2020-2021学年上海市高二（上）期中数学试卷人教A版

2020-2021学年上海市高二（上）期中数学试卷

“2（3-122]

一、填空题（每题3分，共42分）.

11.己知无穷等比数列｛。五｝,是增广矩阵为1012J的线性方程组的解，则无穷等比数列｛an｝

2n+5的各项的和为.

lim-

1.计算:n—+83-n=

12.在平面直角坐标系中，动点P到两条直线3x-y=0与x+3y=0的距离之和等于4,则点P到原点距离的

取值范围为.

2.向量a=（-i,i）的单位向量a0=.

：nx

13.将直线，i：x+y-1=0、/2+y-n=Oxb：x+ny-〃=0(n6AT,nN2)围成的三角形面积记为又，

(21)个］

3.已知矩阵A=l1-3/,矩阵B=l1I,贝必B=.

4.已知直线％+0③-5=0,则其倾斜角为.

兀1-

..1•'.'♦,――-a.

5.将循环小数0.36化成最简分数后，分子与分母的和为.

14.已知向量a.b的夹角为4,|b|=2,若对任意XWR,恒有|匕+工列之|h2|,则函数/'（亡尸竹卜

司+忖h2GR）的最小值为Vw.

6.已知A/IBC的顶点坐标4（一6,2）,B（6,4）,设G（2,0）是△ABC的重:心，则顶点C的坐标为

二、选择题（每题3分，共12分）

7.若直线，过点P（3,4）,且与直线2x+y-l=0平行，则直线!的方程为.

已知直线A：3x+ay+2=0和仃％+（Q-4）y+6a=0,则"Q=1"是Z1占'的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

x2-32xC.充要条件D.既非充分又非必要条件

251

8.-:阶行列式X4-2中第3行第2列元素的代数余子式的值小于。，则实数》的取值范围为

下列命题为真命题的序号是（）

-2一

>"->①a=|郊；

9.已知4（1,0）,B（3,1）,C（2,-3）,则BC在AB方向上的投影为.—•—•—>—•—♦—•

②若向量a和b反向，«ij|a|-|b|=|a+b|：

—•—•——•—•—>

③若1和=|切，则a=bsa=-b：

10.设点4（2,1）,5（-1,4）,若点P在宜线48上，且满足IAB|=3|BP|,则点P的坐标为.

④若AB・BC>o,则△｛8c为钝角三角形.

A.①②B.②③c.③④D.①④

n+1,n+l

a-b

nn

已知a>0,b>0,且aHb,若nf8a-bR=5,则a+b的值可能是（）

A.9B.10C.llD.12

(1)实数t的值;

已知直线，i：x-y-l=0,动直线G：(2+l)x+〃y+k=0(kwR)，则下列结论错误的是()

A.存在0使得G的倾斜角为90°

(2)|AP|的最小值.

B.对任意的鼠。与，2都有公共点

C.对任意的k,。与％都不重合

D.对任意的匕L与，2都不垂直已知点P和非零实数九若两条不同的直线5%均过点P，且斜率之积为人则称直线5，2是一组"口共挽线

三、解答题(共46分)1

—X

对”，如直线ky=2x和，2：y=2是一组"0_1共扼线对"，其中。是坐标原点.

fmx-y=3

解关于X,y的二元一次方程组1（3m+l）x-4ny=8m+4（»neR）,并对解的情况进行讨论.

—♦—♦—♦—♦—♦—•—♦—•

已知1叫=1,ini=2,IT与口的夹角为60°,设a=ir-3nb=2ir+tn,teR.

—♦—*

（i）若匿ib,求t：

(2)若t=o,求向量a与b的夹角.

已知数列的前ri项和为多,。1=1,2azi+i+3Sn=2(7i€N*).

(1)求数列｛%｝的通项公式：

(1)已知人、，2是一组"。-3共跳线对"，求小，2的夹角的最小值；

(2)记5=%+。2+……+每+……，若对任何正整数n,都有AS>Sn+i成立,求实数k的取值范围.

(2)已知点4(0,1)、点B(-l,0)和点C(l,0)分别是三条直线PQ,QR,RP上的点(A,B,C与P,Q,R均

不重合)，且直线PR,PQ是“Pi共视线对"，直线QP,QR是"Q4共挽线对“，直线RP，RQ是"Rg共视线对"，求

九1

点P的坐标；

如图，在△力8c中，Z.BAC=3,。为48中点.p为上•点满足AF=tAC+3AB,且AABC的面积为

3^3

(3)已知点Q(-L1/5),直线，1，I2是“Q-2共班线对"，当k的斜率变化时，求原点0到直线匕、G的距离

2.求：

之积的取值范围.

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（21）㈡

参考答案与试题解析矩阵1-3人矩阵8=11）,

（2px（-i）+ixi）（F

2020・2021学年上海市高二（上）期中数学试卷

则4B=11-3/A1/=\IX（-1）+（-3）X1）=\-4/,

一、填空题（每题3分，共42分）.

4.

1.

【答案】【答案】

-25兀

【考点】

数列的极限

【解析】【考点】

直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可.直线的倾斜角

【解答】【解析】

由题意利用直线的倾斜角和斜率的关系，先求出直线的斜率，可得直线的倾斜角.

【解答】

]jm2g5返

宜线》+，§y-5=0的斜率为-3,设其倾斜角为。，0G[0,71）,

n—+8Sn=口—+8n=0-1=-2

返5九

【答案】

则tanO=-3,故。=6,

返返返返5.

（-2,2）或（2,-2）【答案】

【考点】41

向量的概念与向量的模【考点】

【解析】等比数列的前n项和

运用向量的坐标，以及单位向量的求法，即可得解.【解析】

【解答】分别设y=0.3666…6…，x=0.666…6...,求出4,y,即可求出答案.

【解答】

一—-----近MV2设y=0.3666…6...,

向量a=（-i,1）的单位向量a（）=±|aI=±V（-1）+1x（-i,i）=（-2,2）或＜2,-10y=3.666…6…=3+0.666...6.“,

设％=0.666…6…，

亚/.10x=6.666...6...,

2）.10x—x=6.

2

【答案】：.x—3,

㈡

2

10y=3+3,

【考点】

几种特殊的矩阵变换11

【解析】・'.y=30,

利用矩阵的乘法法则及其意义进行求解，即可得到答案.

【解答】

._11x2-32x

即循环小数o.36化成最简分数为30,251

11+30=41,

6.一:阶行列式x4-2中第3行第2列元素的代数余子式的值小于0,

第3行第2列元素的代数余子式的值为：

【答案】

(6,-6)x22x

【考点】

2

中点坐标公式(-1)3+221=-x+4x<0,

【解析】

解得“<0或x>4.

利用重心的性质求解.

实数X的取值范围为(一8,0)U(4,4-00).

【解答】

9.

设点C(a,b),

-：6(2,0)是aABC的重心，【答案】

-6+6+a6

2+4+bfa=6【考点】

3，解得1b=-6,平面向量数量积的含义与物理背景

【解析】

点C(6,-6).

7.根据A,B,c的坐标即可求出向量BC，AB的坐标，进而可求出BC,AB和IABI的值，然后即可得出

【答案】

BC在ABi二的投影.

2x+y-10=0

【解答】

【考点】

直线的一般式方程与直线的平行关系BC=(-1,-4),AB=(2,1),

【解析】

设过点(3,4)且与直线2x+y-l=0平行的直线方程为2x+y+m=0,把点(3,4)代入直线方程，求出m值...BC-AB=-2-4=-6,|AB|=V5,

即得直线，的方程.

【解答】BC'AB^-6_&V5

设过点(3,4)且与直线2x+y-1=0平行的直线方程为2x+y+m=Q,把点(3,4)代入直线方程得.­.BC在AB方向上的投影为：IABIV55

6+4+m=Q,m=-10»

10.

故所求的直线方程为2x+y-10=0,

8.【答案】

(-2,5)或(0,3)

【答案】

【考点】

(-co,0)U(4,+00)

平面向量共线(平行)的坐标表示

【考点】

【解析】

二阶行列式的定义

【解析】

根据题意知AB=3BP或AB=-3BP,设出点P的坐标，利用向量相等列方程组求出即可.

x22x【解答】

点A(2,1),8(-1,4),所以AB=(-3,3)；

由第3行第2列元素的代数余子式的值小于0,得到(—1尸+221=-X2+4X<0,由此能求出实数x的

取值范围.设点P(x,y)，由P在直线力B上，且|AB|=3|BP|,

【解答】

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【考点】

所以AB=3BP或AB=-3BP；

点到直线的距离公式

【解析】

又BP=(x+l,y-4),

先确定两条直线满足垂直关系，设出点到直线的距离分别为a,b,然后根据条件得到a+b=4,利用二次函

[-3=3(x+1)数的性质即可求解.

【解答】

当AB=3BP时，

^l3=3(y-4),3x-y=0与X+3y=0的互相垂直，且交点为原点，

[x=-2・••设P到直线的距离分别为a,b,则aNO,b>0,

则a+b=4,即b=4-aN0,

解得1片5,

得04a44,

所以点P(-2,5)；

由勾股定理可知OP==Va2+（4-a）2=V2a2-8a+16=V2（a-2）2+8,

P3=-3(x+l)

当AB=-3BP时，有(3=-3(y-4),/0<a<4,

\OP\e[2V2,4].

(x=0

13.

解得1y=3,

【答案】

所以点P(0,3)：

1

综上知，点P的坐标为(—2,5)或(0,3).

2

11.【考点】

【答案】极限及其运算

32【解析】

由题设条件解相应的方程组可以得到3（含，羔），由801"结合题设条件能够推导出配=养》由此能

32或.3

【考点】

够求出"msn的值.

数列的求和71T8

【解析】【解答】

先根据增广矩阵得线性方程组，然后解线性方程组可得。2,Q#再求出首项和公比，最后利用无穷等比数列

解：l2：nx+y-n=0s。:亢+ny-n=0的交点为8(^,

｛的｝的各项的和的公式计算可得答案.

【解答】所以BOIAC,

（3-122）（3x-y=22vkd+y-l=O与X轴、y轴的交点分别为：（1,0）、（0,1）,

/.AC=42

=

•.1增广矩阵为1012J的线性方程组为1y2,解得：X=8,y=2,

1/-n\[2n—1

Sn企“E痘一丁)

即。2=8，。4=2，2(71+1)

a1=16(ap-16所以4

ajq=8

_1_1故答案为：1.

'3=?或M下

设无穷等比数列｛an｝的公比为q,则有-4,解得:

14.

al32【答案】

无穷等比数列｛an｝的各项的和为1-q=32或-3,

12.

【答案】

[2^2,4]

【答案】

D

【考点】

命题的真假判断与应用

【解析】