数学典型应用题 和差倍、年龄、植树问题

典型应用题（一）和差倍、年龄、植树问题知识地图典型应用题基础知识（一）和差问题：已知两个数的和及两个数的差，求这两个数。方法①：（和－差）÷2＝较小数，和-较小数=较大数方法②：（和＋差）÷2＝较大数，和-较大数=较小数例如：两个数的和是15，差是5，求这两个数。方法：（15-5）÷2＝5，（15+5）÷2＝10。（二）和倍问题：已知两个数的和及这两个数的倍数关系，求这两个数。方法：和÷（倍数＋1）＝1倍数（较小数）1倍数（较小数）×倍数＝几倍数（较大数）或和－1倍数（较小数）＝几倍数（较大数）例如：两个数的和为50，大数是小数的4倍，求这两个数。方法：50÷（4＋1）＝1010×4＝40（三）差倍问题：已知两个数的差及两个数的倍数关系，求这两个数。方法：差÷（倍数－1）＝1倍数（较小数）1倍数（较小数）×倍数＝几倍数（较大数）或和－1倍数（较小数）＝几倍数（较大数）例如：两个数的差为80，大数是小数的5倍，求这两个数。方法：80÷（5－1）＝2020×5＝100（四）年龄问题关键①：年龄差不变例如：今年爸爸比儿子大30岁，明年爸爸比儿子大几岁？答：还是30岁，爸爸长1岁，儿子也长1岁。明年父子年龄差＝明年爸爸的年龄－明年儿子的年龄＝（今年爸爸的年龄＋1）－（今年儿子的年龄+1）＝今年爸爸的年龄＋1－今年儿子的年龄－1＝今年爸爸的年龄－今年儿子的年龄＝30（岁）关键②：年龄的倍数关系是变化的。例如：今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，明年父亲的年龄还是儿子年龄的3倍吗？答：不是，设今年儿子10岁，设今年父亲30岁，那么明年儿子11岁，父亲31岁， 31÷11＝2…9，不是3倍。（五）植树与方阵问题不封闭型（直线）植树问题直线两端植树：棵数=段数+1=全长÷株距+1；全长=株距×（棵数-1）；株距=全长÷（棵数-1）；例如：学而思学校附近有一条2000米的公路，在路两边每相隔50米种一棵树，两端都种，需要多少棵树？分析：（2000÷50+1）×2=82（棵）直线一端植树：全长=株距×棵数；棵数=全长÷株距；株距=全长÷棵数；例如：小熊家门口有一条小路长50米，从门口开始在小路的一旁每隔5米栽一棵树，问一共栽了多少棵树？分析：门口不可能植树，所以这是一个一端种树一端不种的情况，棵树等于段数，所以一共栽树：50÷5=10（棵）。直线两端都不植树：棵数=段数-1=全长÷株距-1；株距=全长÷（棵数+1）；例如：学而思学校两栋教学楼之间有一排白杨树，一共有18棵，每两棵树之间以及树与教学楼的距离都是3米，请问这两栋教学楼之间的距离是多少米？分析：因为两端就是教学楼，不可能种树，所以教学楼之间一共有19个间隔，所以这两栋教学楼之间的距离是3×19＝57（米）。封闭型（圆、三角形、多边形等）植树问题棵数＝总距离÷棵距；总距离＝棵数×棵距；棵距＝总距离÷棵数。例如：小同家有一个圆形果园，周长是1500米，沿圆周每隔6米栽一棵苹果树，每两棵苹果树之间栽一棵桃树，问：果园周围共栽种果树多少棵？分析：果园一周全长1500米，每隔6米栽一颗苹果树，说明果园的圆周以6米为一段，可以分成1500÷6＝250（段），由于是圆形，首尾两棵重合，所以段数等于棵数，苹果树有250棵；每两棵苹果树之间栽种一棵桃树，也就是有250棵桃树，所以，苹果树与桃树一共有：250+250=500（棵）。方阵问题在方阵问题中，横的排叫做行，竖的排叫做列，如果行数和列数都相等，则正好排成一个正方形，就是所谓的“方阵”。例如：某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人。问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？分析：每边人数=四周人数÷4+1，方阵最外层每边人数：60÷4＋1=16（人），整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）。经典透析（☆☆☆）一个小数的小数点向右移一位与向左移一位所得两数的和624.18，则原来的小数是多少？[审题要点]本题属于和倍问题。关键是抓住小数点向左移一位，原数就缩小10倍；小数点向右移一位，原数就扩大10倍。[详解过程]小数点向右移一位所得数是向左移一位所得数的100倍，有624.18÷（100＋1）＝6.18，6.18×10＝61.8，即原数是61.8。（☆☆☆）某校原来参加室外活动的人数比室内的人数多480人，现在把室内活动的50人改为室外活动，这样室外活动的人数正好是室内人数的5倍，参加室内，室外活动的一共有多少人？[审题要点]本题属于差倍问题[详解过程]为了清晰地反映数量的变化及倍数关系，我们画出线段图如下：把室内50人调到室外，则室外人数比室内人数多480＋50×2＝580（人），又因为室外人数是室内人数的5倍，也就是多4倍，所以现在室内人数为580÷（5－1）＝145（人），一共有145×（1＋5）＝870（人）。（☆☆☆）小新用20元钱买了5支圆珠笔和12本练习本，剩下的钱若买一支圆珠笔少4角；若买一本练习本还少6角，问一支圆珠笔的价钱是。[审题要点]和倍、差倍问题的综合运用[详解过程]练习本和圆珠笔的差价为2角。而20元加上4角能买6只圆珠笔和12本练习本。所以如果用20+0.4+0.2×6=21.6元能买18本练习本，每本的价钱为21.6÷18=1.2元，所以圆珠笔的价钱为1.2-0.2=1元。（☆☆☆）四个人年龄之和是87岁，最小的一个12岁，他与最大的人年龄之和比另外两个人年龄之和大7岁，那么这四个人中年龄最大的一个年龄是多少？[审题要点]把年龄最小的人与年龄最大的人的年龄之和看成一个数，把另外两个人年龄之和也看成一个数。问题就转化为典型的和差同题。[详解过程]最小的一个与最大的人年龄之和是：（87＋7）÷2＝47（岁）。最小的12岁，因此最大的年龄：47－12＝35（岁）。甲对乙说：“我在你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的一半。”乙对甲说：“我到你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的2倍减7。”问：甲、乙二人现在各多少岁？[审题要点]甲乙年龄差不变、从已知条件中看出甲比乙年龄大。[详解过程]为了清晰地反映等量关系，我们画出线段图如下：从图中可以得到年龄差是7岁，所以，乙现在年龄：7×3＝21（岁），甲现在年龄：7×4＝28（岁）。老陈有几个儿子，老陈的年龄是儿子们年龄和的4.5倍，而1年前，老陈的年龄是他的几个儿子年龄和的7倍，4年后，老陈的年龄就只有他几个儿子的年龄和的2倍，那么老陈有几个儿子？[审题要点]借助于方程法解决[详解过程]设老陈有n个儿子，则今年老陈的年龄是儿子们平均年龄的4.5n倍，而1年前老陈的年龄是儿子们平均年龄的7n倍，4年后，老陈的年龄是他的几个儿子的平均年龄的2n倍，由于老陈的年龄与儿子们的平均年龄之差是固定的，所以我们以老陈的年龄与儿子们的平均年龄之差为标准，设为，则今年儿子们平均年龄，4年后儿子们的平均年龄，得到方程式：-=（-），解得。另解：老陈有n个儿子今年儿子们的年龄和为k岁，则4.5k-1=（k-n）×7⑴4.5k+4=（k+4n）×2⑵，解得：k=8，n=3。在学而思学校内一条小路的一侧植树，每隔5米种一棵，共种了21棵，这条路有多长？后来小路又加长了30米，仍然每隔5米种一棵树，一共补种了多少棵？[审题要点]加长部分、求得是补种几棵树[详解过程]小路原来的长度：5×（21－1）＝100（米），加长后一侧应种的树的棵数：（100＋30）÷5＋1＝27（棵），应补的棵数：27－21＝6（棵）。把50枚黑棋子排列在正五边形的五条边上，每条边上的黑棋子个数相等，且每个角上有一枚。然后在所有相邻的两枚黑棋子间放两枚白棋子。问：每条边上白棋子有多少枚？[审题要点]每个角上有一枚，求出实际每条边几枚[详解过程]一共有50枚棋子，放在5条边上，所以平均每条边上放50÷5=10枚黑棋子，又因为每个角上都有一枚棋子，所以实际上每条边上有10+1=11枚黑棋子。11枚黑棋子之间有10个间隔，所以白棋子数是10×2=20（枚）。一个实心正六边形阵，每条边有16人，那么一共有人；最外面一层有人；从外向内数第2层每条边有人，共人；最外面三层有人；每条边增加1人，这一层增加人；原正六边形方阵再增加一层能增加人；[审题要点]找规律[详解过程]从内往外，第一层1人，第二层每边2人，共6人；第三层每边3人，共12人；第四层每边4人，共18人；…；第十四层每边14人，共78人；第十五层每边15人，共84人；第十六层每边16人，共90人。原实心正方形阵共有1+6+12+…+90=721人。从外往内数第二层就是从内往外数第十五层，每边15人，共（15-1）×6=84人。最外面三层有90+84+78=252人。每条边增加1人，这一层增加6人。原六边形方阵再增加一层能增加（17-1）×6=96人。拓展训练姐姐做自然科学练习，比妹妹做算术练习多用48分钟，比妹妹做英语练习多用42分钟，妹妹做算术，英语两门练习共用了44分钟，那么妹妹做英语练习用了多少分钟？[初级点拨]本题属于典型的和差问题，只是“差”没有直接告诉我们，绕了个小弯。[深度提示]根据条件，做英语的时间大于算术的时间。[全解过程]因为“姐姐做自然科学练习，比妹妹做算术练习多用48分钟，比妹妹做英语练习多用42分钟”，所以妹妹做英语比算术多用了48－42＝6（分钟）。画线段图：（44－6）÷2＝19（分钟）算术（44＋6）÷2＝25（分钟）英语答：妹做英语用25分钟。在一次期中考试中，小强的英语成绩和数学成绩之和是194分，他的数学成绩和语文成绩之和是186分，而语文成绩和英语成绩之和是180分，那么，小强的英语、数学和语文成绩到底各是多少？[初级点拨]由条件知：英语成绩+数学成绩=194，数学成绩+语文成绩=186，语文成绩+英语成绩=180，[深度提示]将三个式子相加[全解过程]由条件知：英语成绩+数学成绩=194，数学成绩+语文成绩=186，语文成绩+英语成绩=180，将三个式子相加，2（英语成绩+数学成绩+语文成绩）=560（分），所以英语成绩+数学成绩+语文成绩=560÷2=280（分），用总成绩减去英语成绩和数学成绩之和就是语文成绩：280-194=86（分），同理，英语成绩：280-186=94（分），数学成绩：280-180=100（分）某学校计划栽种杨树、柳树和槐树共200棵，当种了一半的杨树和10棵柳树之后，又临时运来了6棵槐树，这时剩下的三种树的棵树恰好相等，问原计划要栽种这三种树各多少棵？[初级点拨]如果没有栽种之前运走10棵柳树，并且运来6棵槐树，那么树的总数就是：200-10+6=196（棵）。[深度提示]柳树的数量等于槐树的数量等于杨树数量的一半。[全解过程]为了清晰地反映数量关系，我们画出线段图如下：树的总数就是：200-10+6=196（棵），柳树的数量等于槐树的数量等于杨树数量的一半，令杨树的一半为一倍数，即为：195÷（2+1+1）=196÷4=49（棵），所以计划种杨树：49×2=98（棵），柳树：49+10=59（棵），槐树：49-6=43（棵）。今年爷爷78岁，三个孙子的年龄分别是27岁，23岁，16岁，经过几年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄的和？[初级点拨]今年爷爷与三个孙子的年龄差[深度提示]每过一年三个孙子的年龄和比爷爷的年龄增加几岁[全解过程]三个孙子年龄的和为27＋23＋16＝66（岁），爷爷比他们三人的年龄的和多78－66＝12（岁），每过一年三个孙子的年龄和比爷爷的年龄多增加3－1＝2（岁）。因而，经过12÷2＝6（年）后，爷爷的年龄是三个孙子年龄的和。甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数的时候，你才5岁。”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数的时候，你将50岁。”问：甲、乙二人现在各多少岁？[初级点拨]年龄差不变[深度提示]每一次两人变化的年龄都相等，且是年龄差[全解过程]根据题意画出示意图：因为年龄差是不变的量，甲乙二人的年龄差=（50-5）÷3=15（岁），乙现在的岁数是：15+5=20（岁），甲现在的岁数是：20+15=35（岁）全家4口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁。四年前他们全家的年龄和为58岁，而现在是73岁。问：现在各人的年龄是多少？[初级点拨]年龄差不变[深度提示]为什么少了1岁？[全解过程]73－58＝15≠4×4，四个人四年应该增长4×4＝16岁，但实际上只增长了15岁，为什么少了1岁呢？因为在4年前，弟弟还没有出生，所以弟弟今年应该是3岁。姐姐是3＋2＝5岁，父母今年的年龄和是73－3－5＝65岁，根据和差问题，就可以得到父亲是（65＋3）÷2＝34岁，母亲是65－34＝31岁。“重阳节”那天，延龄茶社来了25位老人品茶，他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000，其中年龄最大的老人今年多少岁？[初级点拨]求出两年之后25位老人的平均年龄[深度提示]奇数个数的平均数是中间数[全解过程]两年之后25位老人的平均年龄为2000÷25=80（岁），其中年龄最大的老人为80+12=92（岁），年龄最大的老人今年的岁数为92-2=90（岁）。8.大头儿子和小头爸爸两个人比赛跑楼梯，他们从一层开始比赛，大头儿子到四层时，小头爸爸到三层，如此算来，大头儿子到16层时，小头爸爸跑到了几层？[初级点拨]不封闭型植树问题[深度提示]“两端都种树”，间隔数=棵树-1[全解过程]大头儿子跑了三个楼层间隔，爸爸跑了两个楼层间隔，到16层需要跑15个楼层间隔，所以小头爸爸跑了15÷3×2+1＝10＋1＝11（层）。9.如图是某个小区的街道图，街道将整个小区划分为相同的4块正方形，每个正方形的边长为110米，街道的宽为10米，现在要在所有的街道两边每隔10米栽种一棵树，每个拐角都栽树，求这个小区一共要栽树多少棵？[初级点拨]分解图形[深度提示]每个拐角都栽树[全解过程]整个小区种植的树实际上可看成4个边长为110米的小正方形和一个边长为10+110+10+110+10=250米的正方形。所以一共需要栽树（110×4÷10）×4+（250×4÷10）=276棵树。10.正方形操场四周栽了一圈树，四个角上都栽了树，每两棵树相隔5米。甲、乙从一个角上同时出发，向不同的方向走去（如右图），甲的速度是乙的2倍，甲在拐了两个弯之后的第5棵树与乙相遇（把角上的树看作第一棵树）。操场四周栽了多少棵树？[初级点拨]封闭型植树问题[深度提示]时间一定，路程比等于速度比[全解过程]甲走了两个边长加上4个间距，乙走了两个边长减去4个间距，所以甲比乙多走了8个间距，而甲的速度是乙的2倍，所以走的路程也是乙的两倍，所以乙走了8个间距，所以一圈一共有8+8×2=24个间距，所以操场一圈一共有24个间距。操场四周一共栽了24棵树。11.北京市国庆节参加游行的总人数有60000人，这些人平均分为25队，每队又以12人为一排列队前进。排与排之间的距离为1米，队与队之间的距离是4米，游行队伍全长多少米？[初级点拨]不封闭型植树问题[深度提示]相当于已知树的棵数，树间的距离，求树列的全长[全解过程]相当于植树问题中已知树的棵数，树间的距离，求树列的全长相当。注意段数比树的株数少1。所以，（1）每队的人数是：60000÷25＝2400（人）（2）每队可以分成的排数是：2400÷12＝200（排）（3）200排的全长米数是：1×（200-1）＝199（米）（4）25个队的全长米数是：199×25＝4975（米）（5）25个队之间的距离总米数是：4×（25-1）＝96（米）（6）游行队伍的全长是：4975＋96＝5071（米）

第11讲典型应用题（二）鸡兔同笼、盈亏、平均数问题知识地图基础知识公元855年唐朝，我国举行最早的数学选拔赛，题目如下：一批强盗在树林里商议怎样瓜分抢来的布匹。若每人分6匹，多5匹；每人分7匹，少8匹，问几个强盗？几匹布？鸡兔同笼问题假设全是鸡例如：鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？分析：假设全是鸡，则有2×46=92（足），而实际上是128足，少了128-92=36（足），为什么少了36足呢？因为我们把一只兔当作一只鸡来算时，就少算了2足，所以有36÷2=18（只）兔被我们当作鸡来算，所以有鸡46-18=28（只）。假设全是兔例如：鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？分析：假设全是兔，则有4×46=184（足），而实际上是128足，多了184-128=56（足），为什么多了56足呢？因为我们把一只鸡当作一只兔来算时，就多算了2足，所以有56÷2=28（只）鸡被我们当作兔来算，所以有兔46-28=18（只）。“砍足法”例如：鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？分析：假如砍去每只鸡、每只兔一半的足，则鸡就变成了“独脚鸡”，兔就变成了“双脚兔”，则鸡和兔足的总数就由128变成了64，而且有一只兔子，则足的总数就比头的总数多1，所以足的总数64与总头数46的差，就是兔子的只数，即64－46＝18（只），则鸡的只数就是46－18＝28（只）。盈亏问题盈亏问题，顾名思义有剩余就叫盈，不够分就叫亏，不同的方法分配物品时，经常会产生这种盈亏现象。盈亏问题的关键是抓住两次分配时盈亏总量的变化，我们把盈亏问题分为三类：“一盈一亏”、“两盈”、“两亏”。1.“盈亏”型例如：学而思学校提高班的同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒则少6粒，问：有多少位同学分多少粒糖果？分析：为什么第一次多9粒，而第二次还少6粒呢？因为两次分配数量不一样，第二次分配时不仅把第一次多出来的9粒分了，还要再添6粒才够分，也就是说按第二种分配方案比第一次总共要多分9+6=15（粒），那为什么会有这种变化产生呢？因为第二次比第一次每人多分了5-4=1（粒），那么要分15粒，就需要有15÷1=15（人），共有15×4+9=69（粒）。2.“盈盈”型明明过生日，同学们给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元。那么有多少个同学？蛋糕的价钱是多少？分析：为什么第一次多8元，第二次就只多4元了呢？因为两次分配数量不一样，第二次分配时每人少出1元，也就是在第一次分配的基础上给每个人退了1元钱，总共退回了8-4=4（元），所以共有4÷1=4（人），蛋糕价钱是8×4－8＝24（元）。3.“亏亏”型学而思学校新近一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本，还差2本，请问有多少老师？多少本书？分析：为什么第一次差9本，第二次就只差2本了呢？因为两次分配数量不一样，第二次分配时每人少发1本，也就是在第一次分配的基础上从每个人那里拿回了1本书，总共拿回了9-2=7（本）书，所以共有7÷1=7（人），书有7×10－9＝61（本）。平均数问题（1）平均数=总数÷参与平均的事物个数平均数增量=总数增量÷参与平均的事物个数平均数减量=总数减量÷参与平均的事物个数（2）平均数问题最基本的原理是“移多补少”几个数的平均数一定比其中最大的一个小且比其中最小的一个大经典透析从前有座山，山里有个庙，庙里有许多小和尚，两个小和尚用一根扁担一个桶抬水，一个小和尚用一根扁担两个桶挑水，共用了38根扁担和58个桶，那么有多少个小和尚抬水？多少个挑水？[审题要点]鸡兔同笼问题，假设法[详解过程]假设全是抬水，38根扁担应担38个桶，而实际上是58个桶，为什么少了58-38=20（个）桶呢？因为当我们把一个挑水的当作抬水的就会少算2－1＝1（个）桶，所以有20÷1=20（人）在挑水，抬水的扁担数是38－20＝18（根），抬水的人数是18×2＝36人。专家点评： 可以结合分析工具矩形图，来看鸡兔同笼问题： 左图假设全是抬水：（58-38×1）÷（2-1）=20（根）……20（人）挑水 （38-20）×2=36（人）……36（人）抬水右图假设全是挑水：（38×2-58）÷（2-1）=18（根）……18×2=36（人）抬水 38-18=20（根）……20（人）挑水【例２】某旅游点有儿童票、成人票两种规格的门票卖，儿童票的价格为30元，成人票的价格为40元，如果是团体还可以买平均32元一位的团体票，一个由8个家庭组成的旅游团（每个家庭由两位大人，或两个大人、一个小孩组成）来景点旅游，如果他们买团体票可以比他们各买各的少花120元，问这个旅游团一共有多少人？[审题要点]鸡兔同笼问题的变形题[详解过程]每个三口之家可以少花30+40+40-32×3=14元，每个二口之家可以少花40+40-64=16元，如果这8个家庭都是三口之家，那么一共少花14×8=112元，所以这8个家庭中有（120-112）÷（16-14）=4个家庭是二口之家，所以这个旅游团一共有4×2+（8-4）×3=20人。专家点评： 这道题，首先要考虑的是，怎么理解“少花120元”？跟单位少花情况有关，这里的单位：可以不同家庭为单位，也可以成人与小孩为单位。 一方面，我们可以对两种家庭的“少花”情况进行计算并比较，可以如题所解； 另一方面，我们不妨以成人与孩子的“少花”情况进行计算并比较，可以另解如下： 8个家庭，成人必有16人，则每个成人将“少花”40-32=8元。 所以应该总共少花16×8=128（元） 而实际少花相差128-120=8（元） 是因为每个小孩多花了32-30=2（元） 所以，8÷2=4（人）……小孩人数 16+4=20（人）……旅游团一共人数还有一点值得强调的是，我们在使用假设法的过程中，所采用的比较思想非常重要，在一种证明方法——反证法中，假设法会又一次充当主角。【例３】蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现有蜘蛛、蜻蜓和蝉三种小虫16只，共有110条腿和14对翅膀，每种小虫各有几只？[审题要点]经典鸡兔同笼问题，用两次假设法[详解过程]因为有三种动物，没有办法直接用鸡兔同笼解，所以我们想转化为两种动物就可以直接用了。我们先来看腿，发现蜻蜓和蝉有个共同点——都是6条腿，那我们就把蜻蜓和蝉合并在一起，分为两种动物：一种是6条腿，一种是8条腿。假设全是6条腿的，共有腿6×16=96（条），而实际上是110条，为什么少了110-96=14（条）腿呢？因为当我们把8条腿的蜘蛛当作6条腿算的，有一只蜘蛛就少算2条腿，所以有蜘蛛14÷2=7（只），所以蜻蜓和蝉有16-7=9（只）；我们再来看翅膀：假设这9只全是蜻蜓，则应该有9×2=18（对）翅膀，比实际多了18-14=4（对），所以有蝉4÷1=4（只），则蜻蜓9-4=5（只）。专家点评： 如果我们感觉这样的算术解法有点烦，不妨看看美丽的方程： 设：蜘蛛有只，蜻蜓有y只，蝉有z只，得： （1）×6：（2）-（4）：2=14=7代入（1）式：y+z=9…（5）（3）-（5）：y=5。代入（5）式：z=4。很多时候，我们发现清晰的等量关系，一定要用，从而可以减少“算理”的思考量，把这种思考量转嫁给方程演算。对于方程演算，不需要掌握太多的技巧，就能轻松把握。请参见本书第十九讲《方程》。【例４】老师给同学们分苹果，每人分10个，就多出8个，每人分11个则正好分完，那么一共有多少名学生？多少个苹果？[审题要点]盈亏问题[详解过程]为什么第一次多8个，第二次不多也不少了呢？因为第二次每人多分了1个，所以有8÷1=8（人），苹果8×10+8=88（个）。专家点评：请注意体会差量分析的应用。这是两种方案之间的差异，而假设法是实际与假设之间的差异，两者有着异曲同工之妙。【例５】皮皮从家到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟60米，就可以比上课时间提前2分钟到校，那么皮皮家距离学校多远？[审题要点]需要转化条件的盈亏问题[详解过程]根据题意，每分钟走50米，迟到3分钟，实际上就是还差50×3=150（米）到校；如果每分钟60米，提前2分钟到校，即到校后还可以多走60×2=120（米），第一次与第二次相差150+120＝270（米），也就是第二次比第一次多走了270米，所以皮皮从家到学校所用时间是270÷（60-50）=27（分钟），皮皮家到学校的距离是50×（27+3）=50×30=1500（米）。专家点评：两种方案，除了速度差，更要感受到路程差，从而看到，这里的数量关系，竟然就是追及关系。从中体会一下“柳暗花明又一村”的数学美感吧。数学是好玩的！【例６】国庆节快到了，学而思学校的少先队员去摆花盆。如果每人摆5盆花，还有3盆没人摆；如果其中2人各摆4盆，其余的人各摆6盆，这些花盆正好摆完。问有多少少先队员参加摆花盆活动，一共摆多少花盆？[审题要点]需要转化条件的盈亏问题[详解过程]我们可以把第二个条件转化为如果每人摆6盆花，还缺4盆，那么就是简单的“一盈一亏”。人数：[3＋（6－4）×2]÷（6－5）＝7（人），盆数：5×7＋3＝38（盆）或6×7－4＝38（盆）。专家点评： 转化思想似乎有点玄，为什么我一定会想到：“把第二个条件转化为如果每人摆6盆花，还缺4盆”？答案在于，我们应该在大方向上有感觉，这道题“每人摆5盆，还有3盆没人摆；每人摆6盆，还……”，“还”字后面的下文怎么接？接上了，转化成功！ 记住：转化的关键在于我需要什么样的条件！ 现有条件能否转化为我要的条件？【例７】有四个数，每次去掉一个数，将其余三个数求平均数，这样算了四次，得下面四个数：36.4，47.8，46.2，41.6，那么原来四个数的平均数是多少？[审题要点]平均数问题[详解过程]设这四个数分别为A、B、C、D，根据条件则有：所以[专家点评] 实际上，本题的情境可以换成“小明语文、数学、英语等几门功课的平均分”，也可以换成“某四个小朋友称体重，每三个人称一次”，数量关系不变。这里要注意所求问题，不一定最后求平均数，也可能求这四个数各是多少。只要用四数总和与三数之和求差就行。【例８】某次数学竞赛原定一等奖10人，二等奖20人，现在将一等奖中最后4人调整为二等奖，这样得二等奖的学生的平均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分提高了3分，那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多________分。[审题要点]平均数增量[详解过程]第一眼看这样的图，可能有点不够清楚。别急，我们来慢慢欣赏！首先从总体来看，矩形横向长度表示人数，竖向长度表示平均分，面积表示总分。请注意一下：d与e分别表示调整前的一等奖与二等奖的平均分；而a表示一等奖后4名同学的平均分。b与c表示调整后一等奖与二等奖的平均分。我们要求的量是de之间的平均分之差！我们要想一想，为什么这么一调整，一等奖的平均分高上去了，同时二等奖的平均分也高上去了呢？原因在于：前6名的cd之间的面积移补到一等奖后4名da之间的面积部分了。根据面积相等，长与宽成反比关系，可知：cd之间的高度差︰da之间的高度差=4︰6=2︰3即3︰da之间的平均分之差=2︰3。所以da之间的平均分之差=4.5（分），也就是说，这是后4名现在从原来的d降了4.5分。同理，后4人ab之间的面积=20人be之间的面积；所以ab之间的高度差︰be之间的高度差=20︰4=5︰1所以ab之间的平均分之差︰1=5︰1，ab之间的平均分之差=5（分）所以de之间的平均分之差为4.5+5+1=10.5（分）[专家点评]对于平均数增量问题，用矩形图，数形结合去分析，应该很舒服！要注意平均数问题最基本的原理是“移多补少”，另外要注意所要移补的是总量，而不是平均量。也就是平均分差量与人数的乘积。这段话请结合上面的图形和分析理解，重要！！ 【例９】设四个不同的正整数构成的数组中，最小的数与其余三数的平均值之和为17，而最大的数与其余三数的平均值之和为29。在满足上述条件的所有数组中，其最大数的最大值是多少？[审题要点]平均数与最值问题[详解过程]设这四个数从大到小依次为a、b、c、d，根据题意有。①，②用②式减去①式，得，即a-d=18，a=18+d。因为b、c分别至少比d大2和1，由①式得7+2d≤17，d≤5。由此得a=18+d≤23。所以a的最大值23，且当a、b、c、d依次为23，7，6，5时符合题意。专家点评：这里的所谓平均数，直接应用为表示3个数的总和。这是平均数关系中知道几个数时最常用的思路。另外，对于不等式的求解，建议大家在理解了方程的恒等关系后，一并了解方程的恒不等关系。不等式两边同时加上相同的数或者同时减去相同的数，或者同时乘以相同的正整数或者同时除以相同的正整数，其不等关系不变。（原来是什么符号，不用变号）如果是乘以或者除以一个相同的负数，则符号正好变反。这到初中会常用到。例如：7+2d≤17， 两边同减7，得： 2d≤10， 两边同除以2，得： d≤5。 拓展训练鸡、兔共笼，鸡比兔多26只，足数共274只，问鸡、兔各几只？[初级点拨]鸡兔同笼问题，假设法[深度提示]设鸡与兔只数一样多[全解过程]设鸡与兔只数一样多：274-2×26=222（只），每一对鸡、兔共有足：2+4=6（只），鸡兔共有对数（也就是兔子的只数）：222÷6=37（对），则鸡有37+26=63（只）。100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。问：大、小和尚各有多少人？[初级点拨]鸡兔同笼问题，假设法[深度提示]将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿[全解过程]本题即中国古算名题“百僧分馍问题”。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300—140=160（个）。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3—1=2（个），因为160÷2=80，故小和尚有80人，大和尚有100—80=20（人）。有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错（包含不答）1题倒扣1分；第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？[初级点拨]需要转化的鸡兔同笼问题，找相同点转化[深度提示]如果小明第一次测验24题全对[全解过程]如果小明第一次测验24题全对，得5×24=120（分）。那么第二次只做对30-24=6（题）得分是8×6-2×（15-6）=30（分）。两次相差120-30=90（分）。比题目中条件相差10分，多了80分。说明假设的第一次答对题数多了，要减少。第一次答对减少一题，少得5+1=6（分），而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8+2=10分。两者两差数就可减少6+10=16（分）。（90-10）÷（6+10）=5（题）。因此，第一次答对题数要比假设（全对）减少5题，也就是第一次答对19题，第二次答对30-19=11（题）。第一次得分5×19-1×（24-19）=90。第二次得分8×11-2×（15-11）=80。学而思学校提高班的同学去划船。他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人；如果减少一条船，正好每条船坐9人。问：这个班共有多少同学？[初级点拨]盈亏问题，先增加一条船[深度提示]先增加一条船，那么正好每条船坐6人。然后去掉两条船，就会余下6×2＝12（名）同学。[全解过程]先增加一条船，那么正好每条船坐6人。然后去掉两条船，就会余下6×2＝12（名）同学。改为每条船9人，也就是说，每条船增加9－6＝3（人），正好可以把余下的12名同学全部安排上去，所以现在还有12÷3＝4（条）船，而全班同学的人数是9×4＝36（人）。学而思学校给参加秋游的同学租了几辆大轿车，若每辆车乘28人则有13名同学上不了车，若每辆车乘32人则还有3个空座。问：有多少名同学？多少辆车？[初级点拨]需要转化的盈亏问题，“每辆车乘28人则有13名同学上不了车”转化为盈还是亏呢？[深度提示]已知若每辆车乘28人则有13名同学上不了车，可转化为：每辆车乘28人多出13名同学；若每辆车乘32人则还有3个空座，可转化为：每辆车乘32人少3人。[全解过程]这种类型的题目要将其中的一个条件转化，使之转化为基本的盈亏问题。已知若每辆车乘28人则有13名同学上不了车，可转化为：每辆车乘28人多出13名同学；若每辆车乘32人则还有3个空座，可转化为：每辆车乘32人少3人，问有多少名学生多少辆车？所以，车数：（13+3）÷（32-28）=4（辆），学生有：28×4+13=125（人）。钢笔与圆珠笔每支相差1元2角，小明带的钱买5支钢笔差1元5角，买8支圆珠笔多6角。问小明带了多少钱？[初级点拨]需要转化的盈亏问题，要么都转换成钢笔，要么都转换成圆珠笔。[深度提示]都转换成钢笔；买5支钢笔差15角，买8支钢笔差（12×8－6）=90角，这是双亏：分差是8-5=3支，总差是90-15=75角，就是说多买3支，就多差75角；[全解过程]此题的关键在于条件的转换，要么都转换成钢笔，要么都转换成圆珠笔。（法一）都转换成钢笔；买5支钢笔差15角，买8支钢笔差（12×8－6）=90角，这是双亏：分差是8-5=3支，总差是90-15=75角，就是说多买3支，就多差75角；这样就可求出1支钢笔多少钱；继而求出小明带了多少钱。钢笔的价钱：［（12×8－6）－15］÷（8－5）＝75÷3＝25（角）小明带的钱数：25×5－15＝125－15＝110（角）＝11（元）（法二）都转换成圆珠笔；买5支圆珠笔多12×5－15=45角，买8支圆珠笔多6角。圆珠笔的价钱［（12×5－15）－6］÷（8－5）＝39÷3＝13（角）小明带的钱数13×8＋6＝104＋6＝110（角）＝11（元）。某一筐水果中有苹果和梨若干个。若每次拿出1个苹果和1个梨，则拿到没有苹果时，还剩下50个梨；若每次拿走1个苹果和3个梨，则拿到没有梨时，苹果还剩下50个。那么这筐水果共有个。[初级点拨]需要转化的盈亏问题[深度提示]若每次拿走1个苹果和3个梨，则拿到没有梨时，苹果还剩下50个。由这个条件可以转化为如果要苹果全部拿走，梨还差50×3=150个，所以梨的个数比苹果多50个，比苹果的3倍少150个。[全解过程]若每次拿走1个苹果和3个梨，则拿到没有梨时，苹果还剩下50个。由这个条件可以转化为如果要苹果全部拿走，梨还差50×3=150个，所以梨的个数比苹果多50个，比苹果的3倍少150个，所以苹果的两倍是150+50=200个，所以苹果有100个，那么梨的个数是150个，所以苹果和梨的总个数为250个。从5开始的一串连续的自然数5，6，7，8，…，拿走其中一个数，余下的数的平均数是10.75，那么拿走的数是_______。[初级点拨]平均数问题[深度提示]5至17这十三个连续自然数的平均数是11[全解过程]因为（5+17）÷2=11，所以5至17这十三个连续自然数的平均数是11。还有12个数，拿走的数是（11一10.75）×12+11=14。A、B、C、D、E是五个不同的自然数，从小到大依次排列，它们的平均数是23，前四个数的平均数是21，后四个数的平均数是24，C是偶数，求D是多少？[初级点拨]平均数问题与不定方程[深度提示]A=23×5-24×4=19，E=23×5-21×4=31，B+C+D=21×4-19=65。[全解过程]依题意得A=23×5-24×4=19，E=23×5-21×4=31，B+C+D=21×4-19=65。因为＞21，所以D应大于21。而A<B<C，A=19，故C>20。又C为偶数，因此若C=22，此时D至少为23。若D=23，此时则B=65-22-23=20。若D>23，则B<19，不符合题意。故D=23。马小哈同学使用计算器计算2000个数的平均数之后，不小心把所求出的平均数与原先的2000个数混在一起。有趣的是，这2001个数的平均数恰好是2001。原来这2000个数的平均数是多少？[初级点拨]平均数与方程法[深度提示]我们可以设这2000个数的和是S，平均数为[全解过程]设2000个数的和是S，平均数为，则，这2001个数的平均数为

第12讲牛吃草问题一、知识地图：二、基础知识：英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长。后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”，类似的还有抽水问题等。我们具体来看一道典型的牛吃草问题：牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长。这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。供25头牛可吃几天？分析：要想知道这些草供25头牛可吃几天，必须知道草的总量和每头牛每天吃草的量。然而题目当中并没有告诉我们这样的条件。因此我们可以假设1头牛1天吃1份的草，那么10头牛20天可以吃10×20=200份草。15头牛10天可以吃15×10=150份草，有同学可能会奇怪了，同样都是把牧场的草吃完了，为什么吃草的总量不一样啊？你们明白为什么吗？聪明的同学可能已经明白了，对，因为每天都会有新的草长出来，，所以草的总量并不是固定不变的。吃的时间越长，长的草越多，草的总量也就多了。由刚才的计算我们可以看出，吃20天的草的总量比10天要多，原因就在于此。我们来看看下面这幅图：从上面的图可以看出：草的总量可以分成两部分，一部分是原有的草，还有一部分是新长的草。10头牛20天吃的总草量比15头牛10天吃的总草量多，多出部分相当于10天新生长出的草量。设1头牛1天吃1份草，则10头牛20天比15头牛10天多吃份，则这块牧场每天新长份牧草。在第一种情况中，20天一共新长了份牧草，而牛一共吃了份，说明原来有牧草份。因为每天长5份的草，因此我们可以这样考虑，安排5头牛专门吃新长的草，剩下的牛吃原有的草，什么时候才能把草吃完呢？当牛把原有的草吃完的时候，草就不再生长了，也就是把所有的草全都吃完了。25头牛中安排5头牛吃新草，剩下的20头牛去吃原有的草，那么原有牧草可维持5天，即可供25头牛吃5天。解答牛吃草问题通常设每头牛每日吃掉的草量为单位“1”，解题关键在于通过对题中条件的分析比较，求出牧场上原有的草量，单位时间生长的草量。我们对于基本的牛吃草问题可以做如下总结，我们称之为＂五步法＂：求出两个总量。总量的差÷时间差=每天长草量=安排去吃新草的牛数每天长草量×天数=总共长出来的草草的总量－总共长出来的草＝原有的草原有的草÷吃原有草的牛＝能吃多少天（或原有的草÷能吃多少天＝吃原有草的牛）当然，牛吃草问题的变化还比较多，因此以上＂五步法＂只能作为参考，切不可生搬硬套。上面是从算术方法的角度，提供一种分析问题的思路。我们应该在解题中时刻把握“牛吃草问题”的核心是：牛吃草总量=草场原有草量+新长草量 这种关系，在实际题目中，一般会出现两种方案，对这两种方案的进行比较，是获得解题思路的捷径。 这种比较主要看两种方案“总草量”之差，这对应着两种方案的“时间差”。 具体来看这里的关系： 牛的头数×吃的天数=草场原有草量+每天长草量×吃的天数 由此可知，一般牛吃草问题，首先要把两个关键的量求出来：（1）每天长草量（2）草场原有草量请“奥数研究生”们在下面的例题中揣摩这两个量的求解方法。 经典透析【例1】有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽，养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把草吃尽呢？分析：同学们可以试着用＂五步法＂来解决一下这道题。注意要求出每天长草量和原有草量。设1头牛1天吃1份的草，1.求两个总量，27×6＝16223×9＝2072.总量的差÷时间差=每天长草量=安排去吃新草的牛数（207－162）÷（9－6）＝153.每天长草量×天数=总共长出来的草15×6＝904.草的总量－总共长出来的草＝原有的草162－90＝725.原有的草÷吃原有草的牛＝能吃多少天72÷（21－15）＝12所以如果养牛21头，那么12天能把草吃尽点评：对于比较基本的牛吃草问题，五步法还是很好用的。【例２】由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。那么，可供11头牛吃几天？分析：很显然，这道题和我们上一道题是有区别的，上一题每天的草量在增加，而这道题却是草量每天减少。那么该怎么处理这个问题呢？上一道题我们安排了一部分牛去吃新长的草，那么这道题能不能把每天减少的草想象成是有一些牛来帮忙吃了呢？设1头牛1天吃1份牧草，则20头牛5天吃掉20×5=100份牧草，16头牛6天吃掉16×6=96份牧草，说明6-5=1天牧场上的牧草减少100-96=4份，我们可以假设有4头牛来帮忙把这部分草给吃了。牧场上的原有草量是：100+4×5=120份。原来有11头牛，现在又有4头牛来帮忙吃，所以可维持120÷（11+4）=8天。点评：这道题的关键在于要把每天减少的草假设成有若干头牛来帮忙吃，如果理解了这个问题，那么剩下的步骤和最基本的牛吃草问题就一样了，我们也可以用＂五步法＂来解决。【例３】有一个水池，池底有一个打开的出水口，用5台抽水机20小时可将水抽完，用8台抽水机15小时可将水抽完。如果仅靠出水口出水，那么多长时间能把水漏完？分析：这道题表面上看好象和牛吃草没有什么关系，但是仔细想想，我们可以把抽水机当作牛，把水当作草，把出水口看成是来帮忙吃草的牛。大家可以试试用＂五步法＂来解答一下。设1台抽水机1小时抽出1单位的水，那么5台抽水机20小时抽出5×20=100单位的水，8台抽水机15小时抽出8×15=120单位的水，说明池底的出水口20-15=5小时漏出120-100=20单位的水，则出水口的出水速度是每小时20÷5=4单位，水池中原有100+4×20=180单位的水，如果仅靠出水口出水，需要180÷4=45小时。点评：牛吃草问题有一些变例，其中比较典型的就是＂抽水问题＂，我们只需要弄清楚它与牛吃草问题的联系，把里面的关系理顺，还是可以用牛吃草问题很容易的加以解决。【例４】有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛则24天可将草吃完。现有牛若干头，吃6天后卖了4头，余下的牛再吃2天便将草吃完，问有牛多少头（草每日匀速生长）？分析：根据＂五步法＂，我们其实很容易完成前几步的操作。设1头牛1天吃1份草，则牧草每天的生长量：份；原有草量：份。做到这里的时候出现一个问题了，本题的一个变化是牛的数量减少了，那么我们该如何处理呢？我们能不能假设这4头牛没卖？如果不卖，草肯定不够吃了，要保证这4头牛在最后两天有草吃，我们必须增加4×2＝8份的草才可以。这样就相当于所有的牛都吃了8天的草，如果能理解这一点，那么剩下的问题就好解决了。假设牛的数量保持不变，连续吃6+2=8天，共需要牧草240＋9×8＋4×2=320份，因此有牛320÷8=40头。点评：牛吃草问题的一个变化就是牛的数量的改变，对于牛减少了或者增加了，我们应该假设牛没有减少或增加，相应的增加或减少一部分草的总量，然后就可以按照基本的牛吃草问题来处理了。【例５】一块草地，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天。如果一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？分析：这道题又有一个新的变化，不是只有牛了，而是有牛又有羊，表面上看起来很复杂，但是冷静的分析一下，因为题目告诉我们1头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，因此我们可以把4只羊换成1头牛，这样就只剩一种动物了。80只羊可以换成20头牛，60只羊可以换成15头牛，然后就可以用我们的“五步法”来操作了。设1头牛1天吃1份牧草，那么16头牛20天一共吃了16×20=320份草，20头牛12天吃了240份草，每天长草量为（320-240）÷（20-12）=10份草，原有的草量为320-10×20=120份草，现在有10+15=25头牛，其中吃原有草的牛有25-10=15头，那么可以吃120÷15=8天。点评：不论是有几种动物，只要他们之间互相有联系，那么都可以把它们转化成一种动物来操作。【例６】有三块草地，面积分别是4公顷、8公顷和10公顷，草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周。问：第三块草地可供50头牛吃几周？分析：之前我们讲的所有的牛吃草问题都是在同一块草地上，也就是说草地的面积是固定不变的。然而这道题却有三块面积不同的草地，该怎么办呢？虽然三块草地的面积不同，但是我们可以把它变成相同的，方法是分别转化成1公顷然后再进行计算。设1头牛1周吃1份牧草。24头牛6周吃掉24×6=144份，说明每公顷草地6周提供144÷4=36份牧草；36头牛12周吃掉36×12=432份，说明每公顷草地12周提供432÷8=54份牧草。每公顷草地12-6=6周多提供54-36=18份牧草，说明每公顷草地每周的牧草生长量是18÷6=3份，原有草量是36-3×6=18份。10公顷草地原有18×10=180份牧草，每周新增3×10=30份，可供50头牛吃180÷（50-30）=9周。点评：对于面积不同的情况，我们先把它转化成面积相同，通常的做法是将所有的面积都转化成单位面积然后进行计算。【例７】有三块草地，面积分别为5公顷、15公顷和24公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天。问：第三块草地可供多少头牛吃80天？分析：这道题和上一道题其实是同一种类型的，这里提供几种解法给大家参考一下。（方法一）设1头牛1天吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析10头牛30天吃掉10×30＝300份，说明：1公顷牧场30天提供300÷5＝60份草：1公顷原有草量＋30天1公顷新生草量28头牛45天吃掉28×45＝1260份，说明1公顷牧场45天提供1260÷15＝84份草：1公顷原有草量＋45天1公顷新生草量每公顷牧场45－30＝15天多提供84－60＝24份草，说明1公顷牧场1天的草生长量为24÷15＝1.6份，1公顷原有草量＝60－1.6×30＝12。1天24公顷新生草＝1.6×24＝38.4；24公顷原有草＝12×24＝288那么80天24公顷可提供草：288＋38.4×80＝3360；所以共需要牛的头数是：3360÷80＝42（头）牛。（方法二）除了按照最小公倍数统计外也可以统计为单位量“1”原条件：5公顷10头牛30天15公顷28头牛45天可转化为：相当于把5公顷草地分割成5块每块一公顷有2头牛来吃，所以吃的时间不变相当于把15公顷草地分割成15块每块一公顷有头牛来吃，所以吃的时间不变1公顷2头牛30天2×30＝60：1公顷原有草量＋30天1公顷新生草量 1公顷头牛45天×45＝84：1公顷原有草量＋45天1公顷新生草量从上易得：1天1公顷新生草量＝（84－60）÷（45－30）＝1.6；1公顷原有草量＝60－30×1.6＝12；那么80天24公顷可提供草：12×24＋1.6×24×80＝3360；所以共需要牛的头数：3360÷80＝42（头）。（方法三）现在是3块面积不同的草地，解决这个问题，只需将3块草地的面积统一起来就可以了！[5，15，24]=120，设1头牛1天的吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析，原条件：5公顷10头牛30天15公顷28头牛45天可转化为：120公顷240头牛30天240×30＝7200：120公顷原有草量＋30天120公顷新生草量120公顷224头牛45天224×45＝10080：120公顷原有草量＋45天120公顷新生草量从上易得：1天120公顷新生草量＝192；120公顷原有草量＝7200－30×192＝1440；则1天24公顷新生草量＝192÷5＝38.4，24公顷原有草量＝1440÷5＝288；那么80天24公顷可提供草：288＋38.4×80＝3360；所以共需要牛的头数是：3360÷80＝42（头）牛。【例８】有甲，乙两块匀速生长的草地，甲草地的面积是乙草地面积的三倍。30头牛12天能吃完甲草地上的草，20头牛4天能吃完乙草地的草。问几头牛10天能同时吃完两块草地上的草？分析：这道题又有一个变化，两块草地的面积不同，但是没有具体告诉我们面积是多少，只是告诉我们面积的倍数关系。在前面我们讲过，如果有好几种动物，各种动物之间有倍数关系，我们可以转化为同一种动物来计算，那么这道题我们能不能把两块草地转化为一块草地来计算呢？同学们试试就可以发现答案是肯定的，具体操作如下：设1头牛1天的吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析，根据甲的面积是乙的3倍可以将关系（将乙看成1份，则甲就是3份）进行转化。甲：30头牛12天30×12＝360：甲原有草量＋12天甲地自然增加的草量甲转化为：10头牛12天10×12＝120：乙原有草量＋12天乙地自然增加的草量乙：20头牛4天20×4＝80：乙原有草量＋4天乙地自然增加的草量从上表中可以看出（12－4）＝8天乙地长草量为（120－80）＝40，即1天乙地长草量为40÷8＝5；乙地的原有草量为：120－5×12＝60；则甲、乙两地1天的新生草为：5×（3+1）＝20，原有草量为：60×（3+1）＝240；10天甲、乙两地共提供青草为：240＋20×10＝440，需要：440÷10＝44（头）牛。点评：面积有倍数关系和动物的食量有倍数关系本质上是相同的，我们都要把它们转化为单一的面积或动物后再进行计算。【例９】一片草地每天长的草一样多，现有牛、羊、鹅各一只，且羊和鹅吃草的总量正好是牛吃草的总量。如果草地放牧牛和羊，可以吃45天；如果放牧牛和鹅，可吃60天：如果放牧羊和鹅，可吃90天。这片草地放牧牛、羊、鹅，可以供它们吃多少天？分析：这道题有三种动物，但是不知道每种动物之间的数量关系，因此转化成同一种动物比较困难，这里我们要借助三元一次方程的思想，最终的目的还是要转化为单一动物。设1头牛1天吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析牛和羊45天45天牛和羊吃草量＝原有草量＋45天新长草量（1）牛和鹅60天60天牛和鹅吃草量＝原有草量＋60天新长草量（2）鹅和羊（相当于1牛）90天90天牛（鹅和羊）吃草量＝原有草量＋90天新长草量（3）由（1）×2－（3）可得：90天羊吃草量＝原有草量羊每天吃草量＝原有草量÷90；由（3）分析知道：90天鹅吃草量＝90天新长草量，鹅每天吃草量＝每天新长草量；将分析的结果带入（2）得：原有草量＝60，带入（3）得90天羊吃草量＝60羊每天吃草量＝这样如果牛、羊和鹅一起吃，可以让鹅去吃新生草，牛和羊吃原有草可以吃：60÷（1＋）＝36（天）。拓展训练：1.现欲将一池塘水全部抽干，但同时有水匀速流入池塘。若用8台抽水机10天可以抽干；用6台抽水机20天能抽干。问：若要5天抽干水，需多少台同样的抽水机来抽水？2.12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草。多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场上每天生长草量相等）？3.画展9点开门，但早就有人排队等候入场了。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，则9点9分就不再有人排队了，如果开5个入场口，则9点5分就没有人排队了。那么第一个观众到达的时间是8点几分？4.甲、乙、丙三个仓库，各存放着数量相同的面粉，甲仓库用一台皮带输送机和12个工人，5小时可将甲仓库内面粉搬完；乙仓库用一台皮带输送机和28个工人，3小时可将仓库内面粉搬完；丙仓库现有2台皮带输送机，如果要用2小时把丙仓库内面粉搬完，同时还要多少个工人？（每个工人每小时工效相同，每台皮带输送机每小时工效也相同，另外皮带输送机与工人一起往外搬运面粉）5.有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝，4天可喝完；如果由4人喝，5天可喝完。这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？如果桶没有裂缝由4个人来喝需要几天喝完？6.某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派15个工人砌砖墙14天可以把砖运完，如果派20个工人，9天可以把砖用完，现在派若干名工人砌了6天后，调走6名工人，其余工人又工作4天才砌完，问原来有多少工人来砌墙？7.一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15天将草吃尽；如果让马和羊去吃，20天将草吃尽；如果让牛和羊去吃，30天将草吃尽。已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量。现在让马、牛、羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？8.东升牧场南面一块2000平方米的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长，这片牧场可供18头牛吃16天，或者供27头牛吃8天。在东升牧场的西侧有一块6000平方米的牧场，可供多少头牛吃6天？9.120头牛28天吃完10公顷牧场上的全部牧草，210头牛63天吃完30公顷牧场上的全部牧草，如果每公顷牧场上原有的牧草相等，且每公顷每天新生长的草量相同，那么多少头牛126天可以吃完72公顷牧场上的全部牧草？10.如图，一块正方形的草地被分成完全相等的四块和中间的阴影部分，已知草在各处都是同样速度均匀生长。牧民带着一群牛先在①号草地上吃草，两天之后把①号草地的草吃光。（在这2天内其他草地的草正常生长）之后他让一半牛在②号草地吃草，一半牛在③号草地吃草，6天后又将两个草地的草吃光。然后牧民把的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外的牛放在④号草地吃草，结果发现它们同时把草场上的草吃完。那么如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草，吃完这些草需要多少时间？初级点拨：1、这是一道抽水问题，可以用最基本的牛吃草问题的方法来解决。2、这是一道三块草地牛吃草问题，请参照例6的做法。3、这是一道入口问题，试着把它转换成牛吃草问题来思考。4、这道题表面上看起来不是牛吃草问题，其实它是三块草地牛吃草的一个变例。5、这是一道经典的牛吃草的变例。6、注意这道题当中人数发生了变化。7、这是一个多种动物的牛吃草问题，而且还不知道各种动物之间的倍比关系。8、这是一道两块草地上牛吃草的问题，而且直接给出了两块草地的数量。9、这是一道三块草地上牛吃草问题。10、这是一个结合平面图形的牛吃草问题。深度提示：1、可以使用五步法，注意求出原有草量与每天长草量。2、注意把三块草地转换成1公亩，然后进行处理。3、我们可以把人在增加想象成每分钟都在长草，把入口想象成人。4、我们把甲、乙、丙想象成三块草地，然后参照第2题的做法就可以做出来了。5、注意每天漏掉的酒相当于草在减少。6、我们可以假设人数没有变，那么草的总量应该相应增加。7、可以参照解三元一次方程来处理这道题。8、注意2000平米与6000平米之间的关系。9、参照第2题的解法。10、注意观察平面图形的特征。全解过程：1、设1台抽水机1天的抽水量为1单位，则池塘每天的进水速度为：（6×20-8×10）÷（20-10）=4单位，池塘中原有水量：6×20-4×20=40单位。若要5天内抽干水，需要抽水机40÷5+4=12台。2、设1头牛1天吃1份牧草，则每公亩牧场上的牧草每天的生长量：（21×63÷30-12×28÷10）÷（63-28）=0.3（份），每公亩牧场上的原有草量：21×63÷30-0.3×63=25.2（份），则72公亩的牧场126天可提供牧草：（25.2+0.3×126）×72=4536（份），可供养4536÷126=36头牛3、设一个入口1分钟入场的人数为1份，3个入场口9分钟进入了27份观众，5个入场口5分钟进入了25份观众，说明4分钟来的观众人数是27-25=2份，即每分钟来0.5份。因为9点5分时共来了25份，来25份需要25÷0.5=50分钟，所以第一个观众到达的时间是8点15分。4、设1个工人1小时搬1份面粉。甲仓库中12个工人5小时搬了份，乙仓库中28个工人3小时搬了份，说明甲仓库的传送机5－3=2小时多输送了84－60=24份面粉，即每小时输送24÷2=12份，仓库中共有面粉份。丙仓库中120份面粉需在2小时内搬完，每小时需搬份，因此需要工人名。5、一桶酒相当于原有“草”，喝酒人相当于“牛”，漏掉酒相当于草在减少，设1人1天喝酒量为“1”6人4天6×4＝24：原有酒－4天自然减少的酒4人5天4×5＝20：原有酒－5天自然减少的酒从上面看出：1天减少的酒为（24－20）÷（5－4）＝4，可供4人喝一天。原有酒为：24＋4×4＝40，由4个人来喝需要：40÷4＝10（天）。6、依题意知开工前运进的砖相当于“原有草”开工后每天运进相同的砖相当于“草的生长速度”工人砌砖相当于“牛在吃草”。所以设1名工人1天砌砖数量为“1”，列表分析得15人14天15×14＝210：原有砖的数量＋14天运来砖的数量20人9天20×9＝180：原有砖的数量＋9天运来砖的数量从上面的表中可以看出（14－9）＝5天运来的砖为（210－180）＝30，即1天运来的砖为30÷5＝6原有砖的数量为：180－6×9＝126；假设6名工人不走，则能多砌6×4=24份砖，则砖的总数为126+24+6×（6+4）=210因为是10天工作完，所以有210÷10=21名工人。7、设1匹马1天吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析马和牛15天15天马和牛吃草量＝原有草量＋15天新长草量（1）马和羊20天20天马和羊吃草量＝原有草量＋20天新长草量（2）牛和羊（同马）30天30马（牛和羊）吃＝原有草量＋30天新长草量（3）由（1）×2－（3）可得：30天牛吃草量＝原有草量牛每天吃草量＝原有草量÷30；由（3）分析知道：30天羊吃草量＝30天新长草量，羊每天吃草量＝每天新长草量；讲分析的结果带入（2）得：原有草量＝20，带入（3）30天牛吃草量＝20，得牛每天吃草量＝这样如果马、牛和羊一起吃，可以让羊去吃新生草，马和牛吃原有草可以吃：20÷（1＋）＝12（天）。8、设1头牛1天的吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析18头牛16天18×16＝288：原有草量＋16天自然增加的草量27头牛8天27×8＝216：原有草量＋8天自然增加的草量从上看出：2000平方米的牧场上16－8＝8天生长草量＝288－216＝72，即1天生长草量＝72÷8＝9；那么2000平方米的牧场上原有草量：288－16×9＝144或216－8×9＝144。则6000平方米的牧场1天生长草量＝9×（6000÷2000）＝27；原有草量：144×（6000÷2000）＝432。6天里，西侧草场共提供草432＋27×6＝594，可以让594÷6＝99（头）牛吃6天。9、设1头牛1天吃1份牧草。120头牛28天吃掉120×28＝3360份，说明每公顷牧场28天提供3360÷10＝336份牧草；210头牛63天吃掉210×63＝13230份，说明每公顷牧场63天提供13230÷30＝441份牧草；每公顷牧场63－28＝35天多提供441－336＝105份牧草，说明每公顷牧场每天的牧草生长量为105÷35＝3份，原有草量为336－28×3＝252份。如果是72公顷的牧场，原有草量为252×72＝18144份，每天新长出3×72＝216份，126天共计提供牧草18144＋126×216＝45360份，可供45360÷126＝360头牛吃126天。10、一群牛，2天，吃了1块+1块2天新长的；一群牛，6天，吃了2块+2块2+6=8天新长的；即3天，吃了1块+1块8天新长的；即1群牛1天吃1块6天新长的；即群牛，1天，吃了1块1天新长的草量。又因为，的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外的牛放在④号草地吃草，它们同时吃完。所以，③=2阴影部分面积。于是，整个为块地。那么需要群牛吃新长的草，于是=现在。所以需要吃：天。所以，一开始将一群牛放到整个草地，则需吃30天。

第13讲行程（一）相遇追及（多次）、电车问题知识地图简单相遇追及匀速直线行程多次相遇追及（包括火车过桥）发车间隔问题多次相遇追及环形线路行程（包括钟表问题）基础知识在历年“小升初”考试和各类小学奥数竞赛试题中，“行程问题”都占有很大的比重。同时也是小学奥数专题中的难点，“行程问题”经常作为一份试卷中的压轴难题出现，提高解决“行程问题”的能力不仅能帮助在小升初考试和各类数学竞赛中取得优异成绩，还能为今后初中阶段数学、物理学科的学习打下良好的基础。典型的相遇和追及所有行程问题是围绕“”这一条基本关系式的展开，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系，在这里：；；这两组关系式中“路程和”或“路程差”实际上对应的是相遇或追及问题中的原始（初始）距离，我们可以通过图示来理解。多次相遇追及通过图示介绍直线上的相遇和追及的规律这部分内容涉及以下几个方面：求相遇次数求相遇地点由相遇地点求全程“线段示意图”和“折线示意图”是解行程问题特别是多次相遇问题的重要方法。举个例子：假设A、B两地相距6000米，甲从A地出发在AB间往返运动，速度为6千米/小时，乙从B出发，在AB间往返运动，速度为4千米/小时。我们可以依次求出甲、乙每次到达A点或B点的时间。为了说明甲、乙在AB间相遇的规律，我们可以用“折线示意图”来表示。折线示意图能将整个行程过程比较清晰的呈现出来：例如AD表示的是，甲从A地出发运动到B地的过程，其中D点对应的时间为1小时，表示甲第一次到达B点的时间为1小时，BF表示乙从B地出发到达A地的过程，F点对应的时间为1.5小时，表示乙第一次到达A地的时间为1.5小时，AD与BF相交于C点，对应甲、乙的第一次相遇事件，同样的G点对应是甲、乙的第二次相遇事件。折线图只能直观的表示出相遇的次数和大致时间和地点，具体的时间和地点还必须通过相遇和追及问题的公式进行计算。通过计算，我们能得出：甲、乙第一次相遇的时间为6÷（6+4）=0.6（小时），即36分钟。相遇点距离B地0.6×4=2.4（千米），从第一次相遇到第二次相遇，甲、乙行程的路程总和等于两个AB长，所以两次相遇的时间间隔为72分钟。第二次相遇发生的时间为108分钟。事实上，我们从折线示意图就能看出来，任意两次相邻的相遇事件的时间间隔都是72分钟，而每72分钟，甲乙两人运动的总路程都等于2个AB长，所以我们能得到如下推论：如果甲、乙是从线段两端出发，那么相邻的两次相遇事件的时间间隔都相等，并且第n次相遇时，他俩行走路程和相当于（2n-1）个线段总长。同样的相邻两次的追及事件（速度快的追上速度慢的）发生的时间间隔都相等。第n次追及时，他俩行走路程差相当于（2n-1）个线段总长。注意：如果甲、乙在线段的端点碰面，既可以算作相遇事件也可以算作追及事件，例如例子当中的E点，既是甲、乙的第三次相遇，也是甲第一次从后面追上乙。发车间隔问题有关公共汽车与行人的问题，主要涉及到这几个量：行人速度、汽车速度、前后相邻汽车间距、汽车发车时间间隔、相