2020全国1卷高考数学试题解析

2020年全国1卷高考数学试题解析

1.若z=l+i,则|Z2-2Z|=()

A.0B.1C.夜D.2

【思路分析】由复数的乘方和加减运算，化简Z2-2Z,再由复数的模的定义，计算可得所求值.

【解析】:若z=l+i,则z2-2z=(l+i)2-2(l+i)=2i-2-2»=-2,则|z?-2z|=|-2|=2,故选:D.

【总结与归纳】本题考查复数的运算，考查复数的模的求法，主要考查化简运算能力，是一道基础题.

2.设集合A={x|x2-4,,0},5={x|2x+aW0},且AflB={x|-21},则a=()

A.-4B.-2C.2D.4

【思路分析】由二次不等式和一次不等式的解法，化简集合A,B,再由交集的定义，可得〃的方程，解

方程可得〃.

【解析】：集合A={X|X2-440}={X|—2W2},B{x\2x+a<0}[x\x<­},

由AC|8={x]—24x41},可得一;q=i,

贝lk=-2.

故选：B.

【总结与归纳】本题考查集合的交集运算，同时考查不等式的解法，考查方程思想和运算能力，是一道基

础题.

3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正

方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为

A・铝B.亨c/+1D.铝

4

【思路分析】先根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而求解结论.

【解析工设正四棱锥的高为〃，底面边长为“，侧面三角形底边上的高为〃,

h2=-ah'

〜夕产_三)+

则依题意有：,，因此有*-（5=_La//4(4-1=0=>—=（负值舍去）;

/=/_（与22a4

故选：C.

【总结与归纳】本题主要考查棱锥的几何性质，属于中档题.

A.2B.3C.6D.9

【思路分析】直接利用抛物线的性质解题即可.

【解析】：A为抛物线C：V=2px(p>0)上一点，点A到。的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,因为抛

物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，故有：9+£=12np=6：故选：C.

2

【总结与归纳】本题主要考查抛物线性质的应用，属于基础题.

5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：。C）的关系，在20个不同的温度

条件下进行种子发芽实验，由实验数据（占，%）（i=l,2,…，20）得到下面的散点图：

由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率），和温度x的回归方程类型

的是（）

A.y=a+bxB.y=a+bx2C.y=a+be'D.y=a+blnx

【思路分析】直接由散点图结合给出的选项得答案.

【解析】：由散点图可知，在10"C至40℃之间，发芽率y和温度x所对应的点（x,y）在一段对数函数的曲线

附近，

结合选项可知，y=a+Rnx可作为发芽率y和温度x的回归方程类型.

故选：D.

【总结与归纳】本题考查回归方程，考查学生的读图视图能力，是基础题.

6.函数/。)=/-2*3的图象在点(1,/(1))处的切线方程为()

A.y=-2x-lB.y=-2x+1C.y=2x-3D.y=2x+\

【思路分析】求出原函数的导函数，得到函数在x=l处的导数，再求得了(1),然后利用直线方程的点斜

式求解.

【解析】：由f(x)=x4-2/，得r(X)=41-6x,

f(1)=4—6=—2»又于(1)=1—2=—1,

函数/(X)=/一2/的图象在点(1J⑴)处的切线方程为y-(-l)=-2(x-1),

即y=-2x+l.故选：B.

【总结与归纳】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础的计算题.

7.设函数f(x)=cos(s+马在［-/，幻的图象大致如图，则/(x)的最小正周期为()

6

【思路分析】由图象观察可得最小正周期小于史，大于叱，排除A,D；再由/(一也)=0,求得°,

999

对照选项B,C,代入计算，即可得到结论.

【解析】：由图象可得最小正周期小于乃-（-学）=m，大于2x（%-羊）=T，排除A,£（；

由图象可得/(—^)=cos(—罟＜y+')=0,即为-与0+\=无1+',kwZ,(*)

若选8,即有。=手="，由一也x"+工=0+工，可得%不为整数，排除3；

空79762

6

若选C,即有。===3,由一"*3+工=人%+2,可得上=一1,成立.故选：c.

929262

T

【总结与归纳】本题考查三角函数的图象和性质，主要是函数的周期的求法，运用排除法是迅速解题的关

键，属于中档题.

2

8.（x+上）（x+y）s的展开式中的系数为（）

X

A.5B.10C.15D.20

【思路分析】先把条件整理转化为求（J+y2）（x+y）5展开式中》4y3的系数，再结合二项式的展开式的特点

即可求解.

【解析】：因为(x+£)(x+y)5=(F+/)(x+»,

XX

要求展开式中X3/的系数即为求（X2+y2）（x+y）5展开式中X4/的系数;

展开式含的项为：x2.c12.y3+y2.c；X4.y=]5/y3；

故(x+X)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为15；故选：C.

X

【总结与归纳】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础

题.

9.已知。£(0,4)，且3cos2<z-8cosa=5,则sin2=()

AN/52r1n石

3339

【思路分析】利用二倍角的余弦把已知等式变形，化为关于cos。的一元二次方程，求解后再由同角三角函

数基本关系式求得sine的值.

【解析】：由3cos2a-8cosa=5，W-3(2cos2cr-l)-8coscr-5=0,

、2

即3cos2a-4cos2-4=0,解得cosa=2(舍去)，或cosa=——.

3

aG(0,^),，乃)，则sina=Jl—cos2a=j—(一•故选：A.

【总结与归纳】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式与二倍角公式的应用，是基

础题.

10.已知A,B,。为球O的球面上的三个点，0为AABC的外接圆.若01的面积为4〃，

AB=BC=AC=OO],则球O的表面积为()

A.64万B.481C.36万D.324

【思路分析】画出图形，利用已知条件求出00「然后求解球的半径，即可求解球的表面积.

【解析工由题意可知图形如图：。的面积为47，可得QA=2,则

|AQ=A8sin60。，3AO、=gAB,AB=BC=AC=OO[=273,

外接球的半径为：R=4AO；+OO：=4,球。的表面积：4XTFX42=64^r.故选：A.

【总结与归纳】本题考查球的内接体问题，球的表面积的求法，求解球的半径是解题的关键.

11.已知M:x2+/-2x-2y-2=0,直线/:2x+y+2=0,尸为/上的动点.过点P作M的切线R4,

PB,切点为A,B,当IPMHA例最小时，直线他的方程为()

A.2x-y-1=0B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0D.2x+y+1=0

【思路分析】由已知结合四边形面积公式及三角形面积公式可得|PMMAB|=2府而匚，说明要使

最小，则需|PM|最小，此时PM与直线/垂直.写出RW所在直线方程，与直线/的方程联立,

求得P点坐标，然后写出以为直径的圆的方程，再与圆”的方程联立可得他所在直线方程.

【解析工化圆”为(x-l)2+(y-l)2=4,

圆心,半径尸=2.

S四边形…=^PM\-\AB\=2s叩=\PA\-\AM\=21PAi=2必百.

要使1PMMA例最小，则需1PMi最小，此时PM与直线/垂直.

直线PM的方程为y-1=：(x-l),即y=［x+g,

联立，，解得尸(-1,0).则以PM为直径的圆的方程为丁+⑶一工了二*.

联立］；：：；］：：；)0-2=°，可得直线他的方程为2x+y+l=0.故选：D.

【总结与归纳】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查圆的切线方程，考查过圆两切点的直线方程的求

法，是中档题.

12.若2"+log2a=4"+21og46,则()

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2

【思路分析】先根据指数函数以及对数函数的性质得到2"+log?”<22%+log?2%；再借助于函数的单调性即

可求解结论.

【解析】：因为2"+1暇。=4〃+21喳,6=2加+地涉；

lb2b2b

因为2加+log,b<2+log,2b=2+log26+1即2"+log,a<2+log,2b；

令/(x)=2*+log2X,由指对数函数的单调性可得〃x)在(0,+8)内单调递增;

且/(a)</(»)=>a<26；故选：B.

【总结与归纳】本题主要考查指数函数以及对数函数性质的应用，属于基础题.

2x+y-2<0

13.若x,y满足约束条件<x—y—120，则z=x+7y的最大值为1.

y+120

【思路分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出可行域直线在y轴上的截距

最大值即可.

‘2x+y-2V0

【解析】：x,y满足约束条件〈龙一y—120,

y+120

不等式组表示的平面区域如图所示，

由（2x+y-2=0,可得&i,o）时，目标函数z=x+7y,可得产-L+L,

[x-y-1=0-77

当直线y=-；x+；z过点A时，在y轴上截距最大，此时z取得最大值：l+7x0=l.故答案为：1.

【总结与归纳】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题.

14.设〃，力为单位向量，且|々+切=1,则|。一。|=_G_.

【思路分析】直接利用向量的模的平方，结合已知条件转化求解即可.

【解析】：a,力为单位向量，且|〃+〃|=1,,

可得/+2。•力+人2=1,1+2a»b4-1=1,所以2mb=-1,

则|a—b|=\la2—2a»b+b2=G.故答案为：V3.

【总结与归纳】本题考查向量的模的求法，数量积的应用，考查计算能力.

r22

15.已知产为双曲线。:不-v==13>08>0)的右焦点，A为C的右顶点，3为C上的点，且/尸垂直于

ab-

x轴.若AB的斜率为3,则。的离心率为2.

【思路分析】利用已知条件求出A,区的坐标，通过的斜率为3,转化求解双曲线的离心率即可.

【解析】：尸为双曲线C:二一与=l(a>0,6>0)的右焦点(c,0),4为C的右顶点(a,0),

a~h~

8为C上的点，且防垂直于x轴.所以8(c,C),

a

£_0

若45的斜率为3,可得：工一=3,

c-a

b2=c2-a2,代入上式化简可得c?=3ac-为"e=~,

a

可得/一36+2=0,e>1,解得e=2.故答案为：2.

【总结与归纳】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查转化思想以及计算能力.

16.如图，在三棱锥尸—/WC的平面展开图中，AC=\,AB=AD=6，ABVAC,ABrAD,ZCAE=30°,

则8sNFCB=_—,

【思路分析】根据条件可知O、E、尸三点重合，分别求得BC、CF、防即可.

【解析】：由已知得8£>=后=而，BC=2,

因为。、£、尸三点重合，所以AE=A£)=0,BF=BD=-JiAB=n,

则在A4C£中，由余弦定理可得

CE2AC2+AE2-2AC.A£.cosZCAE=1+3-2Gx—=1,

2

所以CEubnl,

nr24.CF2-RF21+4-61

则在\BCD中，由余弦定理得cosZFCB=~

2BC.CF2x1x24

故答案为：一L

4

【总结与归纳】本题考查三棱锥展开图，涉及余弦定理的应用，数形结合思想，属于中档题.

17.(12分)设｛%｝是公比不为1的等比数列，4为生，%的等差中项•

(1)求｛%｝的公比；

(2)若4=1,求数列｛〃〃,,｝的前N项和.

【思路分析】(1)设是公比q不为1的等比数列，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解

方程可得公比4；

(2)求得明,“4,运用数列的数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简整理，可得所求

和.

【解析】：(1)设他“｝是公比q不为1的等比数列，

4为“2，色的等差中项，可得初二出+%，即2q=aa+a|q2,

即为d+q-2=0,解得q=-2(1舍去)，所以｛%｝的公比为-2;

(2)若4=1,则a“=(-2)"T,nan=,

则数列｛〃q｝的前n项和为S„=1.1+2.(-2)+3.(-2)2+...+n.(-2y-',

-2S„=1.(-2)+2.(-2/+3.(-2p+…+”.(-2)”,

两式相减可得3s“=1+(-2)+(-2)2+(—2)3+...+(-2)"-1-n.(-2)"=上21一〃.(_2)",

1-(-2)

化简可得S„=+,

9

所以数列｛〃q｝的前〃项和为1二。士丫)"-2)：

【总结与归纳】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及等差数列的中项性质，考查数列的

错位相减法求和，主要考查方程思想和化简运算能力，属于中档题.

18.(12分)如图，。为圆锥的顶点，<9是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD.A4BC是底面的

内接正三角形，尸为00上一点，PO=—DO.

6

(1)证明：上41.平面PBC；

(2)求二面角B-PC—E的余弦值.

【思路分析】(1)设圆O的半径为1,求出各线段的长度，利用勾股定理即可得到以_LPC,PALPB,进

而得证；

(2)建立空间直角坐标系，求出平面P8C及平面PCE的法向量，利用向量的夹角公式即可得解.

【解析】：(1)不妨设圆。的半径为1,OA=OB=OC=\,AE=AD=2,AB=BC=AC=G，

DO=^D^-Ofic=>/3,PO=—DO=—,

PA=PB=PC=^PO-+AO2=—,

2

在AMC中，PfiC+PC2=AC2,故必_LPC,

同理可得姑J_P3,又PB「、pc=P,

故B4_L平面PBC；

(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则有8(且」,0),C(-走」,0),P(0,0,正),E(O,1,O),

22222

故BC=(-&O,O),CE=吟；O),CP=吟,-g冷,

"i»BC=-旧x=0

设平面PBC的法向量为加=Q,y,z）,则・61血，可取根=(0,0/)，

m»CP=——x——y+——z=0

222

同理可求得平面PCE的法向量为"=（血，-6,-2月）,

故cose=®«=2叵，即二面角B-PC—E的余弦值为拽.

\m\\n\55

lx

【总结与归纳】本题考查线面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角，考查推理能力及计算能力，属于

基础题.

19.(12分)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：

累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一

场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被

淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.

经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为

2

(1)求甲连胜四场的概率；

(2)求需要进行第五场比赛的概率；

(3)求丙最终获胜的概率.

【思路分析】(1)甲连胜四场只能是前四场全胜，由此能求出甲连胜四场的概率.

(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，比赛四场结束，共有三种情况，甲连胜

四场比赛，乙连日胜四场比赛，丙上场后连胜三场，由此能求出需要进行五场比赛的概率.

(3)丙最终获胜，有两种情况，比赛四场结束且丙最终获胜，比赛五场结束丙最终获胜，则从第二场开始

的四场比赛按丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，由此能求出丙最终获

胜的概率.

【解答】(1)甲连胜四场只能是前四场全胜，P=g)4=3.

（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛,

比赛四场结束，共有三种情况，

甲连胜四场的概率为工，乙连胜四场比赛的概率为‘，

1616

丙上场后连胜三场的概率为1,

8

・•・需要进行五场比赛的概率为：

n,1113

161684

（3）丙最终获胜，有两种情况，

比赛四场结束且丙最终获胜的概率为1,

8

比赛五场结束丙最终获胜，

则从第二场开始的四场比赛按丙的胜、负、轮空结果有三种情况：

胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为

1688

・•・丙最终获胜的概率/>=!+-!■+1+1=二.

8168816

【总结与归纳】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式和互斥事件概率加法公式等基础知

识，考查运算求解能力，是中档题.

2

20.（12分）已知A,B分别为椭圆E：5+y2=im>i）的左、右顶点，G为E的上顶点，AG，GB=S.P

为直线x=6上的动点，R4与E的另一交点为C,尸8与E的另一交点为O.

(1)求£的方程;

(2)证明：直线8过定点.

【思路分析】(1)求出AG.GB=q2-i=8,解出。，求出E的方程即可;

(2)联立直线和椭圆的方程求出C,。的坐标，求出直线8的方程，判断即可.

【解析1如图示:

(1)由题意A(-a,O),8(。,0),G(0,l),

AG=(a,l),GB=(a,-\),AG.GB=a2-1=8,解得：a=3,

故椭圆石的方程是二十丁=1；

9

(2)由(1)知>(一3,0),3(3,0),设尸(6,㈤,

则直线F4的方程是y=g(x+3),

X22।

---by=1

联立=>(9+>)/+6m2x+9/w2-81=0,

y弋5+3)

i士*>.9〃?—-81—3/z?~+27

由韦达定理-3%=----—n%=-------5—，

c9+m29+m2

代入直线%的方程为y='(x+3)得：乂=—吗，即C(H也27,&=),

99+根9+m"9+机

直线总的方程是y=g(x-3),

七+八1

联立方程<9=>(1+/n2)x2-6nrx+9/n2-9=0,

y=yU-3)

rh壬'小一TfflQ9”-93〃广—3

由韦达定理=------=>x=------，

1+〃/D1+m~

代入直线PB的方程为丫='(彳一3)得知=士1，即。(即金，^

31+疗1+济1+加2

直线CD的斜率K=&二"=4帆,

CD2

xc-xD3(3-An)

••・直线CD的方程是y-二丝=.食一网二),整理得：>=4，〃招

1+*3(3-，/)'1+7H23(3-/n2)2

故直线CD过定点(3,0).

2

【总结与归纳】本题考查了求椭圆的方程问题，考查直线和椭圆的关系以及直线方程问题，是一道综合题.

21.(12分)已知函数/'(x)=e*+40?-X.

(1)当。=1时，讨论/(x)的单调性；

1a

(2)当x»0时，/(x)>-x3+l,求。的取值范围.

【思路分析】(1)求得a=l时，/a)的解析式，两次对x求得导数，结合指数函数的值域判断导数的符号,

即可得到所求单调性；

(2)讨论x=0,不等式恒成立；x>0时，运用参数分离和构造函数，求得导数，判断单调性和最值，进

而得到所求范围.

【解析】：(1)当a=l时，f(x)=ex+x2-x,

f'(x)=ex+2x-1,设g(x)=fix'),

因为g，(x)=e*+2>0,可得g(x)在尺上递增，即#x)在R上递增，

因为1(0)=0,所以当x>0时,/'(x)>0；当x<0时，/'(x)<0,

所以/(x)的增区间为(0,+co),减区间为(-8,0)；

(2)解法一：(分离参数法)

当xNO时，/(幻2]_?+1恒成立，

①当x=0时，不等式恒成立，可得awH；

13.,v

—x+x+1—e

②当x>o时，可得2-------------恒成立，

X

-x3+x+1-e'(2-x)(e*--x2-x-1)

设h(x)=2-----；------,则h\x)=-----------}---------,

X'X

可设加(x)=e'—』/一'—1,可得/*)=，一%一1,m"(x-)=ex-\,

2

由x»0,可得加(x)NO恒成立，可得加(x)在(0,水»)递增,

所以硒的向,=/(0)=0,

即〃z'(x)20恒成立，即m(x)在(0,+oo)递增,所以="7(0)=0,

再令〃(x)=0,可得x=2,当0vxv2时,h'(x)>0,Zi(x)在(0,2)递增;

7-e

x>2时,h'(x)<0,/z(x)在(2,+oo)递减，所以〃(X)M=/?(2)=-----

7-e27-e2

所以综上可得〃的取值范围是［Lt,+00).

44

解法二：(河南鹤壁戴支俊补解)(切线法)

根据—尤2，尤3+1得e'+以2-J_/Zx+1

22

x23

设g(x)=e+ax--x,/z(x)=x4-1,则知临界状态时h(x)为g(x)的切线

3.

g*(x)=ex+lax~~x^f设切点为C\)，No)，则

3

x2

e0+2ax()--x0=1

:,消去为。得2(%—2)[e%_(l+Xo+-%2)]=o

23

*+OX0--xo=XQ+]-

所以%=2或%=0,

g叱〃(°;江上

根据

g(2)>/?(2)4

所以。的取值范围是己二S,-KO).

4

解法三：(湖南湘潭沈成友补解)(不分离参数讨论法)

c'+ax~-x2■—x，+1,Bpe'+ux~—x—d-120

22

令g(x)=e*+«x2_x-gx3_］

gz(x)-ex+2ax-l-^x2,g"(x)=e*+2a-3x,g'"(x)=e*-3=0,

x=ln3,g”(x)在(-8,ln3)单调递减，在(in3,”)单调递增，g"(x)在x=ln3取得最小值

g”(ln3)=3-31n3+2a

故当aN迎尹时,g”(x)NO恒成立,所以g，(x)Ng，(0)=0,

于是g(x)2g⑼=0成立。

当a〈迎尹时，8"(0)=1+2必。＜-；时，存在*］＜0＜1113＜々,时，使得g"(xJ=g''a)=0,g'(x)

在［0,x2］单调递减，［赴,+8)单调递增，

xe［0,X2］时g'(x)Wg'(0)=0,g(x)Wg(0)=0不成立;

当一_1＜。(网生时，存在0＜X1＜由3＜々，使得

22'

,,,,

g(jq)=(g(x2)=0,g'(x)在［O,xJ单调递增，［玉，x2］单调递减，鱼,+00)单调递增,

若8’(%2)20,则g'(x)，0恒成立,于是g(x)ig(O)=O成立;

若g'(X2)<0,则存在0<X1<X3<ln3<々<x4,

使得8(工)［0，七］单调递增，［七，xj单调递减，［%,长。)单调递增,

故只需满足g,⑻e+2yi二孤

泊-1-算2

Xi23413.

g(X4)=e+ax4-x4-^x4-l=e'+XX

4'-4-X4-1

7

2—2

^-^X4-X4-H>0

2

易证-/-INO,所以ln3</<2,

e'4-l--x2e'-l--x2

42x()

a=----短一，令h(x)=-----,h'x)3x-2-e2x-2

0(x)=3f-2-eA(2x-2),^r(x)=-2x(eA-3)<0,

所以O(x)<°(0)=0,所以h<x)<0,aNh(2),

231n3-3「7-e2

即7-e土,综上，a的一取值范围为人上,+8

424

【总结与归纳】本题考查导数的运用：求单调性和最值，考查构造函数法，主要考查分类讨论思想和化简

运算能力、推理能力，属于难题.

22.（10分）在直角坐标系X。），中，曲线q的参数方程为卜=（为参数）.以坐标原点为极点，X轴正

[y=sint

半轴为极轴建立极坐标系，曲线C?的极坐标方程为4pcos。-160sin6+3=O.

（1）当％=1时，C是什么曲线？

（2）当无=4时，求G与Cz的公共点的直角坐标.

【思路分析】（1）当k=1时，曲线G的参数方程为F=cos，，。为参数），利用平方关系消去参数乙可得

[y=smt

x2+y2