2021北京重点校高一（下）期中数学汇编：二倍角的正弦、余弦、正切公式

2021北京重点校高一（下）期中数学汇编

二倍角的正弦、余弦、正切公式

一、单选题

1.（2021.北京J01中学高一期中）函数〃x）=2sinx-cos2x在区间［0,2句上的零点个数为（）

A.2B.3C.4D.5

2.（2021.北京.101中学高一期中）下列结论正确的是（）

A.若4+/=%，贝（jtana+tan夕+tany=tanatan尸•tany

B.设。«乃,2万），则卢孚三Ls呜

C.设努<©<3乃，且|cosq=：,那么Sing的值为正

2〉，5

D.存在实数a,B,使等式sin(a+0=sina+sin/成立

cos2aV2

3.（2021•北京四中高一期中）若2，贝！Jcosa-sina的值为（）

V2

A.BC.

~T-42D-T

3-sin50

4.（2021•北京四中高一期中）()

2-cos220

A.C.D.2

2B-T2

已知sina-cosa=*,则sin2a=()

5.（2021•北京・北大附中高一期中）

4

9D

A.-W

要得到函数（71的图象，只需把函数的图象

6.（2021•北京・北大附中高一期中）y=4sinx++y=2sin2x

6

()

A.向左平移？个单位B.向右移?个单位

C.向左平移］个单位D.向右平移1个单位

OO

二、双空题

7.（2021•北京.北大附中高一期中）已知点P（2,3）在a的终边上，贝ljtanc=.tan2“=

三、填空题

8.（2021•北京八中高一期中）已知sina-cosa=&，则sin2a=.

四、解答题

9.(2021.北京八中高一期中)对于定义域分别是。/,%的函数y=/(x),y=g(x)规定：函数

f(x)-g(x),xeDfS.xe

h(x)="f(x),xeDfS.x£D^,

g(x),尤生。/且xeOg.

(I)若函数f(x)=」：,g(x)=sinx,xwR,写出函数〃(x)的解析式并求函数〃(x)值域；

sinx-1

(H)若g(x)=/(x+a),其中a是常数，且ae。%],请设计一个定义域为R的函数y=/(x)及一个a的值，使得

/z(x)=cos4x,并予以证明.

10.(2021•北京・北师大实验中学高一期中)设函数/(x)=2sin3cos]+2Gcos2]-百(xeR).

(1)求函数/(x)的最小正周期和最大值，并指出取得最大值时x的值；

(2)将函数/")图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求g(x)表达式和单

调递增区间.

11.(2021•北京八中高一期中)已知函数/(x)=〃sin(2x-£|-2cos[x+£|(a>0),且满足.

(I)求函数/(X)的解析式.

(II)若关于X的方程〃x)=l在区间[0,〃”上有两个不同解，求实数，〃的取值范围.

从①/(X)的最大值为1,②f(x)的图象与直线y=-3的两个相邻交点的距离等于乃，③“X)的图象过点(亲0),这三

个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答.

12.(2021.北京.清华附中高一期中)已知函数/(x)=K(sinx+cosx)2-(l-Zsin^x).

(1)求/(x)的最小正周期；

(2)求/(x)在上的最大值和最小值，并求取得最值时相应的X的值.

44

13.(2021•北京四中高一期中)已知兀)且sina=|.

(I)求cosa的值；

cos2a-sin2a+1

(ii)求的值•

14.(2021.北京四中高一期中)已知函数f(x)=6sinx•cosx-cos2x+~-

(I)求函数f(x)的最小正周期；

(II)求函数〃x)的单调递减区间.

参考答案

1.A

【分析】

令/(x)=0,可解得sinx=2r,根据解的个数可得.

【详解】

/(x)=2sinx—cos2x=2sinx—l+2sin2x,

令/(x)=。可得sinx=1或sinx=—］(舍去)，

因为sinx=与1区间［0,2句有2个根，所以“X)在区间［0,2句上的零点个数为2.

故选：A.

2.D

【分析】

取特殊值可判断AD；利用二倍角公式可判断BC.

【详解】

TTTT

对A,若a+夕+7=万，则有可能会有角为g,而W无正切值，故A错误；

22

an/c\/l-cos(/r+a)/1+cosa12aa

对B,・・・。£(区2万)，2={2=VC0S2=8s2,故B错误；

2cos

对C,•/—<0<?>7C,Icos0\=­tcos0=--,sin—=--^=—

21155225

..e(5乃3吟,0V15地、□

•yjsm~2=———»故c错味；

对D,sin(a+尸)=sinacos0+cosasin/7,当a=2ki,(3=2&乃(ZGZ)时,sin(a+/?)=sina+sin/?成立，故D正确.

故选：D.

3.C

【分析】

根据余弦的二倍角公式及正弦的和差公式即可求解.

【详解】

cos2a_V2cos2a-sin2a_V2

因为sinJ+*2，所以&72.-2,

sina+--cosa+-一s\na

\4j22

即cosa-sina=g.

故选：C.

4.D

【分析】

根据降基公式及变名的诱导公式进行化简.

【详解】

3-sin50_3-sin50_2(3-sin50)_2(3-sin50)_?

2-cos2201+cos403-cos403-sin500•

2------------------

2

故选：D.

5.A

【分析】

左右公式平方，根据同角三角函数的关系及二倍角公式，化简整理，即可得答案.

【详解】

5225

因为sina-cosa==,所以(sina-cosa)〜=—,

25

所以sin2a+cos2a-2sinacosa=1-sin2cr=—,

16

9

所以sin2a=一记.

故选：A

6.C

【分析】

先用三角恒等变换化简，再用平移法则求解即可

【详解】

因此要得到函数y=4sin(x+?卜os(x+?J的图象，

只需把函数y=2sin2x的图象向左平移［个单位，

6

故选：C

r312

7.-——

25

【分析】

根据三角函数定义，可求得tana的值，根据二倍角的正切公式，即可求得答案.

【详解】

因为点P(2,3)在a的终边上，

y3

所以tana=—=不，

x2

2x-

32tana_2_12

tan2a=------------=

1-tan'aI9-5

4

312

故答案为：—

T

8.-1

【分析】

将已知条件两边同时平方结合同角三角函数基本关系和二倍角公式即可求解.

【详解】

由sina-cosa=&可得(sina-cosa)~=2，

BPsin2<z+cos2(z-2sinacosa=2，

因为sin?cr+cos2a=1,所以2sinacosa=-1,

即sin2a=-l,

故答案为：T.

sinx4…，)

--------,xw—+2ATT,ZGZ

Sin%-12,/7。)值域为

9.(I)g)=<-00,----3--i｝，

.兀2

sinx,x=—+2k冗、keZ

jr

(ID/(x)=sin2x+cos2x,cr=—,证明见解析.

【分析】

（I）先根据题意分xwT]T+2E,%€Z和x=,TT+2Z肛AeZ讨论来求函数以x）的解析式，进而再求每一段值域，最后

取并集即可得分段函数〃（》）的值域;

jr

(ID构造函数/(x)=sin2x+cos2x,«=—,求出g(x),进而可证明〃(x)=cos4x.

【详解】

(I)若函数f(x)=―!——，g(x)=sinx,xeR

smx-1

%|%w]+2kA£Z

则Df=DS=R,

TT

当x/—+2for,%£Z时，

2

当x=5+2k),keZ时,h(x)=sinx；

sinx%+2k7i,keZ

sinx-l2”

所以=<

sinx,x=—+2攵4,keZ

当xw工+2far,ZwZ时，sinxe[-l,l),sinx-1e[-2,0),——

2sinx—I

,,,fzxsinxi1(1

TT

当x=5+2k7,kwZ时，h(x)=sinx=1；

所以函数/?(x)值域为(y,-gu{i},

(II)令/(x)=sin2x+cos2x,a=—f

贝！|g(x)=/(x+a)=/(x+7)=sin2(x+7)+cos2(x+£)

=sin2x+—H-COS2x+—=cos2x-sin2x,

[2)[2)

所以/i(x)=/(x)•/(x+a)=(sin2x+cos2x)(cos2x-sin2x)

=cos22x—sin22x=cos4x

【点睛】

关键点点睛：本题需要有较强的阅读能力，猜想和创新能力，要采用逆推的方法即

cos4x=cos22x—siM2x即可想到所构造的/(X).

10.(1)2万，2,x=—+2^(A:GZ)；(2)g(x)=2sin(—+—),4E-丝,4E+g*eZ).

62333_

【分析】

⑴将函数/(X)化为/(x)=Asin(8+e)+A的形式，再求函数/(X)的最小正周期和最大值，及此时取得最大值时X的

值即可；

(2)根据图象变换求出g(x)的解析式，再求其单调递增区间即可.

【详解】

(l)/(x)=sinx+石cosx=2—sinx+^cosx=2sin(x+—)

、22J3

所以周期7=2万；

x+—=—+2k7r,keZ,即x=C+2%%,左eZ时，ymax=2.

326

(2)由题意知,g(x)=2sine+?),

由一1+2&)&5+(K]+2左肛％GZ,+4k7r<^<y+4k/r,kGZ,

57r4

所以函数g(x)的单调增区间为4k7r-—Ak^+-(0Z).

sin——J—1；47

11.(I)/(x)=2(II)

33

【分析】

（I）利用余弦的二倍角公式诱导公式化简即可求解;

（II）选①利用最大值求出。的值，可得/（龙）的解析式，数形结合即可求解；选②根据题意可得-3是，（力的最小

值，求出〃的值，可得了*）的解析式，数形结合即可求解；选择③将点看,0）代入“X）求出a的值，可得/（X）的解

析式，数形结合即可求解;

【详解】

(I)f(x)=asinf2x-j-2cos2[x+=asinllx--j-l+cos|2x+—71

663

71兀71

=asin2x---cos2x+工一1=asin2x~--cos2崂+-1

636~2

=(6f+l)sinf2x-^-1-1(6f>0)

选①:/(%)的最大值为L则a+1—1=1,即4=1,

所以/(x)=2sin„—l,

选②：/3）的图象与直线y=-3的两个相邻交点的距离等于",

由题意可得：直线y=-3的两个相邻交点的距离为一个最小正周期,

所以-3是f（x）的最小值,

即—(a+l)—1=-3,可得4=1,所以f(x)=2sin(2R一7卜1，

权的图象过点（"J,蛆J/

选③:(a+l)sinf2x-^-^1-1=0,

1,所以〃力=2呵2%-看卜1,

解得:

由题意可得/（x）=2sin（2x-（

(II)-1=1即sin=1在区间［0,加上有两个不同解,

5—7T9

当OWxWm时,,所•以一万<2"?<—7l,

666262

47

可得:—7r<m<—7r,

33

所以实数"?的取值范围

33J

12-⑴巴⑵当x=J时，最小值为6-2；当X弋时，最大值为2技

【分析】

（1）首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期;

(2)利用函数的定义域求出函数的值域，进一步确定函数的最大和最小值.

【详解】

(1)函数/(x)=x/5(sinx+cosx)2-(1-2sin2x)=75(14-sin2x)-cos2x=2sin(2x-—)+.

6

故函数的最小正周期为7=曰=》.

(2)由于xw|—

44

所以2》_白|一号白，

o33

故sin(2x-.e[-1,^-].

故/(刈©[百-2,23]

即当x=-£时，函数的最小值为6-2,

O

当x=£时，函数的最大值为26.

4

13.(1)--；(2)一场

55

【分析】

(1)利用平方关系直接求出cos