（江苏专用）高考数学总复习 第二篇 函数与基本初等函数《第4讲　函数的概念及其表示》理（含解析） 苏教版

A级基础达标演练(时间：45分钟满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．(2011·宿迁联考)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,x2，x＜0，))则f(f(－2))＝________.解析f(－2)＝4，f(f(－2))＝f(4)＝4.答案42．(2011·盐城检测)函数y＝eq\f(x2,x2＋1)(x∈R)的值域为________．解析y＝eq\f(x2,x2＋1)＝eq\f(x2＋1－1,x2＋1)＝1－eq\f(1,x2＋1)，又x2＋1≥1，所以0＜eq\f(1,x2＋1)≤1，所以y∈[0,1)．答案[0,1)3．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)xx≥0，,\f(1,x)x＜0，))若f(a)＝a，则实数a的值是________．解析当a≥0时，1－eq\f(1,2)a＝a，所以a＝eq\f(2,3).当a＜0时，eq\f(1,a)＝a，所以a＝－1.答案eq\f(2,3)或－14．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的序号有________．解析由映射的定义，要使函数在定义域上都有图象，并且一个x对应着一个y，据此排除①④，③中值域为{y|0≤y≤3}不合题意．答案②5．下列函数图象与函数y＝|x|图象相同的是________．①y＝eq\r(x2)；②y＝(eq\r(x))2；③y＝eq\f(x2,|x|)；④y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx≥0,－xx＜0)).解析①y＝eq\r(x2)＝|x|；②x≥0；③x≠0；④y＝|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx≥0，,－xx＜0.))答案①④6．已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)，则f(3)＝________.解析∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))2＋2，∴f(x)＝x2＋2(x∈R)，∴f(3)＝32＋2＝11.答案117．(2011·江苏卷)已知实数a≠0，函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋a，x＜1，,－x－2a，x≥1，))若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．解析当1－a＜1，即a＞0时，a＋1＞1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－eq\f(3,2)(舍去)．当1－a＞1，即a＜0时，a＋1＜1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1＋a)＋a＝－(1－a)－2a，解得a＝－eq\f(3,4).答案－eq\f(3,4)二、解答题(每小题15分，共45分)8．(2011·扬州中学冲刺)已知函数f(x)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,x)－a))的定义域为A，值域为B.(1)当a＝4时，求集合A；(2)当B＝R时，求实数a的取值范围．解(1)当a＝4时，由x＋eq\f(3,x)－4＝eq\f(x2－4x＋3,x)＝eq\f(x－1x－3,x)＞0，解得0＜x＜1或x＞3，故A＝{x|0＜x＜1或x＞3}．(2)若B＝R，只有u＝x＋eq\f(3,x)－a可取到一切正实数，则x＞0及umin≤0，∴umin＝2eq\r(3)－a≤0.解得a≥2eq\r(3).实数a的取值范围为[2eq\r(3)，＋∞)．9．(2011·南京外国语学校调研)已知函数f(x)＝eq\f(2a＋1,a)－eq\f(1,a2x)，常数a＞0.(1)设m·n＞0，证明：函数f(x)在[m，n]上单调递增；(2)设0＜m＜n且f(x)的定义域和值域都是[m，n]，求常数a的取值范围．(1)证明任取x1，x2∈[m，n]，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(1,a2)·eq\f(x1－x2,x1x2).因为x1＜x2，x1，x2∈[m，n]，所以x1x2＞0，即f(x1)＜f(x2)，故f(x)在[m，n]上单调递增．(2)解因为f(x)在[m，n]上单调递增，f(x)的定义域、值域都是[m，n]⇔f(m)＝m，f(n)＝n，即m，n是方程eq\f(2a＋1,a)－eq\f(1,a2x)＝x的两个不等的正根⇔a2x2－(2a2＋a)x＋1＝0有两个不等的正根．所以Δ＝(2a2＋a)2－4a2＞0，eq\f(2a2＋a,a2)＞0⇒a＞eq\f(1,2).即常数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).10．已知f(x)＝x2－1，g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x＞0，,2－x，x＜0.))(1)求f[g(2)]和g[f(2)]的值；(2)求f[g(x)]和g[f(x)]的表达式．解(1)由已知，g(2)＝1，f(2)＝3，∴f[g(2)]＝f(1)＝0，g[f(2)]＝g(3)＝2.(2)当x＞0时，g(x)＝x－1，当f[g(x)]＝(x－1)2－1＝x2－2x；当x＜0时，g(x)＝2－x，故f[g(x)]＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3；∴f[g(x)]＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x＞0，,x2－4x＋3，x＜0.))当x＞1或x＜－1时，f(x)＞0，故g[f(x)]＝f(x)－1＝x2－2；当－1＜x＜1时，f(x)＜0，故g[f(x)]＝2－f(x)＝3－x2.∴g[f(x)]＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2，x＞1或x＜－1，,3－x2，－1＜x＜1.))B级综合创新备选(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2011·江西卷改编)若f(x)＝eq\f(1,\r(log\f(1,2)2x＋1))，则f(x)的定义域为________．解析因为logeq\f(1,2)(2x＋1)＞0，所以0＜2x＋1＜1，解得－eq\f(1,2)＜x＜0.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))2．(2011·陕西卷改编)设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgx，x＞0，,x＋a2，x≤0，))若f(f(1))＝1，则a＝________.解析因为f(1)＝0，所以由f(0)＝a2＝1，得a＝±1.答案±13．(2011·天津卷改编)对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a－b≤1，,b，a－b＞1.))设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－1)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是________．解析当(x2－2)－(x－1)≤1时，－1≤x≤2，所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2，－1≤x≤2，,x－1，x＜－1或x＞2，))f(x)的图象如图所示．y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，即方程f(x)＝c恰有两个解，由图象可知当c∈(－2，－1]∪(1,2]时满足条件．答案(－2，－1]∪(1,2]4．(2011·扬州中学冲刺)对于使－x2＋2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做－x2＋2x的上确界，若a，b∈R＋，且a＋b＝1，则－eq\f(1,2a)－eq\f(2,b)的上确界为________．解析因为a，b∈R＋，a＋b＝1，所以eq\f(1,2a)＋eq\f(2,b)＝(a＋b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)＋\f(2,b)))＝eq\f(5,2)＋eq\f(2a,b)＋eq\f(b,2a)≥eq\f(5,2)＋2eq\r(\f(2a,b)·\f(b,2a))＝eq\f(5,2)＋2＝eq\f(9,2)，所以－eq\f(1,2a)－eq\f(2,b)≤－eq\f(9,2)，所以－eq\f(1,2a)－eq\f(2,b)的上确界为－eq\f(9,2).答案－eq\f(9,2)5．(2011·无锡模拟)设函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝eq\f(1,fx)，若f(1)＝－5，则f(f(5))的值为________．解析令x＝1，f(3)＝eq\f(1,f1)＝－eq\f(1,5).由f(x＋2)＝eq\f(1,fx)得f(x＋4)＝eq\f(1,fx＋2)＝f(x)，所以f(5)＝f(1)＝－5，则f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)＝eq\f(1,f－1＋2)＝eq\f(1,f1)＝－eq\f(1,5).答案－eq\f(1,5)6．设f(x)＝lgeq\f(2＋x,2－x)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)))的定义域为________．解析f(x)＝lgeq\f(2＋x,2－x)有意义，则eq\f(2＋x,2－x)＞0，即(x＋2)(x－2)＜0，∴－2＜x＜2.对feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)))有意义，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2＜\f(x,2)＜2，,－2＜\f(2,x)＜2))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4＜x＜4，,x＜－1或x＞1.))∴－4＜x＜－1，或1＜x＜4.答案(－4，－1)∪(1,4)二、解答题(每小题15分，共30分)7．(2011·常州市模拟)已知函数f(x)＝ax－2eq\r(4－ax)－1(a>0且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域、值域；(2)求实数a的取值范围，使得函数f(x)满足：当定义域为[1，＋∞)时，f(x)≥0恒成立．解(1)由4－ax≥0，即ax≤4，当0<a<1时，x≥loga4，当a>1时，x≤loga4，故f(x)的定义域为：当a>1时，为(－∞，loga4]，当0<a<1时，为[loga4，＋∞)．令t＝eq\r(4－ax)，则t∈[0,2)，所以y＝4－t2－2t－1＝4－(t＋1)2.当t∈[0,2)时，y＝4－(t＋1)2是减函数，所以函数的值域为(－5,3]．(2)由(1)知，若a>1，f(x)是增函数，当x∈[1，＋∞)时，f(x)≥f(1)＝a－2eq\r(4－a)－1，由于f(x)≥0恒成立，∴a－2eq\r(4－a)－1≥0，解得3≤a≤4.若0<a<1，f(x)在[1，＋∞)上是减函数，f(x)max＝a－1－2eq\r(4－a)<0，即f(x)≥0不成立．综上知，当3≤a≤4时，在[1，＋∞)上f(x)≥0恒成立．8．(2011·济南外国语学校质检)据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．解(1)由图象可知；当t＝4时，v＝3×4＝12，所以s＝eq\f(1,2)×4×12＝24.(2)当0≤t≤10时，s＝eq\f(1,2)·t·3t＝eq\f(3,2)t2当10＜t≤20时，s＝eq\f(1,2)×10×30＋30(t－10)＝30t－150；当20＜t≤35时，s＝eq\f(1,2)×10×30＋10×30＋(t－20)×30－eq\f(1,2)×(t－20)×2(