第2章知识资料结构振动方程的建立

第二章结构运动方程的建(8h)分析动力学的基本概念系统运动方程的建立中南大学桥梁工程系第二章结构运动方程的建立中南大学桥梁工程系2.1结构动力计算的目的与特点(2h)结构动力计算目的

研究动荷载（广义的）作用下结构动力响应（包括位移、内力等）的计算原理与方法。第二章结构运动方程的建立中南大学桥梁工程系静动荷载的区别:（a)是否随时间变化；

(b)看荷载作用效果：

当荷载对结构的影响与单纯的静荷载相比相差较大，此时属于动力问题第二章结构运动方程的建立中南大学桥梁工程系动力问题的基本特征荷载与响应（或系统特征）随时间变化（要求解时程响应）动力问题是一系列的瞬时动平衡问题（暂不关心动力稳定问题）存在惯性力（-ma）与阻尼力（-cv）作用第二章结构运动方程的建立中南大学桥梁工程系2.2系统的约束、广义坐标及自由度约束(1)自由质点系vs约束质点系第二章结构运动方程的建立vs中南大学桥梁工程系(2)约束分类及其约束方程第二章结构运动方程的建立几何约束——只限制系统质点的位置运动约束——不仅限制质点位置，还限制质点的运动速度中南大学桥梁工程系(2)约束分类及其约束方程第二章结构运动方程的建立稳定约束——约束方程不显含时间变量t非稳定约束——约束方程显含时间变量t(2)约束分类及其约束方程第二章结构运动方程的建立完整约束——包含几何约束和可积分的运动约束，不包含速度分量非完整约束——约束方程包含速度分量图2-1-4冰刀面内运动

由于杆AB和

轴夹角Θ随着体系运动不断变化，故上式是一个不可积分的运动约束方程

中南大学桥梁工程系广义坐标——完全描述系统振动位形的独立变量实例1：多刚体系统第二章结构运动方程的建立广义坐标组不唯一，但数量一定！中南大学桥梁工程系实例2：简支梁广义坐标表述方法——广义坐标法第二章结构运动方程的建立

假设结构的变形曲线形状可以用一系列规定的位移曲线之和表示，即用数学式表达如下：---广义坐标---形状函数讨论：如何构建合适的形状函数？中南大学桥梁工程系

用有限数量的离散位移坐标表示给定结构的位移。实例3：有限单元法切分结构定节点位移表述单元位移第二章结构运动方程的建立全部节点位移即为一组广义坐标。中南大学桥梁工程系对于完整体系：自由度=广义坐标数自由度——任一时刻，在约束许可的条件下，能自由变化的独立变量的数目第二章结构运动方程的建立对于非完整体系：自由度<广义坐标数广义坐标数：3自由度：2中南大学桥梁工程系2.3实位移、可能位移与虚位移实位移：在真实运动中各质点所产生的位移第二章结构运动方程的建立要满足：运动方程、初始条件，约束方程——唯一性可能位移：只需满足约束方程的位移——不唯一中南大学桥梁工程系虚位移：在某固定时刻体系在约束许可情况下假想的微小位移第二章结构运动方程的建立稳定约束非稳定约束中南大学桥梁工程系2.4广义力(2h)数学推导第二章结构运动方程的建立已知：由l个质点组成的完整约束系统；

s个约束；

n(n=3l-s)个广义坐标任意质点

的位置中南大学桥梁工程系第二章结构运动方程的建立任意质点

受力所作虚功质点系所有作用力所作虚功和中南大学桥梁工程系第二章结构运动方程的建立当

包含作用在质点系所有力（包括系统外力与内力）时，

为所有作用力对应于广义坐标

的广义力，此时可以得出广义力形式的平衡方程以上过程就是虚功原理！中南大学桥梁工程系第二章结构运动方程的建立当

包含作用在质点系部分力时，

为所有作用力对应于广义坐标

的广义力。拉格朗日方程中的广义力含义：中南大学桥梁工程系广义力计算方法：例1第二章结构运动方程的建立中南大学桥梁工程系广义力计算方法：例2——作业讨论材料第二章结构运动方程的建立讨论1：内力虚功如何计算？弹簧力如何处理？讨论3：广义力形式的平衡方程？静力、动力平衡方程讨论2：部分作用力对应的广义力！动力系统还包括惯性力！第二章结构运动方程的建立系统产生一定的虚位移

1）外力P1、P2所做的虚功2）弹簧k1产生一组系统内力这组系统内力对m1、m2分别做虚功：3）弹簧k2产生一个系统外力对m2做虚功为：总虚功：中南大学桥梁工程系中南大学桥梁工程系2.5系统运动方程的建立(2h)基于达朗贝尔原理（1743年提出）的直接平衡法

牛顿第二定律：任何质量m的动量变化率等于作用于其上的力(1687年)。第二章结构运动方程的建立(运动方程,Equationofmotion）中南大学桥梁工程系达朗贝尔原理要点：

（1）质量所产生的惯性力与它的加速度成正比，但方向相反。

（2）将运动方程表示为动力平衡方程，p(t)包含很多种作用在质量上的力（弹性约束力、抵抗速度的阻尼力、独立说明的外荷载），引入惯性力，上式为作用于质量上的全部力的平衡表达式。第二章结构运动方程的建立动力平衡方程（Equationofdynamicequilibrium）中南大学桥梁工程系实例：简单系统运动方程的建立（板书）第二章结构运动方程的建立中南大学桥梁工程系达朗贝尔原理+虚位移原理（1717年贝努利提出）

虚位移原理：如果体系在一组力作用下平衡，则当体系产生一个约束允许的虚位移时，这组力所作的总虚功为零。说明：上式为质点系虚位移原理，对于变形体还总虚功应包含内力所作虚功。第二章结构运动方程的建立中南大学桥梁工程系实例：单自由度k-c-m系统运动方程的建立（板书）第二章结构运动方程的建立中南大学桥梁工程系实例：复杂单自由度k-c-m系统运动方程的建立（作业1）第二章结构运动方程的建立中南大学桥梁工程系弹性系统动力学总势能不变值原理

——系统弹性应变能；——系统惯性力势能（作功负值）；——系统粘滞阻尼力势能（作功负值）；——系统库伦摩擦力势能（作功负值）；——系统干扰力势能（作功负值）；——系统重力势能第二章结构运动方程的建立讲课思路：从简单实例入手，初步接触原理特征，再提炼一般性认识。中南大学桥梁工程系外力势能概念第二章结构运动方程的建立外力势能：外力做功负值中南大学桥梁工程系由虚功原理演变到弹性系统动力学总势能不变值原理

第二章结构运动方程的建立说明：应用时，先写总势能，再做位移变分（回到了虚功原理），整理出平衡式。中南大学桥梁工程系弹性系统动力学总势能不变值原理

实例1：单自由度k-c-m系统运动方程的建立（板书）第二章结构运动方程的建立应用时，先写总势能，再做位移变分（回到了虚功原理），整理出平衡式。相比虚功原理，这里用弹性应变能代替了弹性力虚功，简便了！便于后续的“对号入座”。中南大学桥梁工程系实例2：多刚体系统

系统的两个自由度为：、弹性应变能：惯性力势能：阻尼力势能：外力势能：第二章结构运动方程的建立中南大学桥梁工程系系统的总势能：总势能位移变分：振动方程：注意：这里是先有方程组，再写成矩阵形式，第二章结构运动方程的建立中南大学桥梁工程系“对号入座”法则：k加到K矩阵i行j列c加到C矩阵i行j列m加到M矩阵i行j列p加到P列阵i行第二章结构运动方程的建立中南大学桥梁工程系“对号入座”法则特点：第二章结构运动方程的建立此原理与此法则联合使用。部分势能，部分变分，部分对号入座。对于结构局部构件的贡献，更方便加到矩阵方程中。中南大学桥梁工程系此原理与此法则的历史：第二章结构运动方程的建立中南大学桥梁工程系有限元动力学方程的建立（以平面梁为例）(2h)①分析思路：划分单元系统总势能位移变分对号入座成矩阵第二章结构运动方程的建立中南大学桥梁工程系系统的总势能=各单元惯性力势能+各单元阻尼力势能+各单元弹性变形能

+所有外力势能第二章结构运动方程的建立中南大学桥梁工程系②单元位移模型单元节点位移：单元内部位移：第二章结构运动方程的建立中南大学桥梁工程系③单元弹性变形能及变分单元弹性变形能：变形能的位移变分：单元刚度矩阵第二章结构运动方程的建立中南大学桥梁工程系积分内移得到单元刚度矩阵各元素kij：第二章结构运动方程的建立单元对号入座中南大学桥梁工程系③单元惯性力势能及其位移变分(阻尼力势能同此)单元惯性力势能：惯性力势能变分：积分内移得到单元质量矩阵各元素mij：单元质量（阻尼）矩阵第二章结构运动方程的建立中南大学桥梁工程系④外荷载势能及变分外荷载势能：外荷势能变分：荷载元素对号入座到荷载列阵：第二章结构运动方程的建立中南大学桥梁工程系⑤单元矩阵叠加到总体矩阵（整体对号入座）

重点：单元矩阵叠加到总体矩阵的具体过程第二章结构运动方程的建立中南大学桥梁工程系⑥边界条件处理方法

1）置大数法：第二章结构运动方程的建立2）划行法：中南大学桥梁工程系桁架梁段单元第二章结构运动方程的建立中南大学桥梁工程系箱梁段单元第二章结构运动方程的建立武广汀泗桥中南大学桥梁工程