=kx+b,将点A,C的坐标代入，得：

1k+1=4解得产=-2

+1=0喇Ib=6

直线AC的表达式为：y=-2x+6

.•.点P(l,4-t),

.•.点D(竽4-t),

设点Q(竽4一?)，则SAACQ=[DQ.BC=-it2+t=-i(t-2)2+1

V-J<0,故S4ACQ有最大值，当t=2时，其最大值为1

.•.当t=2时，SAACQ有最大值，其最大值为1

(3)解：设点P(Lm),(m>0)点M(x,y),

①当EC是菱形一条边时，

当点M在x轴下方时，

点E向右平移3个单位、向下平移3个单位得到C,则点P平移3个单位、向下平移3个单位得到M,

则l+3=x,m—3=y

x=4,y=m-3

VMP=EP

・•・1+(m-3)2=(4-l)2+(m-3-m)2

解得：m=3+y[17

**•y=V17

・••点M(4,717);

当点M在x轴上方时，同理可得：点M(—2,3+V14);

②当EC是菱形一对角线时，

则EC中点即为PM中点，

则x+l=3,y+m=3

VPE=PC,即l+(m-3)2=4+(m-2)2,

解得：m=l,

Ax=2,y=3—m=3—1=2,

二点M(2,2)

综上，点M(4,V17)或(-2,3+V14)或乂(2,2)

5.如图，抛物线y=-x?+bx+c经过A(-1,0),B(3,0)两点，且与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点，抛

物线的对称轴DE交x轴于点E,连接BD.

(1)求经过A,B,C三点的抛物线的函数表达式；

(2)点Q在该抛物线的对称轴上，若△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，求点Q的坐标；

(3)若P为BD的中点，过点P作PFLx轴于点EG为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF

上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标.

【答案】(1)解：•••抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0)两点,

/.{=-解得(b=?.

-9+3b+c=0c=3

:.y=—x2+2x+3；

(2)解：由⑴知B(3,0),C(0,3)，

连接BC,

VABCQ是以BC为直角边的直角三角形,

则ZQCB=90°或ZQBC=90°,

：Q在对称轴上，设Q(l,m),

则CQ2=1+(m-3)2=m2-6m+10,

BQ2=(3-l)2+(0-m)2=m2+4,

BC2=32+32=18,

当ZQCB=90°时，由勾股定理得：QB2=QC2+BC2,

即m2+4=m2—6m+10+18,

解得m=4,

•••Q(l,4)；

当ZQBC=90°时，由勾股定理得：CQ2=BQ24-BC2,

即m2-6m+10=mz+4+18,

解得m=-2,

Q(l,-2)；

综上所述，Q(l,4)或Q(l,-2)

(3)解：设点M(a,0),贝IG(a,-a2+2a+3),

•.•以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形,

；.FM=MG,即|2-a|=|-az+2a+3|,

当2-a=—a2+2a+3,解得a=；

当2-a=-(-a2+2a+3),解得a="；

・・M(^—,0)，(^—,0)，(-^,0)，(^—,0)•

6.综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴y轴的正半轴上，线段OA的长是不等式5x-4<3(x+

2)的最大整数解，线段0B的长是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根，将RtAABO沿BE折叠，使

AB边落在0B边所在的y轴上，点A与点D重合.

(2)求直线BE的解析式；

(3)在平面内是否存在点M,使B、0、E、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的

坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)解：•.•Sx/yj+Z),

5x-4<3x+6,

2x<10,

x<5,

.♦.0A=4,

Vx2-2x-3=0,(x-3)(x+l)=0,

x-3=0,x+l=0,

x=3,x=—L

.•.0B=3,

答：0A=4,0B=3；

(2)解：在R3A0B中，0A=4,0B=3,由勾股定理得：AB=5,

VOB=3,

.*.B(0,3),

设OE=x,

•.•将RSABO沿BE折叠，使AB边落在OB边上，A与D重合,

，DE=AE=4-x,OD=5-3=2,

在RSOED中，由勾股定理得：22+x2=(4-x)2

解得：x=|,

即E的坐标是：(|,0).

设直线BE的解析式是y=kx+b,

•••把B、E的坐标代入得：

b=3

^0=-k+b'

2

解得：k=-2,b=3,

直线BE的解析式是：y=-2x+3；

(3)存在，M©3)；M2(-1,3)；M3(|,-3)

【解析】解：(3)如图所示:

在平面内存在点M,使B、0、E、M为顶点的四边形为平行四边形，点M的坐标是(一3）或（|,3）

或(|，-3).

7.如图，矩形AOBC的两条边0A,0B的长是方程x3-18x+80=0的两根，其中0A<0B,沿

直线AD将矩形折叠，使点C与y轴上的点B重合，

⑴求A,B两点的坐标；

(2)求直线AD的解析式；

⑶若点P在y轴上，平面内是否存在点Q,使以A,D,P,Q为顶点的四边形为矩形？若存在,

请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴解：X2-18x4-80=0

可得：x=8或x=10,

OA,OB的长是方程x2-8x+80=0的两根，且OA<OB

,OA=8,OB=10,

/.A(-8,0),B(0,10)

(2)解：由折叠的性质可得：DE=CE

AE=AC=OB=10,

在RtAAOE中，

OE=VAE2-AO2=V102-82=6

所以BE=OB-OE=10-6=4,

设BD=x,则CD=DE=8-x,

在RtABOE中，由勾股定理可得：

DE2=BE2+BD2,

所以(8—x)2=42+x2,计算得出x=3,

所以D(-3,10)

设宜线AD的解析式为y=kx+b,

r—8k+b=0

T—3k+b=10

计算得出直：6

•••直线AD的解析式为y=2x+16

(3)解：当点P在x轴上方时，则有DPIDA,如图，连接AP、DQ交于点F,

则F为AP、DQ的中点，

ZBDP+ZCDA=ZCDA+Z.CAD=90°

•••ZBDP=ZCAD,且NPBD=ZDCA,

•••ABPD-ACDA

.—BP=_—3

510

计算得出BP=|

所以OP=10-/

所以P(0,y)且A(-8,0)

所以F的坐标为(空省芝呼)

即(-4,第

设Q(x,y),且D(-3,10)

所以个=_4,皇

当P在x轴下方时，则有APIAD,如图，连接DP、AQ交于点G,

则G为AQ、DP的中点，

同理可得：AAOP-AACD,

则：黑建

即器=V，计算得出0P=4

所以P(0,-4)且D(-3,10)

所以G(一|,3)

设Q(x,y),且A(-8,0)

所以*2=_曰，x=5,

22

y+o乙

—=3o,y=6

2J

・•・Q(5,6)

综上可知存在满足条件的点Q,其坐标为(-5,-|)或(5,6)

8.如图，一次函数y=-gx+2的图象交y轴于点A,交x轴于点B点，抛物线y=-x?+bx+c过A、

B两点.

备用图

(1)求A,B两点的坐标；并求这个抛物线的解析式;

(2)作垂直x轴的直线*=匕在第一象限交直线AB于M,交这个抛物线于N.求当t取何值时，MN有最大

值？最大值是多少？

(3)在(2)的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标.

【答案】(1)解：；y=-\+2的图象交y轴于点A,交x轴于点B点，

:.A、B点的坐标为：A(0,2),B(4,0),

将x=0,y=2代入y=—x2+bx+c得c=2,

将x=4,y=0,代入y=-x2+bx+c得b=g,

.♦・抛物线解析式为：y=-x2+|x+2

(2)解：如答图I所示，设MN交x轴于点E,贝ljE(t,0),则M(t,2-1t),

YN=-t2++2>

,7-I

MN=yN—YM=-12+-t+2-(2--t)=-t2+4t=—(t—2)2+4,

.•.当t=2时，MN有最大值4.

(3)解：由(2)可知A(0,2)、M(2,1)、N(2,5),

以A、M、N、D为顶点做平行四边形，D点的可能位置有三种情况，如答图2所示,

答图2

当D在y轴上时，设D的坐标为(0,a),

由AD=MN,得|a-2|=4,解得al=6,a2=-2,

从而D点坐标为(0,6)或D(0,-2),

当D不在y轴上时，由图可知D3为D1N与D2M的交点，

分别求出D1N的解析式为：y=-1x+6,

D2M的解析式为：y=|x-2,

联立两个方程得：D3(4,4),

故所求的D点坐标为(0,6),(0,-2)或(4,4).

9.如图，在直角坐标系中，A(4,0),B(8,0),C(0,4).动直线EF(EF〃x轴)从点C出发，以每秒1个单

位长度的速度沿y轴负方向平移，且分别交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段

OB上以每秒2个单位长度的速度运动至原点O停止，当点P停止时点E也随之停止.

(1)求直线BC的解析式;

(2)是否存在t的值，使得△BPFs/^BCA相似？若存在，试求出t的值，并求出此时△EPF的面积；若不存

在，请说明理由；

(3)若将直线CB绕点B顺时针旋转45。得到直线BD,在直线BD上有一动点M,在x轴上有一点N

是否存在点M,N,使得以点C、A、M、N为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请求出点N

的坐标；如果不存在，请说明理由.

【答案】(1)解：设直线BC的解析式为y=kx+b,

；B(8,0),C(0,4),

.[8k+b=0\

b=4)'

解得卜,

二直线BC的解析式为y=-：x+4；

(2)解：当^BPF^-ABAC时，

.BC_AB

**BF-BP'

♦.♦EF〃y轴，

.BC_OC

**BF-OE'

.OC_AB

••—=—,

OEBP

根据题意得：OC=AB=4,CE=t,BP=2t,0E=4-t,

・44

**4-t-2t，

解得t=(,

当^BPF^ABCA时，

.BP_BF

**BC-BA'

.'.BCBF=BPAB,

..BC_OC_4

*BF-OE_4-t'

VBC2=OC2+OB2=80,

・EF〃BO

.△CEF^ACOB

CE_EF

CO-OB

7_EF

4-8

ASAEPF=-XEFXOE=—

27

⑶解：过点c作CQ〃OB交BD于点Q,过点Q作RQJ_CB于点R

.*.ZOBC=ZQCB

根据题意可知，ZCBQ=45°,...设QR=BR=m

由tanZCBO=—=-

BO2

r.tanZQCR=g=|

ACR=2,BC=3

/.3m=4>/5,即m=^V5

CQ=7CR2+QR2=V5m=y

.••点Q的坐标为6，4)

设直线BD的y=klx+bl

(8kl+b]=0\

解得，kl=-3,bl=24

二直线BD为y=-3x+24

当AC为平行四边形的对角线时，K为AC和MN的交点

•.•点A(4,0),点C(0,4)

.,-K^(2,2)

设M(x,-3x+24),N(n,0)

・x+n-3x+24

••K(-'

・208

・・x=—,n=—

33

，N点的坐标为(2，0)

当AC为平行四边形的边时，当M在x轴的上方时

；.CM〃AN,CM=AN

此时点M和点Q重合，M谭，4)

20

・・・AAKNT二-一

3

・cz,2032

..ON=4H—=—

33

，N为书，0)

当M在x轴的下方时

由A(4,0),C(0,4)设M(x,-3x+24),N(a,0)

根据平移的性质可得，［+4；；)

10—4=-3x+24/

解得，x号，a音

.♦•哨，0)

10.如图，已知抛物线y=-x?+bx+c与x轴正半轴交于点A(3,0),与y轴交于点B(0,3),点P是x轴上

一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点C,交直线AB于点D,设P(x,0).

(1)求抛物线的函数表达式：

(2)当0<x<3时，求线段CD的最大值;

(3)若P点在x正半轴移动时，在APDB和ACDB中，当其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍

时，求相应x的值：

(4)若点Q在抛物线上，点H在线段AB的垂直平分线上，且点Q,H,A,B为顶点的四边形是平行四边形,

求Q点的横坐标.

【答案】⑴解：•••抛物线与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B(0,3),

.•.-9+3b+c=0,c=3,

：.b=2,

,y=­x2+2x+3：

⑵解:VA(3,0),B(0,3).

直线AB的解析式为y=-x+3,

VP(x,O),

，D(x,-x+3),C(x,—x2+2x+3),

V0<x<3,

39

/.CD=—x2+2x+3-(-x+3)=—x2+3x=-(x--)2+-,

...当时，CD的最大值为：；

⑶解："."CD=|—x2+3x|，PD=|—x+3|,

①当SAPDB=2SACDB,

这时PD=2CD,

即x+3|=2|—x2+3x|,

解得x=±1,或x=3(舍)；

②当SACDB=2SAPDB,

这时CD=2PD,

即2|-x+3|=|—x2+3x|.

解得x=±2,或x=3(舍);

综上，*=号，或x=±2.

(4)解：直线AB的解析式为y=-x+3,

...线段AB的垂直平分线1的解析式为y=x,

设H为(x,x),则Q(3+x,x-3),或(3-x,-(3+x)),

①Q(3+x,x-3),(x>0),

则-(3+x)2+2(3+x)+3=x-3,

解得X=2V3-3或x=-2V3-3(舍)，

故Q的横坐标为2百，

②Q(3-x,-(3+x)),(x<0),

则-(3-x)2+2(3-x)+3=-(3+x),

解得x=—叵+竺(舍)或x左+经(舍)，

2424

故Q的横坐标为2Vx

11.抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，且A(-l,0)、B(4,0),与y轴交于点

C,点C的坐标为(0,-2),连接BC,以BC为边，点O为中心作菱形BDEC,

点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q,交BD于点M.

(1)求抛物线的解析式；

(2)x轴上是否存在一点P,使三角形PBC为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请

说明理由；

(3)当点P在线段OB上运动时，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？请说明理由

【答案】(1)解：由题意可设抛物线的解析式为：y=ax2+bx-2,•.•抛物线与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点,

故抛物线的表达式为：y=a(x+l)(x-4)=a(x2-3x-4),即-4a=-2,解得：a=|，，抛物线的解析式为：y=|

x2--x-2

2

⑵解：设点P的坐标为(m,0),则PB2=(m-4)2,PC2=m2+4,BC2=20,

①当PB=PC时，(m-4)2=m2+4,解得：m=|；

②当PB=BC时，同理可得：m=4±2V5；

③当PC=BC时，同理可得：m=±4(舍