小学奥数知识点及公式总汇(必背)

朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。第页/共页小学奥数知识点及公式总汇（必背）1．和差倍问题 22．年龄问题的三个基本特征：3．归一问题的基本特点：4．植树问题5．鸡兔同笼问题6．盈亏问题 37．牛吃草问题 8．周期循环与数表逻辑9．平均数10．抽屉原理 411．定义新运算12．数列求和13．二进制及其应用 514．加法乘法原理和几何计数15．质数与合数 616．约数与倍数 17．数的整除 718．余数及其应用 19．余数、同余与周期20．分数与百分数的应用 821．分数大小的比较 922．分数拆分23．彻低平方数24．比和比例 1025．综合行程26．工程问题27．逻辑推理 1128．几何面积29．立体图形30．时钟问题—快慢表问题 1231．时钟问题—钟面追及32．浓度与配比33．经济问题 1333．经济问题34．容易方程35．不定方程36．循环小数 14和差倍问题和差问题和倍问题差倍问题已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系公式①(和－差)÷2=较小数较小数＋差=较大数和－较小数=较大数②(和＋差)÷2=较大数较大数－差=较小数和－较大数=较小数和÷(倍数＋1)=小数小数×倍数=大数和－小数=大数差÷(倍数-1)=小数小数×倍数=大数小数＋差=大数关键问题求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数2．年龄问题的三个基本特征：①两个人的年龄差是不变的；②两个人的年龄是同时增强或者同时减少的；③两个人的年龄的倍数是发生变化的；3．归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，普通是那个“单一量”，题目普通用“照这样的速度”……等词语来表示。关键问题：按照题目中的条件决定并求出单一量；4．植树问题基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，惟独一端植树封闭曲线上植树基本公式棵数=段数＋1棵距×段数=总长棵数=段数－1棵距×段数=总长棵数=段数棵距×段数=总长关键问题决定所属类型，从而决定棵数与段数的关系5．鸡兔同笼问题基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路：①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；③每个事物造成的差是固定的，从而找出浮上这个差的缘故；④再按照这两个差作适当的调节，消去浮上的差。基本公式：①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）关键问题：找出总量的差与单位量的差。6．盈亏问题基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，因为分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．基本思路：先将两种分配计划举行比较，分析因为标准的差异造成结果的变化，按照这个关系求出参加分配的总份数，然后按照题意求出对象的总量．基本题型：①一次有余数，另一次不足；基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差②当两次都有余数；基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差③当两次都不足；基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差基本特点：对象总量和总的组数是不变的。关键问题：决定对象总量和总的组数。7．牛吃草问题基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，按照两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的缘故，即可决定草的生长速度和总草量。基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；关键问题：决定两个不变的量。基本公式：生长量=（较长时光×长时光牛头数-较短时光×短时光牛头数）÷（长时光-短时光）；总草量=较长时光×长时光牛头数-较长时光×生长量；8．周期循环与数表逻辑周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有逻辑循环浮上。周期：我们把延续两次浮上所经过的时光叫周期。关键问题：决定循环周期。闰年：一年有366天；①年份能被4整除；②倘若年份能被100整除，则年份必须能被400整除；平年：一年有365天。①年份不能被4整除；②倘若年份能被100整除，但不能被400整除；9．平均数基本公式：①平均数=总数量÷总份数总数量=平均数×总份数总份数=总数量÷平均数②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数基本算法：①求出总数量以及总份数，利用基本公式①举行计算.②基准数法：按照给出的数之间的关系，决定一个基准数；普通选与所有数比较临近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，详细关系见基本公式②10．抽屉原理抽屉原则一：倘若把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1看见上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。抽屉原则二：倘若把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉至少有:①k=[n/m]+1个物体：当n不能被m整除时。②k=n/m个物体：当n能被m整除时。理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数。例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后根据抽屉原则举行运算。11．定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。基本思路：郑重按照新定义的运算规矩，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、逻辑举行运算。关键问题：准确理解定义的运算符号的意义。注重事项：①新的运算不一定符合运算逻辑，异常注重运算顺序。②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。12．数列求和等差数列：在一列数中，随意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。基本概念：首项：等差数列的第一个数，普通用a1表示；项数：等差数列的所有数的个数，普通用n表示；公差：数列中随意相邻两个数的差，普通用d表示；通项：表示数列中每一个数的公式，普通用an表示；数列的和：这一数列所有数字的和，普通用Sn表示．基本思路：等差数列中涉及五个量：a1,an,d,n,sn,,通项公式中涉及四个量，倘若己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，倘若己知其中三个，就可以求这第四个。基本公式：通项公式：an=a1+（n－1）d；通项＝首项＋（项数一1)×公差；数列和公式：sn,=(a1+an)×n÷2；数列和＝（首项＋末项）×项数÷2；项数公式：n=(an+a1)÷d＋1；项数=（末项-首项）÷公差＋1；公差公式：d=（an－a1））÷（n－1）；公差=（末项－首项）÷（项数－1）；关键问题：决定已知量和未知量，决定使用的公式；13．二进制及其应用十进制：用0～9十个数字表示，逢10进1；不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100注重：N0=１；N１=N（其中N是随意天然数）二进制：用0～1两个数字表示，逢2进1；不同数位上的数字表示不同的含义。（2）=An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7+……+A3×22+A2×21+A1×20注重：An不是0就是1。十进制化成二进制：①按照二进制满2进1的特点，用2延续去除这个数，直到商为0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。②先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2的n次方，依此主意向来找到差为0，按照二进制展开式特点即可写出。14．加法乘法原理和几何计数加法原理：倘若完成一件任务有n类主意，在第一类主意中有m1种不同主意，在第二类主意中有m2种不同主意……，在第n类主意中有mn种不同主意，那么完成这件任务共有：m1+m2+mn种不同的主意。关键问题：决定工作的分类主意。基本特征：每一种主意都可完成任务。乘法原理：倘若完成一件任务需要分成n个步骤举行，做第1步有m1种主意，不管第1步用哪一种主意，第2步总有m2种主意……不管前面n-1步用哪种主意，第n步总有mn种主意，那么完成这件任务共有：m1×m2×mn种不同的主意。关键问题：决定工作的完成步骤。基本特征：每一步只能完成任务的一部分。直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。直线特点：没有端点，没有长度。线段：直线上随意两点间的距离。这两点叫端点。线段特点：有两个端点，有长度。射线：把直线的一端无限延伸。射线特点：惟独一个端点；没有长度。①数线段逻辑：总数＝1+2+3+…+（点数一1）；②数角逻辑=1+2+3+…+（射线数一1）；③数长方形逻辑：个数=长的线段数×宽的线段数：④数长方形逻辑：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数15．质数与合数质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。质因数：倘若某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。分解质因数的标准表示形式：N=，其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数，且a1<a2<a3<……<an。求约数个数的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)互质数：倘若两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。16．约数与倍数约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。最大公约数的性质：1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。4、几个数都乘以一个天然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有：1、2、3、6、9、18；那么12和18的公约数有：1、2、3、6；那么12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；求最大公约数基本主意：1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。12的倍数有：12、24、36、48……；18的倍数有：18、36、54、72……；那么12和18的公倍数有：36、72、108……；那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36；最小公倍数的性质：1、两个数的随意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。求最小公倍数基本主意：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的主意17．数的整除一、基本概念和符号：1、整除：倘若一个整数a，除以一个天然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；二、整除判断主意：1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。5.能被7整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。6.能被11整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。7.能被13整除：①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。三、整除的性质：1.倘若a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。2.倘若a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。3.倘若a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。4.倘若a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。18.余数及其应用基本概念：对随意天然数a、b、q、r，倘若使得a÷b=q……r，且0<r<b,那么r叫做a除以b的余数，q叫做a除以b的不彻低商。余数的性质：①余数小于除数。②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。19．余数、同余与周期一、同余的定义：①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。②已知三个整数a、b、m，倘若m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod

m)，读作a同余于b模m。二、同余的性质：①自身性：a≡a(modm)；②对称性：若a≡b(modm)，则b≡a(modm)；③传递性：若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡c(modm)；④和差性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a+c≡b+d(modm)，a-c≡b-d(modm)；⑤相乘性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a×c≡b×d(modm)；⑥乘方性：若a≡b(modm)，则an≡bn(modm)；⑦同倍性:若a≡b(modm)，整数c，则a×c≡b×c(modm×c)；三、关于乘方的决定知识：①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md四、被3、9、11除后的余数特征：①一个天然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod9)或（mod3）；②一个天然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod11)；五、费尔马小定理：倘若p是质数（素数），a是天然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(modp)。20．分数与百分数的应用基本概念与性质：分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。常用主意：①逆向思维主意：从题目提供条件的反方向（或结果）举行思量。②对应思维主意：找出题目中详细的量与它所占的率的直接对应关系。③转化思维主意：把一类应用题转化成另一类应用题举行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准（在分数中普通指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理主意是决定不同的标准为一倍量。④假设思维主意：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再举行调节，求出最后结果。⑤量不变思维主意：在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不论其他量如何变化，而这个量是一直固定不变的。有以下三种情况：A、分量发生变化，总量不变。B、总量发生变化，但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。⑥替换思维主意：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的逻辑举行处理。⑧浓度配比法：普通应用于总量和分量都发生变化的情况。21．分数大小的比较基本主意：①通分分子法：使所有分数的分子相同，按照同分子分数大小和分母的关系比较。②通分分母法：使所有分数的分母相同，按照同分母分数大小和分子的关系比较。③基准数法：决定一个标准，使所有的分数都和它举行比较。④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越大。⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上主意外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。（详细运用见同倍率变化逻辑）⑥转化比较主意：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后举行比较。⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1举行比较。⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。⑨倒数比较法：利用倒数比较大小，然后决定原数的大小。⑩基准数比较法：决定一个基准数，每一个数与基准数比较。22.分数拆分将一个分数单位分解成两个分数之和的公式：第一题你要拆1/12（也就是1/A）先列出12的约（因）数：1、2、3、4、6、12

随意选两个约数分为a1a2这里我选3、4

公式：1/A=A÷a1×（a1+a2）/1+A÷a2×（a1+a2）/1

套入公式：1/12=12÷3×（3+4）/1+12÷4×（3+4）/1

最后等于：1/12=1/28+1/21

第二题就像上面的一样套入公式计算，要把第一题的其中一个答案再拆分就可以了。

答案是：1/21+1/84+1/4223．彻低平方数彻低平方数特征：1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。2.除以3余0或余1；反之不成立。3.除以4余0或余1；反之不成立。4.约数个数为奇数；反之成立。5.奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。6.奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）彻低平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2彻低平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2费尔马小定理：倘若p是质数（素数），a是天然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(modp)。24．比和比例比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项。比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交错相乘)，ad=bc。正比例：若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时），则A与B成正比。反比例：若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时），则A与B成反比。比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。25．综合行程基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时光、路程三者之间的关系.基本公式：路程=速度×时光；路程÷时光=速度；路程÷速度=时光关键问题：决定运动过程中的位置和方向。相遇问题：速度和×相遇时光=相遇路程（请写出其他公式）追及问题：追及时光＝路程差÷速度差（写出其他公式）流水问题：顺水行程=（船速+水速）×顺水时光逆水行程=（船速-水速）×逆水时光顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2水速=（顺水速度-逆水速度）÷2流水问题：关键是决定物体所运动的速度，参照以上公式。过桥问题：关键是决定物体所运动的路程，参照以上公式。主要主意：画线段图法基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程）、时光（相遇时光、追及时光）、速度（速度和、速度差）中随意两个量，求第三个量。26．工程问题基本公式：①工作总量=工作效率×工作时光②工作效率=工作总量÷工作时光③工作时光=工作总量÷工作效率基本思路：①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）；②假设一个方便的数为工作总量（普通是它们完成工作总量所用时光的最小公倍数），利用上述三个基本关系，可以容易地表示出工作效率及工作时光.关键问题：决定工作量、工作时光、工作效率间的两两对应关系。经验简评：合久必分，分久必合。27．逻辑推理基本主意简介：①条件分析—假设法：假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断，倘若有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情况是成立的。例如，假设a是偶数成立，在判断过程中浮上了矛盾，那么a一定是奇数。②条件分析—列表法：当题设条件比较多，需要多次假设才干完成时，就需要举行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件所有表示在一个长方形表格中，表格的行、列分离表示不同的对象与情况，看见表格内的题设情况，运用逻辑逻辑举行判断。③条件分析——图表法：当两个对象之间惟独两种关系时，就可用连线表示两个对象之间的关系，有连线则表示“是，有”等绝对的状态，没有连线则表示一定的状态。例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表示认识，没有表示不认识。④逻辑计算：在推理的过程中除了要举行条件分析的推理之外，还要举行相应的计算，按照计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。⑤容易归纳与推理：按照题目提供的特征和数据，分析其中存在的逻辑和主意，并从异常情况推广到普通情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解决。28．几何面积基本思路：在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下，普通需要对图形举行割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规矩的图形变为规矩的图形举行计算；另外需要控制和记忆一些常规的面积逻辑。常用主意：1.连辅助线主意2.利用等底等高的两个三角形面积相等。3.大胆假设（有些点的设置题目中说的是随意点，解题时可把随意点设置在异常位置上）。4.利用异常逻辑①等腰直角三角形，已知随意一条边都可求出面积。（斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积）②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。29．立体图形名称图形特征表面积体积长方体8个顶点；6个面；相对的面相等；12条棱；相对的棱相等；S=2(ab+ah+bh)V=abh=Sh正方体8个顶点；6个面；所有面相等；12条棱；所有棱相等；S=6a2V=a3圆柱体上下两底是平行且相等的圆；侧面展开后是长方形；S=S侧+2S底S侧=ChV=Sh圆锥体下底是圆；惟独一个顶点；l:母线，顶点究竟圆周上随意一点的距离；S=S侧+S底S侧=rlV=Sh球体圆心到圆周上随意一点的距离是球的半径。S=4r2V=r330．时钟问题—快慢表问题基本思路：1、按照行程问题中的思维主意解题；2、不同的表当成速度不同的运动物体；3、路程的单位是分格（表一周为60分格）；4、时光是标准表所经过的时光；5、合理利用行程问题中的比例关系；31．时钟问题—钟面追及基本思路：封闭曲线上的追及问题。关键问题：①决定分针与时针的初始位置；②决定分针与时针的路程差；基本主意：①分格主意：时钟的钟面圆周被匀称分成60小格，每小格我们称为1分格。分针每小时走60分格，即一周；而时针只走5分格，故分针每分钟走1分格，时针每分钟走1／12分格。②度数主意：从角度观点看，钟面圆周一周是360°，分针每分钟转360/60度，即6°，时针每分钟转360/12*60度，即1/2度。32．浓度与配比经验总结：在配比的过程中存在这样的一个反比例关系，举行混合的两种溶液的分量和他们浓度的变化成反比。溶质：溶解在其它物质里的物质（例如糖、盐、酒精等）叫溶质。溶剂：溶解其它物质的物质（例如水、汽油等）叫溶剂。溶液：溶质和溶剂混合成的液体（例如盐水、糖水等）叫溶液。基本公式：溶液分量=溶质分量+溶剂分量；溶质分量=溶液分量×浓度；浓度=（溶质／溶液）×100%溶剂=溶液×（1-浓度）理论部分小练习：试推出溶质、溶液、溶剂三者的其它公式。经验总结：在配比的过程中存在这样的一个反比例关系，举行混合的两种溶液的分量和他们浓度的变化成反比。33．经济问题利润的百分数=（卖价-成本）÷成本×100%；卖价=成本×（1+利润的百分数）；成本=卖价÷（1+利润的百分数）；商品的定价按照期待的利润来决定；定价=成本×（1+期待利润的百分数）；本金：储蓄的金额；利率：利息和本金的比；利息=本金×利率×期数；含税价格=不含税价格×（1+增值税税率）；34．容易方程代数式：用运算符号（加减乘除）衔接起来的字母或者数字。方程：含有未知数的等式叫方程。列方程：把两个或几个相等的代数式用等号连起来。列方程关键问题：用两个以上的不同代数式表示同一个数。等式性质：等式两边同时加上或减去一个数，等式不变；等式两边同时乘以或除以一个数（除0），等式不变。移项：把数或式子改变符号后从方程等号的一边移到另一边；移项规矩：先移加减，后变乘除；先去大括号，再去中括号，最后去小括号。加去括号规矩：在惟独加减运算的算式里，倘若括号前面是“+”号，则添、去括号，括号里面的运算符号都不变；倘若括号前面是“－”号，添、去括号，括号里面的运算符号都要改变；括号里面的数前没有“+”或“－”的，都按有“+”处理。移项关键问题：运用等式的性质，移项规矩，加、去括号规矩。乘法分配率：a(b+c)=ab+ac解方程步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤求解；方程组：几个二元一次方程组成的一组方程。解方程组的步骤：①消元；②按一元一次方程步骤。消元的主意：①加减消元；②代入消元。35．不定方程一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，因为它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程；常规主意：看见法、实验法、枚举法；多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；多元不定方程解法：按照已知条件决定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可；涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较；解不定方程的步骤：1、列方程；2、消元；3、写出表达式；4、决定范围；5、决定特征；6、决定答案；技巧总结：A、写出表达式的技巧：用特征不显然的未知数表示特征显然的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数；B、消元技巧：消掉范围大的未知数；36．循环小数一、把循环小数的小数部分化成分数的规矩①纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是9，9的个数与一个循环节的位数相同，末几位是0，0的个数与不循环部分的位数相同。二、分数转化成循环小数的判断主意：①一个最简分数，倘若分母中既含有质因数2和5，又含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必然是混循环小数。②一个最简分数，倘若分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必然是纯循环小数。***1至30的平方1*1=12*2=43*3=94*4=165*5=256*6=367*7=498*8=649*9=8110*10=10011*11=12112*12=14413*13=16914*14=19615*15=22516*16=25617*17=28918*18=32419*19=361

20*20=40021*21=44122*22=48423*23=52924*24=57625*25=62526*26=67627*27=72928*28=78429*29=84130*30=900***世界上最神秘的数字是1除以7的循环节：1428571/7=0.142857142857142857它神秘在哪里呢？1、我们把它从1乘到6看看142857X1=1428571→4→2→8→5→7142857X2=2857142→8→5→7→1→4142857X3=4285714→2→8→5→7→1142857X4=5714285→7→1→4→2→8142857X5=7142857→1→4→2→8→5142857X6=8571428→5→7→1→4→2同样的6个数字，只是依此调换了位置，反复浮上。2、我们从1乘到6除以7看看1/7=0.142857...2/7=0.285714...3/7=0.428571...4/7=0.571428...5/7=0.714285...6/7=0.857142.1，3，5分离除以7所得商的逻辑是循环节的最高位后移，后面的前移。

2，4，6分离除以7所得商的逻辑是循环节的前两位后移，后面的前移。3、那么把它乘以7是多少呢？我们会惊人的发现是9999994、142+857=99914+28+57=991+4+2+8+5+7=9+9+95、我们用142857乘以142857=前五位+上后六位的得数是多少呢？20408+122449=142857“142857”发现于埃及金字塔内，它确实是一组神秘的数字。***数学小故事：神秘美好的“9”九，是我们中华民族所崇拜的数字，在中国古代人们的观念中，将天称为“九天”、“九重”、“九霄”;将地划为“九州”、“九域

”;将宗庙称为“九庙”;道路谓之“九陌”;山有“九崇”;水曰“九河”;地有“九泉”;人分“九级”;官为“九品”。在古乐古诗中有九辩、九喜、九歌、九章等。九在中国人的心中竟拥有如此神秘的地位;作为一个数学兴趣者，应该去深入探索它的本质及其它美好的蕴意。《易经》上说，九数含有吉祥的意思，倘若按照“阴阳”来说，奇数为阳，偶数为阴，而九是阳数中最大的，称为“极阳数”。十是一个完美的数字，而九临近十而不到十，具有很强的倾向性，一位数字惟独十个，而九是最大的一个，故为数字之极，寓义崇高。大概，就是这个缘故，九有其最多的神奇特点，最多的趣味性质。九有一个异常神奇的性质，是其它数字所没有的。倘若要求一个天然数除以九的余数，则只要将这个数各位数字相加，其和倘若仍是两位以上的数，则再将这个和的各位数字相加，最后所得的一位数，就是这个天然数除以九的余数。九的这一神奇特点，总使数学兴趣者十分着迷，许多趣味数学游戏，都与九的这一逻辑有关。数学教师常用“凑九”法验算学生的算式是否有误，而“凑九”法就是采用了这一原理。九的倍数的各位数字之和也一定是九的倍数，可知九的倍数是一个异常和睦遗憾的数系。八位数12345679，倘若将它同九相乘，神奇的很，其积竟是全由1组成的数字111111111;如再乘18(九的2倍)，可得九个2，乘27(九的3倍)，可得九个3……，直到乘81，就可以得到九个9.这种整洁统一的特点，给人以多么美好的印象啊!大概有人要问为什么把8去掉，填上会有逻辑吗?若把7、8都去掉，或把6、7、8都去掉，仍用九去乘，还有逻辑吗?答案是绝对的。九这个数字就是这么神秘，我们来看下列算式：纵观上面九个算式，不仅算式的结果很有逻辑，且积的数字之和都为九。第一个算式到第九个算式的变化，更能显示出神奇无比的秩序美。倘若你随意找来一个两位以上的天然数，比如是317，将此数打乱，变成173、731、713吧，我们现在求出新数与原数的差，你猜会有什么结论?这些差144、414、396居然全是九的倍数。在这里，无论是定数字，还是打乱所找数字的顺序，都是多么的随心所欲啊!可是在这种繁乱中竟能浮上逻辑，这种逻辑的主宰者却是九。倘若再随意找一个两位以上的数，比喻418，①先将它的各位数字之和求出;②用原数减去其数字之和(418-18)，其差405也是九的倍数。下列算式确实是种简明的公式：100a+10b+c-(a+b+c)=99a+9b，公式的结果居然是一个常数，且还是九的倍数，如所选的数是4位、5位，是否还有逻辑呢?我们敢于绝对地说，九的神奇一定到处再现，无论是多少位，九的统一美的光芒定会时时闪耀。九是一个神秘的反序数，在算式1089×9=9801中可知，九乘某一个数字，能使其顺序正巧颠倒过来。从算式123456789×8+9=987654321中也可知，九加某数也竟能使其顺序颠倒;九也是一个神圣的自补数，因为92=81，1+9=10;992=9801，1+99=102;9992=998001，1+999=103;……又99×47=4658，而53+47=102，999×321=320679，而670+321=103，九又是一个奥秘的自生数，93=729，993=970299，9993=997002999;九也是一个神奇的再植数，从算式109890×9=989010中看出，9居然将这个数的最高两位变成最低两位。九还是有趣的勾股数中不可缺少的成员：2+402=412、92+122=152、而40+41=92、12+15=33=3×9.啊!九的神奇，操纵着无数数学运算和游戏，它不愧为一位伟大的魔术师。在除法中，九的神奇也使人迷恋。看下列等式：1/9=0.111……，2/9=0.222……，8/9=0.888……，多有逻辑啊!在化循环小数为分数时，九又是大显神手，10是完美的数字，对于10，9和11是对称的，这种对称下也躲藏着许多秘密：1/11=0.09，2/11=0.18，3/11=0.27，…，9/11=0.81，10/11=0.90，真巧，分母含11的倍数，化成循环小数，其循环节的两个数居然也是九的倍数。九，在代数的世界里留有神秘的足迹……九的有趣性质简直是太多啦!实在是举不胜举。这么独特的数字，难怪人们异常喜欢它，异常崇拜它。正当冬天时，人们不数3，也不数10，偏偏数九：“头九不算九;二九冻死狗;三九、四九掩门唤狗;五九、六九水走头;七九、八九河边看柳;九九又一九，犁牛遍地走”。重阳节是双九，人们十分重视这个节日，因为“九月九”家家有，此时正是收获的时节。唐代诗人孟浩然写出“待到重阳日，还来就菊花”的诗句，至今向来被文人墨客所称道。用九来起名的我国古代数学家泰九韶，所著的书名是《算术九章》，而书中共分九大类，每类又有九道题，他简直是九的又一个崇拜者。过去北京的许多建造都和“九”这个数目有关。例如，北京城内最早是九个城门，天安门的城楼是九重楼，故宫四个角楼的结构是九梁十八柱，皇家建造物大门上的钉数是纵九横九，北海和故宫的九龙壁，都是九只龙，更有趣的是天坛有个历代皇帝祭天的地方，无论是雪白的石栏杆，或是圆台上磨平的石块，其数目都和九字有关。在改革之年，我相信人们将会以九牛二虎之力，去九天

、到九州探宝，朝着九千九百九十九的通天公路奋勇向前。九，这个数字王国中的明珠，它太神秘，太美好啦!得到人们最高的崇尚，最好的嘲笑，最多的赞赏，最有情感的偏爱。看起来，它是一个很普通的数，只不过与完美的数字10差1，只不过是一个彻低平方数，只不过是一个最大的个位数，但恰恰就这点缘故，竟蕴藏着变幻无穷的秘密，在你随时随地的数字运算过程中，大概就会骤然发现九之逻辑所在，你会为此欢喜不已，感叹不尽。可你要知道，你这也仅仅是在九的神奇独特性质的海岸上，拾到的一块小小的贝壳而已!要真正地全面了解九的神秘，九的美好，无论是那个数学兴趣者，都必须举行艰苦的探索和顽强的钻研。1x8+1=912x8+2=98123x8+3=9871234x8+4=987612345x8+5=98765123456x8+6=9876541234567x8+7=987654312345678x8+8=98765432123456789x8+9=9876543211x9+2=1112x9+3=111123x9+4=11111234x9+5=1111112345x9+6=111111123456x9+7=11111111234567x9+8=1111111112345678x9+9=111111111123456789x9+10=1111111111很炫，是不是？1x1=111x11=121111x111=123211111x1111=123432111111x11111=123454321111111x111111=123456543211111111x1111111=2111111111x11111111=4321111111111x111111111=654321再看看這個對稱式9x9+7=8898x9+6=888987x9+5=88889876x9+4=8888898765x9+3=888888987654x9+2=88888889876543x9+1=8888888898765432x9+0=888888888***缺8数12345679实际上与循环小数是一根藤上的瓜，因为：

1/81＝0.45679……，缺8数和1/81的循环节有关。

在以上小数中，为什么别的数码都不缺，而唯独缺少8呢？

我们看到，1/81＝1/9×1/9，把1/9化成循环小数，其循环节惟独一位，即1/9＝0.111111111……

1/9×1/9，即无穷个1的自乘。不妨先从有限个1的平方来看：

很显然，11的平方＝121，111的平方＝12321，……，直到111111111的平方654321。

但现在是无穷个1的平方，长长的队伍看不到尽头，怎么办呢？缺8数躲藏在循环小数里

利用数学归纳法，不难证实，在所有的层次，8都被一一跳过。

那么，缺8数乘以9的倍数得到“清一色”就很好理解了，因为：

1/81×9＝1/9＝0.111111111……

缺8数乘以3的倍数得到“三位一体”也不难理解，因为：

1/81×3＝1/27＝0.037037037……，一开始就浮上了三位的循环节。

缺8数乘以公差为9的等差数列时相当于在原有基础上每位数加1，天然就浮上“走马灯”了。

循环小数与循环群、周期现象的研究方兴未艾，缺8数已引起人们的浓厚兴趣与密切担心。因为计算机科学的蓬勃发展，人们越来越不满意于泛泛的几条性质，而更着眼于探索其精微的结构。

缺8数的精细结构引起研究者的浓厚兴趣，人们偶尔注重到：

12345679×4＝49382716

12345679×5＝61728395

前一式的数颠倒过来读，正巧就是后一式的积数。（虽有极小的差异，即5代以4，而按照“轮休学说”，这正是题中应有之义）

这样的“回文结对，携手并进”现象，对（13、14）（22、23）（31、32）（40、41）等各对乘数（每相邻两对乘数的对应公差均等于9）也应如此。例如：

12345679×22＝271604938

12345679×23＝283950617

前一式的数颠倒过来读，正巧是后一式的积数。（后一式的2移到后面，并5代以4）走马灯

当缺8数乘以19时，其乘数将是234567901，像走马灯一样，原先居第二位的数2却成了开路先锋。例如：

12345679×19＝234567901

12345679×28＝345679012

12345679×37＝456790123

深入的研究显示，当乘数为一个公差等于9的算术级数时，浮上“走马灯”的现象。例如：

12345679×8＝098765432

12345679×17＝209876543

12345679×26＝320987654

12345679×35＝432098765一以贯之

当乘数超过81时，乘积将至少是十位数，但上述的各种现象依然存在，真是“吾道一以贯之”。例如：

乘数为9的倍数

12345679×243＝2999999997

只要把乘积中最左边的一个数2加到最右边的7上，仍展示“清一色”。

乘数为3的倍数，但不是9的倍数

12345679×84＝1037037036

只要把乘积中最左边的一个数1加到最右边的6上，又浮上“三位一体”。

乘数为3K＋1或3K＋2型

12345679×98＝1209876542

表面上看来，乘积中浮上雷同的2，但只要把乘积中最左边的数1加到最右边的2上去之后，所得数为209876543，是“缺1”数，仍是轮流“歇息”。轮流歇息

当乘数不是9或3的倍数时，此时固然没有清一色或三位一体的现象，但仍可以看到一种神奇性质：乘积的各位数字均无雷同，缺少1个数字，而且存在着明确的逻辑。另外，在乘积中缺3、缺6、缺9的情况绝对不存在。例如乘数在区间［10，17］的情况（其中12和15因是3的倍数，予以排除）：

12345679×10＝123456790（缺8）

12345679×11＝135802469（缺7）

12345679×13＝160493827（缺5）

12345679×14＝172839506（缺4）

12345679×16＝197530864（缺2）

12345679×17＝209876543（缺1）

乘数在［19，26］及其他区间（区间长度等于7）的情况与此彻低类似。乘积中缺什么数，就像工厂或商店中职工“轮休”，人人有份，既不多也不少，实在有趣。三位一体

缺8数乘以3的倍数但不是9的倍数，可以得到“三位一体”，例如：

12345679×12＝148148148

12345679×15＝185185185

12345679×33＝407407407

12345679×57＝703703703

12345679×78＝962962962清一色

缺8数乘以9的倍数可以得到“清一色”，例如：

12345679×9＝111111111

12345679×18＝222222222

12345679×27＝333333333

12345679×36＝444444444

12345679×45＝555555555

12345679×54＝666666666

12345679×63＝777777777

12345679×72＝888888888

12345679×81＝999999999速算公式【首同末合十的两位数相乘公式】若两个两位数的十位数字都是a，个位上的数分离为b和c，且b+c=10，则这样的两个数便是“首同末合十”的两个两位数，它们的积为（10a+b）（10a+c）=（10a）2+10ab+10ac+bc=102a2+=100a2+100a+bc＝a（a+1）×100+bc。按照这一公式，两个“首同末合十”的两位数相乘，可以先把首位数乘以比它大1的数的积的100倍，然后在所得的结果后面，添上两个末位数的积。例如，72×78=（7×8）×100+2×8=561645×45=（4×5）×100+5×5=2025首同末合十的计算公式，也可以推广到两个三位数、两个四位数相乘的速算中去。例如256×254可取a=25，b=6，c=4，再运用公式计算，得256×254=[25×（25+1）]×100+6×4=[25×26]×100+24=65024又如，155×155=（15×16）×100+5×5=24025【末同首合十的两位数相乘公式】若两个两位数十位上的数字分离是a和b，且a+b=10，个位上的数字都是c，则这样的两个数便是“末同首合十”的两个两位数，它们的积为（10a+c）（10b+c）=102ab+10ac+10bc+c2＝100ab+10c（a+b）+c2=100ab+100c+c2=（ab+c）×100+c2。按照这一公式，两个“末同首合十”的两位数相乘，可以先把两个首位数字的乘积加上一个末位数，再乘100然后再在所得的结果后面，添上末位数自乘的积（末位数的平方）。例如，34×74=（3×7+4）×100+42=25×100+16=2516【两个末位是1的两位数相乘公式】设两个末位都是1的两位数，十位上的数字分离是a和b，则它们的积是（10a+1）（10b+1）＝100ab+10a+10b+12＝10a×10b+（a+b）×10+1由这一公式可知，两个末位是1的两位数相乘，可以先把两个首位数值相乘，然后在所得的结果后面添上两个首位数的和（和满十时要进位）的10倍，最后在后面添上1。例如，51×71=50×70+（5+7）×10+1=3500+12091=3621。这样的题目，口算的主意可以是：【两个首位是1的两位数相乘公式】设两个首位为1的两位数，个位上的数字分离是a和b，则它们的积是：（10+a）（10+b）＝100+10a+10b+ab=（10+a+b）×10+ab。由这一公式可知，两个首位是1的两位数相乘，可以把一个数加上另一个数的末位数，所得的结果乘以10以后，再加上两个末位数的乘积。例如，17×16=（17+6）×10+7×6=230+42=272。【临近100的两个数相乘公式】临近100的两个数相乘，可以分三种情况来寻找它的速算主意。（1）两个超过100的数相乘。设两个超过100的数分离为a和b，它们与100的差分离为h和k，则a=100+h，b=100+k。它们的积是a·b＝（100+h）（100+k）=（100+h）×100+100k-hk=（100+h+k）×100+hk=（a+k）×100+hk。由这一公式可知，两个超过100的数相乘，可以先把一个数加上另一个数与100的差，然后将所得的结果乘以100以后，再加上两个因数分离与100的差（补充数）的乘积。例如，108×112=（108+12）×100+8×12=12000+96=12096。迅速口算的思量主意可以是：又如，103×102=（103+2）×100+3×2=10500+6=10506迅速口算的思量主意可以是（2）两个不足100的数相乘。设两