北师大版七年级数学下册高频考点专题突破 专题01 三角形及全等 教材同步讲练-【高频考点】（原卷版+解析）

专题01三角形及全等教材同步讲练知识点1-1认识三角形（1）三角形定义：由不在同一条直线上的三段线段首位顺次相接所组成的图形叫作三角形。记作△ABC，读作三角形ABC。（2）三角形的分类：=1\*GB3①已学习，按照角分类=2\*GB3②还可按照边进行分类，根据边是否相等=3\*GB3③等腰不等边，两腰角相等，且两腰均为锐角；等边三角形，三个角都为60度；=4\*GB3④特殊三角形：等腰直角三角形，90度、45度、45度。例1．（2021·湖北初二月考）三角形是指()A．由三条线段所组成的封闭图形B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形变式1．（2021·全国·七年级课时练习）由___________三条线段___________所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做___________；相邻两边的公共端点叫做___________，相邻两边所组成的角叫做___________，简称___________．变式2．（2021·全国·八年级专题练习）学习完三角形的概念后，小强同学用火柴拼成的图形如下，其中符合三角形概念的是（

）A． B． C． D．例2．（2021·咸宁市八年级月考）下列关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（）

A．甲分法错误，乙分法正确 B．甲分法正确，乙分法错误C．甲、乙两种分法均正确 D．甲、乙两种分法均错误变式3．（2021·广西·八年级期中）给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中，正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．0变式4．（2021·广东省八年级月考）设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形．下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（）A．B．C．D．例3．（2021·浙江八年级期中）一个三角形三个内角的度数之比是，则这个三角形一定是（）．A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定变式5．（2021·绵阳市·八年级期中）中，已知：，，则中按角分类是（）．A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．斜三角形变式6．（2022·山东泰安·八年级期末）在具备下列条件的中，①；②，；③；④，其中能构成直角三角形的有______．知识点1-2三角形内角和定理（1）定理：三角形三个内角和等于180度（2）直角三角形的两个锐角互余例1．（2022·山东潍坊·八年级期末）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（）A．过C作EFABB．过AB上一点D作DEBC，DFACC．延长AC到F，过C作CEABD．作CD⊥AB于点D变式1．（2021·河北唐山·七年级期末）定理：三角形的内角和等于180°．已知：的三个内角为、、求证：．证法1：如图∵，，（量角器测量）∵（计算所得）∴（等量代换）证法2：如图，延长到，过点作．∴（两直线平行，内错角相等）（两直线平行，同位角相等）∵（平角定义）．∴（等量代换）即．下列说法正确的是（

）A．证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理B．证法1还需要测量一百个进行验证，就能证明该定理C．证法2还需证明其它形状的三角形，该定理的证明过程才完整D．证法2用严谨的推理证明了该定理变式2．（2021·北京房山·七年级期末）在小学，我们曾经通过动手操作，利用拼图的方法研究了三角形三个内角的数量关系．如图，把三角形ABC分成三部分，然后以某一顶点（如点B）为集中点，把三个角拼在一起，观察发现恰好构成了平角，从而得到了“三角形三个内角的和是180°”的结论．但是，通过本学期的学习我们知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性．小聪认真研究了拼图的操作方法，形成了证明命题“三角形三个内角的和是180°”的思路：①画出命题对应的几何图形；②写出已知，求证；③受拼接方法的启发画出辅助线；④写出证明过程．请你参考小聪解决问题的思路，写出证明该命题的完整过程．例2．（2022·广东深圳·九年级期末）在△AOB中，BO＝AO，OP交AB于点C，量角器的摆放如图所示，则∠BCP＝（）A．80° B．90° C．85° D．95°变式3．（2021·河南郑州·一模）一个等腰直角三角板和一把直尺按如图所示方式放置．若∠2＝60°，则∠1的度数为（

）A．60° B．75° C．45° D．105°变式4．（2022·河南平顶山·八年级期末）已知，在中，，点在线段的延长线上，过点作，垂足为，若，则的度数为（

）A．76° B．65° C．56° D．54°例3．（2021·江苏·徐州市西苑中学七年级阶段练习）在中，，按图中虚线将剪去后，等于（

）．A． B． C． D．变式5．（2022·湖北恩施·八年级期末）如图，把△ABC沿EF对折，折叠后的图形如图所示，，，则的度数为（

）A． B． C． D．例4．（2021·湖北蔡甸初二期中）如图，若的三条角平分线、、交于点，则与互余的角是()A． B． C． D．变式6．（2021·辽宁文圣初一期末）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，图形中相等的角有____对，互余的角有____对．变式7．（2021·上海市久隆模范中学七年级期末）如图，，交于点，，垂足为，，求的度数．知识点1-3三角形三边关系两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；只需满足：<第三边<两边之和（两边为相同两条边）注：是“>”和“<”，不包含“=”例1．（2021·绵阳市八年级月考）如图，P是△ABC内一点，连接BP，PC，延长BP交AC于D．（1）图中有几个三角形；（2）求证：AB+AC＞PB+PC．变式1．（2022·河南洛阳市·八年级月考）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A．B．C．D．例2．（2021·河北廊坊市·八年级期末）在中，若，，则第三边的取值可能是（）A．3． B．5 C．9 D．10变式2．（2021·浙江温州市·八年级月考）如图，被木板遮住了一部分，其中，则的值不可能是（）A．11 B．9 C．7 D．5变式3．（2021·广东广州市·九年级二模）如果三角形有两边长分别为3和5，那么这个三角形的周长可能是（）．A．7 B．8 C．15 D．16例3．（2021·苏州市吴江区七都中学八年级月考）已知，为的三边，化简．变式4．（2021·北京市西城区德胜中学七年级期中）已知a，b，c是的三条边长，化简的结果为_______．变式5.（2021·广西南宁·八年级期中）已知是的三边长．（1）若满足，，试判断的形状；（2）化简：例4．（2022·广西贵港·八年级期末）若3和9是一个三角形的两边长，且第三边长为偶数，则该三角形的周长为（

）A．20 B．21 C．21或22 D．20或22变式6．（2021·上海普陀·七年级期末）已知一个三角形的两边长分别是2和5，如果它的第三边长是奇数，那么第三边的长等于____________．例5．（2022·河北石家庄·八年级期末）一个三角形的两边长分别为4和6，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是（

）A．20 B．16 C．13 D．12变式7．（2021·内蒙古通辽·八年级期末）在△ABC中，若AB=4，BC=5，则△ABC的周长的取值范围是___________．变式8．（2022·浙江八年级期中）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．10知识点1-4三角形的高、中线与角平分线（1）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高(atitudeoftriangle)。三条高的交点叫作垂心。（2）中线：在三角形中，连接一个顶点与它的对边中点的线段，叫做三角形的中线(medianoftriangle).三条中线的交点叫作重心。（3）角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线(angularbisectorofLriangle)。三条角平分线的交点叫作内心。（高线）（中线）（角平分线）（4）几何关系：=1\*GB3①垂线：AD⊥BC=2\*GB3②中线：CD=DB=3\*GB3③角平分线：∠CAD=∠DAB注：=1\*GB3①锐角三角形三条高线的交点在三角形内，钝角三角形三条高线的交点在三角形外；直角三角形三条高线的交点在直角顶点上；=2\*GB3②锐角三角形、钝角三角形、直角三角形的三条中线、角平分线的交点都在三角形内部。例1．（2021·全国八年级专题练习）三角形的角平分线、中线、高线（）A．每一条都是线段 B．角平分线是射线，其余是线段C．高线是直线，其余为线段 D．高线是直线，角平分线是射线，中线是线段变式1．（2021·河北唐山·八年级期中）下列说法中，①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．正确的是（

）A．① B．①④ C．②③ D．②④例2．（2022·浙江八年级月考）如图，在中，的延长线于点D，的长线于点E．于点C，延长线于点E，于点C，下列说法错误的是（）A．是的AB边上的高 B．是的边上的高C．是的边上的高 D．不是的高变式2．（2021·江苏无锡市·八年级期中）如图，∠ACB＞90°，ADBC，BEAC，CFAB，垂足分别为点D、点E、点F，ABC中BC边上的高是（）A．CF B．BE C．AD D．CD例3．（2021·江苏镇江市·八年级期中）如图，的角平分线与中线相交于点，有下列两个结论：①是的角平分线；②是的中线，其中，（）A．只有①正确B．只有②正确C．①和②都正确D．①和②都不正确变式3．（2021·湖南·长沙市湘郡培粹实验中学八年级阶段练习）如图，AD，BE，CF依次是ABC的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的是（

）A．AE＝CE B．∠ADC＝90° C．∠CAD＝∠CBE D．∠ACB＝2∠ACF例4．（2021·上海·九年级专题练习）三角形的重心是（）A．三角形三边的高所在直线的交点B．三角形的三条中线的交点C．三角形的三条内角平分线的交点D．三角形三边中垂线的交点变式4．（2021·浙江八年级期末）在三角形中，一定能将其面积分成相等两部分的是（）A．中线 B．高线 C．角平分线 D．某一边的垂直平分线例5．（2021·山东烟台·七年级期中）如果一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，那么这个三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形变式5．（2021·天津市北仓第二中学八年级阶段练习）若三角形的三条高的交点在这个三角形的内部，那么这个三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形变式6．（2022·全国·九年级专题练习）不一定在三角形内部的线段是（）A．三角形的角平分线B．三角形的中线C．三角形的高D．三角形的高和中线例6．（2022·广东广州·八年级期末）如图，在△ABC中，AD、AE分别是BC边上的中线和高，AE＝6，S△ABD＝15，则CD＝_____．变式7．（2021·福建龙岩·八年级期中）如图，在中，，，的高与高之比是________．变式8．（2021·山东临沂·八年级期中）阅读下列材料：阳阳同学遇到这样一个问题：如图1，在中，是的高，是边上一点，、分别与直线，垂直，垂足分别为点、．求证：．阳阳发现，连接，有，即．由，可得．他又画出了当点在的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图2所示，他猜想此时、、之间的数量关系是：．请回答：（1）请补全阳阳同学证明猜想的过程；证明：连接．________，________________．，．（2）参考阳阳同学思考问题的方法，解决下列问题：在中，，是的高．是所在平面上一点，、、分别与直线、、垂直，垂足分别为点、、．①如图3，若点在的内部，猜想、、、之间的数量关系并写出推理过程．②若点在如图4所示的位置，利用图4探究得此时、、、之间的数量关系是：_______．（直接写出结论即可）例7．（2021·辽宁·沈阳市第四十三中学七年级期中）如图，中，是边上的中线，，，那么和的周长的差是（

）A．3cm B．6cm C．12cm D．无法确定变式9．（2022·全国·九年级专题练习）如图，ABC中，AB＝15，BC＝9，BD是AC边上的中线．若ABD的周长为35，则BCD的周长是（

）A．20 B．24 C．26 D．29变式10．（2022·河北邢台·八年级期末）在中，，；(1)若是整数，求的长；(2)已知是的中线，若的周长为17，求的周长．例8．（2021·重庆市第九十五初级中学校七年级阶段练习）如图，△ABC中，点F在边AB上，点D为BC的中点，连接AD、CF相交于点E，若，，则（

）A． B．6 C． D．变式11．（2021·江苏·射阳县实验初级中学七年级阶段练习）如图，△ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，第n次操作后，得到△AnBnCn，要使△AnBnCn的面积超过2021，则至少需要操作（

）次．A．6 B．5 C．4 D．3变式12．（2022·云南昆明·八年级期末）如图，点D是中AB边上的点，点E是CD的中点，连接AE、BE，若的面积为8，则阴影部分的面积为______．例9．（2022·全国·八年级）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（

）A．BE是△ABD的中线B．BD是△BCE的角平分线C．∠1＝∠2＝∠3D．S△AEB＝S△EDB变式13．（2021·安徽宿州·八年级期末）如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点则的度数是（

）A． B． C． D．变式14．（2021·全国·七年级专题练习）如图，点O在ABC内部，且到三边的距离相等．且∠A=70°，则∠BOC=______°．变式15．（2021·河北石家庄·七年级期末）如图，中，一内角和一外角的平分线交于点连结，_______________________.例10．（2021·湖北孝感·八年级期中）如图，已知△ABC中，AB＝15，BC＝20（1）画出△ABC的高AD和CE；（2）若AD＝5，求CE的长．变式16．（2022·福建·连江县凤城中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC是钝角，完成下列画图．（不必尺规作图）（1）∠BAC的平分线AD；（2）AC边上的中线BE；（3）AC边上的高BF．知识点1-5三角形的稳定性（1）三角形具有稳定性（三边长度确定，形状不会改变）（2）多边形不稳定。要想稳定，中间加入边，构造成多个三角形例1．（2021·浙江八年级期中）下列是利用了三角形的稳定性的有_______个．①自行车的三角形车架；②校门口的自动伸缩栅栏门；③照相机的三脚架；④长方形门框的斜拉条变式1．（2020·山西吕梁市·八年级期末）下图是跪姿射击的情形．我们可以看到，跪姿射击的动作构成了三个三角形∶一是由右脚尖、右膝、左脚构成的三角形支撑面；二是由左手、左肘、左肩构成的托枪三角形；三是由左手、左肩、右肩所构成的近乎水平的三角形．这三个三角形可以使射击者在射击过程中保持稳定．其中，蕴含的数学道理是___．变式2．（2021·河南安阳市·八年级期末）如图，工程建筑中的屋顶钢架经常采用三角形的结构，其中的数学道理是三角形具有______性．例2．（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·八年级期末）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，你认为这样做的道理是（）A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．三角形具有稳定性D．两直线平行，内错角相等变式3．（2021·浙江八年级期末）如图，木工师傅做窗框时，常常像图中那样钉上两条斜拉的木条起到稳固作用，这样做的数学原理是（）A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短C．长方形的轴对称性D．两直线平行，同位角相等变式4．（2021·湖北咸宁市·八年级期末）要使如图所示的五边形木架不变形，至少要再钉上几根木条（）A．1根 B．2根 C．3根 D．4根知识点1-6全等形的概念及性质全等形：能够完全重合的两个图形2）全等形的性质：=1\*GB3①形状相同；=2\*GB3②大小相同注：=1\*GB3①全等图形与其所在的位置无关（只要通过平移、旋转、翻折后能够使两个图形完成重合即可）。对称图形要求更苛刻些。=2\*GB3②因两图形完全相等，故图形所有对应条件都相同（例：周长、面积、对应角角度等皆相等）例1．（2021·河南三门峡市·八年级期末）下列说法正确的是（）A．两个面积相等的图形一定是全等形B．两个等边三角形是全等形C．两个全等三角形的面积一定相等D．若两个图形的周长相等，则它们一定是全等形变式1．（2021·扬州市江都区八年级月考）下列各组图形中，属全等图形的是（）A．周长相等的两个等腰三角形 B．面积相等的两个长方形C．面积相等的两个直角三角形 D．周长相等的两个圆变式2．（2021·沭阳县修远中学初一期末）下列各组图形中不是全等图形的是（）A． B． C． D．例2．（2021·全国八年级课时练习）如图，有6个条形方格图，在由实线围成的图形中，全等图形有：（1）与__；（2）与__．变式3．（2021·四川成都市·七年级期中）下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（）A． B． C． D．变式4．（2021·青岛超银中学八年级月考）把大小4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形,例如,图1,请在图2中,沿着虚线画出四种不同的分法,把4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形.知识点1-8全等形的定义和表示方法1）全等三角形：能够完全重合的三角形（长得完全一样的三角形）2）表示方法：=1\*GB3①△ABC≌△DEF（读作：三角形ABC全等于三角形DEF）=2\*GB3②顶点需要一一对应（即长得一样的在描述中至于同等地位）=3\*GB3③从书写中，我们根据一一对应的关系，可得：a.点A与点D为对应顶点，点B与点E为对应顶点，点C与点F为对应顶点；b.∠A与∠D为对应角，∠B与∠E为对应角，∠C与∠F为对应角；c.AB与DE为对应边，AC与DF为对应边，BC与EF为对应边。3）找对应角对应边的方法：=1\*GB3①图形特征法；=2\*GB3②字母顺序确定法知识点1-9全等三角形的性质与拓展全等三角形，即任何地方都完全相同的三角形a对应边、对应角相等；b周长、面积相等；c对应边上的中线、角平分线、高相等只改变图形的位置，不改变图形形状、大小，则变形后的图形与原来图形全等，叫作图形全等变换。注：=1\*GB3①平移、翻折、旋转都是全等变换；=2\*GB3②缩放不是全等变换例1．（2021·江苏江都初二月考）下列命题中正确的是（）A．全等三角形的高相等B．全等三角形的中线相等C．全等三角形的垂直平分线相等D．全等三角形对应角的平分线相等变式1．（2022·全国八年级课时练习）若△ABC≌△DEF，则下列说法不正确的是（）A．和是对应角 B．AB和DE是对应边C．点C和点F是对应顶点 D．和是对应角例2．（2021·江苏连云港市·八年级期中）如图所示的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（）A．82° B．78° C．68° D．62°变式2．（2021·河南八年级月考）如图，两个三角形为全等三角形，则（）A．75° B．60° C．55° D．50°例3．（2021·湖北黄石市·七年级期末）如图，是一个的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4=________．变式3．（2022·湖北八年级期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（）A．30° B．45° C．60° D．135°例4．（2021·江苏南通田家炳中学初一期末）如图，，的延长线交于，交于，，，，则的度数为_________．变式4．（2021·山西翼城初一期末）如图，，如果，那么的长是______．变式5．（2021·山东济阳初二期中）如图，沿直线边BC所在的直线向右平移得到，下列结论中不一定正确的是A．B．C．D．例5．（2022·全国初二课时练习）如图，已知，点E在AB上，DE与AC相交于点F．（1）当，时，线段AE的长为________；（2）已知，，①求的度数；②求的度数．变式6．（2021·全国八年级课时练习）如图，点E，C，F，B在同一条直线上，△ABC≌△DEF，∠A＝25°，∠B＝65°，BF＝2cm.求∠DFE的度数和EC的长．知识点1-10全等三角形判定条件三角形全等判定总结：eq\o\ac(○,1)SSSeq\o\ac(○,2)SASeq\o\ac(○,3)ASAeq\o\ac(○,4)AASeq\o\ac(○,5)HL斜边和直角边分别相等的两直角三角形全等（简写为HL）例1．（2021·浙江九年级期末）如图，在与中，点B，E，C，F在同一条直线上，，下列所添条件中不能判定的是（）A． B． C． D．变式1．（2021·沙坪坝区·重庆南开中学七年级期中）如图，在中，、分别足边、上的点，是的一条角平分线．再添加一个条件仍不能证明的是（）

A． B． C． D．变式2．（2021·上海市松江区九亭中学初一期中）如图，在与中，有以下四个等式①；②；③；④，请以其中三个等式作条件，余下一个作结论，写出所有的正确判断___________________________（用形式表示）例2．（2021·江苏·无锡市第一女子中学八年级期中）下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是（）A．AB＝2cm，BC＝6cm，AC＝3cm B．BC＝3cm，AC＝5cm，∠B＝90°C．∠A＝∠B＝∠C＝60° D．AB＝4cm，AC＝6cm，∠C＝30°变式3．（2021·北京九年级专题练习）根据下列条件能画出唯一的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，例3．（2021·北京·首都师大二附八年级期中）如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（

）A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④变式3．（2022·北京西城·八年级期末）如图是一个平分角的仪器，其中，．将点A放在一个角的顶点，AB和AD沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线AC是这个角的平分线，这里判定ABC和ADC是全等三角形的依据是（

）A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS变式4．（2021·江苏东海初二月考）平面上有与，其中与相交于点，如图．若，，，，，则的度数为A． B． C． D．例4．（2022·广东汕尾·八年级期末）如图，，，．求证：．变式5．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图，点、、、在一条直线上，，，与交于点．(1)求证：；(2)若，，求的度数．例5．（2021·辽宁鞍山·八年级期中）如图所示，AD=AE，BD=CE，∠ADB=∠AEC=100°，∠BAE=70°，下列结论错误的是（

）A． B． C． D．变式6．（2021·山东·单县黄岗初级中学八年级阶段练习）如图，已知点A、D、C、F在同一直线上，AB＝DE，AD＝CF，且AB//DE，判定△ABC≌△DEF的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．HL例6．（2022·陕西西安·一模）如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，且，．求证：．变式7．（2022·福建·厦门五缘实验学校八年级期末）命题：如图，已知，共线，（1），那么．(1)从①和②两个条件中，选择一个填入横线，使得上述命题为真命题，你选择的条件为_______（填序号）；(2)根据你选择的条件，判定的方法是________；(3)根据你选择的条件，完成的证明．变式8．（2021·河南平顶山市·八年级期中）在中，，点在平面内，连接并将线段绕点顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接．

（1）如图1，如果点是边上任意一点，线段和线段的数量关系是；（2）如图2，如果点为平面内任意一点，前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）．例7．（2022·河南焦作·八年级期末）如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（

）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS变式9．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（

）去最省事．A．① B．② C．③ D．①③例8．（2021·重庆市第九十五初级中学校七年级阶段练习）如图，已知，，点D在AC边上，，AE和BD相交于点O．(1)求证：；(2)若，，求∠ADB的度数．变式10．（2021·北京市陈经纶中学分校八年级期中）如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得，AB//DE，．(1)求证：；(2)若，，求的长度．变式11．（2022·全国·八年级）已知锐角，，于，于F，交于E．

求证：ΔBDE≌

若BD=8，DC=6，求线段BE的长度．

例9．（2022·重庆市育才中学八年级期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，BE＝3cm，AD＝7cm，则DE的长是（）A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm变式12．（2021·北京市师达中学八年级期中）如图，AE⊥AB且，BC⊥CD且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是（

）A．30 B．32 C．35 D．38例10．（2022·江苏苏州·八年级期末）如图，在四边形中，是对角线上一点，，，．求证：．变式13．（2021·广西百色·八年级期末）如图，CE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，BD＝CD．（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）求证：AE＝AF．补充：HL例11．（2021·河南漯河·八年级期中）如图，为的高，E为上一点，交于点F，且有，则的理由根据是（

）A． B． C． D．变式14．（2022·河北邢台·八年级期末）如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（

）A． B． C． D．变式15．（2021·北京市师达中学八年级期中）如图，，cm，cm，点P在线段AC上，以每秒2cm的速度从点A出发向C运动，到点C停止运动，点Q在射线AM上运动，且，当点P的运动时间为_________秒时，△ABC才能和△PQA全等．例12．（2021·吉林·长春五十二中赫行实验学校八年级阶段练习）如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，求证：△ACB≌△BDA．变式16．（2021·福建·龙岩初级中学八年级期中）已知：如图AD为△ABC的高，E为AC上一点BE交AD于F且有BF＝AC，FD＝CD．求证：Rt△BFD≌Rt△ACD．变式17．（2021·江苏泰州·七年级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于E，点F在边AC上，连接DF．（1）求证：AC＝AE；（2）若DF＝DB，试说明∠B与∠AFD的数量关系；（3）在（2）的条件下，若AB＝m，AF＝n，求BE的长（用含m，n的代数式表示）．知识点1-11用尺规作三角形1）、知道基本的作图的常用工具，并会用尺规做几种简单的基本图形。2）、根据三角形判定定理，掌握用尺规做三角形及做一个三角形与已知三角形全等。3）、常见的尺规作三角形的类型：已知三边作三角形；已知两边及夹角作三角形；已知两角和任意一边作三角形；已知一条直角边和一条斜边。例1．（2021·全国七年级课时练习）下列关于用尺规作图的结论错误的是（）A．已知一个三角形的两角与一边，那么这个三角形一定可以作出B．已知一个三角形的两边与一角，那么这个三角形一定可以作出C．已知一个直角三角形的二条边，那么这个三角形一定可以作出D．已知一个三角形的三条边，那么这个三角形一定可以作出例2．（2022·湖南岳阳·八年级期末）尺规作图：作角等于已知角．示意图如图所示，则说明的依据是（

）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS变式1．（2021·河北石家庄·八年级期中）如图，已知，用直尺和圆规按照以下步骤作图：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点C，D；②画射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④过点画射线；根据以上操作，可以判定，其判定的依据是（

）A． B． C． D．变式2．（2021·河北邢台市·九年级一模）嘉淇在用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下：已知：∠AOB．求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB．作法：（1）如图，以点O为圆心，m为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）画一条射线O'A'，以点O'为圆心，n为半径画弧，交O'A'于点C'；（3）以点C'为圆心，p为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D'；（4）过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB．下列说法正确的是（）A．m－p>0 B．1－p>0 C．p=n>0 D．m=n>0变式3．（2021·广东九年级专题练习）“经过已知角一边上的一点作“个角等于已知角”的尺规作图过程如下：已知：如图（1），∠AOB和OA上一点C．求作：一个角等于∠AOB，使它的顶点为C，一边为CA．作法：如图（2），（1）在0A上取一点D（OD＜OC），以点O为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点E；（2）以点C为圆心，OD长为半径画弧，交CA于点F，以点F为圆心，DE长为半径画弧，两弧交于点C；（3）作射线CC．所以∠CCA就是所求作的角;此作图的依据中不含有（）A．三边分别相等的两个三角形全等 B．全等三角形的对应角相等C．两直线平行同位角相等 D．两点确定一条直线例3．（2022·北京怀柔·八年级期末）小举在探究全等三角形判定方法，已知如图，ABC，他通过尺规作图、裁剪、重合的操作，证实一种判定方法．以下是小举的操作过程：第一步：尺规作图．作法：（1）作射线M；（2）以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，D；（3）以点为圆心，BD长为半径画弧，交M于点P；（4）以点P为圆心，DE长为半径画弧，在M的上方交（3）中所画弧于点Q；（5）过点Q作射线BˊN；（6）以点为圆心，BC长为半径画弧，交M于点；（7）以点为圆心，BA长为半径画弧，交N于点；（8）连接．第二步：把作出的剪下来，放到上．第三步：观察发现和重合．∴．根据小举的操作过程可知，小举是在探究（

）A．基本事实SSS B．基本事实ASA C．基本事实SAS D．定理AAS变式4．（2021·吉林长春市·九年级一模）如图，C是直线外一点，按下列步骤完成作图：（）（1）以点C为圆心，作能与直线相交于D、E点的圆弧．（2）分别以点D和点E为圆心，长为半径作圆弧，两弧交于点F，连结、．（3）作直线交于点G．根据以上作图过程及所作图形，有如下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（）A．①②③ B．①③④ C．③④ D．①④例4．（2021·福建南平市·八年级月考）如图所示，已知△ABC，请你画一个△A1B1C1，使A1B1＝AB，C1B1＝CB，∠B1＝∠B，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）变式5．（2021·河北邯郸市·八年级月考）尺规作图：已知和线段，求作，使．（作图痕迹要清晰规范，不要求作图步骤）例5．（2021·清华附中八年级期中）如图，在正方形网格内（每个小正方形的边长1），有一格点三角形ABC（三个顶点分别在正方形的格点上），现需要在网格内构造一个新的格点三角形与原三角形全等，且有一条边与原三角形的一条边重合，请画出所有满足条件的格点三角形的第三个顶点，并在网格图中标注．变式6．（2021·北京四中八年级期中）如图，已知．按照以下步骤作图：①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交、于M、N两点；②分别以点M，N为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内部交于点C．则射线是的角平分线．根据上面的作法，完成以下问题：（1）使用直尺和圆规，作出射线（请保留作图痕迹）；（2）完成下面证明过程．（注：括号里填写推理的依据）．连接，．在和中，∵∴（

），∴________（

），即平分．知识点1-12利用三角形全等测距离1）、全等三角形在现实生活中有着广泛的应用，解决与全等三角形有关的实际问题时，常将实际问题转化为数学问题，然后再利用数学知识来解决.2）、要测量无法直接得到的两个点之间的距离时，常常应用三角形全等的条件来构造全等三角形，再利用全等的性质得到所要的距离.例1．（2021·辽宁鞍山市·八年级期中）如图，AD、BC表示两根长度相同的木条，若O是AD、BC的中点，经测量AB＝9cm，则容器的内径CD为____cm．变式1．（2021·河北·石家庄市第四十二中学八年级期中）如图所示，将两根钢条、的中点O连在一起，使、可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则的长等于内槽宽AB，那么判定的理由是_____．例2．（2021·辽宁·沈阳市第四十三中学七年级期中）如图，为了测量池塘东西两边、之间的宽度，小明同学先从点向南走到点处，再继续向南走相同的距离到达点，然后从点开始向西走到点处，使、、三点在同一条直线上，此时测量、间的距离就是、间的距离，这里判断的直接依据是（

）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS2．（2022·甘肃平凉·八年级期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC=CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，此时洲得DE=13米．则AB的长为____．变式2．（2021·全国七年级课时练习）如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，如图所示的这种方法，是利用了三角形全等中的（）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS例3．（2021·山东德州市·八年级期末）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由走到的过程中，通过隔离带的空隙，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，相交于，垂足为．已知米．请根据上述信息求标语的长度．

变式3．（2021·湖南怀化市·八年级期末）明明同学用10块高度都是3cm的相同长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙上面刚好可以放进一个等腰直角三角形（AC=BC∠ACB=90°）点C在DE上，点A和点B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．专题01三角形及全等教材同步讲练知识点1-1认识三角形（1）三角形定义：由不在同一条直线上的三段线段首位顺次相接所组成的图形叫作三角形。记作△ABC，读作三角形ABC。（2）三角形的分类：=1\*GB3①已学习，按照角分类=2\*GB3②还可按照边进行分类，根据边是否相等=3\*GB3③等腰不等边，两腰角相等，且两腰均为锐角；等边三角形，三个角都为60度；=4\*GB3④特殊三角形：等腰直角三角形，90度、45度、45度。例1．（2021·湖北初二月考）三角形是指()A．由三条线段所组成的封闭图形B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形【答案】C【分析】根据三角形的定义解答即可．【解析】因为三角形的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的定义．解题的关键是熟记三角形的定义．变式1．（2021·全国·七年级课时练习）由___________三条线段___________所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做___________；相邻两边的公共端点叫做___________，相邻两边所组成的角叫做___________，简称___________．【答案】

不在同一直线上的

首尾顺次相接

边

顶点

三角形的内角

三角形的角【分析】本题利用三角形的概念即可得出结果．【详解】由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做边；相邻两边的公共端点叫做顶点，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．故答案为：不在同一直线上的；首尾顺次相接；边；顶点；三角形的内角；三角形的角．【点睛】本题主要考查三角形的概念，属于基础题，熟练掌握三角形的概念是解题的关键．变式2．（2021·全国·八年级专题练习）学习完三角形的概念后，小强同学用火柴拼成的图形如下，其中符合三角形概念的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角形的概念一一辨析可得正确解答．【详解】解：三角形指的是不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，而A、B、D图形的三根火柴都全部没有或者部分没有首尾相接，所以A、B、D都不符合题意，只有C图形是由三根火柴首尾顺次相接而成的，所以C符合三角形概念．故选C．【点睛】本题考查三角形的定义，正确理解三角形是不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形是解题关键．例2．（2021·咸宁市八年级月考）下列关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（）

A．甲分法错误，乙分法正确 B．甲分法正确，乙分法错误C．甲、乙两种分法均正确 D．甲、乙两种分法均错误【答案】A【分析】根据三角形的分类可直接选出答案．【详解】按边分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分类：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形．∴甲分法错误，乙分法正确．故选：A．【点睛】本题主要考查三角形的分类，关键是掌握分类方法．根据三角形角、边的特点，按边或按角分类．变式3．（2021·广西·八年级期中）给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中，正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．0【答案】B【分析】根据三角形的分类、三角形的三边关系进行判断【详解】（1）等边三角形是一特殊的等腰三角形，正确

（2）三角形按边分类可以分为不等边三角形和等腰三角形，错误

（3）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，正确

综上所述，正确的结论2个故选B【点睛】本题考查了三角形．注意：等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形变式4．（2021·广东省八年级月考）设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形．下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据各类三角形的概念即可解答.【详解】解：根据各类三角形的概念可知，C可以表示它们彼此之间的包含关系．故选C．【点睛】本题考查各种三角形的定义，要明白等边三角形一定是等腰三角形，等腰直角三角形既是直角三角形，又是等腰三角形.例3．（2021·浙江八年级期中）一个三角形三个内角的度数之比是，则这个三角形一定是（）．A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定【答案】A【分析】由三角形三个内角的度数之比是，结合三角形的内角和定理，分别求解三个内角的大小，再作出判断即可．【详解】解：∵三角形的三个内角之比是，∴三角形的三个内角依次为：，，，∴该三角形一定是锐角三角形．故选A．【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的分类，掌握以上知识是解题的关键．变式5．（2021·绵阳市·八年级期中）中，已知：，，则中按角分类是（）．A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．斜三角形【答案】C【分析】由三角形内角和定理可求得∠C的度数，再判断△ABC的分类．【详解】∵∠A＝40°，∠B＝45°，∴∠C＝180°−40°−45°＝95°，∴△ABC为钝角三角形，故选：C．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和为180°是解题的关键．变式6．（2022·山东泰安·八年级期末）在具备下列条件的中，①；②，；③；④，其中能构成直角三角形的有______．【答案】①②④【分析】根据三角形内角和定义，以及直角三角形的定义逐一判断即可．【详解】①，；是直角三角形②，，；是直角三角形③；不是直角三角形④，是直角三角形；故①②④可以构成直角三角形故答案为：①②④【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的定义，求得三个角中最大的角是解题的关键．知识点1-2三角形内角和定理（1）定理：三角形三个内角和等于180度（2）直角三角形的两个锐角互余例1．（2022·山东潍坊·八年级期末）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（）A．过C作EFABB．过AB上一点D作DEBC，DFACC．延长AC到F，过C作CEABD．作CD⊥AB于点D【答案】D【分析】本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题．【详解】解：A．由EF∥AB，则∠ECA＝∠A，∠FCB＝∠B．由∠ECA+∠ACB+∠FCB＝180°，得∠A+∠ACB+∠B＝180°，故A不符合题意．B．由ED∥BC，得∠EDF＝∠AED，∠A＝∠FDB．由ED∥CB，得∠EDA＝∠B，∠C＝∠AED，那么∠C＝∠EDF．由∠ADE+∠EDF+∠FDB＝180°，得∠B+∠A+∠C＝180°，故B不符合题意．C．由CE∥AB，则∠A＝∠FEC，∠B＝∠BCE．由∠FCE+∠ECB+∠ACB＝180°，得∠A+∠B+∠ACB＝180°，故C不符合题意．D．由CD⊥AB于D，则∠ADC＝∠CDB＝90°，无法证得三角形内角和是180°，故D符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了三角形内角和定理的证明，将三角形三个内角转换为平角是解本题的关键．变式1．（2021·河北唐山·七年级期末）定理：三角形的内角和等于180°．已知：的三个内角为、、求证：．证法1：如图∵，，（量角器测量）∵（计算所得）∴（等量代换）证法2：如图，延长到，过点作．∴（两直线平行，内错角相等）（两直线平行，同位角相等）∵（平角定义）．∴（等量代换）即．下列说法正确的是（

）A．证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理B．证法1还需要测量一百个进行验证，就能证明该定理C．证法2还需证明其它形状的三角形，该定理的证明过程才完整D．证法2用严谨的推理证明了该定理【答案】D【分析】利用理论与实践结合可以判断C与D，根据三角形的平行的性质与平角的定义可以判断C与D，【详解】解：A．证法1用量角器量三个内角和为180°，只能验证该定理的正确性，用特殊到一般法证明该定理缺少理论证明过程，故选项A不符合题意；B．证法1只要测量一百个三角形进行验证，验证的正确性更高，就能证明该定理还需要理论证明，故选项B不符合题意；C．证法2给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故C不符合题意；D．证法2给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故D符合题意．故选：D．【点睛】本题考查三角形内角和的证明问题，命题的正确性需要严谨推理证明．变式2．（2021·北京房山·七年级期末）在小学，我们曾经通过动手操作，利用拼图的方法研究了三角形三个内角的数量关系．如图，把三角形ABC分成三部分，然后以某一顶点（如点B）为集中点，把三个角拼在一起，观察发现恰好构成了平角，从而得到了“三角形三个内角的和是180°”的结论．但是，通过本学期的学习我们知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性．小聪认真研究了拼图的操作方法，形成了证明命题“三角形三个内角的和是180°”的思路：①画出命题对应的几何图形；②写出已知，求证；③受拼接方法的启发画出辅助线；④写出证明过程．请你参考小聪解决问题的思路，写出证明该命题的完整过程．【答案】见解析【分析】根据要求画出△ABC，写出已知，求证．构造平行线，利用平行线的性质解决问题即可．【详解】解：已知：△ABC．求证：∠A+∠B+∠C=180°．证明：如图，延长CB到F，过点B作BE∥AC．∵BE∥AC，∴∠1=∠4，∠5=∠3，∵∠2+∠4+∠5=180°，∴∠1+∠2+∠3=180°，即∠A+∠ABC+∠C=180°．【点睛】本题考查三角形内角和定理的证明，平行线的性质，平角的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．例2．（2022·广东深圳·九年级期末）在△AOB中，BO＝AO，OP交AB于点C，量角器的摆放如图所示，则∠BCP＝（）A．80° B．90° C．85° D．95°【答案】C【分析】依据BO＝AO，∠AOB＝130°，即可得到∠CAO＝25°，再根据∠AOP＝70°，即可得出∠BCP＝∠ACO＝180°﹣∠CAO﹣∠AOC．【详解】解：∵BO＝AO，∠AOB＝130°，∴∠CAO＝25°，又∵∠AOP＝70°，∴∠BCP＝∠ACO＝180°﹣∠CAO﹣∠AOC＝180°﹣25°﹣70°＝85°，故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，解题时注意：三角形内角和等于180°．变式3．（2021·河南郑州·一模）一个等腰直角三角板和一把直尺按如图所示方式放置．若∠2＝60°，则∠1的度数为（

）A．60° B．75° C．45° D．105°【答案】B【分析】利用两直线平行，同位角相等得到，∠2＝∠3＝60°，再由等腰直角三角形的性质得到∠4＝45°，最后由三角形内角和求解即可．【详解】解：如图所示，∵AB∥CD，∠2＝60°，∴∠3＝∠2＝60°，∵图中为等腰直角三角板，∴∠4＝45°，∴∠1＝180°﹣∠3﹣∠4＝75°，故选：B．【点睛】本题考查平行性的性质、等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理，通过平行线性质推出∠2＝∠3是解题的突破口．变式4．（2022·河南平顶山·八年级期末）已知，在中，，点在线段的延长线上，过点作，垂足为，若，则的度数为（

）A．76° B．65° C．56° D．54°【答案】D【分析】根据三角形的内角和是，即可求解．【详解】，，在中，，，在中，，，故选：D．【点睛】本题考查了垂直的性质和三角形的内角和，熟练掌握相关的性质是解题的关键．例3．（2021·江苏·徐州市西苑中学七年级阶段练习）在中，，按图中虚线将剪去后，等于（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】利用补角的定义可知：，，由三角形内角和定理可知：，代入即可求出．【详解】解：假设虚线为DE，∵，，∴，∵，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查补角的定义，三角形内角和定理，理解补角的定义，找出是解题的关键．变式5．（2022·湖北恩施·八年级期末）如图，把△ABC沿EF对折，折叠后的图形如图所示，，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由三角形的内角和，得，由邻补角的性质得，根据折叠的性质得，即，所以，．【详解】解：∵，∴，∴，由折叠的性质可得：，∴，∵，∴，即．故选B．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、邻补角的性质、折叠的性质，熟悉掌握三角形的内角和为，互为邻补角的两个角之和为以及折叠的性质是本题的解题关键．例4．（2021·湖北蔡甸初二期中）如图，若的三条角平分线、、交于点，则与互余的角是()A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角形角平分线的定义、互余的定义和垂直的定义逐一判断即可．【解析】解：∵三角形的两个角平分线不一定互相垂直，∴∠EGD不一定等于90°∴与不一定互余，故A选项不符合题意；∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB=180°，的三条角平分线、、交于点∴∠FAG=∠BAC，∠GBC=∠ABC，∠GCB=∠ACB∴∠FAG＋∠GBC＋∠GCB=（∠BAC＋∠ABC＋∠ACB）=90°∵=∠GBC＋∠GCB∴＋∠FAG=90°，故B选项符合题意；∵三角形一个内角的角平分线不一定垂直该角的对边∴∠GEC和∠GFB不一定是直角∴＋∠ECG不一定等于90°，故C选项不符合题意；∠FGB＋∠FBG不一定等于90°∵∠FGB=∴＋∠FBG不一定等于90°，故D选项不符合题意．故选B．【点睛】此题考查的是互余的判定，掌握角平分线的定义、互余的定义和垂直的定义是解决此题的关键．变式6．（2021·辽宁文圣初一期末）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，图形中相等的角有____对，互余的角有____对．【答案】53．【分析】根据垂直的定义得到∠CDA=∠BDC=∠ACB=90°，推出∠A+∠B=∠A+∠ACD=∠B+∠BCD=90°，即可得到答案.【解析】∵CD⊥AB，∴∠CDA=∠BDC=∠ACB=90°，∴∠A+∠B=∠A+∠ACD=∠B+∠BCD=90°,∴图形中相等的角有∠A=∠BCD，∠B=∠ACD，∠ACB=∠BDC，∠ACB=∠CDA，∠BDC=∠CDA，一共5对，互余的角有∠A和∠B，∠A和∠ACD，∠B和∠BCD，一共3对．故答案为：5；3.【点睛】此题考查了垂直的定义，直角三角形两个锐角互余，同角的余角相等，正确理解直角三角形两个锐角互余的性质是解题的关键.变式7．（2021·上海市久隆模范中学七年级期末）如图，，交于点，，垂足为，，求的度数．【答案】．【分析】先根据平行线的性质可得，再根据直角三角形的两锐角互余即可得．【详解】解：，，，．【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．知识点1-3三角形三边关系两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；只需满足：<第三边<两边之和（两边为相同两条边）注：是“>”和“<”，不包含“=”例1．（2021·绵阳市八年级月考）如图，P是△ABC内一点，连接BP，PC，延长BP交AC于D．（1）图中有几个三角形；（2）求证：AB+AC＞PB+PC．【答案】（1）5个；（2）证明见解析．【分析】（1）直接找出图中的三角形即可，注意要不重不漏；（2）利用三角形的三边关系可得AB+AD＞BD，PD+CD＞PC，再把两个式子相加进行变形即可．【详解】（1）图中三角形有△ABC，△ABD，△BPC，△PDC，△BDC，共5个．（2）证明：∵AB+AD＞BD，PD+CD＞PC，∴AB+AD+PD+CD＞BD+PC，∴AB+AD+PD+CD＞BP+PD+PC，∴AB+AC＞PB+PC．【点睛】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是掌握两边之和大于第三边．变式1．（2022·河南洛阳市·八年级月考）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】解：根据三角形的三边关系，知A、2+5＜8，不能组成三角形；B、7+24＞25，能够组成三角形；C、3+3=6，不能组成三角形；D、1+2=3，不能组成三角形．故选：B．【点睛】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．例2．（2021·河北廊坊市·八年级期末）在中，若，，则第三边的取值可能是（）A．3． B．5 C．9 D．10【答案】B【分析】根据三角形的三边不等关系：任意两边之差＜第三边＜任意两边之和，解答即可．【详解】解：根据三角形的三边关系，得6-3＜BC＜6+3，即3＜BC＜9．符合条件的条件是BC=5，故选：B．【点睛】此题考查了求三角形第三边的范围，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．变式2．（2021·浙江温州市·八年级月考）如图，被木板遮住了一部分，其中，则的值不可能是（）A．11 B．9 C．7 D．5【答案】D【分析】根据三角形三边关系判断即可．【详解】解：∵AB=6，∴AC+BC＞AB=6，∴11，9，7都满足，5不满足，故选D．【点睛】本题考查了三角形三边关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边．变式3．（2021·广东广州市·九年级二模）如果三角形有两边长分别为3和5，那么这个三角形的周长可能是（）．A．7 B．8 C．15 D．16【答案】C【分析】先根据三角形的三边关系可得第三边的取值范围，再根据三角形的周长公式即可得．【详解】解：设三角形的第三边为，则，即，所以，即，则这个三角形的周长在10和16之间，观察四个选项可知，只有选项符合，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．例3．（2021·苏州市吴江区七都中学八年级月考）已知，为的三边，化简．【答案】-2a+4b-2c【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负值，然后去绝对值进行计算即可．【详解】解：|a-b-c|-2|b-c-a|+|a+b-c|=-（a-b-c）+2（b-c-a）+（a+b-c）

=-a+b+c+2b-2c-2a+a+b-c=-2a+4b-2c．【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，整式的加减，以及绝对值的性质，关键是掌握三边关系定理．变式4．（2021·北京市西城区德胜中学七年级期中）已知a，b，c是的三条边长，化简的结果为_______．【答案】2b【分析】由题意根据三角形三边关系得到a+b-c＞0，b-a-c＜0，再去绝对值，合并同类项即可求解．【详解】解：∵a，b，c是的三条边长，∴a+b-c＞0，a-b-c＜0，∴|a+b-c|+|a-b-c|=a+b-c-a+b+c=2b．故答案为：2b．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系以及去绝对值和整式加减运算，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．变式5.（2021·广西南宁·八年级期中）已知是的三边长．（1）若满足，，试判断的形状；（2）化简：【答案】（1）是等边三角形；（2）【分析】（1）由性质可得a=b，b=c，故为等边三角形．（2）根据三角形任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边判定正负，再由绝对值性质去绝对值计算即可．【详解】（1）∵∴且∴∴是等边三角形．（2）∵是的三边长∴b-c-a<0,a-b+c>0,a-b-c<0原式===【点睛】本题考查了三角形三条边的关系以及绝对值化简，根据三角形任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边判定绝对值内数值正负是解题的关键．例4．（2022·广西贵港·八年级期末）若3和9是一个三角形的两边长，且第三边长为偶数，则该三角形的周长为（

）A．20 B．21 C．21或22 D．20或22【答案】D【分析】首先设第三边为x，再根据三角形的三边关系可得9-3＜x＜9+3，再确定出x的取值范围，得出x的值即可解答.【详解】设第三边为x，可得9-3＜x＜9+3;即在中，x为偶数有8、10可得答案3+9+8=20或者3+9+10=22故选D【点睛】此题主要考察了三角形的三边关系，关键是掌握三角形俩边之和大于第三边；三角形的俩边差小于第三边.变式6．（2021·上海普陀·七年级期末）已知一个三角形的两边长分别是2和5，如果它的第三边长是奇数，那么第三边的长等于____________．【答案】5【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．【详解】解：设第三边长x，根据三角形的三边关系，得又∵三角形的第三边长是奇数，因而满足条件的数是5．故答案为：5．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系，同时还要注意奇数这一条件．例5．（2022·河北石家庄·八年级期末）一个三角形的两边长分别为4和6，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是（

）A．20 B．16 C．13 D．12【答案】C【分析】设三角形的第三边为x，根据三角形三边关系求出x的取值，根据x为整数，求出x的最小值，即可求出三角形周长最小值．【详解】解：设三角形的第三边为x，∵三角形的两边长分别为4和6，∴2＜x＜10，∵第三边为整数，∴第三边x的最小值为3，∴三角形周长的最小值为：3+4+6=13．故选：C【点睛】本题考查了三角形三边关系，熟知三角形三边的关系“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”是解题关键．变式7．（2021·内蒙古通辽·八年级期末）在△ABC中，若AB=4，BC=5，则△ABC的周长的取值范围是___________．【答案】【分析】根据三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边解答即可．【详解】解：∵△ABC中，AB=4，BC=5，∴5-4＜AC＜5+4，即1＜AC＜9，∴故答案为：．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．变式8．（2022·浙江八年级期中）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．10【答案】B【分析】若两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可．【详解】解：已知4条木棍的四边长为2、3、4、6；①选2+3、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6；5-4＜6＜5+4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为6；②选3+4、6、2作为三角形，则三边长为2、7、6；6-2＜7＜6+2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；③选4+6、2、3作为三角形，则三边长为10、2、3；2+3＜10，不能构成三角形，此种情况不成立；④选6+2、3、4作为三角形，则三边长为8、3、4；而3+4＜8，不能构成三角形，此种情况不成立；综上所述，任两螺丝的距离之最大值为7．故选：B．【点睛】此题实际考查的是三角形的三边关系定理，能够正确的判断出调整角度后三角形木框的组合方法是解答的关键．知识点1-4三角形的高、中线与角平分线（1）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高(atitudeoftriangle)。三条高的交点叫作垂心。（2）中线：在三角形中，连接一个顶点与它的对边中点的线段，叫做三角形的中线(medianoftriangle).三条中线的交点叫作重心。（3）角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线(angularbisectorofLriangle)。三条角平分线的交点叫作内心。（高线）（中线）（角平分线）（4）几何关系：=1\*GB3①垂线：AD⊥BC=2\*GB3②中线：CD=DB=3\*GB3③角平分线：∠CAD=∠DAB注：=1\*GB3①锐角三角形三条高线的交点在三角形内，钝角三角形三条高线的交点在三角形外；直角三角形三条高线的交点在直角顶点上；=2\*GB3②锐角三角形、钝角三角形、直角三角形的三条中线、角平分线的交点都在三角形内部。例1．（2021·全国八年级专题练习）三角形的角平分线、中线、高线（）A．每一条都是线段 B．角平分线是射线，其余是线段C．高线是直线，其余为线段 D．高线是直线，角平分线是射线，中线是线段【答案】A【分析】根据三角形的角平分线、中线、高线的定义进行判断．【详解】由三角形的角平分线、中线、高线的定义可得，三角形的三条角平分线、三条中线、三条高线都是线段；A选项：三角形的三条角平分线、三条中线、三条高线都是线段都是线段，故正确；B选项：三角形的三条角平分线、三条中线、三条高线都是线段，故错误；C选项：三角形的三条角平分线、三条中线、三条高线都是线段，故错误；D选项：三角形的三条角平分线、三条中线、三条高线都是线段，故错误；故选：A．【点睛】考查了三角形的角平分线、中线、高线，三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．变式1．（2021·河北唐山·八年级期中）下列说法中，①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．正确的是（

）A．① B．①④ C．②③ D．②④【答案】A【分析】根据三角形的三条中线都在三角形内部；

三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上．【详解】解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确；②钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；③直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段共三条高，故错误；④三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误．所以正确的有

①．

故选A．【点睛】本题考查了对三角形的中线、角平分线、高的正确理解，解题的关键是熟练掌握这些性质.例2．（2022·浙江八年级月考）如图，在中，的延长线于点D，的长线于点E．于点C，延长线于点E，于点C，下列说法错误的是（）A．是的AB边上的高