大学物理练习册含答案-稳恒磁场

磁感应强度

9-1如图9-1所示，一条无穷长教流20A的直导线在P点被折成120。的钝角，设d=2cm,求P点的磁感

应强度。

解：P点在OA延长线上，所以。4上的电流在P的磁感应强度为零。

作OB的垂线尸。，NOPQ=30°,OB上电流在尸点的磁感应强度大小

B=-^L=(sin',一sin△)=^(sin-+sin30o)

4πPQ2'4乃dcos3002

4乃XICT7X20(l+∣)=1.73×10^4Wb/m2,方向垂直于纸面向外。

4/rX0.02X

2

9-2半径为R的圆弧形导线与一直导线组成回路，回路中通有电流/,如图9-2所示，求弧心。点的磁感应

强度(图中φ为已知量)。

解：•••圆环电流在圆心处的磁场B="

2R

二圆弧ABC在。处的磁场3=必(生二2)方向垂直纸面向里

2R2乃

又直线电流的磁场B=必L(Sine,-sin8),.∙.直线AB在。处的磁场

47ra

6，=42[sin^—sin(—2)]=―婚—.2sin£=史一tg?方向垂直纸面向里

^4πa224；TRCoSg22兀R2

71t°s2^

弧心。处的磁场B=Bi+B,=-(2π-φ+2tg^

'4τrR2

9-3两根长直导线沿半径方向引到铁环上A、JB两点，并与很远的电源相连。如图9-3所示，求环中心的磁

感应强度。

解：设铁环被4、B两点分成两圆弧的弧长分别为I2,电阻分别为品、R2,电流分别为八、八。

由图知RI与R?并联，；.»■=&=红即I/1=八八_/ZX

Ii「α

人在O点的磁感应强度

〃0八Z_Ao∕∣∕∣

£)1—,1一方向垂直于纸面向外

2R2πR4万R2

图9・3

/2在O点的磁感应强度

D_Nohh

_^0/2/2方向垂直于纸面向内

^2R2兀R44R2

即跳、月2大小相等，方向相反。「・月O=A+月2=O

9-4一半径为R的薄圆盘，其中半径为/•的阴影部分均匀带正电，面电荷密度为+。，其余部分均匀带负电,

面电荷密度为r（见图94）。设此盘以角速度为。绕其轴线匀速转动时，圆盘中心。处的磁感应强度

为零，问R和r有什么关系？并求该系统的磁矩。

解：（1）取半径为/、宽为d/的圆环面元，所带电量dq=σds=σ-2πr'dr'

产生的电流dl^—dq

2π

.jμ.-①--σ∙2CτrrYdr，.,

dz

.dg7τ^o_2πμucoσdr

Zr'_2r'2

图

厂'<厂的部分产生的磁场9-4

&=∫Q3=j幺丝d/=必也方向水平向右

022

r<r'<R的部分产生的磁场

B=fd3=j维竺d/=维竺（/?一r）方向水平向左

Jj22

由题意Bo=B+-上=()即义丝(2r-R)=0,ΛR=Ir

2

(2)d/的磁距大小dPm=兀/di=ωσπr"dr'

,3,4

∕vr部分Pm+=ωσπ∖rdr=—ωσπf^方向水平向右

04

RI

,3,4

尸VkVH部分pm.=ωσπ∖rdr=—ωσπ(R-/)方向水平向左

r4

1117

44i44

.∙.P,n=pm+-pm-=-ωσπ(2r-/?)=-ωσπ{-R-R)=--ωσπR方向水平向左

44832

9-5氢原子处在正常态（基态）时，它的电子可看作是在半径为α=0∙53X∣08cm的轨道（称为玻尔轨道）

上作匀速圆周运动，若电子在轨道中心处产生的磁感应强度大小为12.5T,求（D电子运动的速度大

小？（2）该系统的磁矩。（电子的电荷电量e=1.6X10支）。

解：（1）作匀速圆周运动的电子，形成电流的电流强度为∕=H=e∙JL

∆r2πa

/在轨道中心处产生的磁感应强度B="=丛M

Ia4万/

4乃ʤ_4χ3.14χ(O.53xlθT°)2χl2∙5_22χio6rn-ι

79

NOe4×3.14×10^×1∙6×10^I…

一CV_eva_1.6×10^l9×2.2×106×0.53×10-10

(2)Pm=IS=大----πa2=9.33×W24A-2

2πa22m

磁:通量

9-6已知一均匀磁场的磁感应强度8=2T,方向沿X轴正方向，如图9-6所示，已知α8=cd=40cm,be=

αd=^=30cm,be=cf=30cmo求：（1）通过图中abed面的磁通量；（2）通过图中次近面的磁通量;

（3）通过图中次"面的磁通量。

解：（1）月垂直穿过平面Hcd

Φ,,,l=B-Sllhcd=-BSahcd=-2×0.4×0.3=-0.24Wb

负号表示月线穿入该面

o

(2)B平行于平面befc,:,中"]2=瓦MbefC=BScos90=0

图9-6

（3）穿入平面Med的磁力线数与穿出“欧/平面的磁力线数相同

・・・①”一①加=0.24Wb

9-7两平行长直导线相距d=40cm,每根导线载有等量同向电流/,如图9-7所示。求：（1）两导线所在平

面内，与左导线相距X（X在两导线之间）的一点P处的磁感应强度。（2）若∕=20A,通过图中斜线所

示面积的磁通量（rι=r3=10cm,∕=25cm）‹.

解：建立如图所示的坐标系

（1）左导线在P点的磁感应强度8=钮，方向垂直纸面向下

27ZX

右导线在P点的磁感应强度Bz=,方向垂直纸面向下

2τc(d—x)

.∙.8=B1+3,="d+—1一）,方向垂直纸面向下

rlπXd-X

（2）在X处取宽为Ck的面元dS=ldx设方向垂直纸面向下，其上磁通量

dφ=β∙dS———（—I-------）∙Zdx

2πXd-X

+

Γιr2j11

B=J瓦哈[^ɪ(-=-+-!—)√dx=2.2×I0^6Wb

J2πXd-X

ri

安培环路定律

9-8如图9-8所示的导体圆管，内、外半径分别为。和从导体内载有电流/,设电流/均匀分布在导体圆

管的横截面上，求：（1）磁感应强度的分布；（2）通过每米导体圆管S平面内（阴影部分）的磁感应通

量。

解：（1）作半径为八圆心在轴线上的圆为积分回路，由安培环路定律

*

r<a：jβl∙dl=B↑∙2πr-0,..A=0

a<r<b:&∙2乃r=∕∕Z,=—~~—∙^(2-√)

0兀彷-a)r

：.B，=〃。/"一"?,方向与/满足右手螺旋法则

^2乃r(b--a)

r>b∙.Bs，2兀r=μ(J,:.B、=丛'—，方向与/满足右手螺旋法则

2乃r

(2)取面元dS=ldr=dr

"甘-需"

9-9在半径为R的无限长圆柱形导体内部挖去一半径为,•的无限长圆柱体，两柱体的轴线平行，相距为d,

如图9-9所示。该导体中通有电流/,且/均匀分布在横截面上。求：(1)圆柱导体轴线上的磁感应强

度；(2)空心部分轴线上的磁感应强度。

解：填补法。设在半径为r的空间中通有等量而反向的电流，其电流密度与导体中相同

(1)圆柱导体轴线的磁场由半径为r的无限长圆柱体中电流产生

r_-IZA)I/

••・，瓦∙d∕=β∙2W=∕∕∕,=∕z∙—-―-∙π~，_J-

JL100膜K-r)r2M(/?2一产)

(2)空心部分轴线上的磁场由半径为R的无限长圆柱体中电流产生

fB2d/=β2∙2W=χz0∕2='B2=-√2~Ξ7

{万(&-/)2π(/?--?)

9-10如图9-10所示，两无穷大平行平面上都有均匀分布的面电流，面电流密度分别为彳和i2,两电流密度

方向平行。求：(1)两面之间的磁感应强度；(2)两面之外空间的磁感应强度。

解：无穷大板的磁感应强度大小B=",建立如图所示坐标系

2

(1)两板之间，/*，Bi=

•••B=Bi+B2=^(iι-i2)ex

(2)在右板之外时,看I='叫，艮="∖，互=A+月2=+，’2)&

瓦=一「^^'∙'∙=B∖+B2~~~(i∖+i2)e

在左板之外时,A=号Xx

9-11如图9-11所示，一均匀密绕的环形螺线管，匝数M通有电流/,横截面为矩形，圆环内、外半径分

别为Rl和R2。求：（1）环形螺线管内外的磁场分布：（2）环形螺线管横截面的磁通量。

解：（1）磁场分布为以环轴为圆心的一圈圈圆。取一月线为积分回路，方向与月相同。

山安培环路定律，环管内磁场满足

BdT=B-2πr^juuNI,得8=色”

2πr

环管外有B∙2πr=4即B=O

（2）在横截面上取一宽度为dr的长条面元，磁通量为

5,δd,cμ0NIAoNIb+QrNONIb、R,

d①,"=8∙dS=8dS=t2-----bdr,:.Φ——一——In」

2πrm2πJr2万&

Λ∣

磁场对电流的作用（安培力）

9-12半径为R的平面圆形线圈中载有自流1,若线圈置于一个均匀磁场月中，均匀磁场方向与线圈平面

垂直，如图9-12,则（1）线圈上单位长度的电流元所受磁场力为多少？（2）左半圆受力如何？（3）

整个圆形线圈又如何？

解：（1）任取一电流元Idl,所受磁场力dF=IdIXB

大小dF=IBdl方向指向圆心

（2）由对称性可知，左半圆受力方向水平向右

2

F左=[dFcosa=∫IB∙Rda∙cosa=aIBR

π

^2^

（3）右半圆受力水平向左，大小与左半圆相同，所以整个圆形线圈受力为零。

9-13半径为R的平面圆形线圈中载有自流/,一载流/'的无限长直导线通过圆形线圈的圆心放置，并和圆

形线圈共面（相互绝缘），如图9-13所示，则圆形线圈左半圆所受磁力如何？整个圆形线圈所受磁力

又如何？

解：（1）如图在左半圆上任取一电流元/R,受力大小

dF=IBdl=1•—维——Rda="L四_

2πRcosar∑πcosa

由对称性可知，左半圆受磁场力方向水平向左

π

.*.F左=j"cosα="(2∫da=-μjΓ

2»_£2

~2

（2）右半圆受磁力方向水平向左，且与尸左相等，.I尸=2/左=〃o〃'

9-14一无限长薄金属板，宽为4,通有电流4,其旁有一矩形线圈ABC/）,通有电流上，线圈与金属板共

面，如图9-14所示。求：（1）人在AB和C。处产生的磁感应强度；（2）薄金属板对AB和CD边的作

用力。

解：建立如图所示坐标系

（1）在金属板上X处取一宽为dx的面长条，其中E

di=-dx

a

dl在AB处的磁感应强度大小

dB*二小，-方向垂直纸面向下

图9-14

2π（a+b-x）

金属板上所有面长条在AB处产生的磁场方向相同

LiIi?dxLiI↑a-∖-b、人工士“▼

∙*∙BAB-∖fd1B=-nʃ--;--ɪ——ciI1n---方向垂直纸面向下

ABLπaoa+b-x2πab

j

同理可得JBs=⅛nL方向垂直纸面向下

2πah+c

-,7NOhl2[cι+bfμ^l∖l∕,cι+b.

(2)Far=FIdl×RAR=a-----In-------Iah=-.........In--------1

AB2τrciUABLTlClb

同理2第⅛啜手

磁力矩

9-15在垂直于通有电流∕∣的长直导线平面内有一扇形载流线圈HCd,半径分别为以和&，对长直导线张

角为二,线圈中通有电流b如图所示。求：（1）线圈各边所受的力；（2）线圈所受的力矩。

,

解：（1）从和面上电流元方向与B同向..ρhc=ρda=O

在。。上距//为，•处取电流元八由，受力dF=l∕lxB

/4/_L8,.∙.dF=∕√∕∕∙B=幺W匹dr,方向垂直于纸面向外

2πr

FM=J"=2⅛∆hf如=Zf⅛m旦

2乃Rr2乃Rl

同理Em=幺迎2In心,方向垂直于纸面向内

2兀R

（2）在距//为r处取一宽为dr的面扇形，由扇形面积S=—r2,OC

2

.*.dS-ardr

磁矩为dp,“=l∕s=I"rdr方向垂直于纸面向下

磁力矩大小为dM=dpmB=imdr∙幺曲=dr

2πrrLπ

：.V=吗史f办=绰丝（R2-吊）方向向右

2TTRlLTl

9-16如图9-16所示.一矩形载流线圈由20匝相互绝缘的细导线绕成，可绕y轴转动，线圈中载有电流/=

0.10A,放在磁感应强度B=0.50T的均匀磁场中，月的方向平行于X轴，求维持线圈在图示位置时的

力矩。

解：矩形截流平面线圈的磁矩大小为Pm=NIS,所受磁力矩大小为

3

M=pm-BsinθNISBsin60°=20×0.1×0.1×0.05×0.5×∙γ=4.3×10^(N∙m)

方向沿y负向

.∙-维持线圈在图示位置所需力矩M外=4.3×10'3ΛN∙m）

图9-16

9-17一半径为R的带电薄圆盘，电荷面密度为b,放在均匀磁场月中，月的方向与盘面平行，如图9-17

所示。若圆盘绕其轴线以角速度。转动，试求：（1）圆盘的磁矩；（2）场作用于圆盘的磁力矩。

解：（1）取半径为r,宽为力•的圆环，电量dq=σ-2πrdr

转动形成电流dl=-dq=ωσrdr

2π

其磁距clP=πr'dl=πωσf'dr

m图9-17

d

Pm=JPm=~,方向沿轴线向上

y

（2）Pm所受磁力矩大小dM=∖dpm×B∖=dpm-B=πωσBrdr方向垂直纸面向里

R1

34

M-∖dM=∫πωσBrdr=—πωσRB方向垂直纸面向里

04

磁场对运动电荷的作用

9-18两个正的点电荷外相距为d,并排平行运动，速度为V。求它们之间的相互作用力，这个力是斥力还

是吸引力？

解：如图所示，上电荷q在下电荷q处产生的磁感应强度为B=区方向垂直纸面向里

4〃d

下电荷受磁力大小Fn,=qvB=幽。方向指向上电荷q,即相互吸引

4M

下电荷受电场力大小FF=」方向背向上电荷q,即相互排斥

4πε0d-

丝=—5--y=4>b相互排斥。

FB£。NOvV

9/9一电子的动能为IOeV,在垂直于均匀磁场的平面内作圆周运动。巳知磁场B=LOG,电子电荷为-e

=1.6×1019C,质量m=9.1Xl（P∣kg°求：（1）电子的轨道半径R；（2）电子的回旋周期T：（3）沿磁

场方向观察，电子是顺时针方向还是逆时针方向回旋？

.∙.v=(W

5/、12

解：(1)*.,Ek=，

m

mv(2EM%(2xlθxl.6xlθ"9χ9.iχi0-3∣)%

轨道半径=10.67cm

eB1.6×10^l9×l×10^4

⑵ɪ,_2τrR_2ττm_2×3.14×9.1×10-31

=3.6×iθ^7s

veB1.6×10'l9×l×10-4

(3)VF1=-ev×B,二顺时针回旋

9-20一块样品如图9-19所示，已知它的横截面积为S,宽为w,厚为4,载有电流/,外磁场月垂直于电

流（图中A垂直于纸面向外）。设单位体积中有〃个载流子，每个载流子的电荷为q,平均定向速率为

Vo（1）证明：样品中存在一个大小为E=话的电场，并指出巨的方向：（2）上、下两边a、b的电势

差U,哪边电势高？（3）霍耳常数定义为R"=]9，证明：RH=—o（注意讨论q为正和负的情

nq

况）

解：（1）在平衡时，运动电荷受洛仑兹力和霍尔电场的作用

⑥R/

洛仑兹力FL=QV×B方向竖直向上

即a边积累正电荷，b边积累负电荷

所以霍尔电场由a边指向b边b

图9-20

,,

.∙qv×B+qEH,..Ew=-v×B,大小EH=

b一〃__

⑵U,,b=J“∙di=J(7xB)∙dl=vBda边电势高

由霍尔常数定义EH=RH半即RH弓=VB

ɔɔ

vSvS1

得证。

■"R"=7=何=•'

磁力的功

9-21题9-15中，若线圈在磁力作用下转到平衡位置，求磁场所做的功。

解：开始时磁通量为：必=8SeOSe=；BS,平衡位置时：H=BS

：.A=/A0=/(力-必)=；侬=；X0.1X0.5X0.1X0.05=1.25×1O^4J

9-22半径R=O.Im的半圆形闭合线圈，载有电流∕=10A,放在B=0.5T的均匀磁场中，磁场方向与线圈面

平行，如图9-22所示。求：（1）线圈所受磁力矩的大小和方向（以直径为转轴）；（2）若线圈受磁力

矩的作用转到线圈平面与磁场垂直的位置，则磁力矩作功

_-1一16一

,,1

解：(1).∙M=pιn×Bfpm=ISh=I∙-πR-n,..M=-IπRii×B

大小M=/J2β=ɪx3.14×10×(0.1)2×0.5=7.85×10-2N∙m

方向竖直向上

图9-2