机电控制工程基础课件：控制系统的时域分析

控制系统的时域分析3.1典型输入信号与系统性能指标3.2一阶系统的时间响应3.3二阶系统的时间响应3.4高阶系统的时间响应习题

3.1典型输入信号与系统性能指标

3.1.1典型输入信号典型输入信号一般应具备两个条件:一是信号的数学表达式要简单,以便于数学上的分析和处理;二是这些信号易于在实验室获得,以便由实验来验证控制系统的设计结果。常用的典型输入信号有阶跃函数、斜坡(速度)函数、抛物线(加速度)函数、脉冲函数和正弦函数,如表3－1所示。

3.1.2过渡过程与稳态过程

任何一个实际控制系统的时间响应,都由过渡过程和稳态过程两部分组成。

(1)过渡过程:系统从刚加入输入信号到系统输出量达到稳态值前的响应过程,称为过渡过程,又叫动态过程。

(2)稳态过程:时间趋于无穷时的响应过程称为稳态过程。稳态过程表征系统输出量最终复现输入量的程度,用稳态性能描述。

由此可见,控制系统在典型输入信号作用下的性能指标,通常由动态性能和稳态性能两部分组成。

3.1.3控制系统的时域性能指标

任何一个反馈控制系统的工作必须是稳定的,这是对控制系统提出的最基本要求。因此,只有当动态过程收敛时,研究动态性能才有意义。除稳定要求外,系统还应在阻尼程度、对输入信号的反应速度以及控制精度等方面满足一定的要求。

通常在阶跃函数作用下,测定或计算系统的动态性能。

图3－1是某二阶系统在单位阶跃函数作用下的时间响应,即单位阶跃响应。c(输出,r(t)表示输入。为了便于分析和比较,假定系统在单位阶跃输入信号作用前处于静止状态,而且输出量及各阶导数均等于零。对于大多数控制系统来说,这种假设是符合实际情况的。描述系统性能的指标通常为:

(1)延迟时间td:单位阶跃响应到达其稳态值的50%所需的时间。

(2)上升时间tr:响应从其稳态值的10%上升到90%所需的时间。

(3)峰值时间tp:响应曲线到达第一个峰值所需要的时间。

(4)超调量Mp:响应曲线上超出稳态希望值的最大偏离量与稳态希望值之比,通常用百分数表示,即

式中,c(tp)为响应曲线的峰值;c(∞)为稳态希望值,图3－1中,c(∞)=1。

(5)调整时间ts:理论上,系统的输出量完全达到稳定状态需要无限长的时间。实际工作中允许输出量有一个误差范围,系统的输出量进入这一范围就认为系统进入了稳定状态。在响应曲线的稳态希望值附近取±Δ(一般为0.05或0.02)作为误差带,响应曲线达到并不再超出误差带范围所需要的时间称为调整时间。

(6)稳态误差ess(t):表示系统进入稳态后,输出量的希望值与实际值之差。如图3－1所示,输出量的希望值为1,则稳态误差为

式中,c(∞)为输出量在稳定状态下的实际值。图3－1二阶系统典型单位阶跃响应

上述六项性能指标中,延迟时间td、上升时间tr和峰值时间tp均表征系统响应初始阶段的快慢;调整时间t

s表示系统动态过程持续的时间,从总体上反映系统的快速性;超调量MP反映了系统响应过程的平稳性,即稳定程度;稳态误差e

ss(t)是系统控制精度的量度。

3.2一阶系统的时间响应

3.2.1一阶系统的数学模型凡是可以用一阶微分方程描述的系统都称为一阶系统。一阶系统的传递函数的分母多项式s的阶次是1。如图3－2(a)所示的由R和C组成的四端网络,其动态特性由下列一阶微分方程描述:

在初始条件为零的情况下,求得该网络的传递函数为

由此可见,图3－2(a)的RC四端网络是一阶系统。可以证明室温调节系统、恒温箱即水位调节系统等的闭环传递函数都具有式(3－4)的形式。只是时间常数T的含义有所区别。图3－2一阶控制系统

3.2.2一阶系统的单位阶跃响应

设一阶系统的输入信号为单位阶跃函数,即r(t)=1(t),R(s)=1/s,则系统输出量的拉氏变换式(像函数)为

取C(s)的拉氏反变换即为一阶系统对单位阶跃函数的响应:

式中,1代表输出量的稳态分量,通常用ct(∞)表示;

代表输出量的瞬态分量,通常以ct(t)表示,当t趋于无穷大时,瞬态分量趋于零。

一阶系统的单位阶跃响应曲线是一条指数曲线,如图3－3所示。图3－3一阶系统的单位阶跃响应曲线

该指数曲线的特点如下:

(1)指数曲线的初始斜率为1/T,因为

这正是在单位阶跃响应实验的响应曲线上确定一阶系统时间常数的常用方法之一。

(2)根据时间常数T量度系统输出量的值:

根据这一特点,可以用实验法确定待测系统是否为一阶系统或等效于一阶系统。

(3)响应曲线是一条由零开始,按指数规律上升并最终趋于1的曲线,具有非振荡特征,故称为非周期响应,根据动态性能指标的定义可求得:调整时间ts=3T;延迟时间td=0.69T;上升时间tr=2.20T;峰值时间和超调量不存在。可见时间常数T反映了一阶系统的固有特性,其值越小,系统的惯性越小,调整时间越小,系统的响应也就越快。

一阶系统的单位阶跃响应的稳态误差为

3.2.3一阶系统的单位斜坡响应

若一阶系统的输入信号为单位斜坡函数,即r(t)=t,R(s)=1/s2,则系统输出量的拉氏变换式(像函数)为

取C(s)的拉氏反变换即为一阶系统对单位斜坡函数的响应:

式中,(t-T)代表输出量的稳态分量ct(∞);代表输出量的瞬态分量,通常以ct(t)表示,t趋于无穷大时,瞬态分量趋于零。

一阶系统的单位斜坡响应曲线如图3－4所示。图3－4一阶系统的单位斜坡响应曲线

该指数曲线的特点如下:

(1)指数曲线的初始斜率为零,因为

上式表明在初始状态下,输出速度与输入速度之间的误差最大。

(2)一阶系统的单位斜坡响应具有稳态误差,以输入信号t为输出量的希望值,则稳态误差

稳态时,系统的输入和输出的变化率完全相等,但输出信号在数值上要滞后输入信号一个时间常数T。

3.2.4一阶系统的单位脉冲响应

设一阶系统的输入信号为单位脉冲函数,即r(t)=δ(t),R(s)=1,则系统输出量的拉氏变换式(像函数)为

取C(s)的拉氏反变换即为一阶系统对单位阶跃函数的响应:

一阶系统的单位脉冲响应曲线如图3－5所示。响应曲线是一条单调下降的指数曲线输出量的初始值是1/T,当时间趋于无穷时,输出值趋于零,所以不存在稳态分量。

响应曲线的初始斜率为图3－5一阶系统的单位脉冲响应曲线

3.2.5一阶系统的三种响应之间的关系

比较一阶系统对单位脉冲、单位阶跃和单位斜坡输入信号的响应,可以发现这三种信号之间有以下关系:

即系统对输入信号导数的响应,等于系统对该输入信号响应的导数。或者说系统对输入信号积分的响应,等于系统对该输入信号响应的积分。这一重要特点适用于任意线性定常系统,但不适用于线性时变系统和非线性系统。

3.3二阶系统的时间响应

3.3.1二阶系统的数学模型凡可用二阶微分方程描述的系统,统称为二阶系统。二阶系统的响应特性常被视为一种基准,许多高阶系统在一定条件下常被近似地作为二阶系统来研究。因此讨论和分析二阶系统的响应特性具有重要意义。

例2－1~例2－4中的系统都属于二阶系统。典型的二阶系统的结构框图如图3－6所示,其闭环传递函数为

式中,ζ为系统阻尼比;ωn为系统的无阻尼固有频率。

二阶系统的响应特性完全由ζ和ω这两个特征量来确定,所以说ζ和ωn是二阶系统的重要结构参数。

图3－6二阶系统闭环传递函数的方框图

图3－7二阶系统的极点分布图

3.3.2二阶系统的单位阶跃响应

下面分别研究二阶系统在欠阻尼、无阻尼、过阻尼和临界阻尼状态下的单位阶跃响应。若系统的输入信号为单位阶跃函数,即

则二阶系统的单位阶跃响应函数的拉氏变换为

(2)当ζ=0时,系统处于无阻尼状态,系统具有两个纯虚数的共轭复数极点,即s1,s2=±jωn。

由式(3－17)可得

即二阶系统在无阻尼状态下的单位阶跃响应为一条平均值为1的等幅余弦振荡曲线,如图3－8中ζ=0时的曲线。图3－8二阶系统的单位阶跃响应

式(3－21)表明,响应的稳态分量为1,瞬态分量由两个单调衰减的指数项组成,它们随着时间的增大而趋于零,所以该系统不存在稳态误差。其响应曲线如图3－9中ζ>1的曲线所示。图3－9二阶系统过阻尼和临界阻尼下的单位阶跃响应

上述响应曲线与一阶单位阶跃响应曲线的不同之处在于:其初始速度很小,然后逐渐增大到某个值后又减小,直到趋于零,因此响应曲线在开始时有一个拐点。究其原因在于此二阶系统是由两个惯性环节串联而成的。计算表明,当ζ>1.5时,在式(3－21)的两个衰减指数项中,es2t项比es1t项衰减快得多,因次可忽略es2t,于是图3－10二阶系统单位阶跃响应的通用曲线3.3.3二阶系统响应的性能指标

图3－11Mp与ζ的关系曲线图3－12二阶系统中ωnts与ζ的关系曲线

图3－12所示的曲线不连续是由于ζ值的微小变化可引起调整时间显著变化造成的。在近似计算时,常用阻尼正弦振荡的包络线衰减到误差带之内所需的时间来确定调整时间

ts,见图3－13。图3－13二阶系统单位阶跃响应的包络线

由式(3－28)可得

5.稳态误差ess

当t→∞时,系统的希望值和输出值之间的误差就是系统的稳态误差。

由上所述,二阶系统在阶跃信号作用下的稳态误差恒为零。

当输入信号为单位斜坡函数r(t)=t时,由式(2－109)得误差信号的拉氏变换为

因此,利用终值定理可得斜坡信号作用下的稳态误差为

由式(3－30)可知,要减小斜坡响应下的稳态误差,需要增大二阶系统的ωn或减小ζ,而ζ的减小会导致超调量的增大,使系统的动态性能变差,由此可见系统的动态性能和稳态性能之间存在矛盾。

例3－1设系统的结构如图3－14所示,当有一单位阶跃信号作用于系统时,求系统的性能指标——上升时间tr、峰值时间tp、调整时间ts和超调量Mp。图3－14单位反馈控制系统框图

例3－2如图3－15(a)所示的机械系统,在质量块m上作用5N的阶跃力后,系统中的时间响应如图3－15(b)所示。试求系统的质量m、黏性阻尼系数B和弹簧的刚性系数

k的值。图3－15机械系统示意图和响应曲线

3.4高阶系统的时间响应

3.4.1高阶系统的数学模型凡是用高阶微分方程描述的系统,统称为高阶系统。严格地说,在控制系统中,大多数的控制系统都是高阶系统。设高阶系统的闭环传递函数的一般形式为

3.4.2高阶系统的单位阶跃响应

对式(3－33)取拉氏反变换,可求出系统的单位阶跃响应为

由式(3－36)可以看出系统的单位阶跃响应由闭环极点pk及系数Ak决定,Ak也与闭环零点、极点有关。闭环极点可以有实数极点和复数极点。若为复数极点,即p1,p2=σ±

jω,则式(3－36)中的瞬态分量的对应项由欧拉公式可化简为

由高阶系统的单位阶跃响应分析可以看出:

(1)高阶系统时域响应中输入控制信号极点s=0所对应的拉氏反变换A0=L-1(A0/s)为系统响应的稳态分量,传递函数的极点所对应的拉氏反变换为系统的瞬态分量

(2)如果所有闭环极点均具有负实部,则式(3－36)中

即所有的瞬态分量随着时间t的增大而衰减为零,只剩下稳态分量A0。闭环极点负实部绝对值越大,表明离虚

轴越远,响应的瞬态分量衰减越快,系统的调整时间也越短。

(3)由式(3－35)可以看出,当闭环极点pk与闭环零点zi靠得很近时,对应的系数Ak很小,Akepkt亦很小,故c(t)中的这个分量可忽略不计。我们将一对靠得很近的闭环零、极

点称为偶极子。偶极子这个概念对系统的综合设计是很有用的。设计时,可以在系统中有意识地加入适当的零点,以抵消对动态过程影响较大的不利极点,使系统的动态性能得到改善。

(4)如果系统中有一个极点(或一对共轭复数极点)距虚轴最近,且附近没有闭环零点,其他闭环极点与虚轴的距离都比该极点与虚轴的距离大5倍以上,则这种极点对系统动态性能的影响最大,起决定性的主导作用,故称其为系统的主导极点。工程上往往用主导极点估算系统的动态性能,即将系统近似地看做一阶或二阶系统。高阶系统的主导极点通常为一对复数极点。

习题

一、填空题1.所谓时域分析法,就是根据系统的()方程,以()为数学工具,直接解出系统的时间响应,然后根据响应的()及响应()来分析系统的性能。2.系统从刚加入输入信号到系统输出量达到稳态值前的响应过程,称为()过程。若一个控制系统的过渡过程是衰减的,那么系统一定是()的。

3.当变量时间趋于无穷时的响应过程称为()过程。它表征系统()量最终复现输入量的程度。

4.延迟时间td、上升时间tr和峰值时间tp均表征系统响应()阶段的快慢;调整时间ts表示系统()过程持续的时间,从总体上反映了系统的()性;超调量Mp反映了系统响应过程的()性;稳态误差ess(t)是系统()的量度。

5.时间常数T反映了一阶系统的()特性,其值越小,系统的惯性越(),调整时间越(),系统的响应也就越()。

6.输出量和输入量之间的位置差起初最大,响应曲线的斜率也最大,误差随时间的增大而减小,最终趋于零,这是()阶系统对输入信号是()的响应特性。

7.一阶系统对单位斜坡输入的响应特性是:稳态误差是()。稳态时,系统的输入和输出的变化率(),而在初始状态下,位置误差和响应曲线的斜率都等于()。一阶系统对斜坡函数的响应在原理上就有误差,只能通过减小()来减小稳态误差,不能最终消除。

8.二阶系统对单位阶跃信号的响应取决于阻尼比ζ,当ζ()时是欠阻尼,输出响应为衰减振荡;当ζ()时是过阻尼,输出响应无振荡,系统可等效为一阶系统;当ζ()时是无阻尼,输出响应为自激振荡。

9.二阶系统对单位阶跃信号响应的稳态误差(),对单位斜坡信号作用的稳态误差(),在ζ不能改变的情况下,要减小稳态误差,只能()ωn。

10.高阶系统稳定的条件是系统的闭环极