2022年三省三校高三第一次联合模拟考试理科

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2022年三省三校高三第一次联合模拟考试理科

一、选择题((每小题5分，共60分))

1.复数z满足(l+i>z=2-4i,则复数z=()

A.-2+zB.-2-zC.l-2zD.2+i

【答案】B

7-4；

【解析】(1+Z)2Z=2-4Z>2i-z-2-4i,即2=—=故选B.

2.已知集合"=3y=2、,x>1},N={x|y=J2x—,则"UN等于()

A.0B.{2}C.[l,+oo)D.[0,+oo)

【答案】D

【解析】x>1,»=2、>2]=2,M={y\y>2],-：2x-x2>0,0<x<2,

N={x|04x42},因此MUN=[0,+8),故选D.

3.下面是某城市某日在不同观测点对细颗粒物(PM25)的观测值：

396275268225168166176173188168141157若在此组数据

中增加一个比现有的最大值大25的数据,下列数字特征没有改变的是()

A.极差B.中位数C.众数D.平均数

[答案]C

【解析】根据题意，若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，即最大值变为

396+25=421,极差为最大值与最小值的差,要发生改变,加入数据前，中位数为；(173+176)=174.5,

加入数据后，中位数为176,发生改变,众数为数据中出现次数最多的数,不会改变，平均数体现数据的整体

水平,要发生改变.故选C.

4.设加，〃是两条不同的直线，a,夕,了是三个不同的平面，下列四个命题中正确的是()

A.若m//a,〃//a,则加//〃B.若aJL/，Aly,则a//4

C.若a//"mua,〃//力，则加//〃D.若a///7,///y,m_La,则加17

【答案】D

【解析】A.若加〃a,〃〃a,则两直线平行或相交或异面，故A错误；B.若a_Ly,夕ly,a与Q平行

或相交,故B错误；。若all/3,加ua,nllft,则加，〃平行或异面,故c错误；D.若a〃八例优则a〃八

若团_La,加故D正确.故选D.

试卷

5.等差数列｛an｝的前〃项和为S，已知4=1。，$8=44,贝1JS5=()

911

A.3B.-C.5D.—

22

【答案】C

a,+5d-\0

【解析】设等差数列｛4｝的公差为乩因为4=10,$8=44,所以18q+28d=44,解得4=3'

/=一5所以S5=5.+101=-25+30=5,故选C.

6.直线/:x+y+加=0与圆C：(x+l)2+(y—l)2=4交于46两点，若MB|=2,则加的值为()

A.+V2B.±2C.±76D.±272

【答案】C

【解析】因为直线/：x+y+m=0与圆C:(x+l)2+(y—l)2=4交于48两点，圆心(—1,1)到直线/

的距离d=I渭间=野，：.(号+/=,，即1+娥=4,解得加=±卡，故选c

7.已知则“H,w0”的一个必要条件是()

A.B.(72+Z>20C.a3+630D.—十7工0

ab

【答案】B

【解析】对于A,令。=1/二一1,推不出a+bwO,故A错误，对于B,由“abwO”得：awO且660,

故/+/。0，反之，若+/。0,推不出。6。0,比如。=1,6=0,故/+/工0是。6¥0的必要不

充分条件，故B正确，对于C,令。=1,6=-1,推不出/十/工0,故C错误，对于D,令4=1,6=-1,推

不出L+'HO,故D错误，故选B.

ab

8.已知。=10865，6=噢7痣，c=6°L则（）

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.a<b<c

【答案】B

【解析】•；a=log6V7=|log67,且1=log66<log67<log636=2，；.1<|log67<1,即

-<a<—,/>=-log6<-log7=-,b<-,又；c=6°/>6°=1>■-b<a<c,故选B.

33373733

9.已知某个函数的图像如图所示，则下列解析式中与此图像最为符合的是（）

gm2

ln|X11

A./(x)=~

X

B.

小)=三2

C.

|x|-l

D.

x(x-l)

【答案】A

x—1w0

【解析】对于B选项，函数/(%)=1n万可有意义，则，.।，解得xw0且xwI且xw2,故不

满足,错误；对于C选项，函数/(x)=有意义,则国-1#0,解得xH±1,故不满足,错误；对于D选

项，当xe(O,l)时，/(x)=x；：2])>°，故图像不满足,错误•故根据排除法得/(力=曲刃与此图

像最为符合.故选:A

10.已知数列｛4｝满足对任意的正整数〃，都有/+为+…+%-。“+|=0,其中卬=3,则数列｛4｝的前

2022项和是()

202202l

A.3x22°22_3B.3X2202,+1C.3x2,D.3x2+2

【答案】C

【解析】不妨设数列｛。.｝的前〃项和为S”，故由题可得S.=a"M，故当〃N2时，S.T=%,则

an=an+l-an,即an+l=2an,又当〃=1时，4=%=3,故该数列at=a2=3,且从第二项起是公比为

2的等比数列.故%22=3+3(1—2如)=3+3(2202,-1)=3X2202',故选C.

1—2

11.如图是一个简单几何体的三视图，若加+〃=4,则该几何体外接球表面积的最小值为()

试卷

mam

A.4兀B.12万C.20〃D.24%

【答案】B

【解析】由题意可知几何体的是三棱锥，是四棱柱的一部分，如图，三棱锥的外接球与四棱柱的

外接球相同，该几何体外接球表面积的最小值就是外接球的半径取得最小值，即直径取得最小

值，直径为AD,则AD=V22+w2+n2>V12=2^31当且仅当m=n=2时取等号,

所以该几何体外接球表面积的最小值为:4万•(6>=12%,故选B.

C

2222

12.已知a>b>0,鸟是双曲线G：0—4=1的两个焦点，若点P为椭圆。2：^+斗=1上的动点，

当尸为椭圆的短轴端点时，乙取最小值,则椭圆G离心率的取值范围为()

A.(0,争B.g,l)c.(0,辛］D.谆」)

【答案】A

【解析】假设点尸在x轴上方，设P(acosO/sin。),则8e(0,幻，由已知得

22

片(_J7寿,0),F2(yla+b,0)设直线2片的倾斜角为a,直线P鸟的倾斜角为Q,

.bsinOn.bs\n0

tana=kPF=---------/,tan,=kPF=---------/,

'acos0+\la2?acos0-y/a2+62

gm4

22

222b^a+b

tany5-tana2b\la+bsin0-

tanZFPF=tan(夕-a)=T；一；，由于P

}21+tanatanft62+(a2-/>2)sin2^----+(a2-b2)sin0

sin，

为椭圆的短轴端点时，3吟,/々P鸟取最小值，即tan/月2鸟取最小值，此时sin8=1,：函数在

,即解得0<e«也，即椭圆G离心率的取值范

(0,）上单调递减，14

2

围为（0,Y2],故选A.

二、填空题（（每小题5分，共20分））

13.已知向量。=（一3,4）,方=22，点4的坐标为（3,-4）,则点B的坐标为.

【答案】（-3,4）

【解析】设点B（x,y）,因为荔=2、则（x-3,歹+4）=（-6,8）,解得x=-3/=4,故点8（-3,4）,故答

案为（13,4）.

14.对称性是数学美的重要特征，是数学家追求的目标，也是数学发现与创造中的重要的美学因素.著名德

国数学家和物理学家魏尔说：”美和对称紧密相连”.现用随机模拟的方法来估算对称蝴蝶（如图中阴影区

域所示）的面积，做一个边长为2dm的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，已知恰

有395个点落在阴影区域内，据此可估计图中对称蝴蝶的面积是dm2.

【答案】1.58

【解析】先明确是几何概型中的面积类型,通过试验求得概率,再求得正方形面积,再由几何概

型概率公式建立方程求解，由题意可知，正方形面积为2x2=4,设图中对称蝴蝶的面积为S,则

3959395x4

P=-=士，即S=上二=1.58,所以可估计图中对称蝴蝶的面积是1.58dm2,故答案为：1.58.

100041000

15.在棱长为2的正方体ABCD-A^C^的侧面4BB&内有一动点尸到直线A国与直线6。的距离

相等,则在侧面4BBM上动点p的轨迹与棱AB,B片所围成的图形面积是

【答案】-

3

试卷

【解析】以点4为坐标原点，43、AD、所在直线分别为X、y.Z轴建立如下图所示的空间直角

坐标系,设点P（X,O,Z）,则owXV2,0«zW2,则点P到直线44的距离为

2-z,因为8C_L平面44蜴3,8Pu平面44蜴3,所以8C_L8P,所以，点尸到直线6。的距离为

|加卜J（x—2『+z2,由已知可得J（x—2『+z2=2—z,化简可得z=x—亍,当x=2时，z=l,即

点P的轨迹交棱BBy于点（2,0,1）,因此,在侧面上动点p的轨迹与棱AB、B片所围成的图形面

积是j"3匠/*H44

（）=­.故答案为：一•

133

16.已知函数/（x）=ax-|sinx|,xw[0,2%），aGR恰有3个零点玉,工2，工3,且王＜/＜七，有下列结

2

论:口「2%2=再+工3忍公2一sin》？=0;③2%3-（1+x；）sin2x3=0;④sinx?sinx?+x2x3cos刍=0.其

中正确结论的序号为.（填写所有正确结论的序号）

【答案】②③④

TT

【解析】作出图形，分析可知]＜、2＜万，乃＜》3＜2%，且直线，=办与曲线g（x）=|sinx|相切于点

ax2=sinx2

（X3，-sinx3）,可得出＜平=-sinx3,利用反证法结合二倍角公式可判断①;由已知条件可判断②;利用二

a=-cosx3

倍角的正弦公式和弦化切可判断③；利用已知条件可判断④.如下图所示：

因为/（0）=0，贝IJ玉=0,由图可知

<x

~2<%，乃<再<2%,贝ijsinx2>0,且直线V=⑪与曲线g（x）=|sinxI相切于点（x3,-sin再）,对

ax2-sinx2

于①若2%2=须+£，即*3=2工2，由题意可得\<^3=-sinx3,所以，一sinZx?=2sinx2,即

x3=2X2

-2sinx2cosx2=2sinx2,解得cosx2=-1,因为一＜工2＜%，贝1Jcosx?=T不成立，①错；对于②,因

gm6

为5<X2<乃，则=1sin/1=sin々，②对；对于③，当万<x<2%时，g(x)=|sinx|=-sinx,

,far,=-sinx,

g(x)=-cosx,由题意可得〈一，可得X3=tanx3,所以，

a=—cosx3

sin2X3=2?"七3：3=「臂七彳=，所以2专_q+x；)sin2x3=0,③对；对于④，由上可

333

sinx3+cosx3tanx3+1x；+l

ax2=sinx2

2

知"ax3=-sinx3,所以ax2x3=-sinx2sinx3,因此，

a=-cosx3

22

sinx2sinx3+ax2x3=sinx2sinx3+x1x3cos马=0,④对,故答案为②

三、解答题（（每小题12分，共60分））

17.第七次全国人口普查数据显示，我国60岁及60岁以上人口已达2.64亿，预计“十四五”期间这一数

字将突破3亿,我国将从轻度老龄化进入中度老龄化阶段.为了调查某地区老年人生活幸福指数,某兴趣小

组在该地区随机抽取40位老人（其中男性20人，女性20人），进行幸福指数调查，规定幸福指数越高老年

生活越幸福,幸福指数大于或等于50的老人为老年生活非常幸福,反之即为一般幸福.调查所得数据的茎

男性老人女性老人

89751

98234

5973131558

87542412458

721511789

46256

73

依据上述样本数据的茎叶图，分析此样本中男性老人和女性老人相比哪个幸福指数相对更高，并说明理由

（可以不计算说明）；（2）请完成下列2x2列联表,并判断能否有90%的把握认为老年人幸福指数与性别有

一般幸福非常幸福合计

男性20

女性20

合计40

n(ad-be)2

其中n=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

试卷

20.150.100.050.025

P(K>k0)

2.0722.7063.8415.024

【答案】见解析

【解析】从茎叶图观察分析得，女性幸福指数有65%在茎4,5,6上,中位数是46.5男性幸福指数有

65%在茎3,4,5上，中位数是38所以，女性的幸福指数相对较高.⑵

一般幸福非常幸福合计

男性16420

女性11920

合计271340

K2=4°X(16x9~llx4)2=—«2.849>2,706,所以，有90%的把握认为老年人幸福指数与性别

27x13x20x20351

有关.

18.在A48。中，内角所对的边分别是a,b,c,已知a-/)cosC=X3csin8,角C的内角平分线

3

与边力8交于点。.⑴求角3的大小；⑵记ABC。，的面积分别为S“S2,在①c=2,

b=②50“=迪，b=J7,Z>C这两个条件中任选一个作为已知，求今的值.

432

【答案】见解析

【解析】⑴丁a-bcosC=^-cs\nB,由正弦定理，sin力-sin8cosc=—^-sinCsinB,

33

%+8+C="，sin(5+C)-sinBcosC=cos5sinC=-^-sinCsinB-esinC^O,••tanB=G,又

B£(0,万)，.•・8=(⑵•.・角。的内角平分线与边43交于点。，若选择①C=2,b=5由

「bTTIT/

-r-=-r—及B=-,得sinC=l「•.Ce(0,%),C=-,••=ylc2-b2=1，

sinCsin532a

S.BCD：S“CD=BD:AD=BC:AC=a:b=卜也，'合与.若选择②凡此=乎，办S

।3.几

222

ShABC=—acsinB=—V3,5=y,ac=3,又b=a+c-laccosB.b-\/l,5=y

gm8

==

7=(。+c)2—3ac••Q+C=4,**cic3,tz+c4,又4>C)•,a>c,••Q=3,C=1••

.S\3币

S:S=BD:AD=BC:AC=a:b=3:V7,.•----------^3^-----------------

tkROcLnUA/AfCLn/'

S27

19.如图，在三棱柱48。一44G中，侧面/ICC/是矩形，ACLAB,48=44=2,/C=3,

/448=120。，瓦E分别为棱力圈，6。的中点，G为线段C尸的中点.⑴证明：4G//平面2所；(2)

求二面角A-EF-B的余弦值.

【答案】见解析

BF

【解析I(1)证：连48交力后于点〃，连板，・・•厂为8。的中点，G为CF的中心，・・・乌=2,

FG

1…BMBA\BFBM…

A[E//BA,A\E=—BA,A^.EM0°\BAM,——=——=2/.——=,/.FM//A.G,

24例4EFGMA}

4G(Z平面/砂，五A/u平面/砂，4G//平面力砂⑵,•・Z51J1J=60°,AAX=2,4E=T,

AE=出,/AEA\=90。，•・,AB//A}Blf「・14后以力为原点,分别以力民力瓦力。为x/,z轴，建

系A-xyz£(0,73,0),8(2,0,0),C(0,0,3),F(l,0,-),7E=(0,X/3,0),AF=(l,0,-),

3m-AE=s[3y=0

£月=(2,-百,0),而=(一1,0,：),设平面/防的法向量加=(》,歹*),{_____.3，令z=2,

2m-AF=x-v—z=0

2

〃•丽-2x-y/3y=0

____3，令y=百，则〃=(3,百,1)

则m=(-3,0,2)设平面BEF的法向量〃=(x,y,z)

n-BF=-x+-z=02

2

9.

一一万+2V13

cos<m,n>=-----,--7-又二面角力一切—8是锐角，因此,二面角4一—8的余弦值

屈F

试卷

20.已知椭圆C：二+/=1,点尸为椭圆。上非顶点的动点，点4,4分别为椭圆。的左、右顶点,过

4,4分别作41PA„l21PA2,直线/”（相交于点G,连接OG（O为坐标原点），线段OG与椭圆。交

于点0.若直线O尸，0。的斜率分别为匕，左2・（1）求口的值；（2）求AP。。面积的最大值.

【答案】见解析

【解析】⑴4（一2,0）,4（2,0）,设尸（%,%）（%#0,%。0）.直线4的方程为：y=一血土Z（x+2）

y。

y=_Xo+2(x+2)

x—2‘°>G(-x,-4^),”|=§，~~~>

直线4的方程为：^=--一（x-2）?00

%y=_%z£q_2)0。

1为

iy=lc,x

⑵由⑴知：设直线。尸的方程：y=4x,直线00的方程：丁=4公：＜,।得.

24X2+4/=4

22k____2

(4#+[*=4,由对称性，不妨设Xp>0,p{I---，r'-'),IOP1="1+k；〃万-,

~r1-r1,4叫+1

y=4%1X由⑴知‘人,%异号，二•°（品7,号7）

Q至iJy=k、x的距离

x2+4y2=4

|6占|

71+^764^+1

2夕的吟叼忌J+黑后+1=心；：1黑+1

(%+1)('6%+1)=62564+68+!-2564+932,二.邑小|,当且仅当占=±：取

117r21"r

_3

，,(S“OQ)max=g

gm10

21.已知函数/(x)=，—Flnx(其中e是自然对数的底数).⑴当左=1时，证明：/(x)>2；⑵⑴当

2

xe[l,+oo)时，/(x)>云恒成立，求正整数上的取值集合；(ii)证明：e"+「ln(〃!)>2上々〃eN*).参

2

考数据：In2*0.6931,In3仪1.0986,In5。1.6094

【答案】见解析

【解析】(1)左=1时，/(x)=/-lnx(方法一)/'(x)=e'—L在区间(0,+oo)上单调递增，：

X

/'(；)=&_2<°，/r)=e_l〉0,.•.存在使得/'(%)=0，即*=当xe(0,x0)时,

/'(x)<0,则/(x)在(0,%)上单调递减，当X€(X0,+OO)时，/'(x)>0,则/(x)在(%,+0。)上单调递增

310x

/(^)min=/(^0)=e-Inx0=—+x0>2f(x)>2(方法二)设(p(x)=e-x-\,则

xo

(p'(x)=ex-\,当x>0时，”(x)>0；当x<0时，/(x)<0，e(x)在区间(一8,0)上单调递减，(0,E)

上单调递增./(x)N火0)=0,即e、Nx+l(当且仅当x=0时取等号)，；•xNln(x+l)(x>-l)原lJ

x-l>lnx(x>0),即—InxN-当且仅当x=l时取等号)因上述两个不等式等号不同时取到，，

ex-lnx>x+l-(x-l)/(x)>2.(2)(i)由已知，左</(l)=e,且左为正整数，，左=1或左=2,①

k=\时，令g(x)=ex-\nx-x,■-g\x)=ex---\在区间［l,+oo)上单调递增，

X

g'(x)>g'(l)=e—2>0g(x)在区间［L+OO)上单调递增，g(x)>g(l)=e-l>0,即/(x)>x恒

成立.②左=2时，令〃(x)=，—41nx—2x”(x)=ex—^-2在区间［1,+8)上单调递增，:

x

l(g)=)_g<0,〃'⑵=e2—4>0,•・・存在芭e(|,2),使得"5)=0,当xe(|,xj时，

3

“(不)<0,则h(x)区间(pxj上单调递减，(方法一)

333381a12

A(x)</z(-)=e2-41n--3=e2-ln一一3<e2-ln5-3<2.722-1.6-3=2.722-4.6<0(方法二)

2216

12

h(x)<h-=e2-41n—-3=e2-4(ln3-In2)-3<e2-4(1.09-0.70)-3<2.722-4.56<0从而

\2y2

不满足/(x)>云恒成立.故左。2.综上，正整数上的取值集合为{1}.(ii)(方法一)由⑴知，攵=1时,

/(x)=-Inx>xx=〃(〃wN*),贝IJen-Inn>n,•二e+/+…+-ln(〃!)>,(〃+D.・.

试卷

n+lfln

£(£zJ2,|n(n!)>^±12e>—且e-\>0，-e">e(e-l)>—(e-l)」•

e-12e-\e-1

2

ew<1>~^—[en-1)十"(〃£N*)(方法二):设加(x)=e'-ex,m'(工)=。"一£当

e-12

x

XG(-OO,1),m\x)<Oym(x)在(一8,1)上递减，在(1,+QO)上递增，皿》濡=皿1)=0,e>ex>

x223232

ehetex>—,」•ex+,>—令x=〃(〃eN‘)，en+l>—>2w2设〃(x)=Inx—x-1,

2444

1]—r

〃'(x)=-1=----〃(x)在(0,1)上递增，在(L+8)上递减，「.〃(x)111ax=〃⑴=0「.lnx〈x-l<x,令

XX

x=n(xeN*),lnn<n二

222

en+,-