高三数学(理科)二轮教案专题四第二讲数列的通项公式与数列求和

第二讲数列的通项公式与数列求和研热点（聚焦突破）类型一数列的通项问题1．累加法求通项：形如an＋1－an＝f(n)．2．累乘法求通项：形如eq\f(an＋1,an)＝f(n)．3．构造法：形如：an＋1＝pan＋q.4．已知Sn求an，即an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1（n＝1），,Sn－Sn－1（n≥2）.))[例1](2012年高考广东卷)设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式．[解析](1)当n＝1时，T1＝2S1－12.因为T1＝S1＝a1，所以a1＝2a1－1，解得a1＝1.(2)当n≥2时，Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2Sn－2Sn－1－2n＋1，所以Sn＝2Sn－1＋2n－1，①所以Sn＋1＝2Sn＋2n＋1，②②－①得an＋1＝2an＋2.所以an＋1＋2＝2(an＋2)，即eq\f(an＋1＋2,an＋2)＝2(n≥2)．当n＝1时，a1＋2＝3，a2＋2＝6，则eq\f(a2＋2,a1＋2)＝2，所以当n＝1时也满足上式．所以{an＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以an＋2＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－2.跟踪训练数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，数列{an}的通项公式为________．解析：由题意，当n≥2时，a1·a2·a3·…·an＝n2，①故当n＝2时，有a1·a2＝22＝4，又因为a1＝1，所以a2＝4.故当n≥3时，有a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2，②由eq\f(①,②)，得an＝eq\f(n2,（n－1）2).而当n＝1时，a1＝1，不满足上式，n＝2时，满足上式．所以数列{an}的通项公式为an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1（n＝1），,\f(n2,（n－1）2)（n≥2）.))答案：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1（n＝1）,\f(n2,（n－1）2)（n≥2）))类型二数列求和数列求和的方法技巧(1)转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并；(2)错位相减法这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列；(3)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．[例2](2012年高考浙江卷)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N*，数列{bn}满足an＝4log2bn＋3，n∈N*.(1)求an，bn；(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.[解析](1)由Sn＝2n2＋n，得当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1.所以an＝4n－1，n∈N*.由4n－1＝an＝4log2bn＋3，得bn＝2n－1，n∈N*.(2)由(1)知anbn＝(4n－1)·2n－1，n∈N*，所以Tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)·2n－1，2Tn＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)·2n－1＋(4n－1)·2n，所以2Tn－Tn＝(4n－1)2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1)]＝(4n－5)2n＋5.故Tn＝(4n－5)2n＋5，n∈N*.跟踪训练(2012年高考课标全国卷)数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为()A．3690 B．3660C．1845 D．1830解析：利用数列的递推式的意义结合等差数列求和公式求解．∵an＋1＋(－1)nan＝2n－1，∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1，∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42＋…＋234＝eq\f(15×（10＋234）,2)＝1830.答案：D类型三数列的综合应用1．数列的综合应用多涉及函数、不等式、解析几何等知识．2．数列的单调性的判断方法：(1)作差：an＋1－an与0的关系；(2)作商：eq\f(an＋1,an)与1的关系．[例3](2012年高考广东卷)设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列．(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)<eq\f(3,2).[解析](1)∵a1，a2＋5，a3成等差数列，∴2(a2＋5)＝a1＋a3.又2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，∴2S1＝a2－22＋1，2S2＝a3－23＋1，∴2a1＝a2－3，2(a1＋a2)＝a3由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（a2＋5）＝a1＋a3，,2a1＝a2－3，,2（a1＋a2）＝a3－7))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,a2＝5，,a3＝19.))∴a1＝1.(2)∵2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，①∴当n≥2时，2Sn－1＝an－2n＋1.②①－②得2an＝an＋1－an－2n＋1＋2n，∴an＋1＝3an＋2n.两边同除以2n＋1得eq\f(an＋1,2n＋1)＝eq\f(3,2)·eq\f(an,2n)＋eq\f(1,2)，∴eq\f(an＋1,2n＋1)＋1＝eq\f(3,2)(eq\f(an,2n)＋1)．又由(1)知eq\f(a2,22)＋1＝eq\f(3,2)(eq\f(a1,21)＋1)，∴数列{eq\f(an,2n)＋1}是以eq\f(3,2)为首项，eq\f(3,2)为公比的等比数列，∴eq\f(an,2n)＋1＝eq\f(3,2)·(eq\f(3,2))n－1＝(eq\f(3,2))n，∴an＝3n－2n，即数列{an}的通项公式为an＝3n－2n.(3)证明：∵an＝3n－2n＝(1＋2)n－2n＝Ceq\o\al(0,n)·1n·20＋Ceq\o\al(1,n)·1n－1·21＋Ceq\o\al(2,n)·1n－2·22＋…＋Ceq\o\al(n,n)·10·2n－2n＝1＋2n＋2(n2－n)＋…＋2n－2n>1＋2n＋2(n2－n)＝1＋2n2>2n2>2n(n－1)，∴eq\f(1,an)＝eq\f(1,3n－2n)<eq\f(1,2n（n－1）)＝eq\f(1,2)·eq\f(1,n（n－1）)，∴eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)<1＋eq\f(1,2)[eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋…＋eq\f(1,n（n－1）)]＝1＋eq\f(1,2)(1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n))＝1＋eq\f(1,2)(1－eq\f(1,n))＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2n)<eq\f(3,2)，即eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)<eq\f(3,2).跟踪训练(2012年北京东城模拟)已知数列{an}满足a1＝eq\f(1,4)，eq\a\vs4\al(an＝\f(an－1,（－1）nan－1－2))(n≥2，n∈N)．(1)试判断数列{eq\f(1,an)＋(－1)n}是否为等比数列，并说明理由；(2)设cn＝ansineq\f(（2n－1）π,2)，数列{cn}的前n项和为Tn.求证：对任意的n∈N*，Tn<eq\f(2,3).解析：(1)由an＝eq\f(an－1,（－1）nan－1－2)得eq\f(1,an)＝eq\f(（－1）nan－1－2,an－1)＝(－1)n－eq\f(2,an－1)，所以eq\f(1,an)＋(－1)n＝2·(－1)n－eq\f(2,an－1)＝－2[eq\f(1,an－1)＋(－1)n－1]．又eq\f(1,a1)－1＝3≠0，故数列{eq\f(1,an)＋(－1)n}是首项为3，公比为－2的等比数列．(2)证明：由(1)得eq\f(1,an)＋(－1)n＝3·(－2)n－1.所以eq\f(1,an)＝3·(－2)n－1－(－1)n，an＝eq\f(1,3·（－2）n－1－（－1）n)，所以cn＝ansineq\f(（2n－1）π,2)＝eq\f(1,3·（－2）n－1－（－1）n)(－1)n－1＝eq\f(1,3·2n－1＋1)<eq\f(1,3·2n－1).所以Tn<eq\f(\f(1,3)[1－（\f(1,2)）n],1－\f(1,2))＝eq\f(2,3)[1－(eq\f(1,2))n]<eq\f(2,3).析典题（预测高考）高考真题【真题】(2012年高考湖南卷)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．【解析】(1)由题意得a1＝2000(1＋50%)－d＝3000－d，a2＝a1(1＋50%)－d＝eq\f(3,2)a1－d＝4500－eq\f(5,2)d.an＋1＝an(1＋50%)－d＝eq\f(3,2)an－d.(2)由(1)得an＝eq\f(3,2)an－1－d＝eq\f(3,2)(eq\f(3,2)an－2－d)－d＝(eq\f(3,2))2an－2－eq\f(3,2)d－d＝…＝(eq\f(3,2))n－1a1－d[1＋eq\f(3,2)＋(eq\f(3,2))2＋…＋(eq\f(3,2))n－2]．整理得an＝(eq\f(3,2))n－1(3000－d)－2d[(eq\f(3,2))n－1－1]＝(eq\f(3,2))n－1(3000－3d)＋2d.由题意，知am＝4000，即(eq\f(3,2))m－1(3000－3d)＋2d＝4000，解得d＝eq\f([（\f(3,2)）m－2]×1000,（\f(3,2)）m－1)＝eq\f(1000（3m－2m＋1）,3m－2m).即该企业每年上缴资金d的值为eq\f(1000（3m－2m＋1）,3m－2m)时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4000万元．【名师点睛】本题考查利用递推数列求通项的方法，考查综合利用数列知识分析解决实际问题的能力，难度较大，解答本题的关键是求出递推关系an＋1＝an－d，并变形求an.考情展望高考对数列的通项与求和的考查多以解答题形式出现，主要考查an与Sn的关系，以及错位相减求和、裂项求和及分组转化求和，难度中档偏上．名师押题【押题】在平面直角坐标系中，设不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,y≥0，,y≤－2n（x－3）))(n∈N*)表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点(横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为an.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＋1＝2bn＋an，b1＝－13.求证：数列{bn＋6n＋9}是等比数列，并求出数列{bn}的通项公式．【解析】(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，