2020-2021学年高二数学新题速递22 导数及其应用（多选题）11月理（解析版）

专题22导数及其应用（多选题）

1.以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是

11

A.（—）'=—B.（cos2x）,=-2sin2x

XX

【试题来源】山东省潍坊市潍坊中学2019・2020学年高二下学期4月阶段测试

【答案】BC

1

故选BC.

(M,xln\O

2.已知函数/（X）=X2+/（O）.X—/，（O）.COSX+2,其导函数为/'（x）,则

A./（0）=-1B./（0）=1

c./（o）=iD.r（o）=-i

【试题来源】湖北省百所重点中学2020-2021学年高三上学期10月联考

【答案】BC

【解析】因为/（x）=x2+/（o）.x-r（o）.cosx+2,所以/（0）=2-/'（0）.

又/'（x）=2x+/（0）+/'（0>sinx,所以/'（0）=/（0）.故广（0）=/（0）=1.故选BC

3.定义在H上的可导函数y=/（x）的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是

A.-3是“X）的一个极小值点B.-2和-1都是/（x）的极大值点

C./（力的单调递增区间是（-3,+8）D./（X）的单调递减区间是（一8,-3）

【试题来源】福建省福州市仓山区福建师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期期末

【答案】ACD

【解析】当x<-3时，/'（x）<0,XG析3,+8）时。（x）N0,

所以-3是极小值点，无极大值点，增区间是(-3,+8),减区间是(TQ,-3).故选ACD.

4.如图是y=/(x)的导函数/'(X)的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是.

A./(X)在上是增函数

B.当x=4时，F(x)取得极小值

C./(X)在［-1,2］上是增函数、在［2,4］上是减函数

D.当x=l时，f(x)取得极大值

【试题来源】湖北省武汉市五校联合体2019-2020学年高二下学期期末

【答案】BC

【分析】这是一个图象题，考查了两个知识点：①导数的正负与函数单调性的关系，若在某

个区间上，导数为正，则函数在这个区间上是增函数，若导数为负，则这个函数在这个区间

上是减函数；②极值判断方法，在导数为零的点处左增右减取极大值，左减右增取极小值.

【解析】由图象可以看出，在［-2,-1］上导数小于零，故4不对；X=-1左侧导数小于零，

右侧导数大于零，所以％=—1是/(X)的极小值点，故5对；在［-1,2］上导数大于零，在

［2,4］上导数小于零，故C对：％=1左右两侧导数的符号都为正，所以x=l不是极值点，

£)不对.故选BC.

5.设/(X)为函数“X)的导函数，已知f八幻+货⑴句以，/⑴=g，则下列结论

不正确的是

A.灯。)在(0,+8)单调递增B.(X)在(1,+8)单调递增

c.V(x)在(0,+8)上有极大值gD.V(x)在(0,+8)上有极小值g

【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练

【答案】AC

InY

【解析】由fr(x)+好>(x)=lnx得x>0,则才⑴+/(%)=—，

x

]nYInY*

即W(x)]=设g(x)=V(x),g'(%)=--->0=>x>1,g'(x)<OnO<x<l,

XX

即4(x)在(1,+0。)单调递增，在(0,1)单调递减，

即当x=l时，函数g(x)=4(x)取得极小值g(l)=/(l)=g.故选AC.

6.已知函数/(X)的导函数为/'(X),若/(X)40''(%)<2/(同一》对*€(0,+8)恒成

立，则下列不等式中，一定成立的是

A./(I)〉午B.

/⑴

C./(1)<^4>

【试题来源】金太阳联考2020-2021学年新高考(广东卷)

【答案】BD

【解析】设8。)=母二^，力。)=§，XG(0,+^),

贝Ij，(x)=[八龙)-1卜2-2力(>)一引=灯”(x)—2/(x)+x/(x)=

'x4x3'X2

因为/(%)<xf'(x)<2/(x)—X对XG(0,+00)恒成立,

所以g'(x)<0,7(x)>0,所以g(x)在(0,+8)上单调递减，从力在(0,+。)上单调递

增，则g(l)>g⑵，/i(l)</z(2),

叫〉—，世〈幽幽+L幽

I22212422

7.函数f(x)在定义域R内可导，若/(x)=/(2-x),且(x-l)/'(x)<0,若

a=/(0),b=/(g),c=/(3),则小6,c的大小关系正确的有

A.h>aB.c>b

C.b>cD.c>a

【试题来源】湖南省长沙市长沙县第九中学2020-2021学年高三上学期10月月考

【答案】AC

【分析】确定函数关于x=l对称，再确定函数的单调性，综合两者判断大小得到答案.

【解析】由〃x)=/(2-x)得〃x+l)=/(l-x),则函数关于x=l对称,

当%>1时，由(x-l)/'(x)<0得/'(x)<0,函数单调递减；

当x<l时，由(％—1)/'(%)<0得/'(x)>0,函数单调递增.

又。=〃0)=〃2),匕=/出=/(|),

c-/(3),故Z?>a>c.故选AC.

8.已知定义在R上的函数满足"x)>一/'(x),则下列式子成立的是

A./(2019)<^(2020)B.^(2019)>/(2020)

C./(X)是R上的增函数D.若/>(),则有〃x)<e'/(x+f)

【试题来源】广东省高研会高考测评研究院2021届高三上学期第一次阶段性检测调研

【答案】AD

【解析】由W(x)，得e"(x)+e"'(x)>0,即[e"(x)]'>0，所以函数

«(x)为增函数，<?2019/(2019)<e2O2O/(2020),所以“2019)<^(2020),故A

正确，8不正确；函数,〃力为增函数时，〃力不一定为增函数，如然(鼻是

增函数，但y=是减函数，所以C不正确；

因为函数e"(x)为增函数，所以f>0时，有炉/(月<*)(％+0，

故有/(x)<e'/a+r)成立，所以。正确.故选AD.

9.己知函数/(X)为R上的可导函数，则下列判断中正确的是()

A.若/(x)在x=x0处的导数值为0,则/(x)在x=x0处取得极值

B.若/'(X)为奇函数，则f(x)为偶函数

C.若/'(x)为偶函数，则f(x)为奇函数

D.若/(x)的图象关于某直线对称，则/'(x)的图象关于某点成中心对称

【试题来源】福建省龙岩市“长汀、连城、上杭、武平、永定、漳平“六县(市区)一中2021

届高三上学期期中联考

【答案】BD

【解析】A选项，若/(幻=》3,则r(x)=3》2,所以/'(0)=0,而/(x)=r显然是单

调函数，没有极值，故A错；B选项，若/'(X)为奇函数，则原函数一定是偶函数，加上常

数C后，也为偶函数，故B正确；C选项，若f(x)为偶函数，则/(X)不一定为奇函数，

如尸(幻=3/显然为偶函数，但f(x)=x3+C,若C不为0,则/(x)=x3+C不是奇函数；

故C错；D选项，若/(x)的图象关于直线x=a对称，则/(a+x)=/(a-x),

两边求导，可得了'3+X)=x),即尸(a+x)+f'(a-x)=0,

所以函数/'(X)的图象关于(a,0)中心对称，故D正确.故选BD.

10.已知函数/(幻=；%3-4%+2,下列说法中正确的有

2210

A.函数f(x)的极大值为下，极小值为一;

33

22in

B.当xe［3,4］时，函数的最大值为石，最小值为一年

C.函数/(%)的单调减区间为［-2,2］

D.曲线y=/(x)在点(0,2)处的切线方程为y=-4x+2

【试题来源】河北省邢台市第二中学2021届高三上学期11月月考

【答案】ACD

【解析】因为/(幻=；*3-4X+2,所以r(x)=f-4,

由/'(x)>0,得了<—2或x>2,由/'(x)<0,得一2<%<2,

所以函数/Xx)在(-8,-2)上递增，在［—2,2］上递减，在(2,+8)上递增，故选项。正确，

I22

所以当x=-2时，“X)取得极大值/(-2)=-x(-2)3-4x(-2)+2=—,

在x=2时，/(x)取得极小值/(2)=；x23-4x2+2=-与，故选项A正确，

当xe［3,4］时，/(x)为单调递增函数，所以当x=3时，/3)取得最小值

1122

/(3)=-X33-4X3+2=-1,当x=4时，/(x)取得最大值/(4)=§x43-4x4+2=石,

故选项3不正确，因为f'(0)=T,所以曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为

y-2=-4(x-0),即y=-4x+2,故选项。正确.故选ACD.

11.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企

业要限期整改、设企业的污水排放量W与时间t的关系为w=/Q)，用-'⑷的

大小评价在勿这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污

水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论，其中正确结论为

污水达标排放盘

:甲企亚

A.在，也］这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

B.在弓时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

C.在与时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；

D.甲企业在［0,小匕,可,也，引这三段时间中，在［0"』的污水治理能力最强.

【试题来源】江苏省无锡市第一中学2020-2021学年高三上学期10月检测

【答案】ABC

【解析】—表示区间端点连线斜率的负数,在，这段时间内，甲的斜率比

乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强:A正确；

甲企业在.［0,巾,L由］，也小］这三段时间中，甲企业在U再］这段时间内，甲的斜率最小,

其相反数最大，即在的污水治理能力最强.D错误；在弓时刻，甲切线的斜率比乙的

小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；B正确；

在，3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；C正确;

故选ABC.

12.若直线y=gx+b是函数f(x)图象的一条切线，则函数f(x)可以是

A./(x)=-B./(x)=X4

C.y(x)=sinxD.f(x)=ex

【试题来源】江苏省淮安市五校2020-2021学年高三上学期第一次联考

【答案】BCD

【解析】直线y=gx+b的斜率为G=

由/(*)=工的导数为/(x)=—!，即切线的斜率小于0,故A不正确；

XX

由/(幻=/的导数为=而4V=g,解得x=g,故B正确；

由/(x)=sinx的导数为/(x)=cosx,而cosx=g有解，故C正确；

由/(x)=e*的导数为/(x)=，，而e*=g,解得x=—ln2,故D正确，故选BCD

13.若函数y=/(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则

称y=/(x)具有T性质，下列函数中具有7性质的是

A.y=cosxB.y=lnx

C.y=exD.y=x2

【试题来源】辽宁省本溪满族自治县高级中学2019-2020学年高二下学期期末考试

【答案】AD

【分析】由题意关键看选项中的函数的导函数/‘(X),否存在点七，々，使得raj

r(w)=T成立.

【解析】由题意具有了性质，则存在须，%2,使得r(%)r(%)=T.

对于选项A,因为/(x)'=-sinx,存在石=1，/=一',使得/"(玉)/'(%2)=-1；

对于选项B,因为/*).=：>0,不存在再，々，使得/'(玉)/'(赴)=一1；

对于选项C,因为/(%)'=e、>0,不存在玉，*2,使得/'(玉)/'(%2)=-1；

对于选项D,因为/(x)'=2x,存在玉=1,々=一(，使得/'&)/'(%)=4x臼=-1.

故选AD.

°|lnx|,x>01

14.设函数/(©='।八，若方程"(幻|92-4(幻+；7=0有六个不等的实数

e(x+l),x<016

根，则实数〃可取的值可能是

C.1D.2

【试题来源】湖北省“荆、荆、襄、宜“四地七校联盟2020-2021学年高三上学期期中联考

【答案】BC

【解析】当xWO时，/(x)=，(x+l),贝iJ/'(x)=e'(x+l)+eX=e'(x+2)

由/'(x)<0得x+2<0,即％<—2,此时/(x)为减函数,

由/'(x)>0得x+2>0,即一2<x40,此时/(x)为增函数,

即当x=-2时，取得极小值/(—2)=—作出“X)的图象如图:

由图象可知当0</(x)Wl时，有三个不同的x与/(%)对应，

设t=/(x),方程［/(x)］2-af(x)+-^-=0有六个不等的实数根,

所以*一〃+」-=o在。e(0』］内有两个不等的实根，

16

—>0

16

g(0)>0

g(l)NOl-a+—>Q

9116117

设g(1)=/一a^^---，即，A>0—<a

,1

164x—>o216

。等116

0*1

2

则实数。可取的值可能是；，1,故选BC.

3

Y~4-X—1

15.已知函数段)=^一」，则下列结论正确的是

ex

A.函数/(x)不存在两个不同的零点

B.函数於)既存在极大值又存在极小值

C.当一e<k<0时，方程兀0=4有且只有两个实根

D.若+8)时，兀v)max=2,则t的最大值为2

e

【试题来源】辽宁省锦州市渤大附中、育明高中2021届高三上学期第一次联考

【答案】BCD

【解析】A./(%)=0=>^+%-1=0,解得x=甘心，所以A不正确;

B.尸(6__厂_.匚2)

-e*e,

当/'(x)>0时，-l<x<2,当/'(x)<0时，x<—l或x>2

(F,—1),(2,+8)是函数的单调递减区间，(—1,2)是函数的单调递增区间，

所以/(一1)是函数的极小值，/(2)是函数的极大值，所以B正确.

C.当X趋向于+8时，y趋向于0,根据B可知，函数的最小值是，(-1)=—e,再根据单

调性可知，当一6<女<0时，方程/(尤)=&有且只有两个实根，所以C正确；

D.由图象可知，t的最大值是2,所以正确.故选BCD.

2

16.关于函数〃x)=alnx+『下列判断正确的是

A.当4=1时，/(x)>ln2+l；

B.当a=T时，不等式/(2x—l)—/(x)>0的解集为Q』

C.当a>e时，函数/(x)有两个零点；

D.当/(力的最小值为2时，a=2.

【试题来源】江苏省扬州中学2020-2021学年高三上学期10月月考

【答案】ABD

CGO

【解析】对函数/(x)=alnx+-,x>0求导得/(力=@一个=丝三一，

XJC

2r-2

当4=1时，/(x)=lnx+—,r(x)=——,

XX

当xw(O,2)时，r(x)<0.单调递减，当xe(2,+8)时，r(x)>0,单调递增,

所以/(x)2/(2)=ln2+l,故A正确；

当a=—1时，/(x)=—InxH—,在(0,+8)上单调递减，因为/(2x—1)-/(%)>0即

/(2x-l)>/(%),所以0<2x—l<x,解得故B正确；

当a=2e时，〃x)=2elnx+4,/(力=竿三，则当xw0,-时，_f(x)<0,函

XX\Cy

数单调递减，当xe(g,+8)时，/'(x)>0,函数单调递增，

所以/(x)N/B)=2eln[+2e=0,函数只有一个零点，故C错误；

2

当aWO时，/(x)=alnx+一单调递减，无最小值；

当a>0时，由/'(月=当2可得当xe(oj)时，/'(x)<0,函数单调递减，

当X€弓，+"时，r(x)〉o，函数单调递增，

所以/(%)而。=/(*1)=alnj+a=2,解得a=2,故D正确.故选ABD.

17.已知实数a,b,c,d满足纥丝=上二£=1,其中e是自然对数的底数，则

bd-\

(a-cp+p-dp的值可能是

A.7B.8

C.9D.10

【试题来源】广东省深圳市外国语学校2021届高三上学期第一次月考

【答案】BCD

【解析】由〜幺=lnb=a—2ea,令/(x)=x-2e'.•"'(x)=l—2"

b

由----=lnd=-c+2,令g(x)=-x+2

(1—\

则(a-。)？+(/?-J)2的表示y=/(x)上一点加(。力)与y=g(x)上一点N(c,。)的距离

的平方，设y=f(x)上与y=g(x)平行的切线的切点为Mo(毛,%)

由f(%)=1-及〜=-1=X。=o，••・切点为%(0,-2)

所以切点为此(°，-2)到y=g(x)的距离的平方为旁)=8的距离为M(a⑼与

N(c,d)的距离的平方的最小值.故选BCD.

18.己知函数/(x)=x+sinx-xcosx的定义域为［-2万,2%),则

A.〃x)为奇函数B.“X)在［0,7)上单调递增

C./(x)恰有4个极大值点D.”X)有且仅有4个极值点

【试题来源】2020届山东省临沂市高三上学期期末考试

【答案】BD

【解析】因为/(x)的定义域为［-2万,2万)，所以了(力是非奇非偶函数,

当尤i［o,p)时,r(x)>o,则/(%)在［o,p)上单调递增.

显然r(O)HO,令r(x)=O,得sinx=—L

X

分别作出丫=$也》，y=-』在区间［-2肛2")上的图象,

由图可知，这两个函数的图象在区间［-2肛2不)匕共有4个公共点，且两图象在这些公共点

上都不相切，故/(x)在区间［-2肛2%)上的极值点的个数为4,且“X)只有2个极大值

点.故选8D

19.已知函数/(幻=/一2/一4%-7,其导函数为7'(x),下列命题中真命题的为

A./W的单调减区间是(1,2)

B./(幻的极小值是-15

C.当a>2时，对任意的x>2且X。。，恒有/(x)>/(a)+f'(a)(x-a)

D.函数/(x)有且只有一个零点

【试题来源】江苏省泰州中学2019-2020学年高二下学期第二次月考

【答案】BCD

【解析】f(x)=x3-2x2-4x-l,其导函数为/(尤)=3尤2一叙一4.

27

令/'(x)=O,解得x=—§,x=2,当/'(x)>0时，即x<—或x>2时，函数单调

递增，当广。)<0时，即—2<x<2时，函数单调递减；

3

2

故当x=2时，函数有极小值，极小值为/(2)=-15,当％=—§时，函数有极大值，极大

值为了(一g)<0,故函数只有一个零点，A错误，BD正确;

令g(x)=3x2-4x-4,则g'(x)=6x-4故在(2,+oo)上g'(x)=6x-4>0,即

尸(x)=3d-4x-4在(2,内)上单调递增，根据切割线的定义可知，当。>2时，对任意的

X>a,恒有r⑷</(♦)/("),即/(x)>/(a)+r(a)(x-a),

x-a

对任意的2Vx<Q,恒有―即/(x)>/(a)+/'(a)(x-a),

x-a

故。正确；故选BCD.

20.定义在R的函数/(x),已知天(不。0)是它的极大值点，则以下结论正确的是

A.一%是的一个极大值点B.一玉)是一/(力的一个极小值点

C.X。是一“X)的一个极大值点D.F)是一/(一X)的一个极小值点

【试题来源】福建省福州市仓山区福建师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期期末

【答案】AD

【解析】/(毛。°)是A©的极大值点，就是存在正数相，使得在(入0-，〃，玉))上，

f'(x)>0,在(毛,毛+加)上，f\x)<0.g(x)=/(-x),g\x)=-fX-x),当

rf

一七vx<-Xo+/〃时，x0-m<-x<x(),f(-x)>0,g(x)<0t[B)JI-x0-m<x<-x0

时，g'(x)>0,所以-X。是/(—X)的一个极大值点，从而-X。是一/(一X)的一个极小值点,

%是一/(%)的一个极小值点.不能判定一%是不是一/(幻的极值点.故选AD.

21.设函数〃x)=£_,则下列说法正确的是

Inx

A.〃x)定义域是(0,+。)B.XG(0,l)时，/(X)图象位于X轴下方

C./(力存在单调递增区间D.7(X)有且仅有一个极值点

【试题来源】福建省福州市2021届高三数学10月调研B卷试题

【答案】BCD

【分析】求出函数定义域判断A,根据函数值的正负判断B,求出导函数，利用导函数确定

原函数的增区间，判断C,由导函数研究函数的单调性得极值，判断D.

xfx>0

【解析】由题意，函数y(x)=JP满足〈八，解得X>0旦XH1,所以函数

Inx[inxwO

/>(x)=q的定义域为(0,l)U(l，+8)，所以A不正确;

\nx

由y(x)=J,当xe(O,l)时，lnx<0,所以〃x)<0,所以/(x)在(0,1)上的图象

Inx

都在轴的下方，所以B正确；

增区间，所以C是正确的；

由g(x)=lnx-L则g，(x)=’+」y(x>0),所以g(x)>0,函数g(x)单调增，则函

数尸(x)=0只有一个根与,使得1(%)=0,当xe(0,x0)时，/(幻<0,函数单调递减，

当XG(Xo，+8)时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以D正确；

故选BCD.

22.下列函数，在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是

A./(x)=x-sinxB./(x)=ln(x-l)-ln(x+l)

【试题来源】江苏省苏州市吴江区平望中学2020-2021学年高三上学期阶段性测试(一)

【答案】AD

【解析】对于A,/(X)的定义域为R,且/(-x)=-x+sinx=-“X),.•./(X)是奇函数,

关于原点对称，又/'(x)=l-COSX20,则/(X)单调递增，故A正确；

X-1>0z、

对于B,f(x)=ln(x-l)-ln(x+l)满足,x+l>0,解得x>l，即定义域为(1，+°°)，

不关于原点对称，故B错误;

-A.A

对于c,f(—X),；=/(x)，故/(X)是偶函数，不关于原点对称，故C错误;

对于D,/(x)定义域为R,且/(一幻=|^=£^=—〃力，则/(力是奇函数，关

于原点对称，又==l-——,可知其单调递增，故D正确.故选AD.

23.已知函数〃x)=xlnx,则

A./（X）的单调递增区间为（e,+8）B.“X）在（0,力上是减函数

C.当时，“X）有最小值—D./（X）在定义域内无极值

【试题来源】辽宁省辽河油田第二高级中学2020-2021学年高三上学期第一次月考

【答案】BC

【分析】先求解出了'（力，根据r（x）=o分析出/（为）的单调性以及极值，由此可确定各

选项是否正确.

【解析】因为/'（%）=Inx+l（%〉0）,令/'（x）=0,所以x=g,

当xe0,-时，/'（x）<0,当XG（』,+OO+寸，/,（x）>0,

所以/（x）在（0,/）上单调递减，在上单调递增，x是极小值点，

所以A错误，B正确；当xe（O,l］时，根据单调性可知，/（x）min故C

正确；显然了（力有极小值故D错误，故选BC.

24.已知函=5诃耳_卜05目且〃=/--

\2,

A./（X）为偶函数B./（X）在/,多单调递增

C.a>c>bD.b>a>c

【试题来源】百师联盟2020-2021学年高三上学期一轮复习联考新高考数学试卷（-）

【答案】ABC

【解析】对于A：因为/（一%）=§也|一鹏一卜05（-%）|=$1巾|一|以M=〃％）,所以函数

/（X）为偶函数，故选项A正确；

(o,?时,/(x)=sinx-cosx,

对于8：当XG/r(x)=sinx+cosx>0,止匕时/(x)单

调递增；故选项3正确;

对于。和O：令g(x)="|■，则g'(x)=\；，则g(x)在(―8,1)单调递增，在(1,钟)单

调递减，因为2<兀，所以三<4(色，由函数f(x)的单调性有：

ee-2

/[垓■]</[/)=/1一■|■].即a>c>6，故选项C正确，选项£)不正确

故选ABC.

25.若函数y="D在(1,”)上单调递减，则称/'(x)为P函数.下列函数中为P函数的

Inx

为

A./(x)=lB./(x)=x

C./(%)=-D.于(x)=G

x

【试题来源】江苏省泰州中学2020-2021学年高三上学期第二次检测

【答案】AC

【解析】对于A,丁=」史=」一，当xe(l,+8),y=lnx为增函数，故y=-L为减

InxInxInx

函数，所以/。)=1为P函数，故A符合；

对于B,y=求导=,令y'=0,得x=e

InxInx(lnx)-

"ixe(l,e)时，y'<0,即y=---在(l,e)I二单调递减；当+oo)时，y'>0,即

Inx

旷=意在[e,+8)上单调递增；所以/(x)=x不是P函数，故B不符合；

对于c,y=®=」一，求导>'=普二2<0,所以一在(L+8)上单调递

\nxx\nx(xlnx)x\nx

减，所以y(x)='为p函数，故c符合；

X

对于D,y=m=B,求导y'=一2令y，=0,得X=e2

InxInx2y/x(\nx)-

当XGQI)时，/<0,即丁=正在(11)上单调递减；当xe[e2,+8)时，/>0,

Inx

即丁=正在,2,+8)上单调递增：所以&不是p函数，故D不符合；故选AC.

Inx

26.关于函数/(x)=ex-以,xcR,其中e为自然对数的底数，下列说法正确的是

A.当。=1时，.f(x)在(-oo,0)上单调递增

B.当a=0时，/(x)-lnx23在XG(0,+OO)上恒成立

C.对任意a<0,在(-8,0)上一定存在零点

D.存在a>0,/(X)有唯一的极小值

【试题来源】江苏省镇江市名校2020-2021学年高三上学期10月月考

【答案】CD

【分析】就。的不同取值，利用导数讨论各选项的函数性质或不等式在给定的范围上是否成

立后可得正确的选项.

【解析】对于A,当a=l时，f(x)=ex-x,r(x)=e*—l,

当x<0时，/V)<0,故在(—8,0)上单调递减，故A不正确.

对于B,当a=0时，/(jc)=ex,此时/(x)-lnx=e*-lnx,

因为/(I)一lnl=』—0<3,故B错误.

对于C当a<0时,f(x)=ex—ax,f'(x)-ex-a>0,

故f(x)在R上为单调递增函数，又/⑼=1,1<0,

故/(X)在(一8,0)上一定存在零点，故C正确.

对于D,取a=2,则/(x)=e'-2x,则f'(x)=/_2，

当x<ln2时，f\x)<0,当x>ln2时，f\x)>0,

故/(x)有唯一的极小值点x=In2,故D正确.故选CD.

27.已知函数有两个互异的极值点玉</)，下列

说话正确的是

A.b2-3ac>0

B.有三个零点的充要条件是/(玉)/。2)<0

C.a>0时，在区间CT”9)上单调递减

D.a<0时，/(当)为极大值，/*2)为极小值

【试题来源】辽宁省凌海市第二高级中学2020-2021学年高三上学期第二次月考

【答案】ABC

【解析】因为函数/(x)=+笈2+以+13声0),所以y'(x)=3ax，+2Z?x+c,

因为/(x)有两个互异的极值点石,/(王</)，所以△=(乃『-12«c=4(/一3改)〉0,

故A正确；所以若/(力有三个零点则/a)/(%2)<0，故B正确：》a>0时，

/'0)=3奴2+26X+C开口向上，则》6(6,彳2)时，.f'(x)<0,所以f(x)区间(否,*2)I-

单调递减，故C正确；当4<0时，当X<玉或X>々时，/'(X)<0,当为<X<%时，/'(X)>(),

所以/(不)为极小值，/(当)为极大值，故D错误；故选ABC.

28.定义在(0,+8)上的函数/(x)的导函数为/'(x),且(x+l)/'(x)-4％)<*+2》对

xw(O,+x))恒成立.下列结论正确的是

A.2/(2)-3/(1)>5

B.若/(1)=2,X>1，则/(x)>f+gx+g

C./(3)-2/(1)<7

D.若/(1)=2,0<x<1,则/(尤)>x~+]x+万

【试题来源】江苏省南通市四校2020-2021学年高三上学期第二次联考

【答案】CD

【分析】构造函数g(x)=/(?；『，然后求导，可得到函数g(x)的单调性，然后根据

单调性判断所给选项的正误.

【解析】构造函数g(x)=/(?；厂，则

,7、_[/'(x)_2x](x+])_[〃x)_x2]_(尤+1)/'(尤_2x

g-(X+1)2-(x+l)2'

因为(％+1)/'(%)-/(力<X2+2》对》€(0,+8)恒成立，

/、(x+l)fr(x}-f(x}-x2-2x八/、/、

所以g(^)=-———M--------<°在X£(O,E)上恒成立，即g(x)在

(x+1)

(。,+。)上递减,所以8(2)<86'即竽<华’整理得2”2)-3/)<5,

故A错；所以g⑶<g⑴，即/⑶9<〃1)T,整理得〃3)-2/(1)<7,故C正

42

确；对于B选项，若/⑴=2,%>1，则g(x)<g⑴在(I,一)恒成立，

所以工HE<川)­=，整理得/(x)<f+J_x+,，所以B错；

x+12222

对于D选项，当0cx<1时，g(x)>g(l),则可得/(力>£+gx+g,故D正确.

故选CD.

29.已知函数y=/(x)在R上可导且"0)=1,其导函数/'(x)满足

(x+l)[/(%)-/(x)]>0,对于函数g(x)="，下列结论正确的是

A.函数g(x)在上为增函数B.x=-l是函数g(x)的极小值点

C.函数g(x)必有2个零点D.e2/(e)>e"⑵

【试题来源】湖南省郴州市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测

【答案】BD

[解析】函数g(x)=绰，则g'(x)=/⑴一/⑺,

eex

当X>—1时，r(x)—/(x)>0,故g(x)在(―1,物)上为增函数，A错误：

当x<T时，r(x)—/(x)<0,故g(x)在(―8,—1)单调递减，故x=T是函数g(x)的极

小值点，B正确；

若g(-l)<0,则y=g(x)有两个零点，若g(-l)=0,则y=g(x)有一个零点，

若g(—l)>0,则y=g(x)没有零点，故C错误；

g(x)在(一1,物)上为增函数，则g(2)<g(e),即堡1<旦0,化简得e2f(e)>e"⑵,

D正确：故选BD

30.己知定义在R上的函数/(x)满足〃x)>—/'(x),则下列式子成立的是

A./(2019)<c/(2020)B.^(2019)>/(2020)

C./(力是R上的增函数D.t>Q,则有“"<一/(》+。

【试题来源】广东省2021届高三上学期10月联考

【答案】AD

【解析】由/(%)>-/'(%),得e"(x)+eV'(x)>0,即[e"(x)]>0，

所以函数e"(x)为增函数，故6刘7(2019)<02°27(2020),

所以/。。付卜。'。。?。)，故A正确，8不正确；

函数e"(x)为增函数时，/(力不一定为增函数，

如“(3)=(3)是增函数，但是减函数，所以。不正确；

因为函数e"(x)为增函数，所以/>0时,有e"(x)<e”/(x+。，

故有/(xhe'/G+r)成立，所以。正确.故选AD.

2

31.关于函数〃x)=1+lnx,下列说法正确的是

A.x=2是/(x)的极大值点

B.函数)=〃x)-x有且只有1个零点

C.存在正整数Z,使得/(x)>依恒成立

D.对任意两个正实数演，W，且玉7々，若/(玉)=/(々)，则斗+々>4

【试题来源】湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高三上学期月考(三)

【答案】BD

21Y—2

【解析】对于A选项，函数的的定义域为(0,+8),函数的导数/'(%)=--r+-=—,

XXX

所以xe(O,2)时，/'(x)<0,函数/(x)单调递减，xe(2,”)时，尸(x)>0,函数/(x)

单调递增，所以x=2是/(%)的极小值点，故A错误;

27I-Y24-Y—?

对于B选项，y=f(x]-x=-+\nx-x,所以―二+[-]=一*,<0,

xX~XX

所以函数在(0,+8)上单调递减，因为/(l)-l=2+lnl-l=l>0,

/(2)-2=l+In2-2<0,所以函数y=/(x)-x有且只有1个零点，故B正确；

对于C选项，若/(x)>依，可得左<且0=2+@二

XXX

/、2Inx…，/、-4+x-xlnx“,(、..

令Ag(x)=”+——，则g'(x)=------j-----,令7z(x)=-4+x-xlnx,

则/?'(x)=Tnx,所以在xw(O,l)上,/z'(x)>0,函数/i(x)单调递增,

xe(l,+w)h,〃'(x)<0,函数/z(x)单调递减，所以〃(x)W〃(l)=-3<0,

所以g'(X)<0,所以8自卜二+一在(0,+纥)上函数单调递减，函数无最小值，

所以不存在正实数3使得/(力>自成立，故C错误；

对于D选项，由再>工2，/(%)=/(%2)可知%>2,0<工2<2,

要证玉+々>4，即证玉>4-々，且%>4一了2>2,

由函数/(x)在xe(2,+oo)是单调递增函数，所以有/(看)>/(4一£)，

由于/(石)=」(/)，所以/(工2)>/(4-々)，即证明/(x)>/(4-x),xe(O,2),

2?

令=/(4-x)=Inx—ln(4—x)4-----,xe(0,2),

则m。)