2022年专升本《高数》真题及答案解析2

2022年河南省普通高等

专科毕业生进入本科阶段学习考试

高等数学

题号―二三四五总分

本卷须知：

答题前：考生务必将自己的、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上本卷的

试题答案必须答在答题卡上，答在卷上无效

选题分析:

易（46分）中（79分）难（25分）

选择：选择：选择：

1/2/3/4/5/6/13/14/15/17/7/8/9/10/11/12/16/18/20/29/30

19/21/2722/23/24/25/26/28填空：

填空：填空：计算：

31/32/33/35/3734/36/38/39/4042/49/50

计算：计算：应用：

43/4541/44/46/47/48证明：

应用：应用：53

证明：51/52

证明：

在每题的四个备选答案中选一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.

1.函数/(x)=sin49-犬+In(x-l)的定义域是().

A.(1,3]B.U,+oo)C.0+8)D.[-3,l)

2.f(2x)=x2-2x,那么/(x)=().

A.1X2+1B.lx2-I12

C._x-x

4????

Mov

1

D.

x

+

_______1

4

3,设/(©的定义域为R,那么g(x)=f(x)-f(-x)().

A.是偶函数---------B.是奇函数

C.不是奇函数也不是偶函数D.是奇函数也是偶函数性

ox2+4

4.1im=-4,那么()・

•32X-2

A.2i=-1B.a=0C.a=lD.a=2

x2-l

5.工二-1是函数y=2----的~~(―「——

x-x-2

A.跳出断点B.可去间断点C.整点D.蹩二类间断点

6.当X•丽，比1—COS元丽的无穷小是(~.

22

A.x+l-lB.In[1+x)c.siarD.arctaax

=lar,那么lim(

7.f(X)=J一(x+h)-『(x)=

D2h

Inxlax11

A.-B.c.一D.

Xx2X

f.y=sinr71

8.曲线〈\㈠为参数)在1=—对应点处切线的方程为().

\x=2cosf2

A.x=lB.y=lC.y=x+1D.y=x-\

9.函数f(x)=x(x-l)(x-2)(x-3)(x-4),那么方程/'Q)=0实根的个数为().

A.2B.3C.4D.5

设y=y(X)是由方程>=盯+才确定的隐函数，那么‘>'=().

dx

l+x-y2y-xyi+y「―

A-------------B.------------C.-------D.------------

1—X1—X1-x^2x-xy

11.函数/(%)在区间[0,a](«>0)上连续，/(0)>0,且在(0,。)上恒有/'(X)>0.设

S[=「/(x)dr,s2=af(0),s1与s2的关系是()•

JO

A.S]<$2B.S[=S2C.>S2D.不确定

12.曲线y=Y+1]).

A.无拐点B.有一个拐点C.有两个拐点D.有三个拐点

1

13.曲线y=的渐近线的方程为().

x-2

A.x=0,y=1B.x=l,y=0

C.x=2,y=1D.x=2,^=0

14.设/(x)是/(x)的一个原函数，那么卜-"(”')公=().

A.-/(ev)+CB.-F(e-A)+C

C.F(ex)+CD.F(e-x)+C

15.设/(x)在［a,回上连续，那么由曲线y=/(x)与直线光=。，x=b,y=0所围成平面图形

的面积为().

hh

A.£f(x)dxB.£/(X)dx

C.^\f(x)\dx\b-d)

詈学-J'f(x)dx,那么lim/(印().

16.设/(x)是连续函数，满足/(x)=

71兀兀

A.OB.-।C.D.

636

17.设/(x)=f(f—l)siw力，那么/'(x)=().

Jo

A.sinx+xcosxB.(X-I)COSX

C.sinx-xcosxD.(x-1)sinx

18.以下广义积分收敛的是（).

共1

A.[---dxB.［五公

j2X

广8,

C.「一dxD.J]cosxdx

J14m

19.微分方程一+二=0的通解是（）.

yx

A.x2+y2=25B.3x+4y=C

C.x2+/=CD.y2-x2=1

20.解常微分方程y"—2y'+y=x/的过程中，特解一般应设为（）.

A.y*=(Ax2+Bx)eAB.y*=Axex

C.y=AexD./=x2ex(Ax+B)

—>—>—>—>—>

21.a,b,c为非零向量，且〃•力=0,Z?xc=0,那么().

->->->—>—>—>->->

A.a%且。_LcB.Q_L。且必？

—>—>->—>Tf—>T

C.a/且。_LcD.。_Lc且b±c

22.直线与平面乃：6x—4y+10z—1=0的位置关系是（）.

A.L在万上B.L与万平行但无公共交点

C.L与不相交但不垂直D.L与〃垂直

23.在空间直角坐标系内，方程2/一尸=i表示的二次曲面是（）.

1D.-2

A.OB.4C.-

44

25.点(0,0)是函数z=孙的()

A.驻点B.极值点C.最大值点D.间断点

26.设£>={(x,y)/x<2,y<1},那么+y)dxdy-().

D

A.OB-1C.2D.l

Ix22-x

27•设/(x,y)为连续函数，［心｛j公I)/(x,y)4y交换积分次序后得到

().

A.2f(x,y)dxBJdy\f(x,y)(bc

JoJo

f(x,y)dxD.fyyf^f(x,y)dx

2

28.L为从点(0,0)经点(0,1)到点(1,1)的折线，x1dy+ydx=().

A.lB.2C.OD.-1

29.以下级数条件收敛的是().

002/7-1]8

峰岛1片出幺1)

8+〃+1|00

c.y------------y亍n(-DD.

”1〃一〃+1V几n=\

18

30.级数£『一的和是().

4«--i

A.lB.2C：-D.-1

42

二、填空题(每题2分，共20分)

Y-1Y

31.设/(——)=——(1。0,1)那么/(%)=卫.

xx-1

V__________________________________________________________________________________

32.设连续函数/(X)满足于(X)=—尢)公,那么j"f(x)dx=.

[x-a.x<1,

33./(x)=<假设函数/(X)在X=1处连续，那么a=卫.

[Inx,x>1,

34.设八d+D=l+2%3,且/(0)=-1,那么/(幻二旦

35.不定积分「os2xdx=卫.

->->->

36.假设向量a={0,1,1},。={1,0,1},c={1,1,0},求(ax》).c包.

371散分方程y"-4y'+4y=0的通解y(x)三旦.

V

arctan二

38.设/(x,y)=exln(x2+y2)cosxy2,那么/(1。)=Q

40.函数/(X)=1的幕级数展开式是.

1-2x

三、计算题(每题5分，共50分)

寸(e*—1)

41.求极限lim人匚___.

J1+tanx-J1+x

co

42.设圆为曲线丁=/与丁=£+|(〃=1,2,3,4”..)所围的面积，判定级数ZJ〃4的敛散性.

lt=l

43.求不定积分J

44.计算定积分「|尤-［公.

45.解方程xy-y=x,.

46.函数z=f(x,y)由方程一2z+e：=0所确定，求dz.

47.点A(4,—1,2),B(l,2,-2),。(2,0,1),求A4BC的面积.

48.计算二重积分|jln战+才核,其中£)={(x,y)/l<x2+y2<4}.

四、应用题(每题7分，共14分)

51.欲围一个面积150平方米的矩形场地.所用材料的造价其正面是每米6元，其余三面是每米

3元.问场地的长、宽各为多少时，才能使造价最低

52.。是抛物线L：丁=2%和直线所厘|成的平面区域.试求：

2

(1)区域。的面积；

(2)区域D级Ox轴旋转所形成空间旋转体的体积.

五、证明题(每题,6分，共6,分)，4

53.设e<a</?<夕.症明：lirB-lrra〉b-a).

2022年河南省普通高等专科毕

业生进入本科阶段学习考试

高等数学

【参考答案】

一、选择题(每题2分，共60分)

在每题的四个备选答案中选一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.1.

【答案】A2

司附i】要使函数f(x。=sinV9=a2+]n(xx-1)有意义，那么6一"-一3—处3,解

x41>1

得l<x够3.故函数f(x领的定义域是(1,3].此题选0

A.2.【答案】C

T

【解析】令2初，那么》屏,8由/伸x8===t2_t)即L8

XX2-2xx,得224=

2

一XX.止匕题选C.

4

3.【答案】B

【解析】函数9♦能赧=/领的定义域为RR(即定义域关于原点对称)，且

=领X)=-[/领=-g*g故9领8

是奇函数.此题选B.4.【答案】A

【解析】由Hm"""'+4=-4,得lim(QQ%%2+4)=0,即4Q/^+4=0,解得-1.此题选A.

xx-»2XX-妆T2

2

【答案】B

【解析】yy='j=a"“''-。,Xi=-1是函数川=妆『I的无定义点.那么”=-1不是函数灯的

XX2-XX-2(故-2)(X«►XX2-XX-2

1)

连续点，选项C错误；由limy的上_=lim(x丝上D=lim工=：得x公-1是

lim

xx-^-lxx->-lxx-*-1xx^-lxx-23

函数yy的可去间断点.飒B,昆田E)03)

6.【答案】D

【解析】当1—COSXX~-A2,、熄+1—1=(1+-2”—5或2,ln(l+%%2)〜%%2,

时，

sinarctanx%3〜.故当o时,比i_Cos设高阶的无穷小是arctanx".此题选D.

7.【答案】B

“+酣海筋廨小用焉平刈=1•故)卬附=4»«------------------------

XX九_>02/i/i->o2h

[加"("+"(")m*的川，3)=in，此题选B.

h->02hxx

8.【答案】B_

■—，一■,sinttMM播-rortt-fl-硼

【解析】由殳，得洲=胸=那么曲线在比=,对应点处切线的斜率kk=11=

x/加2COSttiia威-2sln(t2dta它

2_=0.当tt=F时,xx=0,yy=1.故曲线在t?="对应点处切线的方程为yy-1=0(xx-0),即yy

-222

1.此题选B.

9.【答案】C

【解析】/<*x)=xa^-l)(xx-2)(x--3)k8-4),上连续，在(0,4)

内可导，且

加。)=力⑴=加2)=加3)=加4)=。,由罗尔班瞥e(0,l)^6(1,2)心6(2,3),

ae(3,4),使得"低)="‘(&)="低)=〃低)=o.由/■诲3)5次多项式，那么"'oea

4次多项

41234

式，故"'('8=0最多有4个零点,综上，方程"'Q8=o实根的个数为4.此题

选C.10.【答案】B

【解析】方程yy二期+源两边对以求导，得""三yy+xx艺+ee%解得"°=出例=dQ+(y-xy)=

]把C依工ddxx

北竺•此题选B.1,y

1-&[]

ddxx1-xx1-xx

【解析】由"'Q8>0在（0,a8li恒成立，得•上严格单调增加.由积分中值

定理知，3

aa

S（O,Q瑜使得SS1=8dd%苗Q8f♦觎）.由0<E<M得f-0）<f-觎）<

又0,那么

S$2=<(0)<aaff®,故SS1>SS2.此题选

C.12.【答案】B

【解析】由y-^xr3+i,得yy，=3xx2,yy"=6xx.令yy"=O,解得x-^0.当时，yy">

0；当

x的0时，yy”<0.故(0,y，0)),即(0,1)为曲线的一个拐点.此题选B.13.

【答案】D

【解析】曲线由于x协2为曲线的无定义点，且limy协_=8,故2为曲线

lim1

xx-2xx-»2xx->2xx-2

的垂直渐近线；由limy/A1=0,得y=O为曲线的水平渐近线,此题选D.

lim

XX-»OO秋T8xx-2

14.【答案】B

［解析］由函数F«@vx)是/的x)的一个原函数，得J7ao)ddx给F丽x)+C瑜故不定

积分

Jee-xxf^(ee-xx')ddx4^-Jf令锹e*)=-F^(ee-xx')+CC.此题选B.

15.【答案】C

【解析】由定积分的几何意义知，所求平面图形的面积Se/tlf翎锵Iddxx.此题选C.

16.【答案】B

【解析】令广/领双)ddx份儿那么f编的=1+而，丝.”对/专觎x)=i+sin、M〃等式两边取

上的定

-11+xx21+xx2

积分，滑］/苗形心给2/褥解得/协】眄苗1型*公，

皈4加f___=

—11+xx23-11+xx23-11+工工23-11+»2

:颂耐烦期1+0=:［:一(一，］="、此题选B.

3T3446

17.【答案】D

【解析】由=广'(£^^1)sintatdtt,得//'(双)=(叉⑥^1)sinAX此题选D.

18.【答案】C

【解析】对于选项A,r8dx协j+SinxQ钝Inx8=i(lnx领2|+8=+8发机选项A制以

2~222

对于选项B,/+8/也协2/+°2曲》协2g第+8=+8城.选项8«1明对,逐项0

1标12&1

J21ddx/82广1d-歙1)=241麻-邛=2收敛，选项C正确；对于选项D,

I而三127^11

j+Scosx8idx♦加J+8d■冢sinx/匐=sinx0p"8发散，选项D错误.此题选C.

111

19.【答案】C

【解析】由侬+胡丝0,得ddx，-dddd别离变量，得37ddy魁一md"两边积分，=—1烧+

得1”

ddxxddxx22

【解析】微分方程对应的齐次微分方程的特征方程为“2-22物1=0,解得;I协1为二重

特征根.由于f•%xee»,故特解形式应设为犷=9(。以€加6留?呼.此题选D.

21.【答案】B

【解析】由+『=0,得『1『；由『x『=0,得『||『.此题选B.22.

【答案】I)

【解析】由直线=?得直线LL的方向向量为©={3,-2,5}.由平面it:6xx-4yy+10z-

1=0,得平面TT的法向量为7={6,—4,10}.因为3=~2：5,所以H『.故直线儿与平面正垂直.

6-410

本题选D.23.

【答案】D

【解析】方程2.2-加=1不含zz项，表示双曲柱面.此题选D.24.

【答案】B

_i-2xxdd(^dd+-hm2无网-itm+i)

【解析】lim2xxdd4=4.此题选B.

一_i+i)

xx->0Avdd+l-lXXTOXX->xx->0xxdd

dd-0G0jn/d+l+l>G0jvdd+l-l)0-1dd->0

25.【答案】A夕

J解析】令zz丫析y超

'。解得唯一驻点为(0,0),(3,-2).z/,=0，zz"=

nnaU1,zz'。她=0f=(x,y)=

名九.X妗0,

z,

(0,0)时,AA=zz"皿(0,0)=0,BB=zznW(0,0)=1,CC=zz”姗(0,0)=0,邮=AACC-BD=0—I2

-1<0,得点(0,0)不是函数z=xxyy的极值点，也不是最大值点.此题选A.

26.【答案】A

【解析】由于区域DD关于戏轴和yy轴均对称，而设yy关于。和yy均为奇函数，yy关于yy为奇函数，故

JJ(孙+y)dxdy=0.此题选A.

27.【答案】C

【解析】根据积分区域，交换积分次序，得rddy，2Y巧—8ddxx.此题选C.

0dd

28.【答案】A

[ftWJ-i-x2dy+ydx=[x2dy+ydx+[光+1办=1.此题选A.

7r-J(o,o)->(o.i)'J(o.i)^(i.i)Jo

29.【答案】D

【解析】级数条件收敛要求级数本身收敛，但加绝对值后发散.对于选项A和C,级数本身发

散，选项A和C错误；对于选项B,级数本身收敛，但加绝对值后仍收敛，选项B错误；对于

选项D,由莱布尼茨判别法,知级数X(-!)«—收敛，£(T)"的，

2

M=1H=1W=1

由于p=1<l,那么发散，故级数（-1）」■条件收敛，选项D正确.此题选D.

2IJ=\y[n

30.【答案】C

81=V*1=^1(1—1111

【解析】£——乙(2〃-1)(2〃+1)122〃-)=5(1_4(飞

n=l4〃—1n=ln=T12〃+1

1)+...+cJ_-ljzE..]=1C1-2+1-1+...+1—，+…)，那么级数的局部和为ss„„=

52nn-l2335

1

11Moo11

b，nn

2(1_-)=一.故X-2—=limSS“祈一=配题选C.

2,3包8“I4〃_|nn-»oo2?i^$kl2

二、填空题(每题2分，共20分)31.

【答案】1

【解析】令比二，^,由)=B，得//(”)=11ttlt。).故//(.“)=1(XX40).

kT

XXXXX-1什XX

X

32.【答案#.

【解析】令/:/领x)ddx歌〃，那么/始功=以2对/舜刈：热2等式两边取[0,2]上的定

积分，得

f2xx2ddx^^-211,解得1J2xx2ddx^f^1-1xx3\2=1(8-0)=8.

03o33099

33.【答案】L

limIn0,limlim1-QQ.由

xx-»l+xx-»lxx-»l-xx-*l-

连续，得/铀)=lim/筋8=lim/幅舲即0=l-aa,解得a^l.

xx->l+xx-*l-

34.【答案】xx2-1.

【解析】令£^^=%炉+1,^ff\xx3+1)=14-2xx3=2(%x3+1)-1,得//'(££)=2比一1,那么ff'Qx)

=2xx-l,f^$o)=/(2x%-l)dxx=%%2一1%+cc.由f^$0)=-l,^CC==xx2-

xx-1.

35.【答案】1sin2x®bCC.

2

（解析】fcos2x^^ldx^^1fcos1sin2x^^FCC.

22

36.【答案】2.

1x1+（-1）x0=2.

37.【答案】（CCi+C&xOee叫其中仍,C0为任意常数.

【解析】微分方程W-4y/+4yy=。的特征方程为廨-422+4=0,解得U=2为二重特征根，故

微分方程W'-4）'/+4yy=0的通解为yy=（就+CC2m/*,其中伪，CQ为任意常数.

38.【答案】2.

21

【解析】的,0）=Inn,ff--2xx=故7A=）=2.

xrm=x^=i7

39.［答案］2遍.

1寐析】由//(瑞用㈤二ir2+yy2+zz2,得/「的yy,zz)=2M瑞yy㈤二2用，ff(xx,yy,zz)=2zz,那么

xxdaii

以xx,yy,(LLI)=(u,i)=2,f^(xx,yy,(liU)=(i,u)=2,/f(xx,yy,(i,w)=(1,u)=

zz)|2xgzz)|2y8zz)|n而2z，

2,故/仰加z)在点(1,1,1)处的梯度gniff=H'(ia,ys，zi)\(xx,yy,(1,1,1)/+

zz1|

珑3，y%~£Ti)『=笈+2J*+2『,方向导数的最大值为|gradf/|=2『+2『。=

zz)|

,22+22+22=243.

co0

100111

【解析】由=Z;，-1<X-O,得2x一<x就-

22

］-X〃=0M=0=MZ=0'

S(2x)_

三、计算题（每题5分，共50分）41.

【答案】6.一

2

【解析】limM(》T)—Hmxx-xx-(Vl+tan=2lim

xx+Vi+xx)

xx->0V^l+tanxx->0(Vl+tanxx+Vl+xx)-(^l+tanxx-^O(1+tan

xx-Vl+xxxx-Vl+xx)

2

2limQ=2lim3xx2=6lim1x2=6limxx=6.

xx-»0tanxr—OXXTOXX^QXX2

xx-xxsec2xx-1tan2xx

42.【答案】收敛

\y=xn

【解析】联立］，解得尤=°或X=l,即曲线y=丁与y=£申交于点（0,0）和（1,1）,

y二

”2111

故4={(X"-=(―-—)I：=—---=------------

"Jo1〃+1〃+2bn+\n+2(〃+1)(〃+2)

—叵—.设〃

所以成,=z

n=ln=i(n+1)(〃+2)(〃+1)(〃+2)

口=limn=1,因之收敛，故级数之Ina收敛.

那么]im-

〃-»8-

"T8(〃+1)(〃+2)„=1„=1"

“2

2

43.【答案】h-1+CC.2

[解析]。皿8幽"T)=-2「」+a.

Jy/xx2-l'24严互

44.【答案】4.

【解析】f4|xx-2|ddxx=f2(2-xx)ddxx+J4(xx-2)ddxx=(2xx-1xx2)|2+(^xx2—2xx)|4=(2x

0022022

2-x22)+[(1x42-2x4)-(1x22-2X2)]=(4-2)+[(8-8)-(2-4)]=2+2=

4.

45.【答案】与好+或加，其中CC为任意常数.

2

【解析】原微分方程变形为1n,=*2,故微分方程的通解为yy=e-Js)&[Je〃-x)d±.

Xi2dxx+CC]=1x(11,xx2ixx+CC]=xx|/xxixx+CC]=xx^xx2+CC)=1xx3+Cfa,其中CC为任意常数.

,xx22

.，比由、ddee-ddd8xxee~ddd^,,

4a6.【答案】ddx专鼾ddyy.

V…C2ZLc-eV-//nL

【解析】方程配-邮-2zz+ee"二0两边求微分，得ee-洲蜘xxyy)-2ddzz+e*ddzz=0,化简,得

发力加(一yyddxx-xxddyy)-2ddzz+ee^ddzz=0,-)yee~aiiddxx-xxee'^ddyy+(een-2)ddzz=0解得ddzz=

ddxx+(Myy.

eezz-2=赭・2

47.【答案】塔

2

【解析】浮=(3,-3,4),B。=(1,-23)£1『『，而B£XBO=G1。=

理加=7梆儿4x耽C©3—34

1-23

(-1,-5,-3),那£xB­1)2+(-5)2+(-3)2=屈.故&

么，

48.【答案】n(41n2-3).

2

【解析】令芍黑器(0W。-2兀兀,1人被^n4x^y^dy=「"如的加

22212

曲如二2耀/1)1心做如二mJln(Mild(flfl2)=7r?r(ao2Inaa|2—Jaa2,ddaa)=TTTT-4In2—TTTTJaaddaa

1i111

2nn3nn

g11=4n-^ki2-2(4-1)=47T^hrZ-2.

49.【答案】一二

2

【解析】设DD为"2+yy2=1围成的圆域内部，那么

£>(1+Y)公+M1—y2)6="[况”/"-"义孩工"]公办

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50.【答案】S^^vx)=xx

丫解析""pe»lim铲胡气b1,得收敛半径=1.那么基级数的收敛

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为(—1,1).当X苗—I时,％数I)””收敛；当9U时」级数一1发散.收基级数的收

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