湖南省部分学校2024届高三年级上册第三次联考数学试题（含答案）

湖南省部分学校2024届高三上学期第三次联考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

;且，则p的否定是（）

1.已知命题p：3x£（。」）,%'

3

A.Vxe(O,l),*3彳金B.*e(O,l),Vwg

D.Vxg(O,l),VN#

C.Vxe(O,l),

2.定义集合A+3==已知集合4={4,8},B={1,2,4},贝UA+3

的元素的个数为（）

A.3B.4C.5D.6

3.已知函数〃尤）=33-2》-^的图象在x=a（a>0）处的切线的斜率为左①），则（）

A.左（。）的最小值为6B.左（。）的最大值为6

C.左（。）的最小值为4D.左⑷的最大值为4

4.已知某公司第1年的销售额为。万元，假设该公司从第2年开始每年的销售额为上

一年的1.2倍，则该公司从第1年到第11年（含第11年）的销售总额为（）（参考数

据：取1.2"=7.43）

A.35.15〃万元B.33.15〃万元C.34.15。万元D.32.15〃万元

5.设函数的定义域为R,且/（x+1）是奇函数，〃2x+3）是偶函数，则（）

A.〃O）=OB."4）=0C."5）=0D./（-2）=0

6.设//0,g],且tana+tan〃=—则（）

I2JI2Jcosp

ITTTTT7C

A.2a+jff=^B.=1C.2/3-a=^D.2/3+a=-

7.已知函数〃彳）=侬[一曰，g（x）=sin^4x+^,贝广曲线y=/（x）关于直线x="

对称”是“曲线y=g（x）关于直线工="对称”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

8.对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以美感，激

发学生对数学的兴趣.如图，在菱形ABCZ）中，ZABC=120°,AB=2,以菱形ABC。

的四条边为直径向外作四个半圆，P是四个半圆弧上的一动点，若。P=2ZM+〃£＞C,

则彳+〃的最大值为（）

C.5D.-

2

二、多选题

9.已知函数/(x)=lg]——x+贝IJ()

A.的最小值为1B.HxeR,f(l)+/(x)=2

C./(log92)>/^D./(严

10.若正项数列｛%｝是等差数列，且%=5,则（）

A.当。3=7时，。7=15B.%的取值范围是［5/5）

C.当%为整数时，%的最大值为29D.公差”的取值范围是（0,5）

11.若函数“X）的定义域为。，对于任意网W。，都存在唯一的马使得

〃%）/伍）=1，则称"X）为“A函数”，则下列说法正确的是（）

A.函数/（x）=ln尤是“A函数”

,、1,、1

B.已知函数/（%）,冗j的定义域相同，若/（x）是“A函数”，则而y也是“A函

C.已知/（x）,g（x）都是“A函数”，且定义域相同，则〃x）+g（x）也是“A函数

冗冗

D.已知机＞0,若〃”=〃z+sin尤，xe-万，5是“A函数"，则加=夜

12.定义在（0,+s）上的函数〃x）的导函数为（⑴，〃》）＞0且

矿（无）［/（尤）丁-尤］恒成立，则（）

A.7（1）/（2）［/（1）-1/（2）］＞/（1）-/（2）

B.Vae（0,-Hx＞）,函数y=/［）+/］）（*＞。）有极值

试卷第2页，共4页

C.〃1)〃2)〃1)W"2)一”2)

D.3«e（0,+1%＞）,函数y="^+4~式无＞。）为单调函数

三、填空题

13.设向量AB=（尤,2x）在向量AC=（3,~4）上的投影向量为—AC,则彳=.

14.若cos2a=j,贝!Jsin3a=.

四、双空题

15.若关于x的不等式f+7a＜（7+a）x的解集恰有50个整数元素，则。的取值范围

是,这50个整数元素之和为

五、填空题

16.如图，已知平面五边形ABCDE的周长为12,若四边形AB/组为正方形，且BC=CD,

则当△BCD的面积取得最大值时，AB=.

六、解答题

17.ABC的内角A,B,C的对边分别为“，b,c,已知acosB-2Z?cosA=b+c.

⑴求tanA；

（2）若“=J万，A5c的面积为2e，求ABC的周长.

18.如图，在四棱锥P-ABCD中，24,底面ABCD,底面ABC。为正方形，PA=AB,

E,F,M分别是尸8,CD,尸。的中点.

p

⑴证明：瓦7/平面B4D

⑵求平面4WP与平面EMF的夹角的余弦值.

19.已知数列｛%｝满足q+4产+幺士爷乌++q+。2：+%=.2".

⑴求｛%｝的通项公式；

⑵求数列的前〃项和S..

20.某商场在6月20日开展开业酬宾活动.顾客凭购物小票从6〜20这15个号码中依

b

次不放回地抽取2个号码，第1个号码为m第2个号码为4设X是不超过士的最大

a

整数，顾客将获得购物金额X倍的商场代金券(若X=0,则没有代金券)，代金券可

以在活动结束后使用.

(1)已知某顾客抽到的a是偶数，求该顾客能获得代金券的概率；

(2)求X的数学期望.

Q3

21.以坐标原点为对称中心，坐标轴为对称轴的椭圆过点C(0,-l),D(-1-7.

(1)求椭圆的方程.

⑵设尸是椭圆上一点(异于C。)，直线「CPD与x轴分别交于M,N两点.证明在无轴

上存在两点AB，使得是定值，并求此定值.

1

22.已知函数/(,=e「+lnx-j有两个零点再，号*

(1)求。的取值范围；

(2)证明：xl+x2>2a.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.A

【分析】根据题意，由特称命题的否定是全称命题，即可得到结果.

【详解】因为命题玄40,1),丁邛，则其否定为Vxe(O,l),/邛.

故选：A

2.B

【分析】根据题中条件，直接进行计算即可.

【详解】因为A={4,8},3={1,2,4},

所以A+B={1,2,4,8},故A+3的元素的个数为4.

故选：B.

3.C

【分析】求导，结合基本不等式即可求解.

【详解】Z：(«)=r(«)=9fl2+-4-2>2^9-2=4,当且仅当/=!时，即”走时，等号

a93

成立，所以的最小值为4.

故选：C

4.D

【分析】根据题意，由条件可得数列{q}(i=L2,,11)是首项为a,公比为1.2的等比数歹U，

结合等比数列的前w项和公式，代入计算，即可得到结果.

【详解】设第4，=1,2,,11)年的销售额为为万元，

依题意可得数列{4}。=1,2,,11)是首项为a,公比为1.2的等比数列，

则该公司从第1年到第11年的销售总额为4-'n)="(L2"-1)=。(743-1)=32.15°万

1-1.20.20.2

元.

故选：D

5.C

【分析】由奇函数、偶函数的性质求解即可.

【详解】因为/(x+1)是奇函数，所以〃T+1)=—〃X+1),则/⑴=0.

答案第1页，共14页

又/（2x+3）是偶函数，所以〃—2x+3）=〃2x+3）,所以〃5）=/（1）=0.

故选：C.

6.A

【分析】根据同角三角函数关系式及两角和的正弦公式及诱导公式对题中条件进行化简，即

可求得.

【详解】因为tana+tan〃=—'■三，

cosp

—,sinasinB1

所以——+—R—5，

cosacospcosp

所以sinacos尸+cosasin夕=cosa,

即sin（a+4）=sin—a].

又般（0,,,

所以a+分■一a,即2a+4=]

或a+/?+]-a=7c,即尸=]（舍去）.

故选：A.

7.A

【分析】分别求出两个函数的对称轴的集合，利用两个集合的关系即可判断.

【详解】令加一5=4兀（匕£Z）,得根=看+左1兀（匕£Z）,

所以曲线＞=〃%）关于直线％=合+勺兀（占£Z）对称.

令4根+看=]+左2兀（左2GZ）,得根=限+号氏化GZ）,

所以曲线产g（x）关于直线》=合+竽化eZ）对称.

因为｛根|根=合+用兀（用eZ）｝｛m\m=^+^（k2eZ）｝

所以“曲线y=〃x）关于直线x=m对称”是“曲线y=g⑺关于直线x=m对称”的充分不必要

条件.

故选：A.

8.A

【分析】就4+〃=。和X+4W0分类讨论，后者可根据对称性只需考虑尸在对应的半

答案第2页，共14页

圆弧上，前者4+〃Wl,后者九+〃21,而后者可建系处理.

【详解】连接AC.

若;1+必=0,贝!jop=XD4-XOC=/lCA，

若力不为零，则。尸//CA，这与题设矛盾，若%为零，则尸与。重合.

若X+〃力0,贝=£>C,

%+〃A+//A+//

设^—DA+-^—DC=DS,故DP=(/+〃)DS,且S,A,C三点共线.

由对称可知只需考虑尸在A。,AB对应的半圆弧上.

当尸在AD对应的半圆弧上(除。外)时，S总在。尸的延长线上，

故此时几+〃W1.

当尸在A3对应的半圆弧上，S总在DP之间，故此时彳+〃21

建立如图所示的平面直角坐标系，

则A（-L0）,AC:y=^x+^-,D（0网,

设P（cos6,sin。）（一直<^<0）,

当6»=一］时，|os|=|x^=竽，而|DP|=I+G,

答案第3页，共14页

,1+A/33+65

止匕时〃=亚=^<.

当"3时’则":”,

行一sin62月

y=-------------x+

cos6r

由■可得尤

s=^3G-sing'

)=在X+W---1-------

333cos。

点ccq6+6-sin。

2石

r

DP\

综上,I=i

max

故选：A

【点睛】思路点睛：与向量的线性表示有关的最值问题中，如果考虑基底向量前系数的和的

最值，则可利用三点共线构造系数和的几何意义，这样便于求最值.

9.ACD

【分析】根据对数函数的单调性即可求解AB,由二次函数的性质，结合对数的运算，即可

求解CD.

2

【详解】〃x)=lg+10>lgio=l,当且仅当x时，/(X)取得最小值1,A正

确.

因为当且仅当X=；时，〃X)取得最小值，且最小值为1,所以"1)>1,所以/⑴+“X)>2,

B错误.

答案第4页，共14页

因为。<1幅2=兽<兽=；,所以loggZ-；>；，又且“X）在上单

1g91g832632612）

调递减，在:+小单调递增，所以川咀2）>小，C正确.

因为9°」=3°2〉3°」8〉1,所以9°」一2>3°」8>3,所以，D正确.

222

故选：ACD

10.ABC

【分析】对于A根据等差数列的定义求出公差d的值，即可求出的；又数列｛玛｝是正项等差

数列，根据q=5-d>0,及d，0,即可求出公差d的取值范围，继而可以判断BCD.

【详解】当。3=7时，公差d=2,%=%+44=7+8=15,A正确.

因为｛〃,｝是正项等差数列，所以q=5-d>。，即d<5,且d》。,

所以公差d的取值范围是[0,5）,D错误.

因为%=5+24,所以。4的取值范围是设,15）,B正确.

%=5+5de[5,30）,当％为整数时，%的最大值为29,C正确.

故选：ABC.

11.BD

【分析】题干给出了“A函数”的定义，按照定义，判断函数是否是“A函数”，其中一定注意

/（力NO在定义域中恒成立，选项中不正确的举出反例，正确的严格按照“A函数”的定义证

明即可.

【详解】对于选项A,当王=1时，〃不）=0,此时不存在巧，使得〃王）/（%）=1.A不

正确;

对于选项B,由/'（£）,黄J的定义域相同，若/（X）是“A函数”，则对于任意当e£>,都存

在唯一的使得/（七）/伍）=1，则对于任意占eD,都存在唯一的使得

111

Tw-Tw,所以面也是“函数"•B正确；

对于选项C,不妨取f(x)=x,g(x)」,XG(0,+oo),令尸(x)=/(尤)+g(x)=x+222,

九X

则尸&）/（马）》4,

答案第5页，共14页

故f(x)+g(x)不是“A函数”.C不正确;

兀兀

对于选项D,因为/(%)=m+sinx,xe,是“A函数”，

所以/+sin%wO在上恒成立.又机>0,所以加一1>0,且(m+sin玉)(m+sin%2)=l,

TTTTTTTT|

即对于任意玉£，都存在唯一的马£一：，不，使得、皿/二一「m,

22J|_22Jm+smxj

因为加一1«加+sin的<m+1,所以一--------m<—^---m,

m+1m+sinx{m—1

艮|J--——m#sinx---一m

m+12m-1

--------m>-1

'"J解得，〃=0.D正确.

由,

--------m<1

、m-l

故选：BD

12.AD

1

【分析】法一：构造函数g(x)=W+(尤>。)，考查其单调性，可判断B,D;利用其单

f(x)

调性知g(l),g(2)的大小关系可判断A,C；法二：取〃x)=Mx>0),逐项验证即可.

〃元)+

【详解】解法一：设函数g(x)=如>°)

X

4(元)一/(X)矿(无)"(X)了一［〃切3一曲,(同

则g'(x)=<0,

."⑺丁叩(”了

所以g(x)在(。,+⑹上单调递减，故B错误，D正确.

从而g⑴〉g(2),即半+击〉卓+病，

因为/(x)>0,所以/(1)>0,f(2)>0,

所以/。)/(2)/(1)-1/(2)>/(1)-/(2),故C错误，A正确.

解法二：取〃x)=x(x>0),满足/(x)>0且矿(x)[”切2一无2[切\则

/(1)/(2)[/(1)-1/(2)]>/(1)-/(2),

答案第6页，共14页

f（x\a

3aG（0,+8）,函数+（x>0）为单调函数.

X〃尤）

故选：AD.

【点睛】关键点睛：构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.

13.1

【分析】利用向量在向量上的投影向量计算公式建立方程，解出即可.

【详解】向量AS=（x,2x）在向量AC=（3,T）上的投影向量为

ABACAC3尤一8尤“八则_g=3x-8x

—i——j—,।——।=-------------AC解得x=l.

ACAC2525

故答案为：1.

14,在2出

99

【分析】根据同角关系以及二倍角公式，和差角公式即可求解.

【详解】因为a]。,]],所以力40,兀），所以sin2c=Jl-（cos2a）2=当，

因为cos2c=2cos2£-l=：,所以cosa=底，sina=—,

3I2；33

所以sin36r=sin（2cr+a）=sin2acosa+cos2asina=•

故答案为：—

9

15.H4,T3）（57,58]-925或1625

【分析】讨论。的范围，解出不等式，结合题意确定。的范围及解集中的整数解，再利用等

差数列求和公式求和即可.

【详解】不等式d+7a<（7+a）x等价于不等式（X-4）（X-7）<0.

当。=7时，（*-。）（》一7）<0的解集为0,不合题意；

当a<7时，（x-a）（x-7）<0的解集为（a,7）,

则50个整数解为-43,-42,5,6,

所以-44<a<~43,这50个整数元素之和为1丝=一925；

2

当a>7时，（x-a）（x—7）<。的解集为（7,4）,

则50个整数解为8,9,56,57,所以57<aV58,

答案第7页，共14页

这50个整数元素之和为（8+57）x50=1625.

2

综上，。的取值范围是[T4,T3）（57,58],这50个整数元素之和为-925或1625.

故答案为：[T4,-43）（57,58]；-925或1625

,,27-3V17

io.-------------

8

【分析】根据几何关系构造函数关系式利用导数求函数的最值.

【详解】过点C作C尸，双），垂足为设AB=X（尤＞0）,则3D=AE=OE=x,

3

VBC=CD,：.3AB+2BC=12,则8C=6——尤，

2

由3c＞0,8C+CD＞BD,得0＜x＜3.

在△BCF中，CF='BC2-BF?=j2d-18x+36-

记△3CD的面积为S,则S=.CP=走一9二+18尤2.

22

设函数=x4-9x3+18x2,贝ij/r(x)=4x3-27x?+36x=x(4x2-27x+36),

令/⑺=0,得x=0或尤=27±;S当0＜彳＜27一册时,用x）＞。；

当27-:如＜了＜3时,/，（力＜0.故当x=27一;后时,取得最大值,

则S取得最大值，此时42=27-3四.

故答案为：27-3a.

8

【点睛】利用导数求最值的方法就是先求出函数的极值，若极值有多个，则需要比较各极值

与端点值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值；若函数只有一个极大（小）值,

则这个极大（小）值就是函数的最大（小）值.

17.(1)tanA=-2^2

答案第8页，共14页

(2)5+717

【分析】(1)根据正弦定理得cosA=-g,从而求得tanA；

(2)根据面积公式和余弦定理即可求得ABC的周长.

【详解】(1)因为acos5-2Z?cosA=Z?+c,所以由正弦定理可得

sinAcosB—2sinBcosA=sinB+sinC.

XsinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以一3sin5cosA=sin5.

因为sinBwO,所以cosA=-g.

又A£(O,TI),所以sinA=2f,tanA=-2^2-

(2)ABC的面积S=」/?csinA=——be=2A/2»贝!|Z?c=6.

23

24

由余弦定理：/=b2+c2-2bccosA=b2+c2+—Z?c,得(b+c)9=a2+—be=25,

所以A+c=5,故.ABC的周长为5+JF7.

18.(1)证明见解析

*

【分析】(1)取B4的中点N,证明及7/DN后可得线面平行；

(2)以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间

直角坐标系，用空间向量法求二面角.

【详解】(1)证明：取外的中点N,连接EN,DN,因为E是尸2的中点，所以EN//AB,

EN=~AB.

2

又底面ABC。为正方形，P是CD的中点，所以EN//DF,EN=DF,所以四边形ENZ加为

平行四边形，所以EF//DN.

因为所仁平面以，ZWu平面B4。，所以厮〃平面B4D

(2)以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间

直角坐标系，

不妨设AB=2,则矶1,0,1),尸(1,2,0),40,0,2),D(0,2,0),M(0,1.1).

答案第9页，共14页

从而EM=(-1,1,O),=AF=(1,2,0).

为+2%=0

设平面AMP的法向量为加=(3,%,zj,则'n'令X=1,得〃z=(-2,l,-l).

%+=0

x2+y2-z2=0

设平面EMF的法向量为〃=(/,%,z?),则工_n，令为=1,得〃=(1,1,2).

一工2+>2=0

故平面与平面EMF的夹角的余弦值为g.

19.(l)a„=n(n+3)-2,rf

(2)S„=(»+2)-2"-1-l

【分析】(1)根据递推关系作差即可求解，

(2)根据错位相减法即可求和.

【详解】(1)当〃=1时，％=2.

当〃22时，“1+的++"■=".2"--1).2“T=(〃+1)・2"T,

n

即％+/++a“=力(〃+1),2"।,

当”=1时，上式也成立，

当〃=1时，也符合4=〃(〃+3>2"-2,所以4=〃5+3).2'-2.

答案第10页，共14页

(2)由(1)知冬=("+3)・2"-2.

n

Sn=4x2^+5x2°++(〃+3>2”-2,

2S„=4x2°+5x21+.+5+3)・2"T,

贝Ij—S”=2+(2°+2++2"-2)一(〃+3)•2"T=2+(2'T一1)一(〃+3)•2"T=—(〃+2)•2"一+1,

所以S“=e+2)2"T—1.

20.(1)1

⑵H

【分析】（1）由条件概率公式求解即可；

（2）求出X的可能取值及其对应的概率，再由数学期望公式求解即可.

【详解】（1）当&>。时,该顾客能获得代金券.设、是偶数”为事件A,为事件8,

(2。-6)+(2。-8)++(2。-18)工」

''A：21015

4

8x143所以可叫力磊

P(4=15

82

15

所以当顾客抽到的a是偶数时，该顾客能获得代金券的概率为g.

（2）X可能的取值为0,\,2,3.

当X=0时，b<a,贝i]P（X=0）=；.

当X=1时，a+l<b<2a—l,若々211,贝！Ja+l<Z?<20.

对每一个。，6有20-a种不同的取值，则（a,6）共有9+8++1=45种可能的取值.

若6VaV10,对每一个a,b有。一1种不同的取值，贝l]（a,6）共有5+6+7+8+9=35种可能

的取值，

所以尸"=1）=寻=1.

均5"I

当X=2时，2aV6V3。-1.

若aN7,则2a<6V20.对每一个a,b有21—2。种不同的取值，贝U（冬。）共有7+5+3+1=16

答案第11页，共14页

种情况.

/、73小\16+611

若。=6,贝也2Wb<17,(a,6)共有6种可能的取值.所以尸(X=2)=^^=加.

A］、1UD

当X=3时，3a4644a-1,(a⑼只有(6,18),(6,19),(6,20)这3种情况，所以

P(X=3)=—=—.

'721070

衣18111

以E(X)—n0x—F14x----F2ox------F3ax—=-1-3--3-——19.

')2211057021030

21.(1)^-+/=1;

⑵证明见解析，定值为-12.

【分析】(1)根据给定条件，设出椭圆方程，利用待定系数法求解即得.

(2)设出点P,A,8的坐标，利用向量共线探讨出点M,N的坐标，再求出并确定

A,3的坐标，再计算即得.

q=i

【详解】⑴设椭圆方程为*+〃=],贝！।649।解得P=W,

——p-\----q=1

〔25254=1

丫2

所以椭圆的方程为2+V=L

4

则CM=OM，D,CP=(%,%+1),由CM〃CP，得尤“(%+1)=々，而%+13°，于是%=——>

十］

83833383

+

DN=(XN+-,-),DP=(X0+-，3；0+-),同理(/++-)=-(^O~)而为+1w。，于是

3

一3%—8%

则7VA=(根—----,0),MB=(n--,0)

%+|%+】

答案第12页，共14页

3_8

..襁=("上)(加-5*一5%)=(伙+"%)(5〃%+8%+3所3%),

%+1v+。(%+1)(5%+3)

%5

令5冲0+8%+3瓶=-3伙-3〃，而？(%，%)是椭圆上的动点，则5切+8=-3〃3m=-3〃，得

n=4,m=-49

于是地•NA=Hij[=-3[(