7.2.4诱导公式（2知识点6题型强化训练）

诱导公式课程标准学习目标掌握诱导公式并运用其进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明。（1）了解三角函数诱导公式的意义和作用；（2）理解诱导公式的推导过程；（3）能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题。知识点01诱导公式=1\*GB3①~=4\*GB3④1、诱导公式=1\*GB3①：角与的三角函数值之间的关系（1）语言表示：终边相同的角，同角三角函数值相等；（2）式子表示：；；（3）角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现；【即学即练1】（2023·四川成都·高一校联考期末）（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可得，，故选：D2、诱导公式=2\*GB3②：角与的三角函数值之间的关系（1）终边关系：角与角的终边关于轴对称（2）图示：（3）公式表示：；；【即学即练2】（2023·浙江温州·高一校联考期中）等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，故选：D.3、诱导公式=3\*GB3③：角与的三角函数值之间的关系（1）终边关系：角与角的终边关于轴对称；（2）图示：（3）公式表示：；；【即学即练3】（2023·湖南株洲·高一统考期中）的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】故选：D4、诱导公式=4\*GB3④：角与角的三角函数值之间的关系（1）终边关系：角与角的终边关于原点对称（2）图示（3）公式表示：；；【即学即练4】（2023·天津南开·高一南开中学校考阶段练习）（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】.故选：B.5、诱导公式的记忆规律“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角(为常整数)的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号.【即学即练5】（2023·江苏·高一专题练习）计算：＝．【答案】1【解析】．知识点02诱导公式=5\*GB3⑤~=8\*GB3⑧1、诱导公式=5\*GB3⑤：角与角的三角函数值之间的关系（1）与的终边关于角的终边所在的直线（即直线）对称；（2）图示：（3）公式表示：；2、诱导公式=6\*GB3⑥：；3、诱导公式=7\*GB3⑦：；4、诱导公式=8\*GB3⑧：；【即学即练6】（2023·高一课时练习）已知是方程的根，且为第三象限角，求的值．【答案】【解析】因为是方程的根，所以或，因为，所以因为为第三象限角，所以所以【题型一：利用诱导公式给角求值】例1．（2023·福建龙岩·高一长汀县第一中学校考阶段练习）的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】易知；所以，故选：A变式11．（2023·江苏扬州·高一扬州大学附属中学校考阶段练习）的值是()A．B．C．D．【答案】D【解析】.故选：D变式12．（2023·河北沧州·高一校联考阶段练习）（多选）下列化简正确的是（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】，故A正确；，故B错误；，故C正确；，故D错误．故选：AC.变式13．（2023·全国·高一专题练习）计算：（1）；（2）．【答案】（1）0；（2）0【解析】（1）.（2）.【方法技巧与总结】利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤（1）“负化正”：用公式一或三来转化．（2）“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．（3）“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．（4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．【题型二：利用诱导公式给值求值】例2．（2023·山东菏泽·高一曹县一中校考阶段练习）若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，则，所以.故选：B变式21．（2023·江苏南京·高一期末）已知为第三象限角，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，又为第三象限角，所以，所以.故选：D.变式22．（2023·江苏淮安·高一校考阶段练习）已知，求，的值.【答案】，或，【解析】因为，所以，当时，，，则；当时，，，则；综上所述，，或，变式23．（2023·辽宁铁岭·高一西丰县高级中学校考期中）已知，则下列各式中值为的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】对A，，故A错误；对B，，故B错误；对C，，故C正确；对D，，故D错误.故选：C【方法技巧与总结】条件求值问题的策略（1）条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．（2）将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．【题型三：利用互余互补关系求值】例3．（2023·全国·高一专题练习）已知为第二象限角，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题知，，所以，又因为，所以，所以，所以.故选：B.变式31．（2023·福建厦门·高一松柏中学校考阶段练习）已知则．【答案】【解析】令，则，，因为，所以，所以.变式32．（2023·湖南长沙·高一长沙市第十五中学校联考阶段练习）已知，，则．【答案】【解析】，，故，，则，故，．变式33．（2023·江苏连云港·高一连云港高中校考阶段练习）求解下列各式的值（1）已知，求的值.（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，所以（2）由，所以【方法技巧与总结】观察互余、互补关系：如eq\f(π,3)－α与eq\f(π,6)＋α，eq\f(π,3)＋α与eq\f(π,6)－α，eq\f(π,4)－α与eq\f(π,4)＋α等互余，eq\f(π,3)＋θ与eq\f(2π,3)－θ，eq\f(π,4)＋θ与eq\f(3π,4)－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．【题型四：诱导公式综合化简计算】例4．（2023·全国·高一随堂练习）化简：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【解析】（1），，，故，故.（2）.变式41．（2023·全国·高一专题练习）化简：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）－1【解析】（1）由题化简原式得：（2）由题化简原式得：变式42．（2023·河南驻马店·高一校考阶段练习）化简：（1）；（2）；（3）已知，求的值.【答案】（1）0；（2）；（3）【解析】（1）由诱导公式可得，.（2）由诱导公式可得，.（3）由可得，.变式43．（2023·高一课时练习）设，化简：【答案】【解析】由三角函数的诱导公式，可得当为偶数时，；当为奇数时，，综上可得，【方法技巧与总结】用诱导公式进行化简时的注意点：（1）化简后项数尽可能的少；（2）函数的种类尽可能的少；（3）分母不含三角函数的符号；（4）能求值的一定要求值；（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．【题型五：利用诱导公式证明恒等式】例5．（2023·全国·高一专题练习）求证：＝－1.【答案】证明见解析【解析】左边，右边，左边右边，所以原等式成立．变式51．（2023·全国·高一专题练习）（1）求证：＝；（2）求证：＝－tanθ.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）右边左边.所以原等式成立．（2）左边右边.所以原等式成立．变式52．（2023·高一课时练习）求证：＝．【答案】证明见解析【解析】左边.右边.∴左边＝右边，故原等式成立．变式53．（2023·全国·高一专题练习）（1）求证：；（2）设，求证.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）左边==右边，所以原等式成立.（2）方法1：左边====右边，所以原等式成立.方法2：由，得，所以，等式左边====右边，等式成立.【方法技巧与总结】利用诱导公式证明恒等式的方法对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推导右边或从右边推导左边，也可以左右归一，变更论证的方法。常用定义法、弦化切、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法等，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法。【题型六：三角形中的诱导公式运用】例6．（2023·河南焦作·高一校考阶段练习）（多选）在中，，，下列选项正确的是（）A．B．C．D．【答案】AB【解析】在中，，，故，则，，而，故A正确；因为，故B正确；因为，故C错误；因为，故D错误；故选：AB．变式61．（2023·新疆伊犁·高一江苏中学校考阶段练习）（多选）在中，下列关系不成立的是（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】，A选项错误.，B选项正确.，C选项错误.，D选项错误.故选：ACD变式62．（2023·广东佛山·高一校考阶段练习）（多选）在中，下列等式恒成立的是（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】对于A,,A正确;对于B,,B错误;对于C,,C正确;对于D,,D错误.故选:AC.变式63．（2023·四川泸州·高一校考期末）在中，已知，（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，可得因为，所以，亦可得，由，则，解得.（2）原式．【方法技巧与总结】在三角形中使用诱导公式进行化简运算时需注意三角形内角和为。一、单选题1．（2023·山东淄博·高一淄博第六中学校考阶段练习）（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.故选：B2．（2023·湖北咸宁·高一校考阶段练习）（）A．B．C．D．【答案】D【解析】故选：D.3．（2023·全国·高一期末）已知为第二象限角，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由可得，因为为第二象限角，所以，所以，故选：C.4．（2023·山西太原·高一外国语学校校联考阶段练习）已知，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，又，所以，.故选：C5．（2023·全国·高一专题练习）若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可得：.故选：C.6．（2023·河南驻马店·高一校联考期中）已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.故选：B．7．（2023·全国·高一假期作业）已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以．故选B．8．（2023·全国·高一专题练习）已知在平面直角坐标系中，点在角终边上，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可得，所以原式.故选：B.二、多选题9．（2023·江苏无锡·高一泰州中学校联考阶段练习）质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点，的角速度大小为，起点为角的终边与圆的交点，则当与重合时，的坐标可以为（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】点的初始位置，锐角，设时刻两点重合，则，即，此时点，即，，当时，，故A正确；当时，，即，故C正确；当时，，即，故D正确；由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合，故B错误，故选：ACD.10．（2023·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第二高级中学校考阶段练习）设，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】对选项A：，正确；对选项B：，正确；对选项C：，正确；对选项D：，错误；故选：ABC.11．（2023·江苏南京·高一校联考阶段练习）已知，则正确的有（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】依题意，，所以，A选项错误；，B选项正确；，C选项正确.，D选项错误.故选：BC12．（2023·河南洛阳·高一校联考阶段练习）已知角和的终边关于x轴对称，则（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】因为角和的终边关于x轴对称，可得.对于A，由，A正确；对于B，由，B错误；对于C，由，C正确；对于D，由，D错误.故选：AC三、填空题13．（2023·四川乐山·高一峨眉第二中学校校考阶段练习）计算的结果是．【答案】【解析】根据三角函数的诱导公式，可得：原式.14．（2023·天津·高一校考阶段练习）的值为．【答案】0【