2022-2023学年山东省烟台市高二下学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省烟台市高二下学期期中数学试题

一、单选题

1.由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数的个数为().

A.60B.96C.300D.360

【答案】C

【分析】先排首位，再排其它位数，结合分步计数原理可得结果.

【详解】先排首位，共有5种方法；其它位数共有A；种排法，结合分步计数原理可得共有5xA；=300

种方法.

故选：C.

2.99∣°除以IOOo的余数是()

A.1B.9C.99D.999

【答案】A

【分析】由99H)=(Ioo-I)Kl展开，结合二项式定理可得出99'°除以IOOo的余数.

K)H)8

【详解】因为99=(IoO-I)=Io0∣°-C)∙10(Γ+叱-IOO-------Q(,100+

l98

=(ιoo'°-cl0loo+c⅛∙ιoo-------IOOo+L

1098

JilOO-C；o∙100+C^0-IOO——IoOO能被IOOO整除，

故99H)除以IOOO的余数是L

故选：A.

3.某次数学竞赛获奖的6名同学上台领奖，若甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确定，则不同的上

台顺序种数为().

A.20B.120C.360D.720

【答案】B

【分析】甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确定，利用倍缩法求解即可.

【详解】因为甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确定，

所以不同的上台顺序种数为冬=120.

故选：B.

4.若2730能被不同的偶数整除，则这样的偶数个数有().

A.14B.15C.16D.17

【答案】C

【分析】根据题意分析可得所求偶数个数即为集合｛3,5,7,13｝的子集的个数，即可得结果.

【详解】因为2730=2χ3χ5χ7χl3,

所以这样的偶数个数即为集合｛3,5,7,13｝的子集的个数，共有炉=16个.

故选：C.

5.1.两个分类变量X和匕其2x2列联表如表，对同一样本，以下数据能说明X与Y有关联的可能

性最大的一组为（）.

Y

X合计

必%

xx369

*2m8加+8

合计777+314+17

A.m≈3B./M=4C.m=5D."i=6

【答案】D

【分析】根据给定条件，依次计算/的预测值并比较大小作答.

【详解】由给定的2x2列联表，

Z2的预测值K=20X(3X8-3X6Y20

对于A,77?=3,=----,

6×14×9×11231

Z2的预测值k=21x(3x8-4x61

对于B,/n=4,2=0

27×14×9×12

Z2的预测值k、=22X(3X8-5X6)Z11

对于C,m=5,

38×14×9×13^T82,

疗的预测值-与篇等=冷

对于D,〃?=6,

显然心＞勺＞小＞左2，因此选项D中数据求得力2的预测值最大，说明说明X与y有关联的可能性最

大.

故选：D

6.一车间有3台车床加工同一型号的零件，旦3台车床加工的零件数X(单位：件)均服从正态分

布N(30,〃).假设3台车床均能正常工作，若尸(25<X≤35)=0.5,则这3台车床每天加工的零件

数至少有一台超过35件的概率为().

1C2737r63

A.――B.—C.-—D.——

64646464

【答案】C

【分析】根据题意可得结合二项分布分析运算.

【详解】加工的零件数超过35件的台数为4，每台加工的零件数超过35件的概率P=*

由题意可得：

则这3台车床每天加工的零件数至少有一台超过35件的概率P=I-P(J=O)=I-/I-1.

故选：C.

7.甲、乙两人进行定点投篮比赛，命中得2分，不中得0分.已知甲每次投篮命中的概率为0.6,

乙每次投篮命中的概率为0.5,每一轮比赛两人各投篮1次，得分高者获胜，分数相等为平局，且各

轮比赛结果相互独立，规定连续胜利两轮的选手为最终的胜利者，则恰好进行3轮投篮后甲最终胜

利的概率为().

A.0.018B.0.027C.0.045D.0.063

【答案】D

【分析】先计算每轮甲乙分别获胜的概率，再计算最终甲获胜的概率.

【详解】由题，每轮比赛甲获胜的概率为0.6X0.5=0.3,乙获胜的概率为0.4x0.5=0.2,平局的概率

为1-0.3-0.2=0.5,

3轮比赛甲获胜的概率为(0.2+0.5)x0.3x0.3=0.063,

故选：D.

8.若事件48满足：P(4)=g,P(HB)=|,P(IW)=g,则尸(8)=().

1112

ʌ-4b-7c∙5d∙i

【答案】D

【分析】根据全概率公式及交事件概率得性质即可得解.

【详解】由尸(，忸)=:，P[A∖B)Λ,

得P(I)=咿)P(乖)+尸⑻P(乖)=g[l_p(8)]+：P(8),

又尸（可=网岫）+尸（君）=1"（4）=,，

所以工一P（3）]+4P（8）=3,解得P（B）=].

故选：D.

【点睛】关键点点睛：根据P（N）=P（M）+P（7万）及全概率公式是解决本题的关键.

二、多选题

9.手机支付已经成为现如今最流行的支付方式，为了解年龄、性别与使用手机支付的关系，某市从

本地居民中随机抽取了容量为IOO的样本，其中35岁以上和35岁以下的各50人，且男性60人，

女性40人.根据以上数据，绘制了不同群体中使用手机支付与不使用手机支付的人数比例图（如下

图所示），其中阴影部分表示使用手机支付的比例，则下列叙述中正确的有（）.

0.8—1_

0.6---------------------I---------

0.4-------------

35岁以下35岁以上男性女性

A.是否使用手机支付与年龄有关

B.是否使用手机支付与性别无关

C.使用手机支付的人员中，男性人数与女性人数相同

D.不使用手机支付的人员中，35岁以上人数多于35岁以下的人数

【答案】ABD

【分析】根据给定的柱状图，逐项分析判断作答.

【详解】对于A,35岁以上的使用手机支付比例比35岁以下的使用手机支付的比例小很多，

即是否使用手机支付与年龄有关，A正确；

对于B,因为男性、女性使用手机支付的比例相同，即是否使用手机支付与性别无关，B正确；

对于C,因为男性与女性人数不同，而使用手机支付的比例相同，

则使用手机支付的人员中，男性人数与女性人数不相同，C错误；

对于D,因为35岁以上和35岁以下的人数相同，而35岁以上的使用手机支付比例比35岁以下的

使用

手机支付的比例小，所以不使用手机支付的人员中，35岁以上人数多于35岁以下的人数，D正确.

故选：ABD

10.袋子中装有大小、形状完全相同的6个白球和4个黑球，现从中有放回地随机取球3次，每次

取一个球，每次取到白球得0分，黑球得5分，设3次取球总得分为X,则().

A.3次中恰有2次取得白球的概率为会36B.P(X>5)=三44

125125

1Q

C.E(X)=6D.O(X)=费

【答案】BC

【分析】根据题意可得X=15-5⅞,结合二项分布逐项分析判断.

【详解】设3次取球取到白球的个数为自，每次取到白球的概率P=A=

由题意可得：g~8[3,∣),且X=OXg+5(3-J)=15-5J,

对于A：尸(4=2)=Cx(gjx∣=言，故A错误；

对于B：令X=15-5J>5,解得片<2,故J=O或J=I,

所以p(x>5)=尸偌=o)+A4=ι)=ι{H4=3+《4=3]

=1一5信4(+3闫?1卜44言故B正确；

7Q

对于C：因为E(g)=3xg=,

O

所以E(X)=E(15-5∕=15-5E(g)=15-5x《=6,故C正确；

对于D：因为。⑶=3X|X[1-1|=£,

1Q

所以Z)(X)=O(5-5J)=25QQ)=25X会18,故D错误；

故选：BC.

11.已知5名男生、4名女生共9名学生参加爬山活动，由于山路狭窄，所以随机分3批出发，每

批随机出发3人，则().

517

A.“第一批没有女生”的概率为点B.“第一批至少有2名女生”的概率为为

C.“第二批全是男生”的概率为*D.“每一批都有男生”的概率为5

【答案】ABD

【分析】计算任意一批学生的组成种类数，计算每个选项的概率，判断正误.

【详解】任意安排一批学生种类数有C；种，

C35

对于A,第一批学生没有女生的种类数有C；种，所以“第一批没有女生”的概率为渣•=/A正确;

对于B,第一批学生至少有2名女生的种类数有C：C，+C：种，所以“第一批至少有2名女生”的概率

*!+C]17

为F-KB正确;

C5

对于C,第二批学生全是男生的种类数有C；种，所以“第二批全是男生”的概率为油=而，C不正确;

对于D,三名女生在同一批的种类数有Cj种，所以“每一批都有男生”的概率为1-D正

确;

故选：ABD.

12.在平面直角坐标系XQy的第一象限内随机取一个整数点(Xj)(X,V=I,2,3,…,〃乂［CN∙),若用随

机变量y表示从这“2个点中随机取出的一个点的横、纵坐标之和，P(X=X,y=b)表示χ=χ,γ=b

同时发生的概率，则()

A.当”=3时，叩=3因=2)=；

B.当"=4时，P(X+y=8)=A

C.当〃=4时，Y的均值为5

D.当〃=左(左≥2且丘N,)时，P(%=A,y=2⅛)=p-

【答案】ACD

【分析】利用条件概率公式可判断A选项；列举出满足x+y=8的点的坐标，利用古典概率公式可

判断B选项：利用离散型随机变量的期望公式可判断C选项；列举出满足X=My=2上的点的坐

标，利用古典概型的概率公式可判断D选项.

【详解】对于A选项，当"=3时，整数点共9个，则尸(X=2)=;,

由任…y=3得JV=1，即满足X=2,13的点的坐标为(2,1)，

/、P(X=2,Y=3)11

所以，P(y=3l∣X=2)=IP(X=2)=丁3=7A对;

对于B选项，当〃=4时，整数点共16个,

z21

满足丫+丫=2'+夕=8的整数点为（2,4）,（3,2）,则尸（χ+y=8）=77=胃,B错；

16o

对于C选项，当〃=4时，，的分布列如下表所示：

y的可能取值有2、3、4、5、6、7、8,

满足y=χ+y=2的点为（1,1）,贝IJp（y=2）=」，

16

、o1

满足y=χ+y=3的点为（z1,2）、（2,1）,则p（y=3）=W=9

16ð

满足y=x+y=4的点为（1,3）、（2,2）、（3,1）,贝jlp（y=4）=τ⅛,

16

满足y=x+y=5的点为（1,4）、（2,3）、（3,2）、（4,1）,则尸（丫=5）=±,

Io

满足丫=%+卜=6的点为（2,4）、（3,3）、（4,2）,则P（y=6）=τ⅛,

16

ɔ1

满足丫=》+卜=7的点为（3,4）、（4,3）,则p（y=7）=S=5,

16X

满足y=χ+y=8的点为（4,4）,则P（y=8）=∙⅛,

16

故当〃=4时，£（y）=2×—1-3×—F4×—F5×—F6×—F7×—1-8×—=5,C对；

v7168161616816

[X=x=k∖x=k.、1

对于D选项，满足、”的解为7,则PX=%,y=2A）=7τ,D对.

[Y=χ+y=2k[y=kk~

故选：ACD.

三、填空题

13.设离散型随机变量X的分布列为P(X=k)=占，k=l,2,3,则尸(X=I)的值为

3a

【答案】ɪ

6

【分析】根据给定条件，利用分布列的性质求出a,再计算P(X=I)作答.

【详解】依题意，91+29+93=±2=l,解得0=2,

3α3α3αa

所以P(X=I)=

3a6

故答案为：—

6

14.1的展开式中的常数项为.

【答案】2912

【分析】结合二项式展开式的通项公式以及乘法分配律求得正确结果.

【详解】(X-的展开式的通项公式为TM=(-2厂∙C"j=(-2y∙q产2，

令8—21=0/=4,令8-2厂=-2,r=5.

则(l-∕)[x-∙∣]的展开式中的常数项为lx(-2)4∙c:-(-2)5C=2912.

故答案为：2912

15.甲、乙、丙、丁四名同学参加三个课外兴趣小组，每名同学只参加1个小组，每个小组至少1

名同学参加，则甲、乙不去同一小组的方法种数为.

【答案】30

【分析】根据给定条件，把4名同学按一组2人，另两组各1人分成3组，去掉甲乙在同一组的情

况，再进行全排列作答.

【详解】甲、乙、丙、丁四名同学，按一组2人，另两组各1人分成3组，去掉甲乙在同一组的情

况，共有Cj-I种分法，

把分成的3组全排列，有A；种方法，

所以甲、乙不去同一小组的方法种数为(C；-l)A；=(6-l)x6=30.

故答案为：30

四、双空题

16.某高中为调查本校1800名学生周末玩游戏的时长，设计了如下的问卷调查方式：在一个袋子中

装有3个质地和大小均相同的小球，其中1个白球，2个红球，规定每名学生从袋子中有放回的随

机摸两次球，每次摸出一个球，记下颜色.若“两次摸到的球颜色相同”，则回答问题一：若第一次

摸到的是红球，则在问卷中画“。”，否则画“x”；若“两次摸到的球颜色不同”，则回答问题二：若玩

游戏时长不超过一个小时，则在问卷中画“。”，否则画“x”.当全校学生完成问卷调查后，统计画“。”

和画“x”的比例，由频率估计概率，即可估计出玩游戏时长超过一个小时的人数.若该校高一一班有

45名学生，用X表示回答问题一的人数，则X的数学期望为；若该校的所有调查问卷中，画

和画“x”的比例为7:2,则可估计该校学生玩游戏时长超过一个小时的人数为.

【答案】25450

【分析】根据给定的条件，求出回答问题一的概率，再利用二项分布的期望公式计算作答；根据题

意，利用条件概率公式的全概率公式计算玩游戏时长超过一个小时的概率作答.

【详解】依题意，每次摸到白球的概率为:1，摸到红球的概率为彳2，

Jɔ

11225

两次摸到的球颜色相同的概率

33339

于是回答问题一的人数X~5(45,1),所以X的数学期望为E(X)=45x∙∣=25；

用A表示“回答问题一”，8表示“回答问题二"，C表示“在问卷中画x”，

则有P(4)=∙∣,P(B)=I-P(m=g,尸(4)尸(CM)=P(ZC)=JxJ=：,因为P(C)=〈，

9y3399

2141

由全概率公式P(C)=尸(4)P(Cl4)+P(B)P(Cl5),^-=---P(C∖B)解得尸(Cl8)=:，

99+994

所以估计该校学生玩游戏时长超过一个小时的人数为1800χ!=450.

4

故答案为：25；450

五、解答题

17.全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，强国必先强农，农强方能国

强.某市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地2000户农户家庭年收入X(单位：万元)进行调

查，并绘制得到如下图所示的频率分布直方图.

，濒率/组距

0.3--.............................

0.2----------------η----------------

0.15.....................

0∙1Γ^Γ∏^^TTH

0、4.55.56%7：58.59.513.5Xt万元)

(1)求这2000户农户家庭年收入的样本平均数亍和样本方差S?(同一组的数据用该组区间中点值代

表).

2

(2)由直方图可认为农户家庭年收入X近似服从正态分布NJ。?)，其中〃近似为样本平均数下，σ

近似为样本方差J.

①估计这2000户农户家庭年收入超过9.52万元(含9.52)的户数？(结果保留整数)

②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随

机抽取4户，即年收入不超过9.52万元的农户家庭数为J,求P(J≤3).(结果精确到0.001)

附：①后。1.52;②若X~N(〃,〃)，则P(〃-b<X<"+b)=0.6827,

P(〃-2<τ<X<〃+2σ^)=0.9545;©0,841354≈0.501.

2

【答案】⑴元=8,s=23

(2)①317户;②尸e≤3)=l-P(4=4)≈0.499

【分析】(1)由平均数和方差的计算公式求解即可；

(2)①根据正态分布的对称性得出尸(X≥9.52),进而得出所求户数；②年收入不超过9.52万元的

农户家庭数€服从二项分布，根据二项分布的概率公式求解即可.

【详解】(1)这2000户农户家庭年收入的样本平均数

%=5×0.l+6×0.15+7×0.2+8×0.3+9×0.2+10×0.1=8.

这2000户农户家庭年收入的样本方差

√=0.1×(-3)2+0.15×(-2)?+0.2×(-l)2+0.3×02+0.2×l2+0.1×22=2.：.

(2)①农户家庭年收入X近似服从正态分布N(8,2.3).

因为8+而”9.52，所以尸(X≥9.52)=0.5—PWb∖<μ+b)=05-0.34135=0.1586：

因为2000x0.15865=317.3*317,

所以这2000户农户家庭年收入超过9.52万元(含9.52)的户数为317.

②年收入不超过9.52万元的农户家庭数J服从二项分布J~8(4,0.84135).

所以尸(J≤3)=1-P&=4)=1-C：(0.84135)4#1-0.5Ol=0499.

18.已知(2x+l)"展开式的二项式系数和为α,(x+})"展开式的奇数项的二项式系数和为"且

a-b=32,则在，-二-)"的展开式中，求解下列问题：

Ix

(1)二项式系数最大的项；

(2)系数的绝对值最大的项.

【答案】(l)-∙∣χ'；

Q)%∙

【分析】(1)根据给定条件，用"表示出α,b并求出〃，再利用二项式系数的性质求解作答.

(2)由(1)的结论，求出二项式展开式的通项，再列出不等式即可求解作答.

【详解】(1)依题意，a=2n,b=2n-',于是2"-2"T=32,即2"∣=32,解得〃=6,

所以(/-ɪ)6的展开式中第4项的二项式系数最大，

ZX

即7；=《，)3(_；)3=一：/

2x2

(2)由⑴知，，一：)6展开式的通项公式为7；5=《/6y_:>=(_与鹿产*,正斥6,

2x2x2

(1)*以>(1)Λ-1CT

设第〃+1项的系数的绝对值最大，因此,1,

(9CNw产C俨

I-6!6!

------------≥2--------------------

kH6-kY仅一1)∣(7—47

整理得J:,m-≤k≤-,而AreN,则4=2,即系数的绝对值最大的项

C6!、6!33

Z-------------N------------------

⅛!(6-⅛)!(A+l)!(5-⅛)!

是第3项，

所以系数的绝对值最大的项为4=(-g)2C36=,l

19.第十四届湿地公约缔约方大会2022年11月5日至13日在湖北武汉举办，承办此次大会，有助

于进一步展示中国促进经济社会与环境协调发展的负责任大国形象，是强化“一带一路'‘国家生态交

流与合作、增强中国在广大发展中国家凝聚力的重要契机.国内某企业以此为契机，研发了一款环

保产品，为保证成本，每件产品售价不低于43元，经调研，产品售价X(单位：元/件)与月销售量

ʃ(单位：万件)等情况如下表所示：

售价X(元/件)525048454443

月销售量ρ(万件)56781012

(1)求相关系数r(结果保留两位小数)，并说明是否可以用线性回归模型拟合沙与X的关系，(当

He[0.75,1],时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性.)(参考

数据：√34≈5.83)

(2)建立y关于X的经验回归方程，并估计当售价为46元/件时，该产品的月销售量约为多少？

X(χ,-χ)(z-y)

参考公式：对于一组数据(x,,χ)0=1,2,3,…,〃)，相关系数J=/,,T,其回归直

χ22

J∑(,-^)J∑(yi-y)

Vf=ιV/=I

⅛(x,.-x)(y,.-y)

线∕=6X+3的斜率和截距的最小二乘估计分别为：A=J-----------------，a=y-bχ.

E")?

z=l

【答案】(1)尸。-0.94,可以用线性回归模型拟合y与X的关系

(2)^=-γ∣x+∙^;86875件

IoIo

【分析】（1）由表中数据计算相关系数，从而作出判断；

（2）由最小二乘法得出N关于X的经验回归方程，进而估计当售价为46元/件时，该产品的月销售

里.

∙=52+5°+48+45+44+43=5+6+7+8+10+12=

【详解】（I）

66

6

Za-乃(M-力=-15-6-1+0-6-16=-44,

-x)2=√25+9+l+4+9+16=√64=8,

刃2=√9+4+l+0+4+16=√34,

则相关系数厂

8√342x5.83

因为M=0.94e[0.75,1],所以可以用线性回归模型拟合y与X的关系.

（2）设y关于X的经验回归方程为，=良+0.

Z(XDg.-力

-44Il

*="≡½--------------------α=8+ll×47=-

^64^16

ΣU-ɪ)^1616

/=1

如关于X的经验回归方程为一去+等

当x=46时，j=-H×46+η^-=8.6875（万件）.

故当售价为46元/件时，该产品的月销售量约为86875件.

20.为贯彻落实全民健身国家战略，增强全民自我健身意识，某社区组织开展“我运动，我健康，我

快乐”全民健身月活动，并在月末随机抽取了300名居民并统计其每天的平均锻炼时间，得到的数据

如下表，并将日均锻炼时间在[20,60]内的居民评为“阳光社员”.

日均锻炼时间（分钟）[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]

总人数156090754515

（1）请根据上表中的统计数据填写下面2x2列联表，并根据小概率值α=0.05的独立性检验，判断是

否能认为“该社区居民的日均锻炼时间与性别有关“；

居民评价

性别合计

非阳光社员阳光社员

男

女6090

合计

(2)从上述非阳光社员的居民中，按性别利用比例分配的分层随机抽样的方法抽取15名居民，再从这

15名居民中随机抽取4人，调查他们锻炼时间偏少的原因.记所抽取的4人中男性的人数为X,求

X的分布列和数学期望；

(3)将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市居民的情况.现在从该市的居民中抽取5名居民，

求其中恰有2名居民被评为“阳光社员”的概率；

n(ac∕-bc)^

参考公式:Z2其中“=α+b+c+d.

(α+6)(c+d)(α+c)(6+d)

参考数据：%”=3∙841.

【答案】(1)2x2列联表见解析，能认为“该社区居民的日均锻炼时间与性别有关”;

12

(2)分布列见解析，期望为?；

【分析】(1)完善2x2列联表，计算/的观测值，再与临界值表比对作答.

(2)利用分层抽样求出15人中男性、女性人数，再求出X的可能值，求出各个值对应的概率，列

出分布列求出期望作答.

(3)求出社区居民为阳光社员的频率，再利用二项分布求出概率作答.

【详解】(1)依题意，2/2列联表如下：

居民评价

性别合计

非阳光社员阳光社员

男45165210

女306090

合计75225300

所2*慧:荔R4—

所以，根据小概率值a=0.05的独立性检验，可以认为“该社区居民的日均锻炼时间与性别有关”.

⑵依题意，所抽取的15名居民中,男性为45，导9（名）,女性为30χ*6（名）,X所有可能取值为

0,l,2,3,41

"X=°)=*V(X=D=¾l=⅛P(X=2)=牛

P(¥=3)=等嚏,P(I)=*1

所以X的分布列为:

X01234

11236246

P

9191916565

…、Cl,12c36、24,612

E(X)=Ox—+Ix—÷2×—+3×—+4×—=—

91919165655

（3）设所抽取的5名居民中“阳光社员”的人数为V,由（1）知，表中社区居民为阳光社员的频率

2253

为而=“将频率视为概率，

'则PS=2)=/图4*荒

因此〃

所以5名居民中恰有2名居民被评为“阳光社员”的概率为翡45.

21.为庆祝第113个国际妇女节，某学校组织该校女教职工进行篮球投篮比赛，每名教师连续投篮

3次根据教师甲练习时的统计数据，该教师第一次投篮命中的概率为0.6,从第二次投篮开始，若前

一次投篮命中，则该次命中的概率为（）.8,否则，命中概率为0.6.

（1）求教师甲第二次投篮命中的概率;

（2）求教师甲在3次投篮中，命中的次数X