新教材2024高考数学二轮专题复习强化训练13空间位置关系空间角与空间距离-小题备考

强化训练13空间位置关系、空间角与空间距离——小题备考一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1．[2023·湖北武汉三模]已知不重合的平面α，β及不重合的直线m，n，则()A．若m∥α，α∥β，则m∥βB．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥βC．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥βD．若m∥α，α∥β，n⊂β，则m∥n2．[2023·浙江杭州二模]已知直线l，平面α，满足l⊄α，则下列命题一定正确的是()A．存在直线m⊂α，使l∥mB．存在直线m⊂α，使l⊥mC．存在直线m⊂α，使l，m相交D．存在直线m⊂α，使l，m所成角为eq\f(π,6)3．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝1，BC＝2，AA1＝5，则A1C与平面ABCD所成角的正切值为()A．eq\f(1,2)B．2C．eq\f(\r(5),5)D．eq\r(5)4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM()A．和AC，MN都垂直B．垂直于AC，但不垂直于MNC．垂直于MN，但不垂直于ACD．与AC，MN都不垂直5.[2023·黑龙江哈师大附中模拟]如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，△PAD是正三角形，AB＝2，平面PAD⊥平面ABCD，则PC与BD所成角的余弦值为()A．eq\f(1,4)B．eq\f(\r(2),4)C．eq\f(1,3)D．eq\f(\r(3),3)6.[2023·山东菏泽一模]如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且A，B，C，D四个顶点在同一平面内，下列结论：①AE∥平面CDF；②平面ABE∥平面CDF；③AB⊥AD；④平面ACE⊥平面BDF，正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．47．[2023·河北沧州二模]《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，若AB，CD都是直角圆锥SO底面圆的直径，且∠AOD＝eq\f(π,3)，则异面直线SA与BD所成角的余弦值为()A．eq\f(1,3)B．eq\f(\r(2),4)C．eq\f(\r(6),4)D．eq\f(\r(6),3)8．如图，已知ABCA1B1C1是侧棱长和底面边长均等于a的直三棱柱，D是侧棱CC1的中点．则点C到平面AB1D的距离为()A．eq\f(\r(2),4)aB．eq\f(\r(2),8)aC．eq\f(3\r(2),4)aD．eq\f(\r(2),2)a二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分)9．[2023·河北唐山模拟]已知a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的有()A．若a⊥b，a⊥c，则b∥cB．若a∥b，a∥c，则b∥cC．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γD．若α∥β，α∥γ，则β∥γ10．[2023·浙江杭州一模]已知三棱柱ABCDEF的棱长均相等，则()A．AB⊥CFB．AE⊥BDC．∠ABC＝60°D．∠ADE＝60°11．[2023·河北开滦二中一模]已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H，I分别是线段CC1，A1B1，B1C1，AB，DD1的中点，则()A．AF⊥A1EB．BG⊥A1EC．DH⊥A1ED．CI⊥A1E12.[2023·河北衡水模拟]如图，已知圆锥的顶点为S，底面ACBD的两条对角线恰好为圆O的两条直径，E，F分别为SA，SC的中点，且SA＝AC＝AD，则下列说法中正确的有()A．SD∥平面OEFB．平面OEF∥平面SBDC．OE⊥SAD．直线EF与SD所成的角为45°题号12345678910答案题号1112答案三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面BCC1B1所成角的正弦值是________．14．在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点，当eq\f(CF,CD)＝________时，D1E⊥平面AB1F.15．如图，在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱A1A上的动点，N是棱BC的中点．当平面D1MN与底面ABCD所成的锐二面角最小时，A1M＝________．16．[2023·广东茂名二模]已知球O与正四面体ABCD各棱相切，且与平面α相切，若AB＝1，则正四面体ABCD表面上的点到平面α距离的最大值为________．强化训练13空间位置关系、空间角与空间距离1．解析：若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，故A错误；若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，当n∥α时，若n⊥β，则α⊥β，当n⊂α时，若n⊥β，则α⊥β也成立，综上，故B正确；若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β或α反例如图所示，可以说明符合条件时，两个平面有相交的可能．故C错误；如图所示，m、n可能异面，故D错误．故选B.答案：B2．解析：若直线l与α相交，则α内的直线与l要么相交要么异面，故不存在直线m⊂α，使l∥m，A错误；由于l⊄α，所以l与α相交或者平行，不论是相交还是平行，均可在α上找到与l垂直的直线m，故B正确；当l∥α时，则α内的直线要么与l平行，要么与l异面，所以不存在m⊂α，使l，m相交，故C错误；当直线l⊥α时，此时直线l与α内的所有直线均垂直，故不存在直线m⊂α，使l，m所成角为，故D错误．故选B.答案：B3．解析：在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD,∴∠A1CA是A1C与平面ABCD所成的角．连接AC，AC⊂平面ABCD，AA1⊥AC，又AB＝1，BC＝2，AA1＝5，所以AC＝＝，在直角△A1CA中，tan∠A1CA＝＝＝，即A1C与平面ABCD所成角的正切值为.故选D.答案：D4．解析：以D为坐标原点正方向为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，O(1，1，0)，M(0，0，1)，N(0，1，2)，∴＝(－2，2，0)，＝(－1，－1，1)，＝(0，1，1)，∴·＝2－2＋0＝0，·＝0－1＋1＝0，∴OM⊥AC，OM⊥MN.故选A.答案：A5．解析：取AD的中点O，BC的中点E，连接PO、OE，因为△PAD是正三角形，所以PO⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，如图建立空间直角坐标系，则P(0，0，)，C(2，1，0)，D(0，1，0)，B(2，－1，0)，所以＝(2，1，－)，＝(2，－2，0)，所以cos〈〉＝＝，所以PC与BD所成角的余弦值为.故选A.答案：A6．解析：以正八面体的中心O为原点，OB，OC，OE分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正八面体的边长为2，则A(0，－，0)，E(0，0，)，C(0，，0)，D(－，0，0)，F(0，0，－)所以，＝(0，)，＝(－，－，0)，＝(0，－，－)，设平面CDF的法向量为n＝(x，y，z)，则，解得，取x＝1，即n＝(1，－1，1)又·n＝－＝0，所以⊥n，AE⊄平面CDF，即AE∥平面CDF，①正确；因为＝－，所以AE∥CF，又AB∥CD，AB⊄平面CDF，CD⊂平面CDF，则AB∥平面CDF，由AB＝A，AE，AB⊂平面ABE，所以平面AEB∥平面CDF，②正确；因为B(，0，0)，＝(，0)，＝(－，0)，则·＝0，所以AB⊥AD，③正确；易知平面ACE的一个法向量为n1＝(1，0，0)，平面BDF的一个法向量为n2＝(0，1，0)，因为n1·n2＝0，所以平面ACE⊥平面BDF，④正确．故选D.答案：D7．解析：如图，连接AD，BC，AC，SC.因为O为AB，CD中点，且AB＝CD，所以四边形ADBC为矩形，所以DB∥AC，所以∠SAC或其补角为异面直线SA与BD所成的角．设圆O的半径为1，则SA＝SC＝.因为∠AOD＝，所以∠ADO＝.在直角△DAC中，CD＝2，得AC＝.所以cos∠SAC＝＝，所以异面直线SA与BD所成角的余弦值为.故选C.答案：C8．解析：取AB的中点O，连接CO，因为△ABC为等边三角形，O为AB的中点，则CO⊥AB，以点O为坐标原点，、、的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，a，0)，A(－，0，0)，B1(，0，a)，D(0，a，)，设平面AB1D的法向量为n＝＝(a，0，a)，＝(a，)，由，取x＝1，可得n＝(1，0，－1)，＝(a，0)，所以点C到平面AB1D的距离为d＝＝＝.故选A.答案：A9．解析：若a⊥b，a⊥c，则b，c可能异面，A选项错误．若a∥b，a∥c，则b∥c，B选项正确．若α⊥β，α⊥γ，则β，γ可能相交，C选项错误．若α∥β，α∥γ，则β∥γ，D选项正确．故选BD.答案：BD10.解析：∵AD∥CF，则AB与CF的夹角为∠BAD，不一定是直角，A错误；由题意：▱ABED为菱形，则AE⊥BD，B正确；由题意：AB＝BC＝CA，则∠ABC＝60°，C正确；由题意：▱ABED为菱形，则∠ADE∈(0，π)，即∠ADE大小无法确定，D错误．故选BC.答案：BC11．解析：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为2，则A(2，0，0)，F(2，1，2)，A1(2，0，2)，E(0，2，1)，B(2，2，0)，G(1，2，2)，D(0，0，0)，H(2，1，0)，C(0，2，0)，I(0，0，1)，＝(0，1，2)，＝(－2，2，－1)，·＝0，∴AF⊥A1E，故A正确；＝(－1，0，2)，·＝0，∴BG⊥A1E，故B正确；＝(2，1，0)，·＝－2，故C错误；＝(0，－2，1)，·＝－5，故D错误．故选AB.答案：AB12．解析：由已知可得四边形ACBD为正方形，且四棱锥SACBD各棱长均相等，由O，F分别为CD，SC的中点，可得OF∥SD.又OF⊂平面OEF，SD⊄平面OEF，所以SD∥平面OEF，故A选项正确；又O，E分别为AB，SA的中点，所以OE∥SB，又OE⊂平面OEF，SB⊄平面OEF，故SB∥平面OEF，而SD＝S，且SB⊂平面SBD，SD⊂平面SBD，所以平面OEF∥平面SBD，故B选项正确；设SA＝1，则SB＝AD＝BD＝1，AB＝AD＝，所以SA2＋SB2＝AB2，即SA⊥SB，由B选项可知OE∥SB，所以OE⊥SA，故C选项正确；EF∥AC∥BD，故∠SDB(或其补角)即为异面直线EF与SD所成的角，而∠SDB＝60°，故D选项错误．故选ABC.答案：ABC13．解析：若E为BC中点，连接AE，B1E，由正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，故AE⊥BC，且B1B⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，则B1B⊥AE，B1B＝B，B1B，BC⊂平面BCC1B1，所以AE⊥平面BCC1B1，故∠EAB1为AB1与平面BCC1B1所成的平面角，所以sin∠EAB1＝＝＝.答案：14．解析：如图，建立空间直角坐标系，设棱长为2，A(2，0，0)，F(0，t，0)，B1(2，2，2)，D1(0，0，2)，E(1，2，0)，＝(1，2，－2)，＝＝(0，2，2)，若D1E⊥平面AB1F，则.即.解得：t＝1，所以＝.答案：15．解析：如图，设M(4，0，a)(0≤a≤4)，N(2，4，0)，D1(0，0，4)，＝(－2，4，－a)，＝(2，4，－4)，设平面D1MN的一个法向量为n＝(x，y，z)，⇒⇒，令z＝8，x＝8－2a，y＝a＋4，则n＝(8－2a，a＋4，8)，平面ABCD的一个法向量为n1＝(0，0，1)，设平面D1MN与底面ABCD所成的锐二