（江苏专用）新高考数学一轮复习 第七章 立体几何与空间向量 7.1 空间点、直线、平面之间的位置关系练习-人教高三数学试题

7.1空间点、直线、平面之间的位置关系1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为()A．4B．3C．2D．1答案A解析首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面．2．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.3．(2020·秦皇岛模拟)a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c答案C解析若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C.4.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是()A．直线AC B．直线ABC．直线CD D．直线BC答案C解析由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.5.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是()A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面答案A解析连结A1C1，AC(图略)，则A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1，∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．∴A，M，O三点共线．6．(2019·海南联考)在四棱锥P－ABCD中，所有侧棱长都为4eq\r(2)，底面是边长为2eq\r(6)的正方形，O是P在平面ABCD内的射影，M是PC的中点，则异面直线OP与BM所成角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案C解析如图，由题意可知O是正方形ABCD的中心，取N为OC的中点，连结MN，所以OP∥MN，则∠BMN是异面直线OP与BM所成的角．因为OP⊥平面ABCD，所以MN⊥平面ABCD，因为在四棱锥P－ABCD中，所有侧棱长都为4eq\r(2)，底面是边长为2eq\r(6)的正方形，所以OC＝2eq\r(3)，所以OP＝eq\r(32－12)＝2eq\r(5)，因此MN＝eq\r(5)，在Rt△BON中，BN＝eq\r(OB2＋ON2)＝eq\r(15)，∴tan∠BMN＝eq\f(BN,MN)＝eq\r(3)，∴∠BMN＝60°，则异面直线OP与BM所成的角为60°.故选C.7．(多选)如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，下列四个命题中，正确的命题是()A．BM与ED平行 B．CN与BE是异面直线C．CN与BM成60°角 D．DM与BN垂直答案CD解析由题意画出正方体的图形如图，显然AB不正确；∠ANC＝60°，即CN与BM成60°角，C正确；因为BC⊥DM，CN⊥DM，BC∩CN＝C，BC，CN⊂平面BCN，所以DM⊥平面BCN，又BN⊂平面BCN，所以DM⊥BN，所以D正确．故选CD.8．(多选)关于正方体ABCD－A1B1C1D1有如下四个说法，其中正确的说法是()A．若点P在直线BC1上运动时，三棱锥A－D1PC的体积不变B．若点P是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则P点的轨迹是直线A1D1C．若点P在线段BC1(含端点)上运动时，直线AP与DC所成角的范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))D．若点P在线段BC1(含端点)上运动时，直线AP与D1C所成的角一定是锐角答案AB解析对于A，由BC1∥AD1，可得BC1∥平面AD1C，则P到平面AD1C的距离不变，由△AD1C的面积为定值，可知点P在直线BC1上运动时，三棱锥A－D1PC的体积不变，故A正确；对于B，若点P是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则P点的轨迹是平面A1BCD1与平面A1B1C1D1的交线A1D1，故B正确；对于C，直线AP与DC所成角即为∠PAB，当P与C1重合时，∠PAB最大，最大值为arctan

eq\r(2)＜eq\f(π,3)，故C错误；对于D，当P与C1重合时，AP与D1C所成的角为eq\f(π,2)，故D错误．所以其中说法正确的是A，B.9．正方体AC1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有________条．答案6解析如图，在正方体AC1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有BB1，DD1，A1B1，A1D1，D1C1，B1C1，共6条．10．如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．答案eq\r(2)解析取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连结C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D垂直于圆柱下底面，所以C1D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝eq\r(2)AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为eq\r(2)，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为eq\r(2).11.如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．(1)证明假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．(2)解取CD的中点G，连结EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．又因为AC⊥BD，则FG⊥EG.在Rt△EGF中，由EG＝FG＝eq\f(1,2)AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.12.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：(1)三棱锥P－ABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．解(1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，三棱锥P－ABC的体积为V＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4\r(3),3).(2)如图，取PB的中点E，连结DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角．在△ADE中，DE＝2，AE＝eq\r(2)，AD＝2，cos∠ADE＝eq\f(AD2＋DE2－AE2,2×AD×DE)＝eq\f(22＋22－2,2×2×2)＝eq\f(3,4).故异面直线BC与AD所成角的余弦值为eq\f(3,4).13．(2019·湖南省长沙市湖南师范大学附属中学模拟)已知平面α∩平面β＝直线l，点A，C∈α，点B，D∈β，且A，B，C，D∉l，点M，N分别是线段AB，CD的中点，则下列说法正确的是()A．当|CD|＝2|AB|时，M，N不可能重合B．M，N可能重合，但此时直线AC与l不可能相交C．当直线AB，CD相交，且AC∥l时，BD可与l相交D．当直线AB，CD异面时，MN可能与l平行答案B解析A选项：当|CD|＝2|AB|时，若A，B，C，D四点共面且AC∥BD时，则M，N两点能重合，可知A错误；B选项：若M，N可能重合，则AC∥BD，故AC∥l，此时直线AC与直线l不可能相交，可知B正确；C选项：当AB与CD相交，直线AC∥l时，直线BD与l平行，可知C错误；D选项：当AB与CD是异面直线时，MN不可能与l平行，可知D错误．故选B.14．平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(1,3)答案A解析如图所示，设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，∵α∥平面CB1D1，则m1∥m，又∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m，同理可得CD1∥n.故m，n所成角的大小与B1D1，CD1所成角的大小相等，即∠CD1B1的大小．又∵B1C＝B1D1＝CD1(均为面对角线)，∴∠CD1B1＝eq\f(π,3)，得sin∠CD1B1＝eq\f(\r(3),2)，故选A.15.如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，ED∥PA，且PA＝eq\r(3)ED＝eq\r(3)AB，现将△CDE以直线DE为轴旋转一周后，则直线BP与动直线CE所成角的范围是________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(5π,12)))解析如图所示，将PB平移到EB1的位置，C1点在以D为圆心，半径为1的圆上运动．则∠B1EC1就是所求线线角，根据三角形中，大角对大边，EB1，EC1为定值，故最值由B1C1来确定，故当C1在C处线线角最小，在C2处线线角最大．由于PA＝eq\r(3)ED＝eq\r(3)AB，故∠PBA＝∠EB1D＝eq\f(π,3).而DE＝DC＝1，故∠ECD＝eq\f(π,4)，所以∠CEB1＝eq\f(π,3)－eq\f(π,4)＝eq\f(π,12).而∠EC2D＝∠ECD＝eq\f(π,4)，故∠B1EC2＝π－eq\f(π,4)－eq\f(π,3)＝eq\f(5π,12).所以所求线线角的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(5π,12))).16.如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2.(1)当点M在何位置时，BM∥平面AEF?(2)若BM∥平面AEF，判断BM与EF的位置关系，说明理由；并求BM与EF所成的角的余弦值．解(1)方法一如图所示，取AE的中点O，连结OF，过点O作OM⊥AC于点M.因为EC⊥AC，OM，EC⊂平面ACC1A1，所以OM∥EC.又因为EC＝2FB＝2，EC∥FB，所以OM∥FB且OM＝eq\f(1,2)EC＝FB，所以四边形OMBF为矩形，BM∥OF.因为OF⊂平面AEF，BM⊄平面AEF，故BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点．方法二如图所示，取EC的中点P，AC的中点Q，连结PQ，PB，BQ.因为EC＝2FB＝2，所以PE∥BF且PE＝BF，所以四边形PEFB为平行四边形，所以PB∥EF，PQ∥AE，又AE，EF⊂平面AEF，PQ，PB⊄平面AEF，所以PQ∥平面AFE，PB∥