高中数学选择性学案第1章1-4两条直线的交点1-5-1平面上两点间的距离

1.4两条直线的交点1.5平面上的距离平面上两点间的距离1.两条直线的交点方程组QUOTE的解一组无数组无解直线l1,l2的公共点一个无数个零个直线l1,l2的位置关系相交重合平行2.两点间的距离公式(1)公式:两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式P1P2=QUOTE,特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离OP=QUOTE.(2)本质:用代数方法求平面内两点之间的距离.两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式能否表示为P1P2=QUOTE?为什么?提示:能,因为QUOTE=QUOTE.3.中点坐标公式对于平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),线段P1P2的中点M(x0,y0),则QUOTE1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)求两直线的交点就是解由两直线方程组成的方程组. ()(2)两直线l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0相交的充要条件是A1B2A2B1≠0. ()(3)方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,表示经过直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的所有直线. ()(4)两点间的距离公式与两点的先后顺序无关. ()提示:(1)√.由两直线方程组成的方程组的解同时满足两个方程,在两条直线上,所以是交点坐标.(2)√.两直线l1与l2相交,需QUOTE≠QUOTE(分母不为零),转化为整式即为A1B2A2B1≠0,也去掉了分母的限制条件.(3)×.无论λ取什么实数,都得不到A2x+B2y+C2=0,因此它不能表示直线l2.(4)√.两点间的距离公式包含差的平方,所以与两点的先后顺序无关.2.直线x=1与直线y=2的交点坐标是 ()A.(1,2) B.(2,1)C.(1,1) D.(2,2)【解析】选A.直线x=1与直线y=2是互相垂直的直线,其交点坐标是(1,2).3.已知M(2,1),N(1,5),则MN等于 ()A.5 B.QUOTEC.QUOTE D.4【解析】选A.MN=QUOTE=5.4.(教材二次开发:例题改编)已知两条直线l1:ax+3y3=0,l2:4x+6y1=0,若l1与l2相交,则实数a满足的条件是.

【解析】l1与l2相交,则有:QUOTE≠QUOTE,所以a≠2.答案:a≠2类型一求两条直线的交点坐标(数学运算)1.直线4x+2y2=0与直线3x+y2=0的交点坐标是 ()A.(2,2) B.(2,2) C.(1,1) D.(1,1)2.(多选题)若三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0不能围成三角形,则a的取值为 ()A.a=1 B.a=-1 C.a=2 3.经过两直线l1:3x+4y2=0和l2:2x+y+2=0的交点且过坐标原点的直线l的方程是.

【解析】1.选C.解方程组QUOTE得QUOTE所以交点坐标为(1,1).2.选ABC.由题意可得l1和l3平行,或l2和l3平行,或l1和l2平行.若l1和l3平行,则QUOTE=QUOTE,求得a=1;若l2和l3平行,则QUOTE=QUOTE,求得a=1.若l1和l2平行,则QUOTE=QUOTE,求得a=±1.当三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0交于同一个点时,a=2;综上可得,实数a所有可能的值为1,1,2.3.方法一:由方程组QUOTE解得QUOTE即l1与l2的交点坐标为(2,2).因为直线过坐标原点,所以其斜率k=QUOTE=1.故直线方程为y=x,即x+y=0.方法二:因为l2不过原点,所以可设l的方程为3x+4y2+λ(2x+y+2)=0(λ∈R),即(3+2λ)x+(4+λ)y+2λ2=0.将原点坐标(0,0)代入上式,得λ=1,所以直线l的方程为5x+5y=0,即x+y=0.答案:x+y=0过两条直线交点的直线方程求法求过两条直线交点的直线方程,一般是先解方程组求出交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.也可用过两条直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,再根据其他条件求出待定系数,写出直线方程.过直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线系有两种:①λ1(A1x+B1y+C1)+λ2(A2x+B2y+C2)=0可表示过l1,l2交点的所有直线;②A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0不能表示直线l2.【补偿训练】1.两条直线2x+3yk=0和xky+12=0的交点在y轴上,那么k的值是 ()A.24B.6C.±6D.24【解析】选C.设交点P(0,y),代入2x+3yk=0,得y=QUOTE,所以PQUOTE,代入xky+12=0,得0QUOTE+12=0,所以k=±6.2.若三条直线2x+3y+8=0,xy1=0,x+ky=0相交于一点,则k的值为 ()A.2 B.QUOTE C.2 D.QUOTE【解析】选B.易求直线2x+3y+8=0与xy1=0的交点坐标为(1,2),代入x+ky=0,得k=QUOTE.类型二过定点的直线(数学运算,直观想象)【典例】求证:不论λ为何实数,直线(λ+2)x(λ1)y=6λ3都恒过一定点.四步内容理解题意条件:直线方程:(λ+2)x(λ1)y=6λ3结论:直线恒过定点思路探求给λ任取两个特殊值,得两条直线的方程,联立得交点;也可整理为关于λ的一次式,令系数与常数项都为零解得交点.书写表达证明:方法一:(特殊值法)取λ=0,得到直线l1:2x+y+3=0,取λ=1,得到直线l2:x=3,故l1与l2的交点为P(3,3).将点P(3,3)代入方程左边,得(λ+2)×(3)(λ1)×3=6λ3,所以点(3,3)在直线(λ+2)x(λ1)y=6λ3上.所以直线(λ+2)x(λ1)y=6λ3恒过定点(3,3).方法二:(分离参数法)由(λ+2)x(λ1)y=6λ3,整理得(2x+y+3)+λ(xy+6)=0.则直线(λ+2)x(λ1)y=6λ3通过直线2x+y+3=0与xy+6=0的交点.由方程组QUOTE得QUOTE所以直线(λ+2)x(λ1)y=6λ3恒过定点(3,3).题后反思交点一定是二元一次方程组的解.解决过定点问题常用的三种方法(1)特殊值法:给方程中的参数取两个特殊值,可得关于x,y的两个方程,从中解出的x,y的值即为所求定点的坐标;(2)点斜式法:将含参数的直线方程写成点斜式yy0=k(xx0),则直线必过定点(x0,y0);(3)分离参数法:将含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0的形式,则该方程表示的直线必过直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点,而此交点就是定点.求证:不论m取什么实数,直线(2m1)x+(m+3)y(m11)=0都经过一定点,并求出这个定点坐标.【解析】方法一:对于方程(2m1)x+(m+3)y(m11)=0,令m=0,得x3y11=0;令m=1,得x+4y+10=0.解方程组QUOTE得两条直线的交点坐标为(2,3).将点(2,3)代入直线方程,得(2m1)×2+(m+3)×(3)(m11)=0.这表明不论m取什么实数,所给直线均经过定点(2,3).方法二:将已知方程(2m1)x+(m+3)y(m11)=0,整理为(2x+y1)m+(x+3y+11)=0.由于m取值的任意性,有QUOTE解得QUOTE所以不论m取什么实数,所给直线均经过定点(2,3).类型三两点间的距离(数学运算,直观想象)【典例】已知△ABC三顶点坐标A(3,1),B(3,3),C(1,7),试判断△ABC的形状.【思路导引】计算三角形的各边长,通过长度获得关系;或者由斜率获得关系.【解析】方法一:因为AB=QUOTE=2QUOTE,AC=QUOTE=2QUOTE,又BC=QUOTE=2QUOTE,所以AB2+AC2=BC2,且AB=AC,所以△ABC是等腰直角三角形.方法二:因为kAC=QUOTE=QUOTE,kAB=QUOTE=QUOTE,则kAC·kAB=1,所以AC⊥AB.又AC=QUOTE=2QUOTE,AB=QUOTE=2QUOTE,所以AC=AB,所以△ABC是等腰直角三角形.判断三角形形状的方法在分析三角形的形状时,要从两方面考虑:一是要考虑角的特征,主要考察是否为直角或等角;二是要考虑三角形边的长度特征,主要考察边是否相等或满足勾股定理.已知点A(2,1),B(4,3),C(0,5).求证:△ABC是等腰三角形.【证明】因为AB=QUOTE=2QUOTE,AC=QUOTE=2QUOTE,BC=QUOTE=2QUOTE,所以AC=BC.又因为点A,B,C不共线,所以△ABC是等腰三角形.类型四坐标法证题(直观想象,逻辑推理)【典例】在△ABC中,D是BC边上任意一点(D与B,C不重合),且AD2+BD·DC=AB2,求证:△ABC为等腰三角形.【思路导引】在图形中建立坐标系,设点,说明AB=AC.【证明】如图,作AO⊥BC,垂足为O,以BC所在直线为x轴,以OA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系xOy.设A(0,a),B(b,0),C(c,0),D(d,0).因为AD2+BD·DC=AB2,所以由两点间距离公式,可得d2+a2+(db)(cd)=b2+a2,化简得(c+b)(db)=0.又db≠0,所以c+b=0,即b=c,所以OB=OC,所以AB=AC,即△ABC为等腰三角形.坐标法解决几何问题关键坐标法解决几何问题时,关键要结合图形的特征,建立平面直角坐标系.坐标系建立的是否合适,会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有两点:①让尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算;②如果条件中有互相垂直的两条线,要考虑将它们作为坐标轴;如果图形为中心对称图形,可考虑将中心作为原点;如果有轴对称性,可考虑将对称轴作为坐标轴.已知:等腰梯形ABCD中,AB∥DC,对角线为AC和BD.求证:AC=BD.【证明】如图所示,建立直角坐标系,设A(0,0),B(a,0),C(b,c),则点D的坐标是(ab,c).所以AC=QUOTE=QUOTE,BD=QUOTE=QUOTE.故AC=BD.1.(教材二次开发:练习改编)已知直角坐标平面上连接点(2,5)和点M的线段的中点是(1,0),那么点M到原点的距离为 ()A.41B.QUOTEC.QUOTED.39【解析】选B.设M(x,y),由题意得QUOTE解得QUOTE所以M(4,5).则M到原点的距离为QUOTE=QUOTE.2.若直线ax+by11=0与3x+4y2=0平行,并且经过直线2x+3y8=0和x2y+3=0的交点,则a,b的值分别为 ()A.3,4 B.3,4C.4,3 D.4,3【解析】选B.由QUOTE得QUOTE由题意得QUOTE得QUOTE3.过直线2xy+2=0和x+y+1=0的交点,且斜率为3的直线方程是.

【解析】解方程组QUOTE得QUOTE所以两直线的交点坐标为(1,0),又所求直线的斜率为3,故所求直线的方程为y0=3[x(1)],即3xy+3