2024版高考数学总复习5. 3 三角函数图像和性质

2024版新高考新教材版高考总复习数学5.3三角函数

的图象和性质

考点1三角函数的图象及其变换

向左平移四个单位所得函数，则

1.（2023全国甲理，10）已知/（X）为函数ycos2x+—

I66

y=/（1）与旷二;元一3的交点个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】因为y=cos+向左平移2■个单位所得函数为

y=cos=cos2x+—=-sin2x,所以/(x)=-sin2x,

显然过（o,-；）与（1,0）两点,

而y

〜3兀c3兀仁7兀3兀3兀7兀-11,

考虑2x=,2x=—,2x=—,即％=,x—,x=—处=­x—的大

222444522

小关系,

、“3元.13兀13K-4

当x=—时,y=-X---------=<1；

42428

7兀上r7兀,7兀,17兀177t-4,

当尤=---时，f=-sin——=1,y=—x---------->1；

4422428

所以由图可知，/(x)与y=：的交点个数为3.

故选：C.

2.(2022浙江,6,4分)为了得到函数y=2sin3x的图象，只要把函数产2sin(3x+与图象上所有的点()

A.向左平移名个单位长度

B.向右平移々个单位长度

C.向左平移已个单位长度

D.向右平移巳个单位长度

答案D因为)，=2sin(3x+J)=2淅［31+自］,所以把函数产2sin(3x+§图象上所有的点向右平移已

个单位长度,可以得到y=2sin3x的图象,故选D.

3.(2022全国甲文,5,5分)将函数/a)=sin(3x+以(s>0)的图象向左平移沙单位长度后得到曲线C,若C

关于>•轴对称,则s的最小值是()

A.：C.1*

答案C设平移后的曲线C对应的函数为产g(x),

则g(x)=sin［w(x+/)+引=sin(sx+春+：)

又曲线C关于)，轴对称，

.•.詈+m=GlGZ),...0=2*+1GtWZ).

又CO>0,0min=:故选C.

4.(多选)(2020新高考/,10,5分)如图是函数产sin(s+3)的部分图象，则sin(①x+p)=()

答案BC由题图可知,5=斗-5=4,•r="，由7=仔可知，普="，二网=2,不妨取3=2,则

236N|6)|\(t}\

/(尤)=0吊(21+9),又：图象过像0),・入m偿+3)=0,又,•仁是f(x)的下降零点，.•.>9二冗+2火五，&WZ,工

0号3n,kGZ、不妨取w号,则f(x)=siQ+苧)=sin[(2x+5)+,]=cos(2x+^),/(x)=sin(2x+

y)=sin[n-Q-2x)]=sinQ-2x),故选BC.

5.(2016课标口理,7,5分)若将函数y=2sin2x的图象向左平移灯单位长度，则平移后图象的对称轴为

()

kitn,、kirn,、

A.x=----(k£Z)B.x-I(k£Z)

2626

/cnn,kirR,，、

C.x=——(zkGZ)D.x=—+—(kGZ)

4JL4J.4

答案B将函数y=2sin2x的图象向左平移会单位长度得到函数y=2sin[2(x+期=2sin(2x+的

TTTTKTTTTI/TT-TT

图象,由2x+-=kn^(kcZ),可得x=与T(keZ).则平移后图象的对称轴为x=-+-(k£Z),故选B.

O44OZO

易错警示本题易犯的错误是将原函数的图象平移后得到函数尸2sin(2x+号)的图象.

6.(2016课标I文,6,5分)将函数y=2sin(2x+匀的图象向右平移*周期后,所得图象对应的函数为

()

A.y=2sin(2x+B.y=2sin(2x+以

C.y=2siGJ)D.y=2siGY)

答案D该函数的周期为TI,将其图象向右平移;个单位后,得到的图象对应的函数为y=2sin(2G-；)+

，二2sin(2%-1)，古烟D.

易错警示三角函数图象的平移变换中，"左加右减”是对X而言的,将x变为X-2而不是将2X变为2X--.

44

评析本题主要考查三角函数图象的平移变换，注意"左加右减”仅针对X.

7.(2016四川理,3,5分)为了得到函数y=sin(2x-的图象,只需把函数y=sin2x的图象上所有的点

()

A.向左平行移动软单位长度

B.向右平行移动》单位长度

C.向左平行移动£个单位长度

D.向右平行移动步单位长度

答案D将y=sin2x的图象向右平行移动作单位长度得到y=sin[2（%-习卜sin（2x-三）的图象,故选

D.

评析将y二sin（2x-化为y=sin[2（x-合）]是解题的关键.

8.（2016课标I[文,3,5分）函数y二Asin（u）x+（p）的部分图象如图所示，则（）

C.y=2sin（%+习D.y=2sin（X+宙）

答案A由题图可知A=2,我-（-9力，则E所以3=2,则y=2sin（2x+（p）,因为题图经过点得,2）,所以

2sin（2x]+（p）=2,所以g+（p=2kTl+5,kWZ,即邛=2丘-己,k®Z,当k=0时,中弋,所以y=2sin（2%-1故

选A.

评析本题考查由三角函数的图象确定函数的解析式,其中A由函数最值确定,3由周期确定,相邻的最高点

与最｛氐点之间的水平距离为半个周期,（p通过确定点的坐标来求即可.

9.（2015课标I理,8,5分）函数f（x）=cos（3x+（p）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（)

A.(/nr-kit+[),k£Z

B.(2/m—2kit+[),kWZ

C.G-[,k+g,k£Z

3V，2k+*

D.,kez

答案D由题图可知芸卜，所以T=2.结合题图可知，在［-"(f(x)的一个周期)内，函数f(x)的单调

递减区间为(-［().由f(x)是以2为周期的周期函数可知,f(x)的单调递减区间为(2k-i,2k+,),ke

Z,古嫡D.

10.(2015陕西理,3,5分)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3singx+中)+k,

据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()

答案C因为函数y=3singx+(p)+k的最小值为2,所以-3+k=2,得k=5,故这段时间水深的最大值为

3+5=8(m),选C.

评析在解答应用题时,正确理解函数模型中各变量的实际意义是解题的关键.在形如y=Asin(3x+(p)+k的

函数模型中,往往是由函数图象的最高点和最低点的纵坐标来确定A,k的值.

11.(2014课标I理,6,5分)

如图，圆0的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线0A,终边为射线0P,过点P作直

线0A的垂线,垂足为M,将点M到直线0P的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在［0,TT］上的图象大致为

()

答案C由题图可知:当日时,0P_L0A,此时f(x)=0,排除A、D;当xe(0,])时,0M=cosx,设点M到直线

0P的距离为d,则W；=sinx,即d=0Msinx=sinxcosx,

OM

.,.f(x)=sinxcosx=^sin2xg,排除B,故选C.

12.(2012课标文,9,5分)已知3>0,0<(p<TT,直线x三和x二苧是函数f(x)=sin(wx+(p)图象的两条相邻的对

称轴，则中=()

nITTT3TT

AqB.-C,-D.-

答案A由题意得督2(：TT-,「.3二1,7.f(x)=sin(x+(p),.q+cp=k吗(kWZ),(p二k%(k£Z),又(K(p

<n,••(p--,故选A.

评析本题考查了三角函数的图象和性质,掌握相邻对称轴的距离为周期的一半是关键.

13.(2016北京,7,5分)将函数y=sin(2x-以图象上的点P6,t)向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若

P'位于函数y=sin2x的图象上，则()

A.t=is的最小值为mB.I哈s的最小值为、

c.t=iS的最小值为］D.t=y,S的最小值为］

答案A点P(：,t)在函数y=sin(2x-£)的图象上，

.•.t=sin(2x=-2)4

所以P(怎

将点P向左平移s(s〉0)个单位长度得P'-s,0.

因为P'在函数尸sin2x的图象上，

所以sin12一s)K即cos2s=1,

IT51T5IT

所以2s=2kn+-(kwz)或2s=2kir七尹(kez),即s=kn+-(kwz)或s=kn+—(keZ),又s>0,所以s的最小值为

3Doo

TT

6'

14.(2016课标HI,14,5分)函数丫=$5x-V3cosx的图象可由函数y=sinx+J5cosx的图象至少向右平移

个单位长度得到.

2

答案F

解析设f(x)=sinX-V3C0Sx=2sin(x+|TT),g(x)=sinx+V3cosx=2sin(x+2),将g(x)的图象向右平

移(p((p>0)个单位长度后得到函数g(x-(p)=2sin(x-9+g)=2sin(x+g)=f(x)的图象,所以x-(p+^=2kTT

Su41T2IT

+x+-y,keZ,此时<p=-2klt-kEZ,当k=-l时,<p有最小值,为

方法指导先利用辅助角公式将两函数的解析式转化成同名三角函数式,再根据三角函数图象变换遵循的

"左加右减"规律求解.

15.(2023课标II,16)已知函数/(X)=sin3X+°),如图A,B是直线y=，与曲线y=/(X)

的两个交点，若|A3|=7,则/（兀）=

\IAr

vV

【答案】

2

［解析］设U，《X2，g］，由阴=可得％_71

--，

6

i兀57r

由sinx=—可知，x=—+2®或x=----\-2kjt,kwZ,由图可知，

266

4%+0一（叫=兀_q=年,即0（/—%）=2,兀（

一，「•69=4・

3

（2）.（8K［8兀.8,

因为/［4兀）=sin［-y+eJ=O,所以-^-+0=E,即（P———71+Kit>k£Z.

所以f（x）=sin—［兀+攵兀）=sin（4x—g兀+E）,

所以/（x）=sin14工一|■兀）或/（x）=_sin（4%一*|兀），

百

又因为/（0）<0,所以/（不）=§由（4工一日兀），.・./（兀）二.（A21

13J2

16.（2021全国甲文，15,5分）已知函数/（x）=2cos（0x+3的部分图象如图所示,则心）=_____.

答案解题指导:利用所给函数/（x）=2cos0x+p）图象中的关键点求出3,9,再将x样代入/（x）的解析式即可

求出尼）.

解析由题图可知点写0）,（詈2）在f（x）的图象上，.弓=詈一合拳则上“，所以I。呼=2,不妨取

3=2,则函数fix）=2cos（2x+（p）,将（贵,2）代入得,2x詈+p=2*"，及《Z,解得p=-詈+2&n,k^T.,

.•.姆）=2cos（2x,-詈+2kn）=-y/3,k^Z.

17.（2016江苏,9,5分）定义在区间［0,3n］上的函数丫=51112x的图象与y=cosx的图象的交点个数

是•

答案7

解析在同一平面直角坐标系中作出y=sin2x与y=cosx在区间［0,3n］上的图象（如图）.由图象可知，共

有7个交点.

思路分析解决交点个数问题一般采用“数形结合”的思想方法，因此准确画出相关函数图象是解题的关键.

18.（2015湖南文,15,5分）已知3>0,在函数y=2sin3x与y=2cos3x的图象的交点中,距离最短的两个交

点的距离为2百,则3=.

答案2

y=2sincox,

»消去y,得sin（JOX-COS3X=0,

{y=2coscox

即近sin（/x-：）=0,解得x=k£Z.

取k=0.1,可得距离最短的两个交点的坐标为（看,何,偿,-V2）,又两交点的距离为2低

所以忌_汾?+（正+后）三（2百）；解得3寺

19.(2014重庆文，13,5分)将函数f(x)=sin(3x+(p)(3>0,-^<(p<号图象上每一点的横坐标缩短为原

来的一半,纵坐标不变,再向右平移方个单位长度得到y=sinx的图象则f弓)二.

答案孝

向左平移1•个

O

y=sin(x+

解析y=sinx单位长度

纵坐标不变广

横坐标变为原来的2倍y=sin(gx+.),

必以+5」仅Nin信+£)=sin}¥.

即r(x)二:sinl

20.(2013课标n文,16,5分)函数y=cos(2x+(p)(-nW(p<Tl)的图象向右平移1个单位后,与函数y二sin(2x+

9旃

怎

5

答

案feni

6-

解析令y=f(x)=cos(2x+(p)，将其图象向右平移处单位后得-升cos[2&-9+小cos(2x+<p-

n)=sinf(2x+(pF)/]=sin(2x+(p/)，因为与y=sin(2x+以的图象重合,所以q)K+2kTT(keZ),所以

(p=2kn+7TT(kez),又FW(p5,所以9多.

oo

21.(2011浙江文,18,14分)已知函数f(x)=Asin管x+中),xGR,A>0,0<(p<^.y=f(x)的部分图象如图所

示,P、Q分别为该图象的最高点和最低点,点P的坐标为(1.A).

⑴求f(x)的最小正周期及cp的值:

⑵若点R的坐标为(1,0),ZPRQ=y,求A的值

解析(1)由题意得,丁=弟=6.

3

因为P(l,4)在y=Asin管x+中)的图象上，

所以sinQ+<p)=l.

又因为0<怅,所以党.

(2)设点Q的坐标为(xo,-A).

由题意可知白卓用,得xo=4,所以Q(4,-A).

3oL

连接PQ,在△PRQ中,NPRQ=7,由余弦定理得

RP2+RQ2―PQ2

cosNPRQ二

-2RPRQ-

屋+9+储一(9+4储)_1

2A^9+A2

解得AM.

又A>0,所以A=V3.

评析本题主要考查三角函数的图象与性质、三角运算等基础知识.在(2)中,求出点Q坐标,根据aPR。的

边角关系，列出关于A的方程是求解关键.

考点2三角函数的性质及其应用

1.(2023全国乙理,6)已知函数f(x)=Sin(5+。)在区间(乙，@］单调递增，直线x=工和*=空

<63J63

为函数y=/(x)的图像的两条对称轴,

A.---------D.-------L.-

222

【答案】D

【解析】因为/(%)=sm(69x+。)在区间|,——单调递增，

<63J

T2兀7L712,71

所以一=-------二一,且69>0，则7=兀，w=—=2,

2362T

当尤=—时,，/(x)取得最小值，则2—卜cp=2kit—,keZ，

662

则e=2E—2,左eZ，不妨取左=0,则/(x)=sin2x-=

6I6

2.(2021北京,7,4分)已知函数/(工)=85“8$2%,则该函数为()

A.奇函数,最大值为2B.偶函数,最大值为2

C.奇函数,最大值为JD.偶函数,最大值为J

答案D/(x)的定义域为R,关于原点对称，旦/(-x)=cos(-x)-cos(-2x)=cosx-cos2x=f(x),所以/(x)为偶函数.

/(x)=COSX-COS2x=COSX-(2cos2x-1)=-2cOS2X+COSx+1=-2(COSX-+:当C0S4即寸，f(力max=1.故选D.

解题指导:先判断函数的奇偶性,再借助二倍角的余弦公式将f(x)=cosx-cos2x转化为关于8sx的二次函数,

进而在［-1,1］范围内求二次函数的最值.

3.(2021全国乙文,4,5分)函数/(x)=siq+cos：的最小正周期和最大值分别是()

A.3n和夜B.3冗和2C.6n和心D.6n和2

答案C解题指导:先对函数f(x)进行三角恒等变换,再利用三角函数的周期公式、求值域的方法进行求解.

解析由题意知：

/(x)=sin|+cos|=V2(ysinj+ycos=V2sinQ+最小正周期7=?=6兀；当sinQ+^)=1,即

3

X=”+60,Z时，f(x)取最大值夜,故选C.

4

易错警示对三角恒等变换公式不熟练,不能将函数化成产Asin(S+M(A>0,。>0)的形式,导致后面无法求

解.

4.(2021新高考/,4,5分)下列区间中，函数/(x)=7sin(x-］单调递增的区间是()

A.(O^)B.g,n)C.(n,y)D.(y,2ir)

答案A解题指导：由三角函数的单调递增区间表示出f(x)=7sin(x—习的单调递增区间,通过运算求出x

的取值范围,结合选项分析即可.

解析/(x)=7sin(x

令2kn/VX-叁2欠Ji后,LGZ,

解得2"岩?"玲，mZ,

令：0,得Tx<g.故选A.

5.(2022北京,5,4分)已知函数/6)=«»2*-$汨2人,贝9()

A./(x)在(一：,一J上单调递减

BJ(r)在(-：,()上单调递增

C./3在(0彳)上单调递减

DJ(X)在(/工)上单调递增

答案Cf(x)=cos2x-sin2x=cos2x,令2*n<2v<2&n+n,«ez,解得kn<x<k”+^,k^-Z,贝U/(x)的单调递减区

间为(/cn,/cn+]),&GZ;令2*n-“<2x<2kn,&GZ,解得k",&WZ,则/(x)的单调递增区间为

(kn-'/nr),k^Z.

对于A,f(x)在(―上单调递增，故A错误；

对于B,f(x)在(-：,0)上单调递增,在(0,自上单调递减,故B错误；

对于C,f(x)在(0,与上单调递减,故C正确；

对于D,f(x)在(：,与上单调递减,在工)上单调递增，故D错误.故选C.

6.(2022新高考1,6,5分)记函数f(x)=sin(sx++从3>0)的最小正周期为T.若争<",且y=f(x)的图象

关于点管,2)中心对根则尼)=()

A.1B.|C.|D.3

答案A•.,空<7<n,3>0,.•伫<生<”,；.2<3<3①.

33(1)

又月(x)的图象关于点(共2)中心对称，

(b=2,

‘卜号+：=kn(k€Z),

从而0=2-；(*WZ)②，由①②知(取上4),

362

•VU)=sin(|x+^)+2,：.f⑶=sinjit+2=1.

7.(2021全国乙理,7,5分)把函数.产/tv)图象上所有点的横坐标缩短到原来的3倍,纵坐标不变,再把所得曲

线向右平移三个单位长度，得到函数产sin(x-：)的图象，则g)=()

A.sin仔一号)B.sing+^)

C.sin°x—工)D.sin(2x+

答案B将函数产sin(x-：)的图象向左平移软单位长度可得函数产疝[1+与-弓=sin(x+9的图

象,再将该函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,可得函数y=f(x)的图象,则

f[x)=sinQ+己),故选B.

易错警示(1)忽略图象的平移规律：“左加右减”，从而错选A;

（2）对横坐标伸长到原来的2倍理解不清,误认为是x的系数乘2,从而错选D.

8.（多选）（2022新高考H,9,5分）已知函数f（x）=sin（2_t+Q（0<夕<n）的图象关于点传,0）中心对称,则

（）

A./（x）在区间（0,工）单调递减

B./G）在区间（-工，詈）有两个极值点

C.直线是曲线y=f（x）的对称轴

D.直线y=^-x是曲线y=f（x）的切线

答案AD因为f（x）的图象关于点传,0）对称，所以sin管+w）=0,即苧+,4n,k—故1P=k*拳止Z.结

合0«p<n,得0号,所以./'（X）=sin（2x+笋.

对于A,令｝2&n<2x+^-<g+2&n,&GZ,解得吟+Xn,kG"L,故f（x）的单调递减区间为-

吟+k31）瑞+kn,«匕.显然（0噌）I卜曰+“n泻+上斗FZ,故A正确.对于B,f'（x）=2cos（2x+4）,令

/'（x）=0,得2x+*kn与&ez,即产aYZ.又因为詈）,所以尸患,故人）在区间（-?詈）

只有一个极值点,LGZ,故B错误.对于C,令2r+y=Ji,在Z,解得x=-^+y,kj故C错误.对于D,

结合B,令2cosgx+y）=-l,得2x+^=等1'2欠n,ZrCZ或2x+*=£+2"n,%WZ,解得x=k”,Z或

，&CZ,故其中一个切点为（0,苧）,则曲线y=/（x）在该点处的切线方程为广争-x,即丫考-x,故D正确.

故选AD.

9.（2022全国甲理，11,5分）设函数/W=sin（wx+5）在区间（0,n）恰有三个极值点、两个零点，则。的取值

范围是（）

A卷5）B.[|受）

c.（盟«■（?.?]

答案C由x£（o,冗）得W（m，3ir+；）,要使函数f（x）=sin（3X+1）在（0,兀）内恰有三个极值点、两

个零点,则如智的取值应包括要』上一表2三力拳一所以四<切11+^-371，解得£Vco4*即①的取值范围为

偿图，故选C

10.(2019课标111理,12,5分)设函数小)=5m缶+叁(3〉0),已知f(x)在［0,2n］有且仅有5个零点.下述

四个结论：

①f(x)在(0,2n)有且仅有3个极大值点

②f(x)在(0,2n)有且仅有2个极小值点

③f(x)在(0*)单调递增

其中所有正确结论的编号是()

A.①④B.②③C.①②③D.①③④

答案I)本题主要考查三角函数的图象、性质及其应用,函数的零点、极值点、单调性等知识,通过对函数

f(x)=sin(Wx+2)图象的研究,考查学生将复杂图象化归为简单图象，将陌生问题转化为熟悉问题的能力，

考查了直观想象的核心素养.

令L3X£(u)>0),-/XG［0,2TT］,

」.te愕,2371+弓且y=sint,

.「f(x)在［0,2n］上有且仅有5个零点，

.,.y=sint在R,231T+3上有且仅有5个零点，

.•.2UJTT-^G［5TI,6TT),

・3e降高，故④正确.

y=sint在根,2371+［上极值点的个数即为f(X)在［0,2汨上极值点的个数.

由y=sint在偿,23TT+弓上的图象可知f(x)在［0,2n］有且仅有3个极大值点，有2个或3个极小值点，故

①正确，②错误.

当xe(。*)时，瑞+叁，

又3噜制,

amn［Ilir49n\

'To+5eL^5-,Too7,

49TTTT

'---＜一,

1002

/nton*u（o*

"\5,105J-V，2）>

.■.y=sint在te&詈+叁上单调递增.

.•.y=f（x）在（0,弓）上单调递增，故③正确.

故选D.

解题关键①令t=3x］（3>0）,利用整体思想将原函数转化为y=sint来研究.

②当3>0时,y=sin（3X+的图象可由y=sinx的图象经过平移、伸缩变换得到,y=sin（sx+晟）的增、

减区间可通过讨论y=sinx的增、减区间得到.

11.（2017课标II文3,5分）函数£6）=55（2》+§的最小正周期为（）

TT

A.4nB.2TTC.TID.-

答案C本题考查三角函数的性质.

由题意得3=2,所以函数f（x）=sin（2x+或的最小正周期T^n.故选C.

12.（2017山东文,7,5分）函数y=V3sin2x+cos2x的最小正周期为（）

A."B.■—C.TID.2n

23

答案C本题考查三角函数辅助角公式及三角函数的性质.

y=V3sin2x+cos2x=2sin（2久+J,

从而最小正周期T-y-n.

13.（2017课标m文,6,5分）函数《）春岫+凯尔（—9的最大值为（）

631

A.-B.1C.-D.—

答案A⑸春4%+9+cos（x一匀

1/1,V3、g1.

=-1-smx+—cosxcosx+-sinx

3.3V3

=-sinx।$cosx

=|x2sin（x+=）

寺in（x+5

，f(x)的最大值为右

故选A.

一题多解「cosG-聿)二cos偿-x)

En慨一停一x)卜sin停+x),

.'.f(x)=gsin(x+0,/.f(x)„nx=|.古嫡A.

14.(2016课标n文,11,5分)函数f(x)=cos2x+6cos(5-x)的最大值为()

A.4B.5C.6D.7

3\211

(sinx--J,当sinx=l时，f(x)取得最大值5,故选B.

思路分析利用二倍角的余弦公式及诱导公式将f(x)=coS2x+6cosg-x)转化为关于sinx的二次函数,

通过配方来求最值,注意不要忘记sinxG[-1,1],

15.(2016山东理,7,5分)函数F(x)=(百sinx+cosx)(V3cosx-sinx)的最小正周期是()

A.-B.nC.-D.2n

22

答案B*.*f(x)=(V3sinx+cosx)(V3cosx-sinx)=4sin(x+•cos^x+.)=2sin(2%+三)，.丁二皇二

n,故选B.

评析本题主要考查辅助角公式及三角恒等变换，属中档题.

16.(2016浙江,5,5分)设函数f(x)=sir?x+bsinx+c,则f(x)的最小正周期()

A.与b有关且与c有关B.与b有关但与c无关

C.与b无关,且与c无关D.与b无关，但与c有关

答案Bf(x)=sin%+bsinx+c,若b=0,则f(x)=sin%+c二g(l-cos2x)+c,此时f(x)的周期为n；若bWO,则

f(x)的周期为2ir,所以选B.

2n

17.(2015安徽理,10,5分)已知函数f(x)=Asin(3x+(p)(A,3,q>均为正的常数)的最小正周期为TT,当x=H时,

函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是()

A.f(2)<f(-2)<f(0)B.f(0)<f(2)<f(-2)

C.f(-2)<f(0)<f(2)I).f(2)<f(0)<f(-2)

又A>0,7.f(g)=-A,即sin(g+(p)=T,彳导(p+与=2kn+-^,k£Z,即(p=2k

答案A*/u)>0,/.T=—=n,/.u)=2.

o）

11+/keZ,又••,(p>0,.,.可取f(x)=Asin(2x+£),TT、，、71

「.f(2)=Asin(4+£),(-44--j,f(0)=Asin-.

在（—r,—IT）上为减函数.，.sin（—4+

•.TC<4^<y,.-.f(2)<0.<-4+-<-n,S.y=sinx

o6

］〈sin(-2)=si吟,且sin(-4+^>sin(-n)=0,从而有(Kf(-2)<f(0).故有f(2)<f(-2)<f(0).

评析本题考查三角函数的周期性、单调性、最值和三角函数值的大小比较.准确判断4T与-4+?的范围是

OO

解题的关键.

18.(2014课标I文,7,5分)在函数①y二cos|2x|,②y二|cosx|,③y=cos9中，最小

正周期为TT的所有函数为（）

A.①②③B.①③④C.②④D.①③

答案A①y二cos12x|二cos2x,最小正周期为n；

②由图象知y=|cosx的最小正周期为TT：

③y二cos（2x+1的最小正周期二TC;

④y二tan（2x-的最小正周期小/.

因此选A.

评析本题考查三角函数的周期性,含有绝对值的函数可先变形再判断,或运用图象判断其最小正周期.

19.（2012课标理,9,5分）已知3〉0,函数f（x）=sin（sx+在七九）单调递减，则3的取值范围是（）

J

c.（0,1]D.（0,2]

答案A由彳〈X〈TT得k+j<3x+T<3n=，

22444

又y=sina在g|n）上递减，

”n

/+>

IIT一-

1242

3

+<

殖

3n7T一-

4-2

解得关3行故选A.

评析本题考查了三角函数的单调性,考查了运用正弦函数的减区间求参数的问题.

20.(2011课标理，11,5分)设函数f(x)=sin(3x+(p)+cos(3x+<p)(co>0,\<p\<]的最小正周期为n,且

f(-x)=f(x)』U()

人，6)在(0弓)单调递减

B.f(x)在g与)单调递减

。/«)在(0弓)单调递增

D.f(x)在弓，片)单调递增

答案Af(x)=sin(3x+tp)+cos(3x+(p)=V5sin(3x+cp£),♦周期T=g=ir,.13=2.又f(-x)=f(x),即f(x)

为偶函数,.1甲-卜吗,<p=kn+^,kez.

又(p|<^,-.(P.,.f(x)=V2sin^2x+5)=应cos2x,易得f(x)在(0弓)上单调递减,故选A.

评析本题考查三角公式和三角变换,考查三角函数y=Asin(3x+(p)的单调性、奇偶性的判定,属中等难度

试题.

21.(2011课标文，11,5分)设函数£&)=55(2*+：)+«>5(2丫+：),贝!]()

A.y=f(x)在(04)单调递增,其图象关于直线x="对称

B.y=f(x)在(04)单调递增,其图象关于直线x/对称

C.y=f(x)在(04)单调递减，其图象关于直线x=；对称

D.y=f(x)在(04)单调递减,其图象关于直线寸称

答案Df(x)=sin(2x+；)+cos(2x+；)=夜•sin(2x+])=gcos2x,其部分图象如图.故选D.

评析本题考查三角恒等变换、诱导公式及三角函数的图象等知识，考查学生综合应用三角知识分析和解决

问题的能力,属中等难度试题.

22.(2016课标1,12,5分)已知函数f(x)=sin(3x+<p乂3>0,\<p\<x=—为f(x)的零点,x=：为y=f(x)

图象的对称轴,且f(x)在信,粉单调，则3的最大值为()

A.11B.9C.7D.5

0)•=mir,

答案B由f(x)在儒粉上单调，制TT>5TTIT+叩

:,「.3W12,依题意,有,(m、nWZ),

O)3618,nK

--+<p=

4「+5

o)=2(n—m)4-1,

2(m+n)+l

9=-4-m

又(p|君,「.m+nR或ni+n=T.当m+n=O时,3=4n+l,(p=：,取n=2,得3=9,f(x)=sin(9%+符合题意.当

m+n=T时,(p=-^,U)=4n+3,取n=2,得3=11,f(x)=sin^llx-：),止匕时,当(蓝，亮口)时，1卜-于£

(H"潦")，f(X)不单调,不合题意.故选B.

解后反思本题要求3的最大值,正面入手难度较大，故对3取特殊值进行检验.

23.(2023课标1,15)已知函数〃X)=COSGX-l(G>0)在区间［0,2可有且仅有3个零点，则切

的取值范围是.

【答案】〔2,3)

【解析】因为0WXW2TT，所以加，

令/(尤)=COSGX-1=0,则COS5=1有3个根,

令/=则COSf=l有3个根，其中，£［0,2加］,

结合余弦函数y=cost的图像性质可得4兀<2canv6兀，故2W幻v3，

y=cos/

24.(2022北京，13,5分)若函数/(x)=Asinx-V3cosx的一个零点为三,则A=;/(高=.

答案1；-V2

解析由题意知/§=(),即Asin三-V3cos三二0,解得A=l,所以f(jc)=sinx-V3cosx=2sin(x—以，所以

/(J=2sin倨-g)=-2sin:=­2x=—\/2.

25.(2022全国乙理，15,5分)记函数/(x)=cos(cwx+^)((y>0,0<(p<亢)的最小正周期为T.若f(T)二辛式甘为/(》)

的零点,则s的最小值为.

答案3

解析VT=—,w>0,/(T)=v，

CO2

/.COSTCOX"+3)=当,Acos^=y,

n,••(P^.*./(x)=cos(o)x+：),

又詹)=0,，8S管+务o,

.•专+知呜(g),.W=k+*Z),

：.a>=9k+3UeZ).

,.,w>0,：.k=0时,co取得最小值3.

解题指导:首先通过函数图象，确定。和夕的取值,然后分别求出_/(-力和信，的值,最后结合三角函数的

单调性确定最小正整数x的值.

解析设函数/(x)的最小正周期为T,则

尹=署冶=生解得六”，

则咎二31，解得㈤=2,不妨取tt>=2,此时/(x)=2cos(2x+(p).

将&0)代入上式,得4+*=>2",kez,

(p=-^-2kn,&WZ,取9二-三,

/(x)=2cos(2x-'),

,■,X-T)=2COS(-T-9=2cosf=l,

偌J)=2cos管-?)=2cosf=0,

...不等式可化为J(x)-1)/(x)>0,解得f(x)>I或/㈤<0.

由f(.x)>1,得2cos(2x—.)>1,即cos^2x—弓)>*①

由/(x)<0,得cos(2x-9<0,②

由①得-+2kn<2喘<>2&Jt.JieZ,

解得脸+"加n,&CZ,欲使“为最小正整数，则依1,此时,詈<X<号；

由②得it<2x--<—+2kn,A：eZ,

262

解得3+欠n<x<”+Xn,jtGZ,欲使x为最小正整数,则k=0,此时,<X<

3636

综上，最小正整数x为2.

方法点拨解本题的关键是能够正确求解fix)的解析式,然后能结合三角函数的单调性求出x的取值范围.

27.(2018课标IH理.15,5分)函数f(x)=cos(3x+£)在i。，用的零点个数为.

答案3

解析令f(x)=0,得cos(3x+胃=0,解得x岑3(keZ).当k=0时,x=1;当k=l时,x[;当k=2时,x卷，

又xG[0,1T],所以满足要求的零点有3个.

28.(2018江苏,7,5分)已知函数y=sin(2x+(p)(-2<<p<的图象关于直线对称,则<p的值

是.

答案T

解析本题考查正弦函数的图象和性质.

〔•函数y=sin(2x+tp)的图象关于直线对称..力/时,函数取得最大值或最小值,「.sin得+<p)=±l.

2ITTt.、TT..

+(p=kir+—(keZ),「.(p=kT[-二(kwZ),

326

一ITTTIT

又育85.即=方

29.(2018北京理，11,5分)设函数f(x)=cos^a)x—J(3>0).若f(x)Wf(9对任意的实数X都成立,则3的

最小值为.

2

分口室某-3

解析本题主要考查三角函数的性质及其应用.

•••f(x)Wfg)对任意的实数X都成立,.

•U)~—=2kT[,k£Z,整理得3二8k七k£Z.

463

2

又3>0,.,.当k二0时,3取得最小值]

名师点睛由题意知函数11(x)在处取得最大值,从而得出答案.

30.(2017课标口理，14,5分)函数1«)=53%+旧(；。$的最大值是.

答案1

解析本题主要考查三角函数的最值.

由题意可得f(x)=-cos2x+V3cosx+^=-^cosx-亨)+1.

\*x£[^0,—j,/.cosx£[0,1].

.,.当cosx二■时，f(x)rox=l.

31.(2017课标n文,13,5分)函数f(x)=2cosx+sinx的最大值为.

答案V5

解析本题主要考杳三角函数的最值.

由题意可知f(x)=2cosx+sinx=V5sin(x+q))(tancp=2),

.J(x)的最大值为V?

32.(2015天津文，14,5分)已知函数f(x)=sinUJx+cos3x(3〉0),x@R.若函数f(x)在区间(3,3)内单调

递增,且函数产f(x)的图象关于直线x=3对称，则3的值为.

答案y

f-/ir\TT-TT-rr2/tTt-彳TT2kll+彳

解析由已知得f(x)=V2sinl3x+：),令2kn--^U)x+-^2kTt+-,kGZ,由3>0,得"WxW-----,

\4/24