2024年中考数学专题训练 专题02 中线四大模型在三角形中的应用（能力提升）（原卷版+解析）

专题02中线四大模型在三角形中的应用（能力提升）1．直角三角形中有两条边的长分别为4，8，则此直角三角形斜边上的中线长等于（）A．4 B．4 C．4或4 D．4或22．如图，点D是Rt△ABC的斜边BC的中点，点E、F分别在边AB、AC上，且BE＝BD＝CF，连接DE、DF，若DE＝7，DF＝10，则线段BE的长为．3．如图所示，已知四边形ABCD，R、P分别是DC、BC上的点，点E、F分别是AP、RP的中点，当点P在边BC上从点B向点C移动，且点R从点D向点C移动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减少 C．线段EF的长不变 D．△ABP和△CRP的面积和不变4．求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点O是AC的中点．求证：OB＝AC．证明：延长BO到D，使OD＝OB，连接AD、CD，中间的证明过程排乱了：①∵∠ABC＝90°，②∵OB＝OD，OA＝OC，③∴四边形ABCD是平行四边形，④∴四边形ABCD是矩形．∴AC＝BD，∴OB＝BD＝AC．则中间证明过程正确的顺序是（）A．①④②③ B．①③②④ C．②④①③ D．②③①④5．如图，AB为⊙O的直径，CA与⊙O相切于点A，BC交⊙O于点D，E是的中点，连接OE并延长交AC于点F，若BD＝CD，AB＝5，则AF的长为（）A． B． C． D．46．如图，将△ABC沿DE折叠，使点A与BC边的中点F重合，下列结论中：①EF∥AB且2EF＝AB；②∠BAF＝∠CAF；③S四边形ADEF＝AF•DE；④∠BDF+∠FEC＝2∠BAC，正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH，若BC＝EF＝4，CD＝CE＝2，则GH＝．8．如图，在△ABC中，延长CA到点D，使AD＝AC，点E是AB的中点，连接DE，并延长DE交BC于点F，已知BC＝4，则BF＝．9．如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，连接BD，△ABD的中线AE的延长线交BC于点F，∠FAC＝60°，若AD＝5，AB＝7，则EF的长为．10．如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．请根据上述分析写出详细的证明过程（只需写一种思路）．11．如图所示，D是△ABC边BC的中点，E是AD上一点，满足AE＝BD＝DC，FA＝FE．求∠ADC的度数．12．（1）如图1，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，AD平分∠BAC．求证：AD＝AC；（2）如图2，在△ABC中，点E在BC边上，中线BD与AE相交于点P，AP＝BC．求证：PE＝BE．13．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，再证明“△ADC≌△EDB”．（1）探究得出AD的取值范围是；（2）【问题解决】如图2，△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE＝4，且∠ADE＝90°，求AE的长．14．如图，BC为⊙O直径，AB切⊙O于B点，AC交⊙O于D点，E为AB中点．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠A＝30°，BC＝4，求阴影部分的面积．15．（1）方法回顾证明：三角形中位线定理．已知：如图1，DE是△ABC的中位线．求证：．证明：（2）问题解决：如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝3，DF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．16．如图1，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，AO＝CO，∠BCA＝∠CAD．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）如图2，E，F，G分别是BO，CO，AD的中点，连接EF，GE，GF，若BD＝2AB，BC＝15，AC＝16，求△EFG的周长．17．（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．18．我们定义：如图1，在△ABC中，把AC点绕点C顺时针旋转90°得到CA'，把BC绕点C逆时针旋转90°得到CB′，连接A′B′．我们称△A′B′C是△ABC的“旋补交差三角形”，连接AB′、A′B，我们将AB′、A′B所在直线的相交而成的角称之为△ABC“旋补交差角”，C点到A′B′中点E间的距离成为“旋转中距”．如图1，∠B′OB即为△ABC“旋补交差角”，CE即为△ABC“旋补中距”．（1）若已知图1中AB的长度等于4，当∠ACB＝90°，则△ABC“旋补交差角”∠B′OB＝90°，“旋补中距”CE长度＝2；（2）若图1中∠ACB的度数发生改变，则△ABC“旋补交差角”度数是否发生改变？请证明你的结论，并直接判断△ABC“旋补中距”是否也发生改变；（3）已知图2中△A′B′C是△ABC“旋补交差三角形”，AB的长度等于4，A′B′长度等于6，问OC是否存在最小值？如果存在，请求出具体的值，如果不存在，请说明理由．19．在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC，对角线AC、BD相交于点E，过点C作CF垂直于BD，垂足为F，且CF＝DF．（1）求证：△ACD∽△BCF；（2）如图2，连接AF，点P、M、N分别为线段AB、AF、DF的中点，连接PM、MN、PN．①求证：∠PMN＝135°；②若AD＝2，求△PMN的面积．专题02中线四大模型在三角形中的应用（能力提升）1．直角三角形中有两条边的长分别为4，8，则此直角三角形斜边上的中线长等于（）A．4 B．4 C．4或4 D．4或2【答案】D【解答】解：①当4和8均为直角边时，斜边＝4，则斜边上的中线＝2；②当4为直角边，8为斜边时，则斜边上的中线＝4．故选：D．2．如图，点D是Rt△ABC的斜边BC的中点，点E、F分别在边AB、AC上，且BE＝BD＝CF，连接DE、DF，若DE＝7，DF＝10，则线段BE的长为．【答案】13【解答】解：如图，延长FD至点P，使得DP＝DF，连接BP，EP，过点E作EQ⊥FD于点Q，在△BDP和△CDF中，，∴△BDP≌△CDF（SAS），∴BP＝CF，∠PBD＝∠C，∵∠C+∠ABC＝90°，∴∠PBD+∠ABC＝90°，即∠ABP＝90°，∵BE＝CF，∴BE＝BP，∴△BEP为等腰直角三角形，∴EP＝BE，∵∠ABC+∠C＝90°，BD＝BE，CD＝CF，∴∠BDE+∠CDF＝135°，∴∠EDQ＝45°，∵ED＝，∴EQ＝DQ＝7，∴EP＝＝，∴BE＝13．故答案为：13．3．如图所示，已知四边形ABCD，R、P分别是DC、BC上的点，点E、F分别是AP、RP的中点，当点P在边BC上从点B向点C移动，且点R从点D向点C移动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减少 C．线段EF的长不变 D．△ABP和△CRP的面积和不变【答案】A【解答】解：连接AR，∵E，F分别是AP，RP的中点，∴EF＝AR，∵当点P在BC上从点C向点B移动，点R从点D向点C移动时，AR的长度逐渐增大，∴线段EF的长逐渐增大．S△ABP+S△CRP＝BC•（AB+CR）．∵CR随着点R的运动而减小，∴△ABP和△CRP的面积和逐渐减小．观察选项，只有选项A符合题意．故选：A．4．求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点O是AC的中点．求证：OB＝AC．证明：延长BO到D，使OD＝OB，连接AD、CD，中间的证明过程排乱了：①∵∠ABC＝90°，②∵OB＝OD，OA＝OC，③∴四边形ABCD是平行四边形，④∴四边形ABCD是矩形．∴AC＝BD，∴OB＝BD＝AC．则中间证明过程正确的顺序是（）A．①④②③ B．①③②④ C．②④①③ D．②③①④【答案】D【解答】解：延长BO到D，使OD＝OB，连接AD、CD，∵OB＝OD，OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形．∴AC＝BD，∴OB＝BD＝AC．则中间证明过程正确的顺序是②③①④，故选：D．5．如图，AB为⊙O的直径，CA与⊙O相切于点A，BC交⊙O于点D，E是的中点，连接OE并延长交AC于点F，若BD＝CD，AB＝5，则AF的长为（）A． B． C． D．4【答案】A【解答】解：连接AD交OF于点G，∵E是的中点，∴OE⊥AD，∴∠AGO＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADB＝∠AGO＝90°，∴BC∥OF，∵OA＝OB，∴AF＝CF，∴OF是△ABC的中位线，∴OF＝BC，∵BD＝CD，∴BD＝BC，∵CA与⊙O相切于点A，∴∠CAB＝90°，∴∠CAB＝∠ADB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BDA∽△BAC，∴＝，∴BA2＝BD•BC，∴25＝BC2，∴BC＝10，∴OF＝BC＝5，∵OA＝AB＝2.5，∴AF＝＝＝2.5，故选：A．6．如图，将△ABC沿DE折叠，使点A与BC边的中点F重合，下列结论中：①EF∥AB且2EF＝AB；②∠BAF＝∠CAF；③S四边形ADEF＝AF•DE；④∠BDF+∠FEC＝2∠BAC，正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解答】解：设AF与DE相交于点G，由折叠得：∠DAE＝∠DFE，DE是AF的垂直平分线，AE＝EF，∵点F是BC的中点，点E不是AC的中点，∴EF不是△ABC的中位线，∴EF不平行于AB，2EF≠AB，故①不正确；∵AB≠AC，点F是BC的中点，∴∠BAF≠∠CAF，故②不正确；∵AF⊥DE，∴S四边形ADEF＝S△ADF+S△AEF＝AF•DG+AF•EG＝AF（DG+EG）＝AF•DE，故③正确；∵∠BDF是△ADF的一个外角，∴∠BDF＝∠DAF+∠AFD，∵∠CEF是△AEF的一个外角，∴∠CEF＝∠EAF+∠EFA，∴∠BDF+∠FEC＝∠DAF+∠AFD+∠EAF+∠EFA＝∠DAE+∠DFE＝2∠DAE，故④正确；∴上列结论中，正确的个数是2，故选：B．7．矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH，若BC＝EF＝4，CD＝CE＝2，则GH＝．【答案】【解答】解：如图，延长GH交AD于点P，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，∴∠ADC＝∠ADG＝∠CGF＝90°，AD＝BC＝4、GF＝CE＝2，∴AD∥GF，∴∠GFH＝∠PAH，又∵H是AF的中点，∴AH＝FH，在△APH和△FGH中，∵，∴△APH≌△FGH（ASA），∴AP＝GF＝2，PH＝HG＝PG，∵PD＝AD﹣AP＝2，GD＝GC﹣CD＝4﹣2＝2∴GP＝＝2∴GH＝GP＝故答案为：8．如图，在△ABC中，延长CA到点D，使AD＝AC，点E是AB的中点，连接DE，并延长DE交BC于点F，已知BC＝4，则BF＝．【答案】【解答】解：过点B作BG∥CD，交DF的延长线于点G，∴∠D＝∠G，∠DAE＝∠EBG，∴点E是AB的中点，∴AE＝BE，∴△ADE≌△BGE（AAS），∴AD＝BG，∵AD＝AC，∴AD＝AC＝BG，∴DC＝2BG，∵CD∥BG，∴∠C＝∠FBG，∵∠D＝∠G，∴△DCF∽△GBF，∴＝＝2，∴BF＝BC＝，故答案为：．9．如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，连接BD，△ABD的中线AE的延长线交BC于点F，∠FAC＝60°，若AD＝5，AB＝7，则EF的长为．【答案】【解答】解：延长AE至点G，使得AE＝EG，∵E是BD的中点，∴BE＝DE，在△ADE和△GBE中，，∴△ADE≌△GBE（SAS），∴AD＝GB＝5，∠G＝∠FAC＝60°，过点B作BH⊥GE于点H，在Rt△BGH中，∠GBH＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴GH＝＝，BH＝＝，在Rt△ABH中，AH＝＝，∴AG＝AH+GH＝8，∴AE＝GE＝4，过点D作DM∥EF，交BC于点M．∴，设EF＝x，则DM＝2x，∵DM∥EF，∴，∴AF＝7x，∴AE＝7x﹣x＝6x＝4，∴x＝，∴EF＝，故答案为：．10．如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．请根据上述分析写出详细的证明过程（只需写一种思路）．【解答】证明：方法一：如图1中，作BF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．∴∠F＝∠CGE＝90°，在△BFE和△CGE中，，∴△BFE≌△CGE．∴BF＝CG．在△ABF和△DCG中，，∴△ABF≌△DCG．∴AB＝CD．或方法二：如图2中，作CF∥AB，交DE的延长线于点F．∴∠F＝∠BAE．又∵∠ABE＝∠D，∴∠F＝∠D．∴CF＝CD．在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE．∴AB＝CF．∴AB＝CD．11．如图所示，D是△ABC边BC的中点，E是AD上一点，满足AE＝BD＝DC，FA＝FE．求∠ADC的度数．【解答】解：延长AD至G，使AD＝DG，连接BG，在DG上截取DH＝DC，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴AC＝BG，∠G＝∠CAD，∵FA＝FE，∴∠CAD＝∠AEF，∴∠G＝∠CAD＝∠AEF＝∠BED，∴BG＝BE＝AC，∵AE＝DC＝BD，∴AE+ED＝DH+ED，∴AD＝EH，在△DAC和△HEB中，，∴△DAC≌△HEB（SAS），∴CD＝BH，∴BD＝BH＝DH，∴△BDH为等边三角形，∴∠C＝∠BDH＝60°＝∠ADC．故答案为：60°．12．（1）如图1，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，AD平分∠BAC．求证：AD＝AC；（2）如图2，在△ABC中，点E在BC边上，中线BD与AE相交于点P，AP＝BC．求证：PE＝BE．【解答】证明：（1）在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，∴∠BAC＝180°﹣60°﹣80°＝40°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝BAC＝20°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°+20°＝80°，∵∠C＝80°，∴∠C＝∠ADC，∴AD＝AC；（2）过点A作AF∥BC交BD的延长线于点F，∴∠F＝∠DBC，∠FAD＝∠C，∵AD＝CD，∴△ADF≌△CDB（AAS），∴AF＝BC，∵AP＝BC，∴AP＝AF，∴∠APF＝∠F，∵∠APF＝∠BPE，∠F＝∠DBC，∴∠BPE＝∠PBE，∴PE＝BE．13．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，再证明“△ADC≌△EDB”．（1）探究得出AD的取值范围是；（2）【问题解决】如图2，△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE＝4，且∠ADE＝90°，求AE的长．【解答】解：（1）AD的取值范围是1＜AD＜7；故答案为：1＜AD＜7（2）延长AD交EC的延长线于F，∵AB⊥BC，EF⊥BC，∴∠ABD＝∠FCD，在△ABD和△FCD中，，∴△ABD≌△FCD（ASA）∴CF＝AB＝2，AD＝DF，∵∠ADE＝90°，∴AE＝EF，∵EF＝CE+CF＝CE+AB＝4+2＝6，∴AE＝614．如图，BC为⊙O直径，AB切⊙O于B点，AC交⊙O于D点，E为AB中点．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠A＝30°，BC＝4，求阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接OD，OE，∵AB切⊙O于B点，∴∠OBE＝90°，∵E为AB中点，O为BC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，∴∠BOE＝∠C，∠DOE＝∠CDO，∵OC＝OD，∴∠C＝∠CDO，∴∠BOE＝∠DOE，∵OB＝OD，OE＝OE，∴△BOE≌△DOE（SAS），∴∠ODE＝∠OBE＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为F，过点E作EG⊥AD，垂足为G，∵∠ABC＝90°，∠A＝30°，BC＝4，∴AB＝BC＝4，AC＝2BC＝8，∠C＝90°﹣∠A＝60°，∵OC＝OD，∴△COD是等边三角形，∴∠COD＝∠CDO＝60°，OC＝OD＝CD＝BC＝2，∴∠BOD＝180°﹣∠COD＝120°，AD＝AC﹣DC＝8﹣2＝6，∴OF＝OC•sin60°＝2×＝，∵∠ODE＝90°，∴∠ADE＝180°﹣∠ODE﹣∠CDO＝30°，∴∠A＝∠ADE＝30°，∴AE＝DE，∴AG＝DG＝AD＝3，∴GE＝AG•tan30°＝3×＝，∴阴影部分的面积＝△ABC的面积﹣△COD的面积﹣扇形BOD的面积﹣△DEA的面积＝AB•BC﹣CD•OF﹣﹣AD•EG＝×4×4﹣×2×﹣π﹣×6×＝4﹣π，∴阴影部分的面积为4﹣π．15．（1）方法回顾证明：三角形中位线定理．已知：如图1，DE是△ABC的中位线．求证：．证明：（2）问题解决：如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝3，DF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．【解答】（1）已知：如图1，DE是△ABC的中位线．求证：DE∥BC，DE＝BC，证明：过点C作CF∥BA交DE的延长线于点F，∴∠A＝∠ACF，∠F＝∠ADF，∵点E是AC的中点，∴AE＝EC，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴DE＝EF＝DF，AD＝CF，∵点D是AB的中点，∴AD＝DB，∴DB＝CF，∴四边形DBCF是平行四边形，∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥BC，DE＝BC，故答案为：DE∥BC，DE＝BC；（2）延长GE，CD交于点H，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠A＝∠ADH，∠AGE＝∠H，∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，∴△AGE≌△DHE（AAS），∴AG＝DH＝3，GE＝EH，∵DF＝4，∴FH＝DH+DF＝7，∵∠GEF＝90°，∴FE是GH的垂直平分线，∴GF＝FH＝7，∴GF的长为7．16．如图1，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，AO＝CO，∠BCA＝∠CAD．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）如图2，E，F，G分别是BO，CO，AD的中点，连接EF，GE，GF，若BD＝2AB，BC＝15，AC＝16，求△EFG的周长．【解答】（1）证明：∵∠BCA＝∠CAD，∴AD∥BC，在△AOD与△COB中，，∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：连接DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝15，AB＝CD，AD∥BC，BD＝2OD，OA＝OC＝AC＝8，∵BD＝2AB，∴AB＝OD，∴DO＝DC，∵点F是OC的中点，∴OF＝OC＝4，DF⊥OC，∴AF＝OA+OF＝12，在Rt△AFD中，DF＝＝＝9，∴点G是AD的中点，∠AFD＝90°，∴DG＝FG＝AD＝7.5，∵点E，点F分别是OB，OC的中点，∴EF是△OBC的中位线，∴EF＝BC＝7.5，EF∥BC，∴EF＝DG，EF∥AD，∴四边形GEFD是平行四边形，∴GE＝DF＝9，∴△EFG的周长＝GE+GF+EF＝9+7.5+7.5＝24，∴△EFG的周长为24．17．（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．【解答】解：（1）1＜AD＜5．∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝4，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜AE＜6+4，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5．证明：（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示．同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM＝CF，∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF．（3）如图③，延长AE，DF交于点G，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，在△ABE和△GCE中，CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，∴△ABE≌△GEC（AAS），∴CG＝AB，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG＝∠GAF，∴∠FAG＝∠G，∴AF＝GF，∵FG+CF＝CG，∴AF+CF＝AB．18．我们定义：如图1，在△ABC中，把AC点绕点C顺时针旋转90°得到CA'，把BC绕点C逆时针旋转90°得到CB′，连接A′B′．我们称△A′B′C是△ABC的“旋补交差三角形”，连接AB′、A′B，我们将AB′、A′B所在直线的相交而成的角称之为△ABC“旋补交差角”，C点到A′B′中点E间的距离成为“旋转中距”．如图1，∠B′OB即为△ABC“旋补交差角”，CE即为△ABC“旋补中距”．（1）若已知图1中AB的长度等于4，当∠ACB＝90°，则△ABC“旋补交差角”∠B′OB＝90°，“旋补中距”CE长度＝2；（2）若图1中∠ACB的度数发生改变，则△ABC“旋补交差角”度数是否发生改变？请证明你的结论，并直接判断△ABC“旋补中距”是否也发生改变；（3）已知图2中△A′B′C是△ABC“旋补交差三角形”，AB的长度等于4，A′B′长度等于6，问OC是否存在最小值？如果存在，请求出具体的值，如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图1，∵把AC点绕点C顺时针旋转90°得到CA'，把BC绕点C逆时针旋转90°得到CB′，∴∠ACA'＝90°＝∠BCB'，AC＝A'C，BC＝B'C，∵∠ACB＝90°，∴∠A'CB'＝∠ACB＝90°，∠ACB+∠ACA'＝180°，∠ACB+∠BCB'＝180°，∴点A，点C，点B'共线，点B，点C，点A'共线，∴AB′、A′B的交点O与点C重合，∴△ABC“旋补交差角”∠B′OB＝90°，∵AC＝A'C，∠A'CB'＝∠ACB＝90°，BC＝B'C，∴△ACB≌△A'CB'（SAS），∴AB＝A'B'＝4，∵点E是A'B'的中点，∠A'CB'＝90