2019-2021北京重点校高一（下）期中数学汇编：两角和与差的正弦、余弦、正切公式

2019-2021北京重点校高一（下）期中数学汇编

两角和与差的正弦、余弦、正切公式

一、单选题

1.（2021•北京四中高一期中）已知兀＜av9，sin（a-；）=|,则cosa的值为（）

A.至B.在C.—述D.述

10101010

2.（2021.北京.101中学高一期中）我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与-一个小正方形拼成的

一个大正方形（如图）.如果小正方形的边长为2,大正方形的边长为10,直角三角形中较小的锐角为。，则

()

R5-46

1010

-5+46D-5-46

C.

10--W-

3.（2021.北京市第五中学高一期中）已知44,%,）是单位圆上（圆心在坐标原点0）任意一点，将射线OA绕点

。逆时针旋转(到08交单位圆于点8(与,3%),则6%+4的最大值为()

A.1B.2C.y[2D.6

4.(2020•北京•首都师范大学附属中学高一期中)已知ae/?,2sina-cosa=巫，则tan(2a-f)=

24

A.—B.—7C.—D.一

347

5.(2021.北京・北大附中高一期中)下列说法错误的是()

A.3a,,使sin(a+/)=sina+sin£

B.Va,/7,sin(a+/7)sin(a-/?)=sin%-sir?4成立

C.,使cos(a+/?)=cosa+cos/?

D.弋a，B,cos(cr+cos(«-/?)=cos2a-cos2/?成立

cos2a_V2

6.（2021•北京四中高一期中）若.（吟21则cosa—sina的值为（）

14j

-也B.--C.yD.—

A.

2222

7.（2021•北京八中高一期中）在锐角中，设x=sinA-sin仇y=cosA-cos3,则的大小关系为

A.B.x>yC.D.x<y

8.（2019•北京J01中学高一期中）sinl50-cosl5。的值等于

显B.C.一也D,立

A.

2222

9.（2019•北京・101中学高一期中）函数y=sin3x+cos3x的最小正周期是

D

A.6乃B.2兀cT-f

10.（2019・北京师大附中高一期中）cos15cos45+sin15sin45等于

R近

A.D.------L.----D.1

222

二、填空题

11.（2019•北京师大附中高一期中）已知tana=；,tan/?=；,则tan（a+/?）=.

12.（2019•北京师大附中高一期中）cos（36°+a）cos（a-54°）+sin（36°+a）sin（a-54°）=.

222222

,„1„sina,-cosa,+cosa,cosCL-sina,sinCL,八斗

13.（2019・北京・101中学高一期中）x设等差数列｛4｝满足----4-------~~卢--------------=1,公差

^6（-1,0）,若当且仅当”=9时，数列｛%｝的前”项和S”取得最大值，则首项外的取值范围是.

14.（2019•北京J01中学高一期中）如图，点尸是单位圆上的一个动点，它从初始位置《（单位圆与x轴正半轴的

交点）开始沿单位圆按逆时针方向运动角a,<a<5j到达点然后继续沿单位圆逆时针方向运动?到达点巴,

4

若点2的横坐标为则COSa的值等于.

15.（2021・北京・北大附中高一期中）sin35°cos25°+cos35°cos65°=

三、解答题

16.(2019•北京市陈经纶中学高一期中)已知锐角三角形AABC1中，角A,B,C的对边分别为。，b,c.

(1)6„.求A；

cosA2cos3zcosC

(2)试比较tanA+tan4+ianC与tan4tan8•tanC的值得大小关系并给出证明；

(3)若A=f,试判断sin2Ccos28-sin28是否存在最大，最小值？若存在，请分别求出.

4

17.(2020•北京•首都师范大学附属中学高一期中)已知tana=-；,cos。=@，a,0wg,兀)

(1)求tan(a+0的值；

(2)求函数/(x)=&sin(x-a)+cos(x+0的最大值.

18.(2021•北京•北大附中高一期中)已知角a终边落在直线y=4&x上，且cosa=-9.

(1)求tana；

(2)求sin(?+a)的值；

⑶若cos(a+/)=?问0,3求夕的值.

19.(2019•北京J01中学高一期中)已知cosO=£,0G(7I,27T),求sin(0-[j以及tan(0+：)的值.

20.(2021•北京♦清华附中高一期中)如图，在四边形ABC。中，8=2,BC=不，AB=4,ZBDC=60°,

cosZ.ABC=-^-

(2)求A£).

(2021・北京・101中学高一期中)已知的内角A,B,C的对边分别为a,6,c,cosC=J,c=8,再从条件

21.

①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求:

(1M的大小;

(2)角A的大小和AABC的面积.

条件①：。=7；条件②：cos3中

参考答案

1.C

【分析】

先判断出的范围，求出cos(a-：)=-[,利用两角和的余弦公式直接求得.

【详解】

故选：C

2.D

【分析】

设出直角三角形中较短的直角边，利用勾股定理求出x的值，从而求出sinO,cos。的值，再利用两角和与差的三角

函数公式即可算出结果.

【详解】

直角三角形中较短的直角边为X,

则：/+(x+2)2=102,

解得：x=6,

.._3_4

••sin0a-5，cos0v-§，

Asin(0--)-cos(0+—)=-cosG-(cosGcos-)=~sin0-(—+1)cos0=,

26662210

故选：D.

【点睛】

本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式，诱导公式，难度不大，属于基础题.

3.A

【详解】

设4(cosa,sina),

(a+A地sina+kosa-qina」cosa+@sina

贝ij也YA+XB=\/3sina+cos

I2222

=sina+一

I6)

有力+/的最大值为1

故选A

4.B

【分析】

将条件中所给的式子的两边平方后化简得3tan2°-8tanG-3=0,解得tana后再根据两角差的正切公式求解.

【详解】

条件中的式子两边平方，得4sin2a-4sinacosa+cos%=*,

2

即3sin2a-4sinacosa=—,

3

所以3sin2cr-4sinacosafsin2a+cos2a)

2

即3tan%-8tana-3=0,

解得tana=3或tana=-g,

2tana3

所以tan2a=

l-tan2a4

tan2a-1_

故tan(2a-(------------=-7

1+tan2a

故选B.

【点睛】

解答本题的关键是根据条件进行适当的三角恒等变换，得到tana后再根据公式求解，考查变换能力和运算能力,

属于基础题.

5.D

【分析】

当a=/?=0时，代入检验，可判断A的正误；利用两角和差的正弦公式，化简整理，可判断B的正误；当

JF7T

=时，代入检验，可判断C的正误；令a=#=(),代入检验，可判断D的正误，即可得答案.

【详解】

对于A：当。二4=。时，sin(6r+/?)=sin0=0,sincr+sin=sin0+sin()=0,

所以加,分，使sin(a+/?)=sina+sin/?,故A正确；

对于B：因为sin(a+/?)sin(a-/?)=(sinacos力+cosasinP)(sinacos4一cosasin0)

=sin2crcos2/7-cos2orsin20=sin26z(l-sin2尸)一(1-sin2a)sin?p

=sin2a-sin2asin2/?-sin2/7+sin2asin2/?=sin2a-sin2ft,

所以X7a,/?,sin(a+p)sin(a-尸)usiYa-sii?/成立，故B正确；

11।

对于C：当a=《,/?二一三时，，cos(a+J3)=cos0=1,cosa4-cos/?=cosy+cos—+-=1,

22

所以使cos(a+/?)=cosa+cos〃，故C正确;

对于D：取a=/?=0,则cos(a+/7)cos(a-/?)=cos()-cosO=l,

cos2a-cos2=cos20-cos20=0,Rtcos(a+/?)cos(a-/7)*cos2cr-cos2/7,故D错误.

故选：D

6.C

【分析】

根据余弦的二倍角公式及正弦的和差公式即可求解.

【详解】

cos2a_\[2cos2a-sin2a

因为-77t5-V.所以力72-V>

sin|a+：|——cosa+——sina

I4J22

即cosa-sina=g.

故选：C.

7.C

【详解】

试题分析：在锐角&1BC中，90°<A+S<180°.

则y-x=cosA-cosB-sinA-sin8=cos(A+8)<0,所以x>y.故选C.

考点：三角恒等变换

点评：本题应用公式：cos(a+/?)=cosa-cos-sina-sin/?

8.C

【分析】

因为15"=45°-30°,所以可以运用两角差的正弦公式、余弦公式，求出sin150-cos15°的值.

【详解】

sin15°-cos15°=sin(45°-30°)-cos(45°-30°),

sin15°-cos15°=sin45°cos300-cos450sin300-(cos450cos300+sin45°sin300),

,,

=>sinl50-cosl5=^x^-^x-!-^x^-^xi=-^>故本题选C

222222222

【点睛】

本题考查了两角差的正弦公式、余弦公式、以及特殊角的三角函数值.其时本题还可以这样解:

sin15°-cos15°=-^/(sin15°-cosl50)2=-Vsin215°-2sinl5°cosl5°+cos2150，

________R

=>sinl5°-cosl5°=-Jl-sin30°=------.

2

9.C

【分析】

逆用两角和的正弦公式，把函数的解析式化为正弦型函数解式，利用最小正周期公式求出最小正周期.

【详解】

y=sin3x+cos3xny=5/2(—sin3x+—cos3x)=-Jlsin(3x+—),

r-23£

故本题选c.

本题考查了逆用两角和的正弦公式、以及最小正周期公式，熟练掌握公式的变形是解题的关键.

10.C

【分析】

直接逆用两角差的余弦公式，结合特殊角的三角函数求解即可.

【详解】

cos15cos45+sin15sin45

=cos(45"-15')=cos30'=*,故选C.

【点睛】

本题主要考查两角差的余弦公式与特殊角的三角函数，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题,

11Z

■11

【分析】

直接利用两角和的正切公式求解即可.

【详解】

因为tana=tan/?=一,

tana+tan/7

所以tan(a+£)=

1-tanatanp

1]_

4

=74Tq，故答案为J

1----X一

34

【点睛】

本题主要考查两角和的正切公式，意在考查对基本公式的掌握与运用，属于基础题.

12.0；

【分析】

直接逆用两角差的余弦公式以及特殊角的三角函数求解即可.

【详解】

cos(36+c)cos(a-54°)+sin(36+a)sin(a-54)

=cos［(36"+a)-(a-54°)］

=cos90=0,故答案为0.

【点睛】

本题主要考查两角差的余弦公式以及特殊角的三角函数，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题，

13.卜制

【分析】

由同角三角函数关系，平方差公式、逆用两角和差的正弦公式、等差数列的性质，可以把已知等式

222222

sinaA-cosa4+cosaAcosa&-sina4sin4_

•~/r=］，

sin(6f5+%)

化简为sin(-44)=1,根据可以求出d的值，利用等差数列前〃项和公式和二次函数的性质，得到对称

轴所在范围，然后求出首项《的取值范围.

【详解】

222222

sina4-cosa4+cosa4cos%-sina4sin4

sin(%+%)

2222

_sina4(l-sin(?8)-costz4(l-cos4)

sin(%+%)

.22-•2

_sina4cos--cosa4-sin%

sin(«5+a1)

_(sina4-cos-cosa4-sin4)•(sinci4cos%+cosa4•sin%)

sinQ+%)

=si"4］：；：：：+%).，数列｛%｝是等差数列,所以4+%=为+%,a4-a^-4d,所以有sin(Td)=1,而

de(-l,0),所以T"e(0,4),因此-4"=g="=,

28

cn(n-1).n(n-V)TIn2(乃、4小心、】164+)〜叩~—«*小、心口广、”-

S=naH-----d=na------x~~+77\,19对称轴为：n~------，由题思可知I：当且仅当k=9

nA2｝28loVioj2万

时，数列｛为｝的前〃项和S”取得最大值，

所以8.5〈当上工＜9.5,解得乃＜4＜苫］，因此首项4的取值范围是1万提万］.

2%8\o7

【点睛】

本题考查了同角三角函数关系，两角和差的正弦公式，考查了等差数列的性质、前”项和公式，以及前〃项和S,,取

得最大值问题，考查了数学运算能力.

14.山

10

【分析】

4

由三角函数的定义可以求出乙，判断点6的位置，由已知点6的横坐标为利用同角的三角函数关系，可以求

TT4

出点丹的纵坐标，可以得到cos(a+5)=-],

jr3

sin(a+1)=|,再利用二角差的余弦公式求出cos。的值.

【详解】

由三角函数的定义可知：点A的坐标为(cos(a+f),sin(a+g)),因为0<a<g,所以gva+gvy,所以点B

332336

4

在第二象限，已知点鸟的横坐标为即

cos(a+y)=—,所以sin(a+?)=J-cos2(a+?)=g,因此有

r.兀、兀、,兀、n.,兀、.兀413G35/3-4

cosa=cos(tzH■—)----1=cos(crH——)cos—■Fsin(aH■一)sin—=——x—+—x——=----------.

333333525210

【点睛】

本题考查了三角函数定义、同角的三角函数关系、以及二角差的余弦公式，考查了数学运算能力.

15.且

2

【分析】

利用诱导公式将原式化为sin35Ocos25o+cos35Osin25。，再根据两角和得正弦公式即可得出答案.

【详解】

解：sin35ocos250+cos35ocos65°

=sin35°cos25°+cos35°sin25°

=sin(35°+25°)

=sin60°=—•

2

故答案为：1也.

2

16.(1)arctan且；(2)相等，证明见解析；(3)有最大值-。，没有最小值.

24

【分析】

jr一A

(1)先求出B=C,8=—^—,再求出tanA的值得解；(2)对tanA+tanB+ianC化简即得解；(3)化简得

sin2C-cos2B-sin2B=sin22B-sin-1,再利用二次函数求函数的最值得解.

【详解】

/.、上日在,日sinAsin6sinC.1„1-

⑴由题得,=i^=WtanA=,an8=5tanC

7T-A

所以B=C,B=

2

7T-A_]

Grr|tanA=ltan

所以222tan人'

2

cA

2tan—,tan3包，」anA=@W更

所以2

1-tan2-2tan-2522

22

/c、，c厂c/,八、4八tanA+tan8

(2)tanA+tanB+tanC=tanA4+tanB+tanO-A-B)=tanA+tanB-------------

1-tanA-tanB

1、/4c、-tanA-tanB,,八、，八八

=(tanA+tanB)(l-)=(tanA+tanB)--------------=tan(A+8)•(—tanA)-tanB

1-tanA-tanB1-tanA-tanB

=tanAtanBtanC.

(3)若A=巴,所以C=—--B,sin2C-cos2B-sin2B=sin2(--B)-cos2B-sin2B=-cos22B-sinIB=sin22B-sin2B-1,

444

37r37r

因为0<3<亍，...0<23<^,「,一I<sin23Wl.

设/=sin2B,tG(-1,1],.-./(z)=t2-t-\,

所以时,/⑺取最大值-1没有最小直

所以sin2C.8s2岭in2B有最大值q,没有最小值.

【点睛】

本题主要考查正弦定理的应用，考查三角恒等变换，考查函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水

平.

17.(1)1;(2)/(X)的最大值为百.

【详解】

(1)由cos/=坐，尸£((),万)

得tan0=2,sin[}=~~~

」+2

十口zmlana+tan£31

于是tan(a+£)=^；----------4=3^=1

1-tanatanp1+4

3

(2)因为tana=£(0,1)

3

13

同T以sinex=~,cosex=—f^=

V10V10

/(x)=-^sinx-^Cosx+^cosx-^Sinx

5555

=-5/5sinx

/(x)的最大值为石.

18.⑴46；(2)_近+4正(3)£

143

【分析】

(1)用同角三角函数的基本关系求解即可；

(2)用正弦的和角公式求解即可；

(3)先用正弦的差角公式求出sin/?,再由角的范围确定角即可

【详解】

(1)由题意可知，角a位于第三象限，且cosa=-；,

所以sina=-Jl-cos2a,

7

所以tana=型里=4A/J.

cosa

/-、•(71、•万〃.

(2)sin—+a=sin—cosa+cos—sina

(4J44

=应羯[4右)立+4#

(3)Qa位于第三象限，cos(a+0=g,

，a+"位于第四象限，且sin(a+万)=-^l-cos2(a+^)=一篝,

sin/3=sin[(a+£)-a]=sin(a+/?)cosa-cos(ar+/?)sina

又匹(0,3

所以尸=?

5G+127

1in9.------------;—

2617

【分析】

根据同角三角函数，求出sin。，tan。；再利用两角和差公式求解.

【详解】

..•cos6=j^>0,夕£(兀,2瓦)。6[言必万)

/.sin0=-5/l-cos20=---,tanO=‘皿°=-A

13cos012

TVy/312I56+12

.,.sinI0-—I=sin^cos--cos^sin—=X-----------------X—=------------------------

666213226

tan"+tan--+1

(八717

tan0+—4二12

I4JI7万

1-tan0tan—1-

4

【点睛】

本题考查同角三角函数和两角和差公式，解决此类问题要注意在求解同角三角函数值时，角所处的范围会影响到函

数值的正负.

20.(1)叵;(2)713.

7

【分析】

(1)在△58中，结合正弦定理即可求出结果;

(2)结合两角差的余弦公式求出cos在△3C。中利用余弦定理求出5。的长度，进而在中利用余弦

定理即可求出结果.

【详解】

连接BD,

(1)8=2,BC=5,AB=4,ZBZ)C=60°,cosZABC=--,

14

2

CDBC

由正弦定理得，即sin/DBC一耳，

s