（江苏专用）高三数学一轮总复习 第五章 平面向量与复数 第三节 平面向量的数量积与平面向量课时跟踪检测 文-人教高三数学试题

课时跟踪检测（二十七）平面向量的数量积与平面向量应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，且(a＋b)⊥(a－b)，则m的值是________．解析：a＋b＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m，－2－m)，∵(a＋b)⊥(a－b)，∴m(m＋2)－(m－4)(m＋2)＝0，∴m＝－2.答案：－22．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ为实数，(b＋λa)⊥c，则λ＝________.解析：b＋λa＝(1,0)＋λ(1,2)＝(1＋λ，2λ)，c＝(3,4)，又(b＋λa)⊥c，∴(b＋λa)·c＝0，即(1＋λ，2λ)·(3,4)＝3＋3λ＋8λ＝0，解得λ＝－eq\f(3,11).答案：－eq\f(3,11)3．在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝________.解析：依题意有a·b＋b·c＋c·a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(3,2).答案：－eq\f(3,2)4．(2016·太原模拟)已知向量a，b满足(2a－b)·(a＋b)＝6，且|a|＝2，|b|＝1，则a与b解析：∵(2a－b)·(a＋b)＝6，∴2a2＋a·b－b2＝6，又|a|＝2，|b|＝1，∴a·b＝－1，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝－eq\f(1,2)，∴a与b的夹角为eq\f(2π,3).答案：eq\f(2π,3)5．给出下列命题：①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④(a·b)·c＝a·(b·c)；⑤|a·b|≤a·b.其中正确命题的个数为________．解析：①②③显然正确；(a·b)·c与c共线，而a·(b·c)与a共线，故④错误；a·b是一个实数，应该有|a·b|≥a·b，故⑤错误．答案：3二保高考，全练题型做到高考达标1．(2016·常州调研)已知向量a＝(eq\r(3)，1)，b＝(0,1)，c＝(k，eq\r(3))，若a＋2b与c垂直，则k＝________.解析：因为a＋2b与c垂直，所以(a＋2b)·c＝0，即a·c＋2b·c＝0，所以eq\r(3)k＋eq\r(3)＋2eq\r(3)＝0，解得k＝－3.答案：－32．(2016·洛阳质检)已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角为________．解析：a·(b－a)＝a·b－a2＝2，所以a·b＝3，所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(3,1×6)＝eq\f(1,2)，所以〈a，b〉＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)3．(2015·盐城调研)平面四边形ABCD中，＋＝0，(－)·＝0，则四边形ABCD的形状是________．解析：因为＋＝0，所以＝－＝，所以四边形ABCD是平行四边形．又(－)·＝·＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．答案：菱形4．(2016·开封质检)如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠A＝60°，点M在AB边上，且AM＝eq\f(1,3)AB，则·等于________．解析：因为＝＋＝＋eq\f(1,3)，＝＋，所以·＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(1,3)))·(＋)＝||2＋eq\f(1,3)||2＋eq\f(4,3)·＝1＋eq\f(4,3)－eq\f(4,3)·＝eq\f(7,3)－eq\f(4,3)||·||·cos60°＝eq\f(7,3)－eq\f(4,3)×1×2×eq\f(1,2)＝1.答案：15．(2016·江苏太湖高级中学检测)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则·＝________.解析：由题意，得·＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋))＝－eq\f(1,4)||2＋eq\f(1,2)·－eq\f(1,2)·＋·＝－eq\f(1,4)×(eq\r(2))2＋eq\f(1,2)×eq\r(2)×1×cos135°－eq\f(1,2)×eq\r(2)×2×cos135°＋2×1×cos0°＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＋1＋2＝2.答案：26．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(1，－2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________.解析：由题意可得a·b＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c＝a－(a·b)b＝a＋6b＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c|＝eq\r(82＋－82)＝8eq\r(2).答案：8eq\r(2)7.(2015·湖南师大附中月考)如图所示，在等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝1，＝4，则·(－)＝________.解析：由已知得||＝eq\r(2)，||＝eq\f(\r(2),4)，则·(－)＝(＋)·＝·＋·＝eq\r(2)coseq\f(3π,4)＋eq\f(\r(2),4)×eq\r(2)＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)8．在△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1，＝x＋y，且x＋y＝1.若函数f(m)＝|－m|(m∈R)的最小值为eq\f(\r(3),2)，则||的最小值为________．解析：由＝x＋y，且x＋y＝1，可知A，O，B三点共线，所以||的最小值为AB边上的高，又AC＝BC＝1，即O为AB的中点，且函数f(m)＝|－m|的最小值为eq\f(\r(3),2)，即点A到BC边的距离为eq\f(\r(3),2).又AC＝1，所以∠ACB＝120°，从而可得||的最小值为eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)9．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．解：由已知得，a·b＝4×8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－16.(1)①∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝4eq\r(3).②∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，∴|4a－2b|＝16eq\r(3).(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0.∴k＝－7.即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．10．(2016·淮安调研)在平面直角坐标系中，已知点A(4,0)，B(t,2)，C(6，t)，t∈R，O为坐标原点．(1)若△ABC是直角三角形，求t的值；(2)若四边形ABCD是平行四边形，求||的最小值．解：(1)由题意得＝(t－4,2)，＝(2，t)，＝(6－t，t－2)．若∠A＝90°，则·＝0，即2(t－4)＋2t＝0，∴t＝2；若∠B＝90°，则·＝0，即(t－4)(6－t)＋2(t－2)＝0，∴t＝6±2eq\r(2)；若∠C＝90°，则·＝0，即2(6－t)＋t(t－2)＝0，无解．∴满足条件的t的值为2或6±2eq\r(2).(2)若四边形ABCD是平行四边形，则＝，设点D的坐标为(x，y)，则(x－4，y)＝(6－t，t－2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝10－t，,y＝t－2，))即D(10－t，t－2)，∴||＝eq\r(10－t2＋t－22)＝eq\r(2t2－24t＋104)，∴当t＝6时，||取得最小值4eq\r(2).三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是________．解析：∵a，b是单位向量，∴|a|＝|b|＝1.又a·b＝0，∴|a＋b|＝eq\r(2)，|c－a－b|2＝c2－2c·(a＋b)＋2a·b＋a2＋b2＝1，∴2c·(a＋b)＝c2＋1，∴c2＋1＝2eq\r(2)|c|cosθ(θ是c与a＋b的夹角)．又－1≤cosθ≤1，∴1≤c2＋1≤2eq\r(2)|c|，∴c2－2eq\r(2)|c|＋1≤0，∴eq\r(2)－1≤|c|≤eq\r(2)＋1.答案：[eq\r(2)－1，eq\r(2)＋1]2．已知点O为△ABC所在平面内一点，且2＋2＝2＋2＝2＋2，则点O一定为△ABC的________(填“重心”“垂心”“外心”“内心”中的一个)．解析：∵2＋2＝2＋2，∴2－2＝2－2，∴(－)·(＋)＝(＋)·(－)，∴·(＋)＝·(－)，∴·(＋－＋)＝0，∴·(＋＋)＝0，∴·＝0，∴⊥.同理可得，⊥，⊥，∴O为△ABC的垂心．答案：垂心3．已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，c＝a＋λb(λ∈R)．(1)当λ取何值时，|c|最小？此时c与b的位置关系如何？(2)当λ取何值时，c与a的夹角最小？此时c与a的位置关系如何？解：(1)∵c＝a＋λb＝(1,2)＋λ(－3,4)＝(1－3λ，2＋4λ)，∴|c|2＝(1－3λ)2＋(2＋4λ)2＝5＋10λ＋25λ2＝25eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,5)))2＋4，∴当λ＝－eq\f(1,5)时，|c|最小，此时c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(6,5))).又c·b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(6,5)))·(－3,4)＝eq\f(8,5)×(－3)＋eq\f(6,5)×4＝0，∴b⊥c.∴当λ＝－eq\f(1,5)时，|c|最小，此时b⊥c.(2)设c与a的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·c,|a|