（江苏专用）新高考数学一轮复习 第二章 函数 强化训练 函数的性质-人教高三数学试题

强化训练函数的性质1．下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是()A．f(x)＝eq\r(x) B．f(x)＝eq\f(1,x2)C．f(x)＝2x＋2－x D．f(x)＝－cosx答案B解析函数f(x)＝eq\f(1,x2)是偶函数，且在(1,2)内单调递减，符合题意．2．函数f(x)＝x＋eq\f(9,x)(x≠0)是()A．奇函数，且在(0,3)上是增函数B．奇函数，且在(0,3)上是减函数C．偶函数，且在(0,3)上是增函数D．偶函数，且在(0,3)上是减函数答案B解析因为f(－x)＝－x＋eq\f(9,－x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(9,x)))＝－f(x)，所以函数f(x)＝x＋eq\f(9,x)为奇函数．又f′(x)＝1－eq\f(9,x2)，在(0,3)上f′(x)<0恒成立，所以f(x)在(0,3)上是减函数．3．若函数f(x)＝ax2＋bx＋8(a≠0)是偶函数，则g(x)＝2ax3＋bx2＋9x是()A．奇函数 B．偶函数C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数答案A解析由f(x)是偶函数可得b＝0，∴g(x)＝2ax3＋9x，∴g(x)是奇函数．4．(2019·湖北武汉重点中学联考)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(1)＝－1，若f(2x－1)≥－1，则x的取值范围为()A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)C．[0,1] D．(－∞，0]∪[1，＋∞)答案C解析由题意，得f(x)在(－∞，0]上单调递增，且f(1)＝－1，所以f(2x－1)≥f(1)，则|2x－1|≤1，解得0≤x≤1.故选C.5．若定义在R上的奇函数f(x)满足对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝－f(x)成立，且f(1)＝8，则f(2019)，f(2020)，f(2021)的大小关系是()A．f(2019)<f(2020)<f(2021)B．f(2019)>f(2020)>f(2021)C．f(2020)>f(2019)>f(2021)D．f(2020)<f(2021)<f(2019)答案A解析因为定义在R上的奇函数f(x)满足对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝－f(x)成立，所以f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为4，且f(0)＝0，f(2)＝－f(0)＝0，f(3)＝－f(1)＝－8，所以f(2019)＝f(4×504＋3)＝f(3)＝－8，f(2020)＝f(4×505)＝f(0)＝0，f(2021)＝f(4×505＋1)＝f(1)＝8，即f(2019)<f(2020)<f(2021)．6．(2019·北京大兴区模拟)给出下列函数：①f(x)＝sinx；②f(x)＝tanx；③f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋2，x>1，,x，－1≤x≤1，,－x－2，x<－1；))④f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x>0，,－2－x，x<0.))则它们共同具有的性质是()A．周期性 B．偶函数C．奇函数 D．无最大值答案C解析f(x)＝sinx为奇函数，周期为2π且有最大值；f(x)＝tanx为奇函数且周期为π，但无最大值；作出f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋2，x>1，,x，－1≤x≤1，,－x－2，x<－1))的图象(图略)，由图象可知此函数为奇函数但无周期性和最大值；作出f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x>0，,－2－x，x<0))的图象(图略)，由图象可知此函数为奇函数但无周期性和最大值．所以这些函数共同具有的性质是奇函数．7．(多选)定义在R上的奇函数f

(x)为减函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f

(x)的图象重合，设a＞b＞0，则下列不等式中成立的是()A．f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)B．f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b)C．f(a)＋f(－b)＜g(b)－g(－a)D．f(a)＋f(－b)＞g(b)－g(－a)答案AC解析函数f(x)为R上的奇函数，且为单调减函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，由a＞b＞0，得f(a)＜f(b)＜0，f(a)＝g(a)，f(b)＝g(b)；对于A，f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)⇔f(b)＋f(a)－g(a)＋g(b)＝2f(b)＜0(因为f(a)＝g(a)在a＞0上成立)，所以A正确；对于B，f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b)⇔f(b)＋f(a)－g(a)＋g(b)＝2f(b)＞0，这与f(b)＜0矛盾，所以B错误；对于C，f(a)＋f(－b)＜g(b)－g(－a)⇔f(a)－f(b)－g(b)＋g(a)＝2[f(a)－f(b)]＜0，这与f(a)＜f(b)符合，所以C正确；对于D，f(a)＋f(－b)＞g(b)－g(－a)⇔f(a)－f(b)－g(b)＋g(a)＝2[f(a)－f(b)]＞0，这与f(a)＜f(b)矛盾，所以D错误．8．(多选)(2020·济南模拟)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则()A．f(x)为奇函数 B.f(x)为周期函数C．f(x＋3)为奇函数 D.f(x＋4)为偶函数答案ABC解析由f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数知函数f(x)的图象关于点(1,0)，(2,0)对称，所以f(x)＋f(2－x)＝0，f(x)＋f(4－x)＝0，所以f(2－x)＝f(4－x)，即f(x)＝f(x＋2)，所以f(x)是以2为周期的函数．所以函数f(x)的图象关于点(－3,0)，(－2,0)，(－1,0),(0,0)对称．9．(2019·衡水中学调研)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))，且f(3)＝3，则f(2022)＝________.答案3解析∵f(x)＝－f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))，∴f(x＋3)＝f

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))＋\f(3,2)))＝－f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))＝f(x)．∴f(x)是以3为周期的周期函数．则f(2022)＝f(673×3＋3)＝f(3)＝3.10．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋1)是偶函数，当x∈(2,4)时，f(x)＝|x－3|，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2020)＝________.答案0解析因为f(x)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(4)＝f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)．在f(x＋1)＝f(－x＋1)中，令x＝1，可得f(2)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0.所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2020)＝505[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＝0.11．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，求：(1)f(0)，f(2)，f(3)的值；(2)f(2021)＋f(－2022)的值．解(1)f(0)＝log21＝0，f(2)＝－f(0)＝0，f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1.(2)依题意得，当x≥0时，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即当x≥0时，f(x)是以4为周期的函数．因此，f(2021)＋f(－2022)＝f(2021)＋f(2022)＝f(1)＋f(2)．而f(2)＝0，f(1)＝log2(1＋1)＝1，故f(2021)＋f(－2022)＝1.12．已知g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，且满足g(x)－h(x)＝2x，若存在x∈[－1,1]，使得不等式m·g(x)＋h(x)≤0有解，求实数m的最大值．解因为g(x)－h(x)＝2x，①所以g(－x)－h(－x)＝2－x.又g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，所以g(x)＋h(x)＝2－x，②联立①②，得g(x)＝eq\f(2x＋2－x,2)，h(x)＝eq\f(2－x－2x,2).由m·g(x)＋h(x)≤0，得m≤eq\f(2x－2－x,2x＋2－x)＝eq\f(4x－1,4x＋1)＝1－eq\f(2,4x＋1).因为y＝1－eq\f(2,4x＋1)为增函数，所以当x∈[－1,1]时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,4x＋1)))max＝1－eq\f(2,4＋1)＝eq\f(3,5)，所以m≤eq\f(3,5)，即实数m的最大值为eq\f(3,5).13．(2020·福州模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝eq\f(x＋1,x)与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则eq\i\su(i＝1,m,)(xi＋yi)等于()A．0B．mC．2mD．4m答案B解析因为f(x)＋f(－x)＝2，y＝eq\f(x＋1,x)＝1＋eq\f(1,x).所以函数y＝f(x)与y＝eq\f(x＋1,x)的图象都关于点(0,1)对称，所以eq\i\su(i＝1,m,x)i＝0，eq\i\su(i＝1,m,y)i＝eq\f(m,2)×2＝m，故选B.14．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x－2，x≤0，,fx－2＋1，x>0，))则f(2019)＝________.答案1010解析当x>0时，f(x)＝f(x－2)＋1，则f(2019)＝f(2017)＋1＝f(2015)＋2＝…＝f(1)＋1009＝f(－1)＋1010,而f(－1)＝0，故f(2019)＝1010.15．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.答案－8解析因为定义在R上的奇函数满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－4)＝f(－x)．由f(x)为奇函数，所以函数图象关于直线x＝2对称，且f(0)＝0.由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函数的周期为8.又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以函数在区间[－2,0]上也是增函数，作出函数f(x)的大致图象如图所示，那么方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1<x2<x3<x4，由对称性可知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－8.16．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．解(1)因为对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数，证明如下：令x1＝x2＝－1，有