圆周角完整版

24.1圆的有关(yǒuguān)性质第二十四章圆24.1.4圆周角第一页，共二十七页。1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用(yùnyòng)圆周角定理及推

论解决简单的几何问题.（重点）3.了解圆周角的分类，会推理验证“圆周角与圆心角的

关系”.（难点）学习(xuéxí)目标第二页，共二十七页。CAEDB第三页，共二十七页。定义：顶点(dǐngdiǎn)在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.（两个条件必须(bìxū)同时具备，缺一不可）一、圆周角的定义第四页，共二十七页。·COAB·COB·COBAA·COAB·COB·COBAA判一判：下列各图中的∠BAC是否(shìfǒu)为圆周角并简述理由.（2）（1）（3）（5）（6）顶点(dǐngdiǎn)不在圆上顶点(dǐngdiǎn)不在圆上边AC没有和圆相交√√√第五页，共二十七页。如图，连接(liánjiē)BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.二、圆周角定理及其推论测量与猜测第六页，共二十七页。圆心(yuánxīn)O在∠BAC的内部圆心(yuánxīn)O在∠BAC的一边上圆心(yuánxīn)O在∠BAC的外部推导与验证第七页，共二十七页。圆心O在∠BAC的一边(yībiān)上（特殊情形）OA=OC∠A=∠C∠BOC=∠A+∠C第八页，共二十七页。OABDOACDOABCD圆心(yuánxīn)O在∠BAC的内部OACDOABD第九页，共二十七页。OABDCOADCOABDCOADOABDCOADOABD圆心(yuánxīn)O在∠BAC的外部第十页，共二十七页。圆周角定理(dìnglǐ)：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.要点归纳圆周角定理及其推论A1A2A3推论(tuīlùn)1：同弧所对的圆周角相等.第十一页，共二十七页。

试一试：1.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在(suǒzài)直线的同侧，∠BAC=35º.

(1)∠BOC=

º，理由(lǐyóu)是

;(2)∠BDC=

º，理由是

.7035同弧所对的圆周角相等(xiāngděng)一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半第十二页，共二十七页。(1)完成(wánchéng)下列填空

∠1=

.∠2=

.∠3=

.∠5=

.2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.∠4∠8∠6∠7ABCDO1((((((((2345678第十三页，共二十七页。2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.（2）若AB=AD，则∠1与∠2是否相等，为什么？⌒⌒推论(tuīlùn)2：等弧所对的圆周角相等第十四页，共二十七页。2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.（3）若AC是半圆(bànyuán)，∠ADC=

，∠ABC=

.90°90°若AC是直径(zhíjìng)，

推论3：半圆(bànyuán)所对的圆周角是直角.（或直径）反之，直角所对的弦是直径.第十五页，共二十七页。

例：如图，⊙O直径(zhíjìng)AC为10cm，弦AD为6cm.（1）求DC的长；（2）若∠ADC的平分线交⊙O于B,

求AB、BC的长．B典例精析解：(1)∵AC是直径(zhíjìng)，∴∠ADC=90°.在Rt△ADC中，第十六页，共二十七页。在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，(2)∵AC是直径(zhíjìng),∴∠ABC=90°.∵BD平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB.又∵∠ACB=∠ADB,∠BAC=∠BDC

.∴∠BAC=∠ACB,∴AB=BC.B解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解.

归纳第十七页，共二十七页。

若一个多边形各顶点(dǐngdiǎn)都在同一个圆上，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.圆内接四边形的定义(dìngyì)三、圆内接四边形第十八页，共二十七页。如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.

探究(tànjiū)性质猜想(cāixiǎng)：∠A与∠C,

∠B与∠D之间的关系为

.

∠A+∠C=180º，∠B+∠D=180º圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角(duìjiǎo)互补.第十九页，共二十七页。练一练：1．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C=

，∠D=

.2．⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠D=

.

70º100º90º第二十页，共二十七页。1.判断（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等(xiāngděng)（）（2）相等的弦所对的圆周角也相等（）（3）900的角所对的弦是直径（）（4）同弦所对的圆周角相等（）√×××当堂(dānɡtánɡ)训练第二十一页，共二十七页。2.如图，AB是⊙O的直径(zhíjìng),C

、D是圆上的两点,∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿_.50°3.已知△ABC的三个顶点(dǐngdiǎn)在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°,则∠AOB=

．ABOCD第2题BACO第3题166°第二十二页，共二十七页。4.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角∠ACB=

，∠ADB=

.DAOCB130°50°5.如图，△ABC的顶点(dǐngdiǎn)A、B、C都在⊙O上，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径是

.CABO解：连接(liánjiē)OA、OB∵∠C=30°，∴∠AOB=60°又∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形∴OA=OB=AB=2，即半径(bànjìng)为2。2第二十三页，共二十七页。6.如图，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径(zhíjìng)，则∠AEB等于（）A.70°

B.110°C.90°

D.120°BACBODE第二十四页，共二十七页。拓展提升：如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E.(1)BD与CD的大小有什么关系?为什么?(2)求证：.ABCDE∵AB是圆的直径(zhíjìng)，点D在圆上，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD,AD平分(píngfēn)顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，（同圆或等圆中相等(xiāngděng)的圆周角所对弧相等(xiāngděng)）.解:BD=CD.理由是:连接AD,第二十五页，共二十七页。圆心角类比(lèibǐ)圆周角圆周角定义(dìngyì)圆周角定理(dìnglǐ)圆周角定理的推论课堂小结一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.1.同弧（或等弧）所对的圆周角相等；2.半圆所对的圆周角是直角；反之，直角所对的弦是直径.1.顶点在圆上，2.两边都与圆相交的角（二者必须同时具备）第二十六页，共二十七页。内容(nèiróng)总