数值方法简明教程作业集答案

数值计算方法简明教程第一章1=1.7；=1.73；=1.732。2．有效数字的位数1四位2三位3四位4四位5六位注：此题答案中相对误差限是用定义所求得的结果，也可以用相对误差限与有效数字的关系求得。3．〔1〕0.00050；〔注意：应该用相对误差的定义去求〕〔2〕0.50517；〔3〕0.50002。4．设有位有效数字，由2.4494……，知的第一位有效数字=2。令可求得满足上述不等式的最小正整数=4，即至少取四位有效数字，故满足精度要求可取2.449。5.答：〔1〕()的相对误差约是的相对误差的1/2倍；〔2〕的相对误差约是的相对误差的倍。6．根据=注意当时，，即。那么有7．设，，由，即当有初始误差时，的绝对误差的绝对值将减小倍。而，故计算过程稳定。8.变形后的表达式为：〔1〕=〔2〕=〔3〕〔4〕==第二章1．绝对误差限,对分8次n隔根区间的符号1[1.5，2.5]2.02[2.0，2.5]2.253[2.25，2.5]2.3754[2.25，2.375]2.31255[2.25，2.3125]2.281256[2.28125，2.3125]2.2968757[2.296875，2.3125]2.30468758[2.296875，2.3046875]2.30078125满足精度要求的根近似值为2.30。2．(1)隔根区间[0,0.8]；(2)等价变形；迭代公式。(3)收敛性论证：用局部收敛性定理论证。(4)迭代计算：00.410.470020.425330.454140.435650.447560.439970.444880.441690.4436100.4423110.4432满足要求的近似根为0.443。(1)；(2)；(3)；牛顿迭代公式为：列表计算n00.410.470130.0720.465590.00530.465570.00002根的近似值为0.4656。6．证明：当时，当时，因此，对于，当时，，牛顿迭代法收敛，当时，，从起，牛顿序列收敛到。第三章x1=2，x2=1，x3=1/2L=，U=y1=14,y2=10,y3=72x1=1,x2=2,x3=34.x1≈-4.00,x2≈3.00,x3≈2.005.B的特征值为：0，0，0，ρ(B)=0<1(E－B1)-1B2的特征值为：0，2，2，ρ[(E－B1)-1B2]=2>1.6.x(5)=(0.4999,1.0004,-0.4997)T7.∣a∣>2第四章取=100、=121用线性插值时，10.7143；取=100、=121、=144用二次插值时，10.7228。2．选取插值节点为：=1.4、=1.5、=1.6，1.9447。3．利用，并注意当时，对，，故有而时，，故有，4.==5.用反插值法得根的近似值=0.7092；6.令可求得0.2498〔或0.2289〕。详解：由题义知，所采用的是三点等距插值，由误差公式：令由得：得的驻点为：故，所以，令解得：7.(1)(2)第五章正规方程组为=，正规方程组为=，取对数相应的正规方程组为=，4．正规方程组为=，第六章1.解：运用梯形公式：误差：运用辛浦生公式：误差：2.解：〔1〕左矩形公式将f(x)在a处展开，得两边在[a,b]上积分，得由于〔x-a〕在[a,b]上不变号，故有，使从而有〔2〕右矩形公式将f(x)在b处展开，并积分，得〔3〕中矩形公式将f(x)在处展开，得两边在[a,b]上积分，得3.解：〔1〕求积公式中含有三个待定参数A-1、A0、A1，故令求积公式对f(x)=1、x、x2准确成立，即解得 A-1=A1=h/3, A0=4h/3显然所求的求积公式〔事实上为辛浦生公式〕至少具有两次代数精确度。又有故具有三次代数精确度。〔2〕求积公式中含有两个待定参数x1、x2，当f(x)=1时，有故令求积公式对x、x2准确成立，即：解得，显然当求积节点取x1=0.68990，x2=-0.12660或x1=-0.28990，x2=0.52660时，求积公式具有两次代数精确度。〔3〕求积公式中含有一个待定参数α，当f(x)=1、x时，有故令求积公式对f(x)=x2成立，即：得 α=1/12。显然：故具有三次代数精确度。4.解：函数值表格x17/68/69/610/611/62f(x)00.154150.287680.405470.510830.606140.69315T6=1/2×1/6[0+2×(0.15415+0.28768+0.40547+0.51083+0.60614)+0.69315]≈0.38514S3=1/6×1/3[0+4×(0.15415+0.40547+0.60614)+2×(0.28768+0.51083)+0.69315]≈0.386295.解：令，得N≥2.54.取N=3,那么至少要取2N+1=7个节点处的函数值。6.解：按照事后误差估计公式计算列表如下：k等分2k012312480.920735490.939793280.944513520.945690860.001573410.00039245<10-30.946145880.946086930.946083310.00000393<10-50.00000024因此，由梯形公式得I≈T8=0.94569086,精确到10-3；由辛浦生公式得到I≈S2=0.94608693，精确到10-5。假设取I≈S4=0.94608331，那么精确到10-6。精确到10-3的结果为I≈0.946.7.解：采用极坐标系，令x=2cos，y=sin，那么椭圆的周长为由于，因此I有一个整数，故要求结果有四位有效数字，需截断误差≤1/2×10-3。列表计算如下：k等分2k012341248162．3561942．4199212．4221032．4221122．4221122．4411632．4228302．4221152．4221122．4216082．4220672．4221122．4220742．422113故取I=2.422113，周长为l=4I=9.688。8.〔1〕：取h=0.1，三点公式取，得〔2〕：取h=0.2，三点公式取，得注：精确解为。第七章计算结果为：计算结果如下： 梯形法欧拉预-校法0.10.20.3计算结果如下：〔8.32〕的〔8.34〕的0.10.20.34．计算结果如下：四阶R-K解〔8.37〕的0.10.20.30.40.55．参照欧拉预-校格式的证明。6.对在，，处进行Lagrange插值，得插值多项式，然后在区间上积分，即可得到所要结果。7.，，，。第八章1.u=u0123456(1,1,1)(4,2,4)(14,8,14)(50,28,