（江苏专用）高考数学三轮复习 解答题专题练（三）应用题 文 苏教版-苏教版高三数学试题

解答题专题练(三)应用题(建议用时：40分钟)1.(2019·南通密卷)如图，某城市有一条公路从正西方AO通过市中心O后转向东偏北α角方向的OB.位于该市的某大学M与市中心O的距离OM＝3eq\r(13)km，且∠AOM＝β.现要修筑一条铁路L，在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，且经过大学M.其中tanα＝2，cosβ＝eq\f(3,\r(13))，AO＝15km.(1)求大学M与站A的距离AM；(2)求铁路AB段的长AB.2.(2019·连云港模拟)某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10cm的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为xcm，体积为Vcm3.(1)求V关于x的函数关系式；(2)在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V的最大值是多少？并求此时x的值．3.(2019·宿迁模拟)如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图．已知AB为直径，且AB＝2km，O为圆心，C为圆周上靠近A的一点，D为圆周上靠近B的一点，且CD∥AB.现在准备从A经过C到D建造一条观光路线，其中A到C是圆弧eq\o(AC,\s\up8(︵))，C到D是线段CD.设∠AOC＝xrad，观光路线总长为ykm.(1)求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；(2)求观光路线总长的最大值.4．(2019·南通模拟)为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的函数关系式近似为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(16,8－x)－1，0≤x≤4，,5－\f(1,2)x，4<x≤10.))若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的净化剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值(精确到0.1，参考数据：eq\r(2)取1.4)．解答题专题练(三)1．解：(1)在△AOM中，AO＝15，∠AOM＝β且cosβ＝eq\f(3,\r(13))，OM＝3eq\r(13)，由余弦定理得，AM2＝OA2＋OM2－2OA·OM·cos∠AOM＝152＋(3eq\r(13))2－2×15×3eq\r(13)×eq\f(3,\r(13))＝15×15＋13×9－2×3×15×3＝72.所以AM＝6eq\r(2)，即大学M与站A的距离AM为6eq\r(2)km.(2)因为cosβ＝eq\f(3,\r(13))，且β为锐角，所以sinβ＝eq\f(2,\r(13))，在△AOM中，由正弦定理得，eq\f(AM,sinβ)＝eq\f(OM,sin∠MAO)，即eq\f(6\r(2),\f(2,\r(13)))＝eq\f(3\r(13),sin∠MAO)，所以sin∠MAO＝eq\f(\r(2),2)，所以∠MAO＝eq\f(π,4)，所以∠ABO＝α－eq\f(π,4)，因为tanα＝2，所以sinα＝eq\f(2,\r(5))，cosα＝eq\f(1,\r(5))，所以sin∠ABO＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(1,\r(10))，又∠AOB＝π－α，所以sin∠AOB＝sin(π－α)＝eq\f(2,\r(5))，在△AOB中，AO＝15,由正弦定理得，eq\f(AB,sin∠AOB)＝eq\f(AO,sin∠ABO)，即eq\f(AB,\f(2,\r(5)))＝eq\f(15,\f(1,\r(10)))，所以AB＝30eq\r(2)，即铁路AB段的长AB为30eq\r(2)km.2．解：(1)正三棱锥展开如图所示．当按照底边包装时体积最大．设正三棱锥侧面的高为h0，高为h.由题意得eq\f(\r(3),6)x＋h0＝10，解得h0＝10－eq\f(\r(3),6)x.则h＝eq\r(heq\o\al(2,0)－\f(x2,12))＝eq\r(（10－\f(\r(3),6)x）2－\f(x2,12))＝eq\r(100－\f(10\r(3),3)x)，x∈(0，10eq\r(3))．所以，正三棱锥体积V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)x2×eq\r(100－\f(10\r(3),3)x)＝eq\f(\r(3),12)x2eq\r(100－\f(10\r(3),3)x).(2)设y＝V2＝eq\f(x4,48)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100－\f(10\r(3),3)x))＝eq\f(100x4,48)－eq\f(10x5,48\r(3))，求导得y′＝eq\f(100x3,12)－eq\f(50x4,48\r(3))，令y′＝0，得x＝8eq\r(3)，当x∈(0，8eq\r(3))时，y′>0，所以函数y在(0，8eq\r(3))上单调递增，当x∈(8eq\r(3)，10eq\r(3))时，y′<0，所以函数y在(8eq\r(3)，10eq\r(3))上单调递减，所以，当x＝8eq\r(3)cm时，y取得极大值也是最大值.此时y＝15360，所以Vmax＝32eq\r(15)cm3.故当底面边长为8eq\r(3)cm时，正三棱锥的最大体积为32eq\r(15)cm3.3．解：(1)由题意知，eq\o(AC,\s\up8(︵))＝x×1＝x，CD＝2cosx，因为C为圆周上靠近A的一点，D为圆周上靠近B的一点，且CD∥AB，所以0<x<eq\f(π,2)，所以y＝x＋2cosx，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(2)记f(x)＝x＋2cosx，则f′(x)＝1－2sinx，令f′(x)＝0，得x＝eq\f(π,6)，当x变化时，f(x)，f′(x)的变化如表：xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))eq\f(π,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))f′(x)＋0－f(x)递增极大值递减所以函数f(x)在x＝eq\f(π,6)处取得极大值，这个极大值就是最大值，即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝eq\f(π,6)＋eq\r(3)，故观光路线总长的最大值为eq\f(π,6)＋eq\r(3)千米.4．解：(1)因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度f(x)＝4y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(64,8－x)－4，0≤x≤4，,20－2x，4<x≤10.))则当0≤x≤4时，由eq\f(64,8－x)－4≥4，解得x≥0，所以此时0≤x≤4.当4<x≤10时，由20－2x≥4解得x≤8，所以此时4<x≤8.综上得0≤x≤8，若一次投放4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天．(2)设从第一次喷洒起，经x(6≤x≤10)天，浓度g(x)＝2(5－eq\f(1,2)x)＋a[eq\f(16,8－（x－6）)－1]＝10－x＋eq\f(16a,14－