2022年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：二次函数（10题）

2022年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：二次函数（10

题）

一.解答题（共10小题）

1.（2022•南岗区模拟）已知：抛物线y=-L（x+«）（x-7）交x轴于A、B（A左B右）,

2

交y轴正半轴于点C,且O8=OC.

（1）如图1,求抛物线的解析式；

（2）如图2,点P为第一象限抛物线上一点，连接4P,AP交y轴于点。，设P的横坐

标为加，CQ的长为d,求d与加的函数解析式（不要求写出自变量机的取值范围）；

（3）如图3,在（2）的条件下，过点P作轴于点E,延长EP至点G,使得PG

=3CE,连接CG交AP于点F,且/AFC=45°,连接AG交抛物线于T,求点T的坐

2.（2021•桃江县模拟）如图，已知二次函数y=（6,。为常数）的图象经过点A

（3,1）,点C（0,4）,顶点为点M,过点A作A8〃x轴，交y轴于点。，交该二次函

数图象于点8,连结BC.

（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；

（2）若将该二次函数图象向下平移机（机＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的

顶点落在aABC的内部（不包括△A8C的边界），求机的取值范围；

（3）在直线AC上是否存在这样的点P,使得△PCMSABOC,若存在，求出点P的坐

标；若不存在，请说明理由.

3.(2021•临洲县模拟)如图1,抛物线y=a/+bx+”的图象与x轴交于A(-1,0),B两

3

点，过点C(l,2).动点。从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB方向运动，

设运动的时间为/秒.

(1)求抛物线的表达式；

3

(2)过。作OE_LAB交4c于点E,连接BE.当1=3时，求ABCE的面积；

2

(3)如图2,点尸(2,1)在抛物线上，连接AF,CF.

①判断△4CF的形状并说明理由；

②当/=立时，连接CC,在抛物线上存在点P,使得NACP=NQCF,求此时直线CP与

2

x轴的交点。的坐标.

图1图2

4.(2021•远安县二模)如图，点A(-1,0)、B(2,0)和E(0,2),抛物线/：y=^

4

-x+c经过A点.

(1)请计算：c=.

(2)抛物线/上是否存在点M使A、B、N、E四点构成的四边形是平行四边形，若存

在，请求出N点的坐标，若不存在，请说明理由.

(3)抛物线在第一象限内的部分是否存在一点。，使得EB平分NAED?若存在，求出

点。的坐标；若不存在，说明理由.

-2),与x轴分别交于点8(3,0)和点A,且tan/C4O=l.

(1)求抛物线解析式.

(2)抛物线上是否存在一点。，使得若存在，请求出点。坐标，若不

存在，请说明理由；

(3)抛物线的对称轴交x轴于点。，在y轴上是否存在一个点P,使返PC+P。值最小,

2

若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由.

6.(2021•宁波模拟)如图，二次函数y="(x+1)(x-3)(a>0)的图象与x轴交于点A,

B(A在B的左边)，与y轴交于点C,点P是二次函数图象上一动点.

(1)若点C的坐标为(0,-3),求二次函数及直线8C的函数关系式.

(2)如图①，在(1)的条件下，若点P在第四象限，过P作PQ〃AC,交直线8c于

点。，求线段PQ长的最大值.

(3)如图②，若点P在第一象限，且△ABP有AABC相似，求点P的坐标.

7.(2021•江都区校级模拟)如图，已知抛物线)，="2+版-3与x轴交于A(-2,0)、B(6,

0)两点，与y轴交于C点，设抛物线的顶点为。.过点。作OELx轴，垂足为E.P

为线段OE上一动点，F(m,0)为x轴上一点，且PCLPf

(1)求抛物线的解析式；

(2)①当点尸与点。重合时，求m的值；

②在①的条件下，将△CO尸绕原点按逆时针方向旋转90°并平移，得到△CIOI/I,点C,

O,F的对应点分别是点Ci,01,Fi,若△CIOIFI的两个顶点恰好落在抛物线上，求点

Fi的坐标；

(3)当点尸在线段OE上运动时，直接写出山的最大值和最小值.

备用图

8.(2021•和平区二模)抛物线y=-4+丘y•过点A(-1,0)和点8(3,0),与y轴交

2

于点C,顶点为点D.

(I)求点C、D的坐标.

(II)点E是线段OB上一动点，过点E作直线轴，交抛物线于点M,连接并

延长交y轴于点N,连接AM,OM.若aAEM的面积是△MON面积的2倍，求点E的

坐标；

(III)抛物线上一点7,点T的横坐标是-3,连接BT,与y轴交于点P,点Q是线段

47上一动点(不与点4,点7重合).将△BPQ沿P0所在直线翻折，得到△FPQ.当

△FPQ与ATPQ重叠部分的面积是△"Q面积的2时，求线段TQ的长度.

4

9.(2021•吉林二模)如图，抛物线y=a(x+2)2-9a(40)与x轴相交于A,B两点(点

A在点3的左侧)，顶点为C,连接2C.

(1)直接写出点C的坐标(用含a的式子表示)；

(2)求点B的坐标；

(3)以BC为边，在BC边的右下方作正方形8CQE,设点。的坐标为(相，〃).

①当/A8C=30°时，求点。的坐标；

②当/ABC=45°时，直接写出点。的坐标；

10.(2021•辽宁模拟)已知抛物线),=/+fer+c经过点A(-6,0)、8(2,0)和C(0,3),

(2)当SADAE=2S_MCD时，求点。的坐标；

4

(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在点P,使得△用。中的一个角等于2/8A。?

若存在，直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由.

2022年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：二次函数（10

题）

参考答案与试题解析

一.解答题（共10小题）

1.（2022•南岗区模拟）已知：抛物线），=-JL（X+6（x-7）交x轴于A、B（A左8右），

2

交y轴正半轴于点C,且08=OC.

（1）如图1,求抛物线的解析式；

（2）如图2,点P为第一象限抛物线上一点，连接AP,AP交y轴于点。，设P的横坐

标为C。的长为d,求d与机的函数解析式（不要求写出自变量，〃的取值范围）；

（3）如图3,在（2）的条件下，过点P作轴于点E,延长EP至点G,使得PG

=3CE,连接CG交4P于点R且/AFC=45°,连接AG交抛物线于7,求点T的坐

【考点】二次函数综合题.

【专题】压轴题；数形结合；函数思想；待定系数法；函数的综合应用；几何直观；运

算能力；推理能力；模型思想；应用意识.

【分析】（1）由图象可得B点坐标，代入函数解析数即可求解；

（2）表示出点P坐标，由正切公式可表示出d与〃?的关系，即可求出；

（3）作出辅助线，得到。CGPW,利用正切公式求出，〃与々的值，得到G点坐标，然后

表示出NGAB的正切值，从而求出7点坐标.

【解答】解：（1）当y=0时，-（x+&）（x-7）=0,

解得:x=-k或7,

.•.点B的坐标为(7,0),A(-k,0),

■:OB=OC,

：.OC=OB=7,

.,.点C的坐标为(0,7),

将点C的坐标代入抛物线表达式得：-(0+k)(0-7)=7,

解得：k=2,

-'-y=-(x+2)(x-7)=-f+x+7,

故抛物线的表达式为y=-/+x+7；

(2)过点尸作PKLA8与点K,PELy轴于点E,如图1,

-A(x+2)(x-7),

2

:・P(机,-—(加+2)(m-7)),A(-20),

2

**•AK="z+2,

口MA(m+2)(m-7)”

tanZPAB=^-=---------------=—m

AKm+22

：.DO=AO'tanZPAB=2(ZlHl)=7-m

2

：.CD=7-(7-w)=m,

••d~~tn.

J

图1

(3)过点C作WC_LE。使得WD=PD,TLA.AB,连接W£>,WP,

设EC=k,

则PG=3k,

'：ZWCD=ZDEP,CD=EP,WD=PD,

.•.△WCD空△£>£■「,

则△PWQ为等腰直角三角形，

：.ZWPD=45°=NCFD,

：.WP//CG,

・・・四边形CGPW为平行四边形，

JCW=PG=3k=ED,

:・CD=2k=PE,

.\tanZAPE=^-=—,

PE2

由(2)可得tanN必8=二55>,

2

•・•7-m—_―3,

22

.*.w=4,k=2,

；・EO=7+2=9,EG=\O,

：.G(10,9),A(-2,0),

tanZGAB=-5-=—,

124

再设T坐标为(n-1(r+2)(r-7)),

2

则tan/7^B=.7-==S,

24

,L11

2

：.T(H,至).

28

【点评】本题主要考查二次函数综合运用能力，涉及二次函数图象与解析式、平行四边

形的证明和正切公式，难度较大，属于中考压轴题，第（3）小题的关键是构造平行四边

形，运用正切公式求解.

2.(2021•桃江县模拟)如图，已知二次函数y=-/+bx+c(6,c为常数)的图象经过点A

(3,1),点C(0,4),顶点为点M,过点A作轴，交)，轴于点。，交该二次函

数图象于点8,连结BC.

(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标；

(2)若将该二次函数图象向下平移〃？(;n>0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的

顶点落在aABC的内部(不包括△ABC的边界)，求，〃的取值范围；

(3)在直线4c上是否存在这样的点P,使得△PCA/S^BOC,若存在，求出点P的坐

【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；等腰三角形与直角三角形；图形

的相似；运算能力；推理能力.

【分析】(1)将点A和点C坐标代入二次函数关系式，从而求得从c,进而求得关系式

及M点坐标；

(2)求出AC的关系式，将x=l代入，进而求得，"的范围；

(3)先证得/MCP=90°,进而根据史=里求得CP,进而求得点P的坐标.

CPBD

【解答】解：(1)由题意得，

f-9+3b+c=1

Ic=4

.fb=2

1c=4

...二次函数的解析式是：y=-f+2x+4,

；y=-(x-1)2+5,

...点M(1,5)；

(2)VA(3,1),C(0,4),

直线AC的解析式是：y=-x+4,

当x=l时，y—-1+4=3,

(1,5),A(3,1),

：.2<m<4i

(3)存在,

如图1,

•.,点A(3,1),抛物线对称轴是：x=l,

：.B(-1,1),

：.BD=\,

当点P在AC上时，作MF±y轴于F,作PE_Ly轴于E,

•.•点M(1,5),C(0,4),

；.FM=CF=1,

VZA/FC=90°,

:.NFCN=45°,CM=版,

同理可得：ZACD=90°,

.•./MCP=90°,

•.•/MCP=/BOC=90°,

，当里=空时，APCMs丛BDC,

BDPC

即：3=亚，

1PC

；.PC=返，

2_

.*.C£=PE=PC«sin450=退_x近=1，

323

当x=-工时，y=--L+4=Al,

333

.•.点P(1,11),

33

如图2,

当点P在AC的延长线上时,

由对称性可得,

PC=CP'=叵

3

同上可得：p(-X迫),

32

综上所述：P(1,11)或(1,4

3333

【点评】本题考查了求一次函数，二次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，等腰

直角三角形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关相似三角形和函数的基础知识.

3.(2021•临济县模拟)如图1,抛物线)=/+云+色的图象与x轴交于A(-1,0),8两

3

点，过点C(l,2).动点。从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿4B方向运动，

设运动的时间为r秒.

(1)求抛物线•的表达式；

3

(2)过。作交AC于点E,连接当f=3时，求△8CE的面积；

2

(3)如图2,点F(2,1)在抛物线上，连接AF,CF.

①判断△ACF的形状并说明理由；

②当f=5时，连接C。，在抛物线上存在点P,使得/ACP=/DCF,求此时直线CP与

2

x轴的交点。的坐标.

y

I「

/O\DB\飞ro\DB\：

图1图2

【考点】二次函数综合题.

【专题】分类讨论；方程思想；待定系数法；二次函数图象及其性质；函数的综合应用；

应用意识.

【分析】(1)用待定系数法即得yu-l+x+S；

33

(2)由y=中，得8(5,0),AB=—,即知Sz\ABC=2A8*yc=L,由A(-

332222

1,0),C(l,2)得直线AC解析式是y=x+l,当/=2时，D(A,0),即得E(工，3),

2222

S&ABE—^AB'DE——,故S^BCE—S^ABC-S^ABE——,

288

(3)①由A(-1,0),C(1,2),F(2,1),可得AC2+CF2=A〃2,即得△ACF是直

角三角形；

②(I)当CP在4c右侧时，过C作C”_Lx轴于H,由4(-1,0),C(1,2),A”

=2=677,得/AC”=45°,即有N”CF=45°=NACH,根据NACQ=NOCF,知C”

平分/OCQ,故DH=QH,可得直线CP与x轴的交点。的坐标为(工，0)：(II)当

一2

CP在AC左侧时，作。关于直线AC的对称点作直线CM交抛物线于P,由对称性

知此时/ACM=/ACQ=/OCF,直线CM与x轴交点2是满足条件的点，设M(机，n),

根据AM=AQ,CM=CQ列方程组可解得M(-1,3),从而可得直线CM解析式为y

2

=1+工，即得Q，(-7,0).

44

【解答】解：(1)将A(-1,0),S(1,2)代入y=o?+公+立得:

3

’5

a-b+方二。(2

5,解得「3,

a+b+y=2b=l

y=--^?+%+—；

33

(2)在y=-2/+工+互中，令y=0得x=-1或x=互，

332

：.B(A,0),

2

，AB=工，

2

VC(1,2),

2222

由A(-1,0),C(1,2)得直线AC解析式是y=x+l,

当时，AO=3,

22

:.D(A,0),

2

在y=x+l中，令x=1＞得y=3,

22

:.E(A,3),

22

.'•SAAB£=—

22228

'•S&BCE—SMBC-S&ABE----=1-,

288

答：ABCE的面积是工；

8

(3)①：A(-1,0),C(1,2),F(2,1),

.'.AC2=3,A产=10,C/2=2,

：.AC2+CF2=AF2,

.♦.△ACF是直角三角形；

②(I)当CP在AC右侧时，过C作CH_Lx轴于H,如图:

VA(-1,0),C(1,2),

：.AH=2=CH,

；./ACH=45°,

由①知/ACF=90°,

AZ//CF=45°=ZACH,

,：ZACQ=ZDCF,

：.ZQCH=ZDCH,即CH平分NOCQ,

：.DH=QH,

•当r=5时，AD=L,

22

：.Dao）,

2

：.DH=OD-OH=^--\=X=QH,

22

OQ=OH-QH=]-A=A,

22

.•.此时直线CP与x轴的交点。的坐标为（工，（））；

2

（II）当CP在AC左侧时，作。关于直线4c的对称点M,作直线CM交抛物线于P,

由对称性知此时NACM=NACQ=NOCF,直线CM与x轴交点是满足条件的点，如

"：AM=AQ,CM=CQ,

(m+1)2+n2=(2-+l)2

(m-l)2+(n-2)2=(2+(2-0)2

r▲户i

解得11n-2或3，

n=011节

AM(-1,3),

2

由M(-1,3),c(1,2)得直线CM解析式为y=L+工，

244

令丁=0得工=-7,

：.Q(-7,0),

综上所述，直线CP与x轴的交点。的坐标：(1，0)或(-7,0).

2

【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、对称变换等知识，

解题的关键是求出"的坐标.

4.(2021•远安县二模)如图，点A(-1,0)、B(2,0)和E(0,2),抛物线/：丫=2、岸

4

-x+c经过A点.

(1)请计算：c=-3-.

一「

(2)抛物线/上是否存在点N,使A、B、N、E四点构成的四边形是平行四边形，若存

在，请求出N点的坐标，若不存在，请说明理由.

(3)抛物线在第一象限内的部分是否存在一点。，使得EB平分NAED?若存在,求出

点。的坐标；若不存在，说明理由.

【考点】二次函数综合题.

【专题】分类讨论；待定系数法；二次函数图象及其性质；函数的综合应用：多边形与

平行四边形；应用意识.

【分析】(1)用待定系数法可得c=-工；

4

(2)设N(m,-3,n2-m-2.),又A(-1,0),B(2,0)、E(0,2),分三种情况：

44

①以M4、BE为对角线，则NA、BE的中点重合，可得N(3,2)；②以NB、4E为对角

m+2=-l+0

线，则NB、AE的中点重合，由(327无解知这种情况不存在；③以NE、AB

为对角线，则NE、AB的中点重合，可解得N(l,-2)；

(3)作点A关于直线BE的对称点4,作直线A'E交第一象限的抛物线于D,由0B=

0E得NOBE=NOEB=45：可得NA84=90°,即知4(2,3),设直线A'E解析式

y=>-^-x+2

为y=fcv+2,可得直线A'E解析式为y=L+2,由<可得0(1+企，立近).

2_3272

y?-x^

【解答】解：(1)-x+c经过A(-1,0),

4

.,.3+i+c=o,

4

.'.c--―,

4

故答案为：—-：

4

(2)抛物线/上存在点N,使A、B、N、E四点构成的四边形是平行四边形，理由如下:

由(1)知c=-工，

4

抛物线/解析式为：工，

-44

设N(m3%2_巾_工)，又A(-1,0)、B(2,0)、E(0,2),

44

①以M4、BE为对角线，则NA、BE的中点重合，

m-1=2+0

•,*<2o79

-rm-m-7+O=0+2

44

解得〃z=3,

：.N(3,2)；

②以NB、AE为对角线，则N8、AE的中点重合，

m+2=-l+0

・“327)

7m一嗝二2

同时满足两个方程的m不存在，

,这种情况不存在；

③以NE、48为对角线，则NE、A8的中点重合，

m+0=-l+2

*,*<297，

-rm-m-y+2=0+0

44

解得m—1,

：.N（1,-2）,

综上所述，N的坐标为（3,2）或（1,-2）；

（3）抛物线在第一象限内的部分存在一点O,使得EB平分NAEZ）,理由如下:

作点A关于直线8E的对称点A,作直线AE交第一象限的抛物线于。，如图：

VB(2,0),E(0,2),

:.OB=OE,

；.NOBE=NOEB=45°,

4关于直线BE对称，

；.NABE=/#BE=45°,AB=4B=3,

ZABA'=90°,

(2,3),

设直线A£解析式为丫=履+2,将4'(2,3）代入得：

2k+2=3,

解得k=l,

2

...直线A'E解析式为y=Xx+2,

2

']

y节x+2fx=l+V6x=l-Vs

由327得港近或yW“（不在第一象限，舍去）,

2

：.D(1+五).

2

【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、平行四边形性质及应用、轴对

称等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标及相关线段的长度.

5.(2021•南山区校级三模)如图，已知抛物线y=ar2+/jx+c(a#0)与)，轴相交于点C(0,

-2),与x轴分别交于点8(3,0)和点A,且tan/C4O=l.

(1)求抛物线解析式.

(2)抛物线上是否存在一点Q,使得NBAQ=NABC,若存在，请求出点。坐标，若不

存在，请说明理由；

(3)抛物线的对称轴交x轴于点£),在y轴上是否存在一个点P,使亚PC+PZ)值最小,

2

若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由.

【考点】二次函数综合题.

【专题】待定系数法；二次函数图象及其性质；函数的综合应用；线段、角、相交线与

平行线；几何直观；应用意识.

【分析】(1)由C(0,-2),tanZCAO=\,可得A(-2,0),用待定系数法即得抛物

线解析式为-Xr-2；

-33

(2)过A作4W〃BC交y轴于M,交抛物线于。，作M关于x轴的对称点作直线

AM交抛物线于Q，，由AM//BC,得即知Q是满足题意的点，根据B

(3,0),C(0,-2),得直线8C解析式是y=&-2,设直线4M解析式为y=2x+%,

33

将A(-2,0)代入可得直线AM解析式为y=2r+9，M(0,匡)，解＜

-333

即得。(5,」屋)，根据M、M1关于x轴对称，知2是满足题意的点，用待定系数法可得

3

(_24

y=-7-x^7

直线股为y=-2r-生解/即得Q(l,-2)；

33121。

|yx-JX-2

(3)过P作PH_LAC于”，过。作。"_LAC于"，交y轴于P,由-L-2

33

=A(x-1)2-25,可得。(工，0),因OA=OC=2,故△AOC是等腰直角三角形,

32122

可得△PCH是等腰直角三角形，尸”=返产。，即知亚PC+PO最小即是PH+PC最小，

22

故当P运动到P,H和”■重合时，返•PC+PO的最小，最小值是。"，由AZ)=§,即

22

得。"=三亚，即亚PC+PD的最小值是回巨.

424

【解答】解：(1)VC(0,-2),

；.OC=2,

VtanZCAO=l,

-0C-.

0A

.♦.04=2,A(-2,0),

将A(-2,0),B(3,0),C(0,-2)代入y=a/+bx+c得：

［小

4a-2b+c=03

<9a+3b+c=0>解得｛C

c=-2§

c=-2

抛物线解析式为尸12-Xr-2;

33

(2)存在一点0,使得乙R4Q=乙4BC,理由如下：

过A作AM〃BC交y轴于M,交抛物线于。，作M关于x轴的对称点M1,作直线AM

交抛物线于。'，如图：

'JAM//BC,

：.ZQAB=ZABC,即。是满足题意的点，

:B(3,0),C(0,-2),

直线BC解析式是)=&-2,

3

设直线AM解析式为y=2x+m,将A(-2,0)代入得-生t7*=0,

二直线AM解析式为y=2r+_l,M(0,A),

333

解33得卜=-2(与A重合，舍去)或14,

_121序v=0

：.Q(5,11),

3

■：M.M关于x轴对称，

AAQAB=ZQAB=ZABC,Af(0,-A),

。'是满足题意的点，

设直线A。'为-匹，将A(-2,0)代入得-2A-g=0,

直线A。'为y=-2r-―,

33

x=-2(舍去)或

y=0y=-2

：.Q(1,-2)；

综上所述，点Q坐标是(5,工1)或(1,-2)；

3

(3)在y轴上存在一个点P,使亚PC+P加值最小，理由如下：

2

过P作P”_LAC于”，过。作O/f_LAC于"，交y轴于P,如图:

2

：.D(工，0),

2

\'OA=OC=2,

.••△AOC是等腰直角三角形，

：.ZOCA=45°=ZOAC,

.•.△PCH是等腰直角三角形，

:.PH="^PC,

_2

:.返-PC+PD最小即是PH+PD最小，

2

...当P运动到户，，和”1重合时，亚PC+PQ的最小，最小值是。

2

：NOAC=45°,DH'±AC,

...△AOH1是等腰直角三角形，

：.DH=^-AD,

2

VA(-2,0),D(X0),

2

：.AD=^-,

2

.•.。笈=至退_,即返PC+尸。的最小值是旦巨.

424

【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、等腰直角三角形性质及应用等

知识，解题的关键是掌握解"胡不归”问题的方法.

6.(2021•宁波模拟)如图，二次函数y=a(x+1)(x-3)(a>0)的图象与x轴交于点A,

B(A在B的左边)，与y轴交于点C,点P是二次函数图象上一动点.

(1)若点C的坐标为(0,-3),求二次函数及直线8c的函数关系式.

(2)如图①，在(1)的条件下，若点P在第四象限，过P作PQ〃AC,交直线BC于

点Q，求线段PQ长的最大值.

(3)如图②，若点P在第一象限，且△A8P有△ABC相似，求点尸的坐标.

【考点】二次函数综合题.

【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；图形的相似；运算能力；推理能

力.

【分析】(1)将点C代入函数关系式求得“，进而求得结果；

(2)作于。，交BC于E,作。凡LP。于尸，推出当PE最大时，PQ最大，先

求得PE的最大值，进而求得尸。的最大值；

(3)分为和当时，作尸。_LAB,设P

(m,a(;n+1),(>n-3)),根据tan/%B=tan/ABC,得出且L=°k,进而求得，”的值，

AD0B

从而表示出P点坐标，根据迪=区列出“的关系式，求得。的值，进而求得P点坐标，

APAB

当△54CsZ\P4B时，同样方法求得结果.

【解答】解：⑴将C(0,-3)代入尸a(x+l)・(x-3)得，

-3=a・(-3),

・•〃=1,

(x+1)*(x-3)=/-2x-3,

由(x+l)・(x-3)=0得，

xi=-1,X2=3,

：.B(3,0),

设8c的函数关系式是：y=kx+b,

.fb=-3

r3k+b=。，

.*=-3,

Ik=l

.,.y=x-3；

作POJ_A8于。，交BC于E,作QF_LP£>于F,

可得APFQSACOA,

•••PF_-OC_——oJf

QFOA

：.PF=3QF,

VOB=OC=3,ZBOC=90°,

：.ZOBC=ZOCB=45°,

U：PD//OC,QF//OB.

：・NQEF=NOCB=45°,ZEQF=ZOBC=45°,

JZQEF=/EQF,

:.EF=QF,

'PE，

...当PE最大时，PF亦最大，此时P。最大，

设点P(m,m2-2m-3),ECm,m-3),

PE=-(/M2-2/n-3)=-(m-—)2+—,

24

当m=3时，PE跟大=9,

24

•••。尸及大=工2后=且，PF地大=21，

4164

，PQ展大；

当△APBsaRAC时，ZABC^Zf^B,岖=区

APAB

J.AP'BC^AB2,

作P£)_LAB于。，设尸(%,a(m+l)*(m-3)),

tanZ^4B=tanZABC,

•PD=OC

**AD0B，

・软(m+1)■(nr3)=3a

丁

・"=4,

：.P(4,5a),

：'AP=VPD2+AD2=5Va2+l,8c=33+i，

.*.15(a2+l)=16,(a>0),

15

3

如图3,

当△BACs△刑B时，ZPAB=ZBAC,岖=旭，

APAB

J.AP-AC^AB2,

/.tanZ/?4B=tanZBAC,

.PQ=PC,

••而0AJ

•a(m+1)•(m-3)3a

m+11

♦♦/n=6,

：.P(6,21a),

(21a)2+72，V9a2+l=16>

3人,

7

：.P(6,34)，

综上所述：P(4,4运)或(6,3A/7).

3

【点评】本题考查了求一次函数的关系式，求二次函数关系式，二次函数及其图象性质，

相似三角形的判定和性质等知识，相似三角形的正确分类和计算能力是解题的关键.

7.(2021•江都区校级模拟)如图，已知抛物线y=o?+/；x-3与x轴交于A(-2,0)、B(6,

0)两点，与y轴交于C点，设抛物线的顶点为D.过点D作DELx轴，垂足为E.P

为线段OE上一动点，F(m,0)为x轴上一点，且PC_LPF.

(1)求抛物线的解析式；

(2)①当点尸与点。重合时，求机的值；

②在①的条件下，将4C。尸绕原点按逆时针方向旋转90°并平移，得到△CIOIFI,点C,

O,F的对应点分别是点。，01,Fi,若△OOiFi的两个顶点恰好落在抛物线上，求点

Fi的坐标;

【专题】分类讨论；待定系数法；二次函数图象及其性质；函数的综合应用；图形的相

似；几何直观；应用意识.

【分析】(1)将A、B两点坐标代入即可，

(2)①当点尸与点。重合时，过点。作GO〃x轴，过F点作y轴平行线交GO延长线

于点H,由△CGOSAOHF,求出。”=2,即可得根=4；

②按题意，将△COF绕原点按逆时针方向旋转90°得到△CO尸，设平移后。I(x,y),

则Ci(x+3,y),Fi(x,y+4),分三种情况(I)当。1。经平移后在抛物线上，得Fi

(X_t)，(II)当FC1经平移后在抛物线上，得Fi(-11,也)，(III)当

2166144

经平移后在抛物线上，因为Oi、Fi在竖直方向，故不成立；

(3)由力(2,-4),E(2,0),C(0,-3),点P为线段OE上一动点，FCm,0)

为x轴上一点，且可得当点P与点。重合时，机=4,取得最大，随着「向E

移动，机随之变化，设存在一点P使机最小，设OF=m,则FE=2r〃；设EP=y,则

PQ—3-y,由EE=理1,即2-叱=工,可得加最小值上.

PQQC3-y28

【解答】解：(1)将A(-2,0)、B(6,0)代入抛物线解析式＞=苏+公-3中得：

(1

,4a-2b-3=0,解得:a%,

_=

I36a+6b30,b-1

.•.该抛物线的解析式为：y^l^-x-3-.

-4

(2)①.。为抛物线产号7-3的顶点，

：.D(2,-4),

当点尸与点。重合时，过点。作GQ〃x轴，过F点作y轴平行线交G。延长线于点”,

如图：

由题意易得：CG=\,GD=2,FH=4,而PC_LPF,即NCQF=90°,

:NCGD=/DHF=90°,ZCDG=90°-NFDH=NDFH,

：.^CGD^/\DHF,

•CG—GDpn1—2

DHHFDH4

:・DH=2,

而四边形EOF”为矩形，

:・EF=DH=2,

/.OF=OE+EF=4fCPF(4,0),

777=4；

②按题意，将AC。尸绕原点按逆时针方向旋转90°得到AC。尸，如图:

D

显然此时C、。'、/三点都不在抛物线上，故需要将△。。下平移才能得到两个顶点恰好

落在抛物线上，根据C、。'、尸三点特点，可设平移后01(x,y),则Ci(x+3,y),F\

(x,y+4),

(I)当01Ci经平移后在抛物线上，把0i(x,y),Ci(x+3,y)代入Ar2-x-3

4

中：

f_l2Q

yvqx-x-3

19

y=^_(x+3)-(x+3)-3

解得：尸工，

2

故门(A,2),

216

(II)当FiCj经平移后在抛物线上，把Fi(x,y+4),Ci(x+3,y)KAy^Xx2-x-3

4

中：

'12

y+4=—x-x-3

1n

yq(x+3)-(x+3)-3

解得：X=-—,

6

故Fi(-11,

6144

(III)当01为经平移后在抛物线上，因为。1、后在竖直方向，故不成立.

综上所述：Fl(1,9)或(-也，也)；

2166144

(3)VD(2,-4),E(2,0),C(0,-3),点P为线段DE上一动点,FCm,0)

为x轴上一点，且PC,尸F,

...如(2)①中当点尸与点。重合时，，"=4,取得最大，

随着P向E移动，相随之变化，设存在一点P使机最小，如图所示：

设。尸=机，贝I」FE=2-m；设EP=y,则PQ=3-y,

根据△FEPS/XPQC得：

理=里即2-卫尸X,

PQQC3-y2

可得关系式：小=』(y-—)2+—,

2-28

vA>o,

2

.•.当y=3时，，〃取得最小值工，

-28

答：，〃的最大值为4,的最小值为工.

8

【点评】本题考查二次函数的综合性质，属于二次函数的综合题，是中考压轴题形，从

题干中筛选出有用条件，二次函数的综合性质，坐标的变化规律以及相似三角形知识点

灵活运用是解决本题的关键.

8.(2021•和平区二模)抛物线y=-2K+fcr+c过点A(-1,0)和点3(3,0),与y轴交

2

于点C,顶点为点D.

(I)求点C、。的坐标.

(II)点E是线段。8上一动点，过点E作直线轴，交抛物线于点M,连接并

延长交y轴于点N,连接AM,OM.若△AEM的面积是△MON面积的2倍，求点E的

坐标；

(III)抛物线上一点T,点T的横坐标是-3,连接BT,与y轴交于点P,点Q是线段

4T上一动点(不与点4