2022年河南省郑州市第四十二中学高二数学理联考试题含解析

2022年河南省郑州市第四十二中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数中，是偶函数且在(0,+∞)上单调递增的是A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据题意，结合常见函数的奇偶性以及单调性依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【详解】对于A，，是偶函数，在不是增函数，不符合题意；对于B，，，是偶函数，在是减函数，不符合题意；对于C，，其定义域为，不是偶函数，不符合题意；对于D，，是偶函数且在上单调递增，符合题意；故选D【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的判断，注意常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．2.已知点M（﹣3，0）、N（3，0）、B（1，0），动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为（）A．

(x＜-1)

B．(x＞1)C．(x＞0)

D．(x＞1)参考答案：B【考点】双曲线的标准方程．【分析】先由题意画出图形，可见⊙C是△PMN的内切圆，则由切线长定理得|MA|=|MB|、|ND|=|NB|、|PA|=|PD|；此时求|PM|﹣|PN|可得定值，即满足双曲线的定义；然后求出a、b，写出方程即可（要注意x的取值范围）．【解答】解：由题意画图如下可见|MA|=|MB|=4，|ND|=|NB|=2，且|PA|=|PD|，那么|PM|﹣|PN|=（|PA|+|MA|）﹣（|PD|+|ND|）=|MA|﹣|ND|=4﹣2=2＜|MN|，所以点P的轨迹为双曲线的右支（右顶点除外），又2a=2，c=3，则a=1，b2=9﹣1=8，所以点P的轨迹方程为（x＞1）．故选B．3.函数的图像大致为()A. B.C. D.参考答案：B分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．4.与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是

（

）A

B

C

D

参考答案：A5.(理)

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B6.已知向量,，若向量与向量共线，则的值为A．

B．

C．

D．参考答案：D7.在R上定义运算：,则满足＜0的实数x的取值范围为（

）A.（0,2）

B.（—2,1）

C.

D.（—1,2）参考答案：B略8.已知f（x）是可导的函数，且f′（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（）A．f（1）＜ef（0），f B．f（1）＞ef（0），fC．f（1）＞ef（0），f D．f（1）＜ef（0），f参考答案：D【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=，利用导数判断其单调性即可得出．【解答】解：知f（x）是可导的函数，且f′（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，即f′（x）﹣f（x）＜0恒成立，令g（x）=，则g′（x）==＜0．∴函数g（x）在R上单调递减．∴g（1）＜g（0），g．即，＜，化为f（1）＜ef（0），f．故选：D．9.不等式x(2－x)＞3的解集是()A．{x|－1＜x＜3}

B．{x|－3＜x＜1}C．{x|x＜－3或x＞1}

D．?参考答案：D略10.已知双曲线的两个焦点是F1和F2，则（

）A. B.2 C.3 D.4参考答案：D【分析】根据双曲线的方程，可直接得出焦距.【详解】因为双曲线方程为，所以其焦距为.故选D【点睛】本题主要考查求双曲线的焦距，熟记双曲线的简单性质即可，属于基础题型.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.的最小值为

参考答案：3略12.若函数为偶函数，则实数a=

参考答案：0

略13.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元。要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是

;参考答案：30由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和（万元）.当且仅当，即时取等号14.函数，若对于区间上的任意，都有，则实数的最小值是__________．参考答案：2015.过定点（－1,0）可作两条直线与圆x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8＝0相切，则k的取值范围是▲.参考答案：(－9，－1)∪(4，＋∞)

略16.已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)·(1＋i)＝bi，则|a＋bi|＝________.参考答案：1＋2i由复数相等的定义求得a，b的值，即得复数．由(a＋i)(1＋i)＝bi可得(a－1)＋(a＋1)i＝bi，因此a－1＝0，a＋1＝b，解得a＝1，b＝2，故a＋bi＝1＋2i.17.已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为

▲

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知集合，，若集合有且只有一个元素，则实数的取值范围是

.V（本小题满分12分）在公差不为0的等差数列中，，且依次成等差数列.（Ⅰ）求数列的公差；（Ⅱ）设为数列的前项和，求的最小值，并求出此时的值参考答案：略19.已知曲线在处的切线方程为.（Ⅰ）求a，b值.（Ⅱ）若函数有两个零点，求实数m的取值范围.参考答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)【分析】（Ⅰ）利切点为曲线和直线的公共点，得出，并结合列方程组求出实数、的值；（Ⅱ）解法1：由，得出，将问题转化为直线与曲线的图象有两个交点时，求出实数的取值范围，然后利用导数研究函数的单调性与极值，借助数形结合思想得出实数的取值范围；解法2：利用导数得出函数的极小值为，并利用极限思想得出当时，，结合题意得出，从而得出实数的取值范围。【详解】（Ⅰ），，；（Ⅱ）解法1：，函数有两个零点，相当于曲线与直线有两个交点.，当时，在单调递减，当时，在单调递增，时，取得极小值，又时，；时，，；解法2：，，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，时，取得极小值，又时，，.【点睛】本题考查导数的几何意义，以及函数的零点个数问题，对于直线与函数曲线相切的问题，一般要抓住以下两点：（1）切点为切线和函数曲线的公共点，于此可列等式；（2）导数在切点处的导数值等于切线的斜率。

20.已知点A（2，0）是椭圆C：的右顶点，且椭圆C的离心率为．过点M（﹣3，0）作直线l交椭圆C于P、Q两点．（1）求椭圆C的方程，并求出直线l的斜率的取值范围；（2）椭圆C的长轴上是否存在定点N（n，0），使得∠PNM=∠QNA恒成立？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；方程思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据离心率e==，长轴右端点为A，求出几何量a，b，c，即可求椭Γ的方程；设直线l的方程为：y=k（x+3），联立椭圆方程，运用判别式大于0，解不等式即可得到所求范围；（2）假设存在定点N（n，0），使得∠PNM=∠QNA恒成立，即kPN+kQN=0恒成立．运用直线的斜率公式，化简整理，结合韦达定理，即可得出结论．【解答】解：（1）由已知得，解得，则椭圆C得方程；设直线l的方程为：y=k（x+3），则联立，得（1+4k2）x2+24k2x+36k2﹣4=0，由△＞0，解得；（2）假设存在定点N（n，0），使得∠PNM=∠QNA恒成立，即kPN+kQN=0恒成立．设点P（x1，y1），Q（x2，y2），由（1）知，==，得，故存在定点．【点评】本题考查椭圆的几何性质与标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．21.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知侧面，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=.

(1)求证：C1B⊥平面ABC；

（2）设=l(0≤l≤1)，且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角

的大小为30°，试求l的值.参考答案：解：（1）因为侧面,侧面，故,在中,由余弦定理得：，所以，

故,所以,而平面（2）由（1）可知，两两垂直.以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系.

则，,.所以,所以,则.

设平面的法向量为，则由,得,即，令，则是平面的一个法向量.

侧面,是平面的一个法向量，.两边平方并化简得，所以=1或（舍去）略22.(本小题满分10分)已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．(1)证明：PF⊥FD；(2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD；(3)若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A－PD－F的余弦值．参考答案：试题分析：解法一（向量法）

（I）建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，分别