第3课（B培优）数列（解析版）-【名校冲刺】2021-2022学年高二数学同步精讲教案（数列篇）（沪教版2020选择性必修第一册）

第3课：数列教学目标1、理解数列、递增递减数列概念，结合数列单调性解答相关最值项问题；2、能根据题意找出数列递推关系式，再求数列通项公式，能根据数列递推关系式的特点，选择合适的方法；3、掌握错位相减法、裂项相消法、分组求和和倒序相加法求数列前项和的方法，会结合通项公式特点判断用什么求和方法；重点1、等差数列、等比数列的求和公式2、数列中函数的思想3、错位相减法、裂项相消法、分组求求数列前项和的方法难点数列求通项、数列求和方法的灵活运用（一）知识梳理1、数列及其相关概念1）定义：按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做这个数列的项，数列中的每一项都和项的序数有关，各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…，第项，…注：数列与数集的区别：数集中的元素具有无序性和互异性，而数列的主要特征是有序性，而且数列的项可以重复出现。2）数列的一般形式可以写成：其中是数列的第项，是的序数，上面的数列可简单记作。3）函数思想：数列可以看成是定义在自然数集或其子集上的函数函数与数列的联系与区别一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是,因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即)，则图象呈上升趋势，即数列递增，即递增⇔对任意的都成立．类似地，有递减⇔对任意的都成立.2、数列的表示方法解析法、图像法、列举法、递推法.3、数列的分类有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列,摆动数列，常数数列；1.有穷数列:项数有限.2.无穷数列：项数无限.3.递增数列:对于任何,均有；其中严格递增数列为，对于任何,均有；4.递减数列:对于任何,均有；其中严格递减数列为，对于任何,均有.5.摆动数列:例如:-1,1,-1,1,-1,1,…….6.常数数列:对于任何,均有；例如:6,6,6,6,…….4、数列的通项公式定义：如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如数列1，1.4，1.41，1.414，….；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…；它的通项公式可以是，也可以是.例题精讲【例1】（1）下列叙述正确的是（）A．数列1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列B．数列0，1，2，3，…可以表示为{n}C．数列0，1，0，1，…是摆动列D．数列是严格递减数列【难度】★★【答案】C【解析】A由数列的概念可知数列1，3，5，7与7，5，3，1是不同的数列，故A错误；B因为首项是0，所以不能表示为{n}，故B错误；C根据常数列的概念可知数列0，1，0，1，…是摆动数列，故C正确；D由数列的通项an＝知，an＋1－an＝－＝>0，即数列{}是严格递增数列，故D不正确；故选：C．（2）对于无穷数列，给出下列命题：①若数列既是等差数列，又是等比数列，则数列是常数列．②若等差数列满足，则数列是常数列．③若等比数列满足，则数列是常数列．④若各项为正数的等比数列满足，则数列是常数列．其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【难度】★★★【答案】C【解析】①：若数列既是等差数列又是等比数列，若，则，故，而，所以数列为常数列且，正确；②：等差数列为无穷数列，若公差不为0，则要么递增要么递减，即无上界，要使等差数列满足，则数列是常数列，正确；③：若等比数列满足，如，所以数列不一定是常数列，错误；④：若各项为正数的等比数列满足，即，可得，，若，则无上界，故，进而数列是常数列，正确．故选：C．【例2】对任意的an∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1>an(n∈N*)，则函数y＝f(x)的图象可能是（）A．B．C．D．【难度】★★★【答案】A【解析】由题意，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}，满足an＋1>an，∴y＝f(x)在x∈(0,1)上的图象，任意一点(x,y)都满足y>x，结合图象，只有A满足，故选：A．【例3】已知数列{an}的前四项为1，0，1，0，则下列可作为数列{an}的通项公式的有（）①an＝[1＋(－1)n＋1]；②an＝[1＋(－1)n＋1]＋(n－1)(n－2)；③an＝sin2；④an＝；⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【难度】★★【答案】C【解析】当n＝1，2，3，4分别代入①②③④⑤的通项公式中，可知①③④符合，对于②当n＝3时不符合，对于⑤显然n＝1时就不符合，故可作为{an}通项公式的有3个．故选：C．【例4】写出下列数列的一个通项公式.（1），，，，…；（2）2，3，5，9，17，33，…；（3），，，，，…；（4）1，，2，，…；（5），，，，….【难度】★★★【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.【解析】（1）∵第项的符号为，分子都是1，分母是，∴.（2）∵，，，，，，…，∴.（3）∵，，，，…，∴.（4）∵，，，，…，∴.（5）∵，，，，…，∴.巩固训练1、若数列,其前n项的积为，则_____________.【答案】【解析】设数列的前项的积为，则.当时，；当时，.满足.综上所述，.故答案为：.2、已知数列满足，，则___________.【答案】【解析】解：因为，所以，则，，，所以数列是以3为周期的周期数列，所以.故答案为：.3、已知数列满足若，则________.【答案】【解析】因为，所以，，，…故数列是以为周期的周期数列，又知，所以.故答案为：.4、无穷数列由k个不同的数组成，前n项和为，若对，则k的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】只需考虑数列的前几项有多少个互不相同的数即可，若，则，当，则，此时的值必与前面的某个值相同；当，则，若，则，此时的值必与前面的某个值相同；若，则，此时的值必与前面的某个值相同；综上，当时，，同理，当时，，所以.故选：B（二）单调性与最值项问题知识梳理1、判断数列单调性：数列是严格递增数列；；数列是严格递减数列；严格递增数列严格递减数列常数列严格递减数列严格递增数列常数列2、数列单调性的应用：求数列最大项和最小项方法一：利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项。方法二：设是最大项，则有对任意的且均成立，解不等式组即可。方法三：利用做差（或作商），研究相邻项间的关系，进而求得数列的最大项或最小项。例题精讲【例5】已知数列的通项公式为，若数列是严格单调递增数列，则实数的取值范围是________。【难度】★★★【答案】【解析】由题意，得，即，化简理得，又，所当时，式子有最小值3，则。【例6】（1）已知数列，则数列中的最小项是第_________项.【难度】★★★【答案】5【解析】由于，所以当时，，且严格单调递减，当时，，且严格单调递减.所以当时，取得最小值.故答案为：。（2）在数列中，，则（）A．25 B．32 C．62 D．72【难度】★★★【答案】B【解析】解：令函数，由对勾函数的性质得函数在上严格单调递减，在上严格单调递增，所以当时，是严格单调递减数列，当时，是严格单调递增数列，所以；所以，故选：B【例7】（1）已知为数列的前项和，若，且对任意，都有，则数列的最大值为_____________．【难度】★★★【答案】由解出，即可求解【解析】对任意，都有，令，则，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，，，令，由得：，解得，又，所以，则数列的最大值为，故答案为：（2）数列满足：，，，.若，对，不等式恒成立，则实数的最大值为___________.【难度】★★★【答案】【解析】由，可得，∴数列是首项，公差的等差数列，则，∴，由已知有：，当时，显然符合题意，当时，由已知得：.设，则，∴数列严格单调递增，则的最小值为，故只需.故答案为：.巩固训练1、已知数列的通项公式为，则“”是“数列严格单调递增”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：数列单调递增，可得：，化为：.∴.由“”可得：，可得：.∴“”是“数列单调递增”的充要条件，故选：C.2、已知函数，数列满足，且数列是严格递增数列，则实数的取值范围是．【答案】【解析】因为，所以依题意可得.3、已知数列的通项公式（）且().(1)求数列的通项公式；(2)求数列中最大值的项和最小值的项.【答案】(1)；(2)最大值项为，最小值项为.【解析】(1)∵，∴.当时，，∵，∴；当时，，∴，显然当时，不成立.综上，.(2)当时，，当时，.∵在时为增函数，∴必有.由，可知.∵，∴数列的最大值项为，最小值项为.（三）递推公式与求数列通项公式知识梳理递推公式：数列中的任一项可用前一项（或前几项）通过一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的一个递推公式．例题精讲【例8】（1）按照如下规则构造数表：第一行是：2；第二行是：；即3，5，第三行是：即4，6，6，8；（即从第二行起将上一行的数的每一项各项加1写出，再各项加3写出）2354668577979911……若第行所有的项的和为．（1）求；（2）试求与的递推关系，并据此求出数列的通项公式；【难度】★★★【答案】（1）；（2），；【解析】（1）第5行的16个数为688108101012810101210121214,所以．（2）由题意，第行共有项，于是有等式两边同除，得，即为等差数列，公差为，首项为所以，即．（2）“绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共19大报告，为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第年绿洲面积为万平方公里，求：（1）第年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系；（2）通项公式；（3）至少经过几年，绿洲面积可超过60%？（）【难度】★★★【答案】（1）；（2）；（3）至少6年.【解析】解：（1）由题意得，所以；（2）由（1）得，∴，又，所以，∴是以为首项，为公比的等比数列，∴，∴；（3）由（2）得，∴，两边取常用对数得：，所以，∴．∴至少经过6年，绿洲面积可超过60%．【例9】已知数列中，，，求通项公式．【难度】★★★【答案】【解析】解：由，得，则．当时上式显然成立．．【例10】数列满足，，求数列的通项公式．【难度】★★★【答案】【解析】解：①，时，②①②可得，，，数列奇数项组成以0为首项，2为公差的等差数列；偶数项组成以2为首项，2为公差的等差数列，故答案为：．【例11】（1）数列中，，，求通项．【难度】★★★【答案】【解析】解：根据题意，，则有，即有又由，则，则数列是以为首项，公比为3的等比数列，则有，则，则数列的通项公式为：．（2）已知数列满足，．求数列的通项公式是___________。【难度】★★★【答案】【解析】（1）解：由数列满足，．取倒数可得：，化为，数列是等比数列，首项为．．．巩固训练1、数列1，3，7，15，31，63，…应满足的递推关系式为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：将代入四个选项中，对于A，，所以A不满足；对于B，，所以B满足；对于C，，所以C不满足；对于D，，所以D不满足所以只有B满足，故选：B2、为推动全民健身，宣传天下泉城，首届泉城(济南)马拉松赛于年月日在大明湖南门开赛.如图分别包含个、个、个、个首届泉城马拉松赛的“泉”，按同样的方式构造图形，设第个图形包含个“泉”，则当时，___________；__________.【答案】【解析】由题意可知，，，，，所以，，，…，当时，；因此，，，，，，以上各式相加得，则.故答案为：；.3、设正项数列满足，.求数列的通项公式．【答案】【解析】已知正项数列满足，且，则两边同事取对数可得，根据一阶线性递推的关系可得，所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，可得，从而得到.故答案是.4、已知数列中，，求证：是等比数列，并求数列的通项公式；【答案】见解析【解析】解：（1）由已知可得：，而，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以，所以；5、数列中，，则数列通项公式为．【答案】【解析】由，两边同时取对数，得，，，（四）知识梳理一、利用常用公式求和等差数列求和公式：2、等比数列求和公式：公式法求和注意事项：（1）弄准求和项数的值；（2）等比数列公比未知时，运用前项和公式要分类二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列的前项和，其中分别是等差数列和等比数列.三、裂项相消法求和裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，如：（1）；（2）（3）（4）（5）四、倒序相加法求和这是推导等差数列的前项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（倒序），再把它与原数列相加，就可以得到个五、分组求和分组求和有两种情况，一种是将数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可；另一种是将数列相邻的两项(或若干项)并成一项(或一组)得到一个新数列(容易求和).例题精讲【例12】已知等比数列为递增数列，，，数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【难度】★★★【答案】（1）（2）【解析】（1）∵是等比数列，∴又∵，由是递增数列解得，，且公比∴，（2），两式相减得：∴。【例13】函数对任意都有，（1）求的值.（2）数列满足:,数列是等差数列吗?如果是请给予证明，不是，请说明理由.【难度】★★★【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）由，令，得（2）数列{}是等差数列．事实上，令x＝，得，即，又，两式相加得：，∴，则．故数列{}是等差数列。【例14】（1）若数列满足，且对于任意的都有，则__________。【难度】★★★【答案】【解析】由题得所以，适合n=1.所以，所以.故答案为：。（2）_____________。【难度】★★★【答案】.【解析】由题意可知，为数列前项之和，，，故答案为。【例15】求和：_____________.【难度】★★★【答案】【解析】巩固训练1、数列满足：，则数列前项的和为___________。【答案】【解析】∵，∴，又∵=5，∴，即，∴，∴数列前项的和为。2、已知，则＝【答案】【解析】∵，∴，∴∴①②+②，，∴，故答案为.3、数列的通项公式，其前项和为，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】对任意的，，，因此，.故选：A.4、已知数列前n项和.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前20项和。【答案】（1）；（2）224.【解析】（1）因为,当时,,当时,…①…②①-②可得,当时,也满足.∴.（2）令有.故当时,；时；；。5、已知数列为等差数列，前项和为，，，数列的前项和为，.（1）求；（2）求数列前项和。【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，由题，解得，.所以，.则；（2）.所以，。实战演练实战演练一、填空题1、已知数列的前五项分别为，，，，，则该数列的一个通项公式为__________。【答案】【解析】通过观察,整理数列的前五项为,,,,,则分母为由3开始,每次递增1的连续的自然数；分母为由1开始,每次递增1的连续的自然数,所以该数列的一个通项公式为。2、已知数列满足，，则___________，的最小值为___________.【答案】8【解析】由，，，…，，，以上各式相加得，，所以，，当时，，符合该式，综上，，，所以，由均值不等式当且仅当，即时等号成立，由于因为，所以的最小值为.故答案为：，83、将正偶数集合{2，4，6，8，…，2n，…}中的数从小到大按第n组有2n个数进行分组如下：则2018位于第____组．【答案】9【解析】前n组共有2＋4＋8＋…＋2n＝个数．由an＝2n＝2018得n＝1009，∴2018为第1009个偶数．∵29＝512，210＝1024，∴前8组共有510个数，前9组共有1022个数，因此2018位于第9组．故答案为：9.4、设数列的前项和为，且，设，数列的前项和为，则____________。【答案】.【解析】∵，∴当时，又当时，不适合上式，∴；∵，数列的前项和为，当时，，；当时，，；∵时，，∴，∴.综上，。5、在各项均为正数的等比数列中，若，则的值为________。【答案】【解析】为等比数列设，则上下两式相加得：，本题正确结果：。6、已知数列中，，，设，若对任意的正整数，不等式恒成立，则实数的取值范围是____________。【答案】【解析】∵，（，），当时，，，…，，并项相加，得：，∴，又∵当时，也满足上式，∴数列的通项公式为，∴，令（），易得在上是增函数，故当时，，即当时，，对任意的正整数，不等式恒成立，只需。二、选择题7、在等比数列中，，.记，则数列（）A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无