（江苏专用）高考数学总复习 第十二篇 系列4选考部分《第74讲　几何证明选讲》理（含解析） 苏教版

(时间：50分钟满分：80分)解答题(每小题10分，共80分)1．如图所示，在正方形ABCD中，O是AC与BD的交点，∠DAC的平分线AP交CD于点P，∠BDC的平分线DQ交AC于点Q.求证：eq\f(BD,DC)＝eq\f(AP,BQ).证明在△BQC和△DQC中，BC＝DC，CQ＝CQ，∠BCQ＝∠DCQ，所以△BQC≌△DQC，即BQ＝DQ.因为AP为∠DAC的平分线，DQ是∠BDC的平分线，所以∠QDC＝∠PAC，又∠DCQ＝∠ACP，所以△QDC∽△PAC，即eq\f(AC,DC)＝eq\f(AP,DQ)，又AC＝BD，BQ＝DQ，所以eq\f(BD,DC)＝eq\f(AP,BQ).2．如图，⊙O的两条弦AC，BD互相垂直，OE⊥AB，垂足为点E，求证：OE＝eq\f(1,2)CD.证明作直径AF，连接BF，CF，则∠ABF＝∠ACF＝90°.又OE⊥AB，O为AF的中点，则OE＝eq\f(1,2)BF.因为AC⊥BD，所以∠DBC＋∠ACB＝90°.又因为AF为直径，所以∠BAF＋∠BFA＝90°.因为∠AFB＝∠ACB，所以∠DBC＝∠BAF，即有CD＝BF.从而得OE＝eq\f(1,2)CD.3．(2011·盐城调研)过⊙O外一点P作⊙O的切线PA，切点为A，连结OP与⊙O交于点C，过点C作AP的垂线，垂足为D.若PA＝12cm，PC＝6cm，求CD的长．证明连结AO，PA为圆的切线，所以△PAO为直角三角形，则有122＋r2＝(r＋6)2，所以r＝9.又CD垂直于PA，于是eq\f(PC,PO)＝eq\f(CD,AO)，所以CD＝eq\f(18,5)cm.4．(2011·南京模拟)如图，AB为圆O的切线，A为切点，过线段AB上一点C作圆O的割线CED(点E在点C、D之间)，若∠ABE＝∠BDE，求证：C为线段AB的中点．证明在△BCE和△DCB中，因为∠BCE＝∠DCB，∠CBE＝∠CDB，所以△BCE∽△DCB.所以eq\f(BC,DC)＝eq\f(EC,BC)，即BC2＝EC·DC.因为直线AB、直线CED分别为⊙O的切线和割线，所以由切割线定理可知，CA2＝CE·CD.所以BC2＝CA2.所以BC＝CA，即C为线段AB的中点．5．(2011·南通调研)自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点，且∠BMP＝100°，∠BPC＝40°，求∠MPB的大小．证明因为MA为圆O的切线，所以MA2＝MB·MC.又M为PA的中点，所以MP2＝MB·MC.因为∠BMP＝∠PMC，所△BMP∽△PMC.于是∠MPB＝∠MCP.在△MCP中，由∠MPB＋∠MCP＋∠BPC＋∠BMP＝180°，得∠MPB＝20°.6．如图，已知圆上的弧Aeq\x\to(C)＝Beq\x\to(D)，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE·CD.证明(1)因为Aeq\x\to(C)＝Beq\x\to(D)，所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故eq\f(BC,BE)＝eq\f(CD,BC)，即BC2＝BE·CD.7．(2011·苏北四市调研)如图，过圆O外一点M作圆的切线，切点为A，过点A作AP⊥OM于点P.(1)求证：OM·OP＝OA2；(2)N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于点B，过点B的切线交直线ON于点K，求证：∠OKM＝90°.证明(1)因为MA是圆O的切线，所以OA⊥AM.又AP⊥OM，在Rt△OAM中，由射影定理，得OA2＝OM·OP.(2)因为BK是圆O的切线，BN⊥OK，同(1)，有OB2＝ON·OK.又OB＝OA，所以OP·OM＝ON·OK，即eq\f(ON,OP)＝eq\f(OM,OK)，又∠NOP＝∠MOK，所以△ONP∽△OMK，故∠OKM＝∠OPN＝90°.8．(2011·苏锡常镇扬五市调研)过圆O外一点A作圆O的两条切线AT、AS，切点分别为T、S，过点A作圆O的割线APN，证明：eq\f(AT2,AN2)＝eq\f(PT·PS,NT·NS).证明AT是圆O的切线，∠ATP＝∠ANT，又∠TAP＝∠NAT，所以△ATP∽△ANT.所以eq\f(AT,AN)＝eq\f(PT,TN).同理eq\f(AS,A