2019年吉林省长春市中考数学试卷

2019年吉林省长春市中考数学试卷

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）

1.（3分）如图，数轴上表示-2的点A到原点的距离是（）

A

-----1•:-------1---------->

-3-2-101

A.-2B.2C.」D.工

22

2.（3分）2019年春运前四日，全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275000000

人次，275000000这个数用科学记数法表示为（）

A.27.5X107B.0.275X109C.2.75X108D.2.75XI09

3.（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（)

4.（3分）不等式-x+220的解集为（）

A.-2B.M-2C.G2D.xW2

5.（3分）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡,

人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每

人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱,问人数、买鸡的钱数各是多少？设

人数为x,买鸡的钱数为y,可列方程组为（）

（9x+ll=y/9x-U=y

6x+l6=y\6x-l6=y

C（9x+ll=yD（9x-ll=y

6x-l6=y16x+l6=y

6.（3分）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子A8的长是3米.若梯子与地面

的夹角为a,则梯子顶端到地面的距离C为（）

B

/八ark

打c

A.3sina米B.3cosa米C.——-——米D.——-——米

sinacosa

7.（3分）如图，在△ABC中，N4CB为钝角.用直尺和圆规在边48上确定一点。.使N

A£>C=2N8,则符合要求的作图痕迹是（）

8.（3分）如图，在平面直角坐标系中，RtZ\A8C的顶点A、C的坐标分别是（0,3）、（3、

0）.NACB=90°,AC=2BC,则函数y=k（A>0,x>0）的图象经过点8,则上的值

x

284

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

9.（3分）计算：3遥-泥=.

10.（3分）分解因式：ab+2b=.

11.（3分）一元二次方程7-3x+l=0的根的判别式的值是.

12.（3分）如图，直线MN〃PQ,点4、B分别在MN、PQ上，ZMAB=33°.过线段A8

上的点C作CDLAB交PQ于点D,则NCQB的大小为度.

C

BD

13.（3分）如图，有一张矩形纸片ABC。，4B=8,AD-6.先将矩形纸片ABC。折叠，使

边AD落在边AB上，点。落在点E处，折痕为4R再将AAEF沿EF翻折，AF与BC

相交于点G,则aGC尸的周长为.

14.（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a？-2ax+B（a>0）与y轴交于点A,

3

过点A作x轴的平行线交抛物线于点M.P为抛物线的顶点.若直线。尸交直线AM于

点8,且M为线段AB的中点，则a的值为.

三、解答题（共10小题，满分78分）

15.（6分）先化简，再求值：（2a+l）2-4a（a-1）,其中“=L.

8

16.（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“家”、

“家”“乐”，除汉字外其余均相同.小新同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后

放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字，用画树状图（或列表的）方法，

求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率.

17.（6分）为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯，为尽快完成任务，实际

每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务.求该灯具厂原计划每天

加工这种彩灯的数量.

18.（7分）如图，四边形ABCO是正方形，以边4B为直径作。0,点E在BC边上，连结

4E交。。于点F,连结8月并延长交C。于点G.

(1)求证：AABE乌ABCG；

(2)若乙4EB=55°,。4=3,求崩的长.(结果保留ir)

19.(7分)网上学习越来越受到学生的喜爱.某校信息小组为了解七年级学生网上学习的

情况，从该校七年级随机抽取20名学生，进行了每周网上学习的调查.数据如下(单位:

时)：

32.50.61.51223.32.51.8

2.52.23.541.52.53.12.83.32.4

整理上面的数据，得到表格如下：

网上学习时间x(时)0<xWll〈xW22VxW33<xW4

人数2585

样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：

统计量平均数中位数众数

数值2.4mn

根据以上信息，解答下列问题：

(1)上表中的中位数，"的值为,众数"的值为.

(2)用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期(按18周计算)网上学习

的时间.

(3)已知该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数.

20.(7分)图①、图②、图③均是6X6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，

小正方形的边长为1,点A、B、C、D、E、F均在格点上.在图①、图②、图③中，只

用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写

出画法.

(1)在图①中以线段AB为边画一个△48M,使其面积为6.

(2)在图②中以线段为边画一个△C£W,使其面积为6.

(3)在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH,使其面积为9,且NEFG=90°.

图①图②图③

21.(8分)已知4、8两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60

千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往8地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车

分别到达目的地后停止.甲、乙两车相距的路程y(千米)与甲车的行驶时间x(时)之

间的函数关系如图所示.

(1)乙车的速度为千米/时，a=,b=.

(2)求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式.

(3)当甲车到达距3地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程.

22.(9分)教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容.

例2如图，在△ABC中，D,E分别是边8C,A8的中点，AD,CE相交于点G,求证:

GE=GD=1

CEAD?

证明：连结ED

请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程.

结论应用：在O4BCC中，对角线AC、8。交于点O,E为边BC的中点，AE.BD交于

点F.

(1)如图②，若nA8c。为正方形，且48=6,则。尸的长为.

(2)如图③，连结DE交AC于点G,若四边形OFEG的面积为之，则口ABCZ)的面积

为,

23.（10分）如图，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=20,8c=15.点P从点A出发，沿

4c向终点C运动，同时点。从点C出发，沿射线C8运动，它们的速度均为每秒5个

单位长度，点尸到达终点时，P、。同时停止运动.当点P不与点4、C重合时，过点P

作PNLAB于点N,连结PQ,以PN、PQ为邻边作。PQMN.设。尸QMN与△ABC重叠

部分图形的面积为S,点P的运动时间为f秒.

(1)①AB的长为

②PN的长用含t的代数式表示为

(2)当口PQWN为矩形时，求，的值；

(3)当QPQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与f之间的函数关系式;

(4)当过点尸且平行于8c的直线经过。尸QMN一边中点时，直接写出1的值.

-x+nx+n,（x>n）,

24.（12分）己知函数12nn//、（〃为常数）

为x+,X+Q（x<n）

⑴当n=5,

①点P(4,b)在此函数图象上，求匕的值;

②求此函数的最大值.

(2)已知线段A8的两个端点坐标分别为A(2,2)、B(4,2),当此函数的图象与线段

A2只有一个交点时，直接写出〃的取值范围.

(3)当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4,求”的取值范围.

2019年吉林省长春市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）

1.（3分）如图，数轴上表示-2的点A到原点的距离是（）

A

--1•।---1-----＞

-3-2-101

A.-2B.2C.-1-D.工

22

【考点】13：数轴.

【分析】根据绝对值的定义即可得到结论.

【解答】解：数轴上表示-2的点A到原点的距离是2,

故选：B.

【点评】本题考查了数轴，绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键.

2.（3分）2019年春运前四日，全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275000000

人次，275000000这个数用科学记数法表示为（）

A.27.5X107B.0.275X109C.2.75X108D.2.75X109

【考点】II：科学记数法一表示较大的数.

【分析】科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其中1三间＜10,〃为整数.确定n

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值＞10时，〃是正数；当原数的绝对值＜1时，〃是负数.

【解答】解：将275000000用科学记数法表示为：2.75X108.

故选：C.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其

中1W间＜10,〃为整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

3.（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（）

正面

【考点】U2：简单组合体的三视图.

【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.

【解答】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层最右边有一个正方形.

故选：A.

【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图.

4.（3分）不等式-x+2-0的解集为（）

A.X2-2B.xW-2C.x22D.xW2

【考点】C6：解一元一次不等式.

【分析】直接进行移项，系数化为1,即可得出x的取值.

【解答】解：移项得：-x》-2

系数化为1得：xW2.

故选：D.

【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要

改变符号这一点而出错.

解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不

等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不

等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.

5.（3分）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡,

人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每

人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱.问人数、买鸡的钱数各是多少？设

人数为x,买鸡的钱数为y,可列方程组为（）

,f9x+ll=yn9x-ll=y

6x+l6=y6x-l6=y

c（9x+ll=yDpx-ll=y

6x-l6=y16x+l6=y

【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组.

【分析】直接利用每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，分别得出方程

求出答案.

【解答】解：设人数为X,买鸡的钱数为y,可列方程组为：

f9x-ll=y

I6x+l6=y

故选：

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题

关键.

6.（3分）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子A8的长是3米.若梯子与地面

的夹角为a,则梯子顶端到地面的距离（7为（）

sinCLcosCL

【考点】T9：解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sina=K=坨，进而得出答案.

AB3

【解答】解：由题意可得：sina=K=现，

AB3

故BC=3sina（zn）.

故选：A.

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键.

7.（3分）如图，在AABC中，/AC3为钝角.用直尺和圆规在边A8上确定一点。.使N

40c=2/8,则符合要求的作图痕迹是（）

【考点】N3：作图一复杂作图.

【分析】由/AOC=2/B且/A£>C=NB+/8C£>知N2=N8C£>,据此得£>2=/）C,由

线段的中垂线的性质可得答案.

【解答】解：；/4£^=2/8且/40。=/8+/8。。，

:.NB=NBCD,

：.DB=DC,

...点D是线段BC中垂线与AB的交点，

故选：B.

【点评】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握三角形外角的性质、中垂线

的性质及其尺规作图.

8.（3分）如图，在平面直角坐标系中，RtZ\ABC的顶点A、C的坐标分别是（0,3）、（3、

0）.NACB=90°,AC=2BC,则函数），=四*>0,x>0）的图象经过点8,则人的值

X

为（）

A.2B.9C.21D.21

284

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征.

【分析】根据A、C的坐标分别是（0,3）、（3、0）可知OA=OC=3,进而可求出AC,

由AC=2BC,又可求8C,通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点8的坐标，再求出k

的值.

【解答】解：过点B作轴，垂足为。，

C的坐标分别是（0,3）、（3、0）,

.\OA=OC=3,

在RtZiAOC中，AC={oA2+oc2=m，

又：4C=2BC,

2

又・・・NACB=90°，

：.ZOAC=ZOCA=45Q=NBCD=NCBD,

：.CD=BD=^I^x—=—<

222

，。£)=3+3=旦

22

：.B(2,2)代入y=k得：k=空,

22X4

【点评】直角三角形的性质、勾股定理，等腰三角形性质和判定以及反比例函数图象上

点的坐标特征是解决问题必备知识，恰当的将线段的长与坐标互相转化，使问题得以解

决.

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

9.（3分）计算：3/-遥=2亚.

【考点】78：二次根式的加减法.

【分析】直接合并同类二次根式即可求解.

【解答】解：原式=2泥.

故答案为：2y

【点评】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题的关键是掌握同类二次根式的合并.

10.（3分）分解因式：ah+2h=b（a+2）.

【考点】53：因式分解-提公因式法.

【分析】直接提取公因式b,进而分解因式即可.

【解答】解：ab+2b=b（a+2）.

故答案为：b（a+2）.

【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.

11.（3分）一元二次方程/-3x+l=0的根的判别式的值是5.

【考点】AA：根的判别式.

【分析】根据根的判别式等于庐-4农，代入求值即可.

【解答】解：：“=1,b=-3,c=l,

△=f>2-4ac=（-3）2-4X1XI=5,

故答案为：5.

【点评】本题考查了根的判别式，熟记根的判别式的公式△=/-4ac.

12.（3分）如图，直线MN〃PQ,点A、B分别在MN、PQ上，NMA8=33°.过线段A8

上的点C作CDLAB交PQ于点D,则/CO8的大小为57度.

【考点】J3：垂线；JA：平行线的性质.

【分析】直接利用平行线的性质得出N48O的度数，再结合三角形内角和定理得出答案.

【解答】解：•直线MN〃PQ,

：.ZMAB=ZABD=33O,

:CDLAB,

：.ZBCD=90°,

：.ZCDB=90°-33°=57°.

故答案为：57.

【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，正确掌握平行线的性质

是解题关键.

13.（3分）如图，有一张矩形纸片ABC。，AB=8,A£）=6.先将矩形纸片ABC。折叠，使

边AO落在边A8上，点。落在点E处，折痕为AF；再将△/1后尸沿EF翻折，AF与BC

相交于点G,则△GCF的周长为」±2选

【考点】LB：矩形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）.

【分析】根据折叠的性质得到ND4F=N8AF=45°,根据矩形的性质得到PC=E£>=2,

根据勾股定理求出GF,根据周长公式计算即可.

【解答】解：由折叠的性质可知，ND4F=NBAF=45°,

：.AE^AD=6,

：.EB=AB-AE=2,

由题意得，四边形EFCB为矩形，

：.FC=ED=2,

'：AB//FC,

：.ZGFC=Z4=45°,

：.GC=FC=2,

由勾股定理得，GF=^pC2+GC2=2V2>

则△GCF的周长=GC+FC+G尸=4+2&,

故答案为：4+2«.

【点评】本题考查的是翻折变换的性质、矩形的性质一种对称变换，它属于轴对称，折

叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

14.(3分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a?-2"+旦(«>0)与y轴交于点4,

3

过点A作x轴的平行线交抛物线于点P为抛物线的顶点.若直线。尸交直线AM于

点2,且M为线段AB的中点，则a的值为2.

【考点】FF：两条直线相交或平行问题；H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点

的坐标特征.

【分析】先根据抛物线解析式求出点A坐标和其对称轴，再根据对称性求出点M坐标，

利用点M为线段AB中点，得出点B坐标；用含a的式子表示出点P坐标，写出直线0P

的解析式，再将点B坐标代入即可求解出a的值.

【解答】解：•..抛物线y=a？-2办+图■(«>0)与y轴交于点4,

.•.A（0,抛物线的对称轴为x=l

3

，顶点P坐标为（1,3■-a），点M坐标为（2,包）

33

•点M为线段43的中点，

...点8坐标为（4,1）

3

设直线OP解析式为>=履丁为常数，且%20）

将点尸（1,l,a）代入得&=上

3a3a

；.y=（gf）x

3a

将点8（4,1）代入得旦=（A_a）X4

333

解得4=2

故答案为：2.

【点评】本题综合考查了如何求抛物线与y轴的交点坐标，如何求抛物线的对称轴，以

及利用对称性求抛物线上点的坐标，同时还考查了正比例函数解析式的求法，难度中等.

三、解答题（共10小题，满分78分）

15.（6分）先化简，再求值：（24+1）2-4a1）,其中。=工.

8

【考点】4J：整式的混合运算一化简求值.

【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案.

【解答】解：原式=4/+4〃+1-4a，4a

=8a+l,

当“=!时，原式=8a+l=2.

8

【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.

16.（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“家”、

“家”“乐”，除汉字外其余均相同.小新同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后

放回并搅匀：再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字，用画树状图（或列表的）方法，

求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率.

【考点】X6：列表法与树状图法.

【分析】画出树状图，共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的

结果有5个，由概率公式即可得出结果.

【解答】解：画树状图如图：

共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有5个,

.♦.小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率为5.

9

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所

有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解

题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总

情况数之比.

17.（6分）为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯，为尽快完成任务，实际

每天加工彩灯的数量是原计划的L2倍，结果提前5天完成任务.求该灯具厂原计划每天

加工这种彩灯的数量.

【考点】B7：分式方程的应用.

【分析】该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x套，由题意列出方程：驷6-

X

驷8=5,解方程即可.

1.2x

【解答】解：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x套，则实际每天加工彩灯的

数量为1.2x套，

由题意得：9000_900^=5；

x1.2x

解得：x=300,

经检验，x=300是原方程的解，且符合题意；

答：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为300套.

【点评】本题考查了分式方程的应用以及分式方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，

根据题意列出方程是解题的关键.

18.（7分）如图，四边形ABC。是正方形，以边AB为直径作。0,点E在BC边上，连结

4E交。。于点凡连结B尸并延长交C。于点G.

（1）求证：AABE出ABCG；

（2）若/AEB=55°,0A=3,求BF的长.（结果保留TT）

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质；M5：圆周角定理；MN：

弧长的计算.

【分析】（1）根据四边形A8CO是正方形，A8为。。的直径，得到/ABE=/BCG=N

AFB=90°,根据余角的性质得到NEB广根据全等三角形的判定定理即可得到

结论；

（2）连接OF,根据三角形的内角和得到NBAE=90°-55°=35°,根据圆周角定理

得到NBOF=2NBAE=70°,根据弧长公式即可得到结论.

【解答】（1）证明：：四边形ABC。是正方形，A8为。。的直径，

/.NABE=NBCG=ZAFB=90Q,

：.ZBAF+ZABF=90°,NABF+NEBF=90°,

NEBF=NBAF,

"ZEBF=ZBAF

在△A5E与aBCG中，＜AB=BC，

ZABE=ZBCG

:.△ABEgABCGCASA)；

(2)解：连接OF,

VZABE=ZAFB=90°,ZAEB=55°,

AZBAE=900-55°=35°,

；.NBOF=2NBAE=70°,

'：OA=3,

前的长=厚产7兀

【点评】本题考查了弧长的计算，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，圆周角定

理，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键.

19.（7分）网上学习越来越受到学生的喜爱.某校信息小组为了解七年级学生网上学习的

情况，从该校七年级随机抽取20名学生，进行了每周网上学习的调查.数据如下（单位:

时）：

32.50.61.51223.32.51.8

2.52.23.541.52.53.12.83.32.4

整理上面的数据，得到表格如下：

网上学习时间时）0<x（l1<XW22cxW33cxW4

人数2585

样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：

统计量平均数中位数众数

数值2.4mn

根据以上信息，解答下列问题：

（1）上表中的中位数机的值为」众数〃的值为2.5.

（2）用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习

的时间.

（3）已知该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数.

【考点】V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；W2：加权平均数；W4：中位

数；W5：众数.

【分析】（1）把20个数据从小到大排列，即可求出中位数；出现次数最多的数据即为众

数；

（2）由平均数乘以18即可；

（3）用总人数乘以每周网上学习时间超过2小时的学生人数所占的比例即可.

【解答】解：（1）从小到大排列为：0.6,1,1.5,1.5,1.8,2,2,2.2,2.4,2.5,2.5,

2.5,2.5,2.8,3,3.1,3.3,3.3,3.5,4,

...中位数，"的值为5+2.5=25,众数〃为2.5；

2

故答案为:2.5,2.5；

(2)2.4X18=43.2(小时)，

答：估计该校七年级学生平均每人一学期(按18周计算)网上学习的时间为43.2小时.

(3)200x11=130(人),

20

答：该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数为130人.

【点评】此题主要考查数据的统计和分析的知识.准确把握三数(平均数、中位数、众

数)和理解样本和总体的关系是关键.

20.(7分)图①、图②、图③均是6X6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，

小正方形的边长为1,点A、B、C、D、E、F均在格点上.在图①、图②、图③中，只

用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写

出画法.

(1)在图①中以线段AB为边画一个AABM,使其面积为6.

(2)在图②中以线段CO为边画一个△C£W,使其面积为6.

(3)在图③中以线段EF为边画一个四边形EFG”，使其面积为9,且NE『G=90°.

图①图②图③

【考点】K3：三角形的面积；N4：作图一应用与设计作图.

【分析】(1)直接利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形;

(2)直接利用三角形面积求法得出答案；

(3)根据矩形函数三角形的面积的求法进而得出答案.

【解答】解：(1)如图①所示，AABM即为所求；

(2)如图②所示，△CON即为所求；

(3)如图③所示，四边形EFGH即为所求；

【点评】此题主要考查了作图-应用与设计，以及三角形面积求法，正确掌握三角形面

积求法是解题关键.

21.(8分)已知A、8两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60

千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车

分别到达目的地后停止.甲、乙两车相距的路程y(千米)与甲车的行驶时间x(时)之

间的函数关系如图所示.

(1)乙车的速度为75千米/时,a=3.6,b=4.5.

(2)求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式.

(3)当甲车到达距8地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程.

【考点】FH：一次函数的应用.

【分析】(1)根据图象可知两车2小时后相遇，根据路程和为270千米即可求出乙车的

速度；然后根据“路程、速度、时间”的关系确定人的值；

(2)运用待定系数法解得即可；

(3)求出甲车到达距B地70千米处时行驶的时间，代入(2)的结论解答即可.

【解答】解：(1)乙车的速度为：(270-60X2)+2=75千米/时，

4=270+75=3.6,6=270+60=4.5.

故答案为:75；3.6；4.5；

（2）60X3.6=216（千米）,

当2cx<3.6时，:&.y=k\x+b\,根据题意得:

'2k[+bi=0k尸135

解得1

3.6k1+b1=216b^-270

；.y=135x-270（2〈xW3.6）；

当3.6VxW4.6时，设y=60x,

，135x-270(2<x<3.6)

n60x(3.6<x<4.5)

（3）甲车到达距B地70千米处时行驶的时间为：（270-70）+60=理.（小时），

6

此时甲、乙两车之间的路程为：135X&.-270=180（千米）.

6

答：当甲车到达距8地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程为180千米.

【点评】此题主要考查了一次函数的应用问题，解答此题的关键是要明确：分段函数是

在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理,

又要符合实际.此题还考查了行程问题，要熟练掌握速度、时间和路程的关系：速度X

时间=路程.

22.（9分）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容.

例2如图，在aABC中，D,E分别是边BC,AB的中点，AD,CE相交于点G,求证:

GE=GD^l

CEAD?

证明：连结EZX

请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程.

结论应用：在。ABCO中，对角线AC、8。交于点O,E为边BC的中点，AE,BD交于

点F.

（1）如图②，若0为正方形，且A8=6,则OF的长为_&_.

（2）如图③，连结DE交AC于点G,若四边形OFEG的面积为工，贝心ABC。的面积

为6

图①图②图③

E,

G

B/------D~~0c

【考点】K5：三角形的重心；KX：三角形中位线定理；L5：平行四边形的性质；LE：

正方形的性质；S9：相似三角形的判定与性质.

【分析】教材呈现：如图①，连结ED根据三角形中位线定理可得DE=LAC,

那么△QEGs/XACG,由相似三角形对应边成比例以及比例的性质即可证明S/=毁=

CEAD

-1.->

3

结论应用：（1）如图②.先证明△BEFSAQAF,得出8F=F,那么又

23

BO=LBD,nJWOF=OB-BF=LBD,由正方形的性质求出8。=6逐，即可求出OF

26

—,72；

（2）如图③，连接OE.由（1）易证理=2.根据同高的两个三角形面积之比等于底

OF

边之比得出△8EF与△OEF的面积比=此=2,同理，ZXCEG与△OEG的面积比=2,

OF

那么△CEG的面积+△BEF的面积=2（△OEG的面积+Z\OEF的面积）=2X1=1,所

2

以△3OC的面积=W,进而求出。ABCZ）的面积=4x2=6.

22

【解答】教材呈现：

证明：如图①，连结ED

•.•在△ABC中，D,E分别是边8C,AB的中点，

J.DE//AC,DE=LAC,

2

:./XDEGSAACG,

・CG—AG—AC—2

・・砥一而一位一'

・CG+GE-AG+GD—久

GEGD

.GE=GD=l.

♦・瓦AD3"

结论应用：

(1)解：如图②.

:四边形A8CZ)为正方形，E为边BC的中点，对角线AC、交于点。,

J.AD//BC,BE=Jj3C=L。，BO=LBD,

222

:ABEFsADAF,

•BF=BE=1,

"DFAD~2

:.BF=LDF,

2

:.BF=LBD,

3

•：BO=LBD,

2

...OF=OB-BF=LBD-皂。=耳。，

236

•正方形ABC。中，AB=6,

/.BD=6近

：.0F=&.

故答案为

（2）解：如图③，连接0E.

由（1）知，BF=LBD,OF=LBD,

36

•BF.

OF

/\BEF与△OEF的高相同，

ABEF与AOEF的面积比=典=2,

OF

同理，AsCEG与△OEG的面积比=2,

...△CEG的面积+ZiBEF的面积=2（ZiOEG的面积+4OEF的面积）=2X^=1,

2

.•.△8。（？的面积=反，

2

J.^ABCD的面积=4XW=6.

2

故答案为6.

图①图②图③

【点评】本题考查了三角形中位线定理，三角形的重心，平行四边形、正方形的性质，

三角形的面积，相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中.熟练掌握各定理是

解题的关键.

23.(10分)如图，在中，ZC=90°,4c=20,BC=\5.点P从点4出发，沿

AC向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒5个

单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动.当点P不与点4、C重合时，过点P

作PMLAB于点N,连结PQ,以PN、P。为邻边作。PQWN.设。PQMN与△ABC重叠

部分图形的面积为5,点P的运动时间为f秒.

(1)①4(的长为25；

②PN的长用含t的代数式表示为3f.

(2)当口PQMN为矩形时，求f的值；

(3)当。PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与，之间的函数关系式；

(4)当过点P且平行于BC的直线经过。PQMN一边中点时，直接写出/的值.

【考点】LO：四边形综合题.

【分析】(1)根据勾股定理即可直接计算A8的长，根据三角函数即可计算出PN.

(2)当nPQMN为矩形时，由PNJ_AB可知尸。〃48,根据平行线分线段成比例定理可

得里乌，即可计算出/的值.

CABC

(3)当。PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，有两种情况，I.DPQMN在三角

形内部时，II.口PQMN有部分在外边时.由三角函数可计算各图形中的高从而计算面积.

(4)当过点P且平行于8c的直线经过QPQMN一边中点时，有两种情况，I.过

的中点，n.过QM的中点.分别根据解三角形求相关线段长利用平行线等分线段性质

和可列方程计算"直.

【解答】解：(1)在RtZSABC中，/C=90°,AC=20,BC=15.

AB=VAC2+BC2=V202+152=25,

,•sin/CAB笆，

5

由题可知4P=5f,

：.PN=AP*sinZCAB=5t.s=3〃

故答案为：①25；②3八

(2)当口PQWN为矩形时，ZNPQ=90°,

；PNLAB,

：.PQ//AB,

•CP_CQ,

,*CA^BC'

由题意可知AP=CQ=5z,b=20-5/,

•20-51_5t

,-20=15,

解得

7

即当口PQMN为矩形时f=丝.

7

(3)当口PQMNZV1BC重叠部分图形为四边形时，有两种情况，

I.如解图(3)1所示.oPQMN在三角形内部时.延长2M交A8于G点，

由(1)题可知：cosA=sinB=&,cosB=%,AP=5t,BQ=15-5t,PN=QM=3t.

55

.•.AN=AP・COSA=43BG=BQ•cosB=9-3t,QG=8Q・sinB=12-4/,

V.口PQMN在三角形内部时.有OVQMWQG,

・・・0V3W12-"

*7

：.NG=25-4t-(9-3f)=167.

.•.当0</《丝时，口PQMN与△ABC重叠部分图形为口尸QMN,S与，之间的函数关系式

飞7

为S=PN・NG=3r(16-t)--3?+48r.

II.如解图(3)2所示.当OVQGVQM,QPQMN与aABC重叠部分图形为梯形PQWG

时，

即：0<12-4f<3f,解得：牛<t<3，

□PQMN与△ABC重叠部分图形为梯形PQMG的面积S=(PN+QG)=

11o

q(16-1)(3t+12-4t)=qt-14t+96,

2

综上所述：当0</<竿时，5=-3尸+48人当早<t<3,5=l-t_14t+96-

（4）当过点尸且平行于8c的直线经过。尸。历N一边中点时，有两种情况，

I.如解题图（4）1,PR//BC,PR与AB交于K点,R为MN中点,过R点作

NPKN=NHKR=ZB,

NK=PN'cotZPKN=3t—3_―9t,

44

*：NR=MR,HR//PN//QM,

•••N”=GT(i6-t)，”R=/GM，

：.GM=QM-QG=3t-(12-4/)=7r-12.///?=l_GH：A(7t_12).

■:NK+KH=NH,

*t4（7tT2）=J（16-t），

4oZ

解得：

43

II.如解题图（4）2,