专题13余弦定理正弦定理的应用（5大考点知识串讲热考题型专题训练）（原卷版）

专题13余弦定理、正弦定理的应用知识聚焦考点聚焦知识点1实际测量中的有关名称、术语1、仰角与俯角：（1）仰角：在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角（2）俯角：在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角2、方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°）3、方位角：从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角知识点2利用解三角形解决实际问题1、测量距离问题解决办法（1）两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosγ).（2）两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB.（3）两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB.2、测量高度问题三个注意事项（1）在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．（2）在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．（3）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．3、测量角度问题三个注意事项（1）测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义；（2）求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值；（3）在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的优点。4、利用解三角形解决实际问题的方法步骤（1）解决方法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解。（2）应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤=1\*GB3①分析：理解题意，分清已知与位置，画出示意图；=2\*GB3②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型中；=3\*GB3③求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解；=4\*GB3④检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解。考点剖析考点1测量距离问题【例1】（2023·广东东莞·高一东莞市厚街中学校考阶段练习）如图，设两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在的同侧，在所在的河岸边选定一点，测出的距离为，，则两点间的距离为（）A．B．C．D．【变式11】（2024·全国·高一假期作业）如图所示，为了测量处岛屿的距离，小明在D处观测，分别在D处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶20海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为（）A．海里B．海里C．海里D．海里【变式12】（2023·上海·高一课时练习）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛_上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为m．【变式13】（2023·浙江嘉兴·高一校考期中）为绘制海底地貌图，测量海底两点，间的距离，海底探测仪沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内.海底探测仪测得，，，，同时测得海里.（1）求的长度；（2）求，之间的距离.考点2测量高度问题【例2】（2023·全国·高一专题练习）中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为和，在A处测得楼顶部M的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（）A．74mB．60mC．52mD．91m【变式21】（2023·江苏南京·高一校联考阶段练习）如图，小明欲测校内某旗杆高MN，选择地面A处和他所在教学楼四楼C处为测量观测点（其中A处、他所在的教学楼、旗杆位于同一水平地面）．从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及，从C点测得．已知C处距地面10m，则旗杆高（）A．12mB．15mC．16mD．18m【变式22】（2023·陕西商洛·高一校考期中）如图，八卦桥（图1）是洛南县地标性建筑之一，它是一个八边形人行天桥，桥的中心处建有一座五层高的宝塔（图2），晚上宝塔上的霓虹灯流光溢彩非常美丽.某同学为了测量宝塔的高度，在塔底部同一水平线上选取了C，D两点，测得塔的仰角分别为和，C，D间的距离是12米.则宝塔的高度AB是（）米.（结果保留根号）A．B．C．D．【变式23】（2023·山东青岛·高一校考期中）如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底同在水平面内的两个测点与.在点测得塔底在北偏东方向，然后向正东方向前进米到达，测得此时塔底在北偏东方向.（1）求点到塔底的距离；（2）若在点测得塔顶的仰角为，求铁塔高.考点3测量角度问题【例3】（2023·福建宁德·高一统考期末）位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20nmile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10nmile的C处的乙船．乙船也立即朝着渔船前往营救，则＝（）A．B．C．D．【变式31】（2023·湖北武汉·高一校联考阶段练习）已知甲船在海岛的正南A处，海里，甲船以每小时4海里的速度向正北航行，同时乙船自海岛出发以每小时6海里的速度向北偏东60°的方向驶去，当航行一小时后，甲船在乙船的（）A．北偏东30°方向B．北偏东15°方向C．南偏西30°方向D．南偏西15°方向【变式32】（2023·河南郑州·高一校联考期中）在海岸A处，发现北偏西75°的方向，与A距离2海里的B处有一艘走私船，在A处北偏东45°方向，与A距离（）海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/小时的速度从B向北偏西30°方向逃窜，问：（1）刚发现走私船时，缉私船距离走私船多远？在走私船的什么方向？（2）缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【变式33】（2023·江苏盐城·高一校考期中）如图，某运动员从市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在市南偏东方向距市的处有一艘小艇，小艇与海岸距离为，若小艇与运动员同时出发，要追上这位运动员.（1）小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？（2）求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与的夹角.考点4判断三角形形状【例4】（2023·辽宁本溪·高二校考期中）在中，若，则是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形【变式41】（2023·甘肃天水·高一天水市第一中学校考阶段练习）在中，若，则的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【变式42】（2023·全国·高一课时练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【变式43】（2023·河南·高二济源市第四中学校考阶段练习）已知内角A，B，C的对边为a，b，c，若，，则的形状是（）A．钝角三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形考点5三角形中最值范围问题【例5】（2023·福建宁德·高一统考期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，是半径上的动点，.则面积的最大值为（）A．B．C．D．【变式51】（2023·全国·高一课时练习）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（）A．B．C．D．【变式52】（2023·湖南岳阳·高一校考阶段练习）在平面直角坐标系中，锐角、的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点分别为，.已知点的纵坐标为，点的横坐标为.（1）求的值；（2）记的内角，，的对边分别为，，.若，且，求周长的最大值.【变式53】（2023·山东德州·高一统考期末）从①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在锐角中，分别是角的对边，若________________．（1）求角的大小；（2）求取值范围；（3）当取得最大值时，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，求面积的最大值．（注：若选择多个条件，按第一个解答计分）过关检测一、单选题1．（2023·福建福州·高一校联考期中）的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的形状是（）A．等腰非直角三角形B．直角非等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形2．（2023·江苏扬州·高一扬州中学校考阶段练习）在中，若，则的形状为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形3．（2023·辽宁鞍山·高一校考期末）如图，小明想测量自己家所在楼对面的电视塔的高度，他在自己家阳台M处，M到楼地面底部点N的距离为，假设电视塔底部为E点，塔顶为F点，在自己家所在的楼与电视塔之间选一点P，且E，N，P三点共处同一水平线，在P处测得阳台M处、电视塔顶处的仰角分别是和，在阳台M处测得电视塔顶F处的仰角，假设，和点P在同一平面内，则小明测得的电视塔的高为（）A．B．C．D．4．（2023·江苏南京·高一南京师大附中校考阶段练习）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为，半径为的球，若地球表面上的观测者与某颗地球静止同步轨道卫星处于相同经度，且能直接观测到，设点的维度（与赤道平面所成角的度数）的最大值为，则（）A．B．C．D．5．（2023·云南曲靖·高一曲靖一中校考阶段练习）冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求，该同学取端点绘制了△ABD，测得AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（）A．B．C．D．6．（2023·山东青岛·高一统考期中）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．也就是说，在中，分别为内角的对边，那么的面积，若，且，则面积的最大值为（）A．B．C．6D．7．（2023·云南保山·高一校考期中）已知的三个内角分别为，，，若，则的最大值为（）A．B．C．D．8．（2023·江苏连云港·高一连云港高中校考期中）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且外接圆半径为，则△ABC周长的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题9．（2023·海南·高一统考期末）在中，角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（）A．若，，边上的高为，则为等腰三角形B．若，，，则为直角三角形C．若，，则为直角三角形D．若，则为锐角三角形10．（2023·全国·高一随堂练习）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为nmile；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为nmile．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则下列说法正确的是（）A．处与处之间的距离是B．灯塔与处之间的距离是C．灯塔在处的西偏南D．在灯塔的北偏西11．（2023·全国·高一课时练习）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（）A．若B+C=2A，则的外接圆的面积为B．若，且有两解，则b的取值范围为C．若C=2A，且为锐角三角形，则c的取值范围为D．若A=2C，且，为的内心，则的面积为12．（2023·福建厦门·高一厦门第二中学校考阶段练习）已知中，在上，为的角平分线，为中点，则（）A．B．的面积为C．D．三、填空题13．（2023·江苏无锡·高一南菁高级中学校考阶段练习）如图，位于我国南海海域的某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里（小岛的大小忽略不计，测量误差忽略不计），经过测量得到数据：．小岛C与小岛D之间的距离为海里．14．（2023·河北保定·高一保定一中校考阶段练习）如图，为测量一座大厦AB的高度，当小明在C处时测得楼顶A的仰角为60°，接着沿BC方向行走30m至D处时测得楼顶A的仰角为30°，则大厦AB的高度是m．15．（2023·广东东莞·高一东莞中学松山湖学校校考阶段练习）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，缉私船要最快追上走私船，所需的时间约是分钟．（注：）16．（2023·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习）如图，在三角形中，若，，，则的长度的最大值为.四、解答题17．（2023·全国·高一随堂练习）如下图所示，某市郊外景区内一条笔直的公路经过三个景点、、.景区管委会又开发了风景优美的景点.经测量景点位于景点的北偏东方向处，位于景点的正北方向，还位于景点的北偏西方向上.已知.（1）景区管委会准备由景点向景点修建一条笔直的公路.求线段的长度（长度单位精确到0.1km）；（2）求线段的长度（长度单位精确到0.1km）（）.18．（2023·高一课时练习）如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站AB，已知基站高，该同学的眼睛到地面的距离为1.5m，该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为，测得基站顶端A的仰角为