高中数学《6.3 二项式定理》课件与同步练习

6.3

二项式定理第一课时二项式定理课标要求素养要求1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.通过学习二项式定理的有关内容，提升逻辑推理素养及数学运算素养.新知探究牛顿善于在日常生活中思考，他取得了科学史上一个又一个重要的发现，有一次，他在向一位姑娘求婚时思想又开了小差，他脑海中只剩下了无穷量的二项式定理，他抓住了姑娘的手，错误地把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞，痛的姑娘大叫，离他而去．问题什么是二项式定理？二项式定理及其相关概念注意二项式系数与系数的概念拓展深化[微判断]1．(a＋b)n的展开式中共有n项． ()

提示

(a＋b)n的展开式中共有n＋1项．2．在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响． ()

提示交换a，b的顺序各项都发生变化.×√××答案DA．80 B．－80 C．40 D．－403．设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于__________．

解析S＝[(x－1)＋1]3＝x3.

答案x3[微思考]1．二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？2．二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第k＋1项是否相同？题型一

二项式定理的正用、逆用答案44规律方法(1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．【训练1】化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1.解(1)由已知得二项展开式的通项为(2)设展开式中的第k＋1项为含x3的项，则令9－2k＝3，得k＝3，即展开式中第4项含x3，【迁移1】

(变设问)本例问题(1)条件不变，问题改为“求第4项的二项式系数和第4项的系数”．【迁移2】

(变设问)本例问题(2)条件不变，问题改为“求展开式中x5的系数”，该如何求解？

解设展开式中第k＋1项为含x5的项，则(1)求展开式的第4项的二项式系数；(2)求展开式的第4项的系数；(3)求展开式的第4项．令12－3k＝0，解得k＝4.答案D规律方法求展开式中特定项的方法求展开式中特定项的关键是抓住其通项公式，求解时先准确写出通项，再把系数和字母分离，

根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式即可求解．有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数．答案(1)1

(2)160解析逆用二项式定理，将1看成公式中的a，－2看成公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.答案CA．33 B．29 C．23 D．193．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是(

) A．－5 B．5 C．－10 D．10答案2406.3

二项式定理第二课时二项式系数的性质课标要求素养要求1.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.2.理解二项式系数的性质并灵活运用.通过本节课的学习，进一步提升逻辑推理及数学运算素养.新知探究同学们根据二项式定理写出(a＋b)n(n＝1，2，3，4，5，6)的二项式系数．可以写成如下形式：这个表在我国宋代数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了，所不同的只是这里的表是用阿拉伯数字表示，在那本书里用汉字表示的，这个表称为“杨辉三角”．在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡发现的，杨辉三角的发现比欧洲早500年左右，由此可见我国古代在数学方面的成就．问题你能利用上述规律写出下一行的数值吗？提示根据规律下一行的数值分别是：1

7

21

35

35

21

7

1.二项式系数的性质在求二项式系数的最大值时，要注意讨论n的奇偶性．拓展深化[微判断]1．二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)．(

)

提示二项展开式中项的系数与二项式系数是不同的，二项式系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，但是项的系数的最大值与项其他数字因数的大小有关．2．二项展开式的偶数项系数和等于奇数项系数和． (

)

提示在二项式(a＋b)n中只有当a，b的系数都为1时，展开式的偶数项系数和才等于奇数项系数和．××3．二项展开式项的系数是先增后减的．

(

)

提示二项式系数是随n的增加先增后减的，二项展开式项的系数和a，b的系数有关．×答案D2．在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是(

) A．第6项 B．第5项 C．第5，6项

D．第6，7项

解析由题意，得第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等，3．若(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a8＝________．[微思考]怎样求二项式系数和？题型一

二项式定理的应用【例1】

(1)试求199510除以8的余数； (2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除．(1)解199510＝(8×249＋3)10.∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数，∴199510除以8的余数与310除以8的余数相同．又∵310＝95＝(8＋1)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数，∴310除以8的余数为1，即199510除以8的余数也为1.(2)证明

32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除．题型二二项展开式的系数的和问题【例2】已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.

解令x＝1，得： (2×1－1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5， ∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1.【迁移1】

(变换所求)例2条件不变，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|.

解∵(2x－1)5的展开式中偶数项的系数为负值， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.

令x＝－1，得： [2×(－1)－1]5＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5，

即a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－(－3)5＝35， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝35＝243.【迁移2】

(变换所求)例2条件不变，求a1＋a3＋a5的值．【训练2】已知(1－3x)8＝a0＋a1x＋…＋a7x7＋a8x8.求： (1)a0＋a1＋…＋a8； (2)a0＋a2＋a4＋a6＋a8； (3)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|.

解(1)令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝(－2)8＝256.① (2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＋a8＝48.② ①＋②，得2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)＝28＋48，故a0，a2，a4，a6，a8＞0，a1，a3，a5，a7＜0，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝48＝65536.解令x＝1，则展开式中各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.【训练3】求出(x－y)11的展开式中： (1)二项式系数最大的项； (2)项的系数绝对值最大的项； (3)项的系数最大的项和系数最小的项； (4)二项式系数的和； (5)各项系数的和．解(1)二项式系数最大的项为中间两项：(3)由(2)知中间两项系数绝对值相等，一、素养落地1．通过本节课的学习，进一步提升逻辑推理素养、数学运算素养．2．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为0，1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．3．注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数． (2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中k∈{0，1，2，…，n}.二、素养训练1．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是(

) A．n，n＋1 B．n－1，n C．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋32．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为(

) A．－2 B．－1 C．1 D．2解析令x＝－1，则原式化为[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝a0＋a1(2－1)＋a2(2－1)