内蒙古赤峰市红山区2023-~2024学年高一上学期期末考试数学B卷（含答案解析）

红山区学年度第一学期学情检测试卷高一年级数学（B卷）注意事项：1.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，请将第Ⅰ卷选择题的答案用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后重新填涂；请将第Ⅱ卷的答案用黑色中性笔答在答题卡指定答题区域内，在本试卷上答题无效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保留.2.所有同学们答卷时请注意：（1）题号后标注学校的，相应学校的学生解答；（2）没有标注学校的题所有学生均需解答.3.本试卷共分，考试时间分钟.第I卷（选择题共分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由交集定义计算．【详解】根据集合交集中元素的特征，可得，故选：A.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题．2.下列图象中，不是函数图象的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的定义，要求定义域内的任意变量只能有唯一的与对应，结合图象判断即可．【详解】根据函数的定义可知，对应定义域内的任意变量只能有唯一的与对应，选项ABC中，每一个都有唯一的与对应，满足函数的定义，可以是函数图象，选项D中，出现两个不同的和同一个对应，所以不满足值的唯一性．所以D不能作为函数图象．故选：D．3.已知幂函数的图象过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】借助幂函数定义可设，代入点可得，即可计算.【详解】设，则有，即，故.故选：C.4.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先解绝对值不等式得或，再根据充分条件的集合关系判断即可得答案.【详解】解绝对值不等式得：或，因为，所以“”是“”充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件，解题的关键是分清楚集合之间的关系，是基础题.5.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根据存在量词命题的否定的知识确定正确答案.【详解】原命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，注意到要否定结论，所以D选项正确.故选：D6.若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（）A. B. C.5 D.7【答案】C【解析】【分析】求出时的解析式后，代入可求出结果.【详解】因为奇函数，且当时，，所以当时，，所以.故选：C7.若，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析】利用指数、对数函数单调性，结合“媒介数”比较大小即可.【详解】依题意，，，即，而，所以.故选：C8.已知，，且，则的最小值是（）A.18 B.16 C.10 D.4【答案】B【解析】【分析】先利用对数运算得，然后利用“1”的代换求解最小值.【详解】因为，，且，所以，所以，所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值是16.故选：B9.已知，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依题意，将化为，进而由基本不等式可得结果.【详解】因为，，且，所以，当且仅当即，时，有最小值.故选：B.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.10.下列函数的图象过定点的有（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】在每个选项中令，计算函数值，即可判断答案.【详解】根据题意，在每个选项中令，选项A中，，故函数图象过点，A正确.选项B中，，故函数图象不过定点，B错误.选项C中，，，故，故图象不过定点，C错误.选项D中，，故函数图象过点，D正确.故选：AD.11.已知实数a，b，c满足a<b<c，且ac<0，则下列式子一定成立的是（）A. B.C. D.ac（a-c）>0【答案】BD【解析】【分析】根据题意，结合不等式的基本性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意知，实数满足且，可得不确定，对于A中，当时，，所以A不正确；对于B中，由，可得，所以B正确；对于C中，由，因为的符号不确定，所以C不正确；对于D中，由，可得，所以D正确.故选：BD.12.若函数在上单调递增，则的取值可以是（

）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】先判断出在上的单调性，然后根据条件列出关于的不等式组，由此求解出的取值范围，则正确选项可知.【详解】因为当时，函数为单调递增函数，又函数在上是单调函数，则需满足，解得，所以实数的范围为，所以满足范围的选项是BC，故选：BC.13.下列说法中正确为（）A.已知函数，若，有成立，则实数a的值为4B.若关于x的不等式恒成立，则k的取值范围为C.设集合，则“”是“”的充分不必要条件D.函数与函数是同一个函数【答案】AC【解析】【分析】根据函数的对称性，可求得a值，即可判断A的正误；分别讨论和两种情况，结合二次型函数的性质，可判断B的正误；根据集合的包含关系及充分、必要条件的概念，可判断C的正误；根据同一函数的定义，可判断D的正误，即可得答案.【详解】对于A：由成立，可得函数的对称轴为，又二次函数的对称轴为，所以，解得，故A正确；对于B：当时，可得成立，满足题意，当时，可得，解得，综上k的取值范围为，故B错误；对于C：当时，，所以，充分性成立，若，则或，解得或，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确；对于D：函数定义域为R，函数的定义域为，定义域不同，故不同一函数，故D错误，故选：AC14.下列命题中，正确的有（）A.函数与函数表示同一函数B.已知函数，若，则C.若函数，则D.若函数的定义域为，则函数的定义域为【答案】BC【解析】【分析】A.两函数的定义域不同，故不是同一函数，所以A错误；解方程组，故B正确；求出，故C正确；函数的定义域为，故D错误.【详解】解：的定义域是，的定义域是或，两函数的定义域不同，故不是同一函数，所以A错误;函数，若，则所以，故B正确；若函数，则，故C正确；若函数的定义域为，则函数中，，所以，即函数的定义域为，故D错误.故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.15.计算______.【答案】1【解析】【分析】利用对数的运算性质分别计算出括号中的值，然后结果可知.【详解】原式，故答案为：.16.若函数，则__________．【答案】【解析】【分析】利用换元法求出的解析式，代入数字即可求解.【详解】，令，则，，即，.故答案为：.17.，成立为真命题，则实数的取值范围______.【答案】.【解析】【分析】根据题意转化为，恒成立，得到，即可求解.【详解】由题意，命题，成立为真命题，即，恒成立，当时，，所以，即实数的取值范围.故答案为：.18.已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，且，都有成立，，则不等式的解集为_______.【答案】【解析】【分析】利用函数的图象的对称中心是可得是上的奇函数，由可得，故可得在上单调递增，然后分，和三种情况进行求范围即可.【详解】因为是向左平移1个单位长度得到，且函数的图象的对称中心是，所以的图象的对称中心是，故是上的奇函数，所以，对任意的，，且，都有成立，所以，令，所以根据单调性的定义可得在上单调递增，由是上的奇函数可得是上的偶函数所以在上单调递减，当时，不等式得到，矛盾；当时，转化成即，所以；当时，转化成，，所以，综上所述，不等式的解集为.故答案为：.19.已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为_____.【答案】【解析】【分析】先根据题意得出函数的性质，并画出满足题意的一个大致图象；再根据图象即可求解.【详解】由函数为偶函数，可知函数关于对称，又函数在上单调递增，知函数在上单调递减，由，知，作出函数的大致图象，如下：由图可知，当时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则；所以不等式的解集为.故答案为：四、解答题：写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共分.20.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?【答案】将水池的地面设计成边长为的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.【解析】【分析】设底面长为，宽为，由容积为，可得，列出水池的总造价关于的函数关系可得，借助均值不等式即得解【详解】设底面长为，宽为则水池的总造价：（元）当且仅当时，等号成立.所以，将水池的地面设计成边长为的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.21.已知集合，，全集．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先求解出，然后根据交集运算求解出结果；（2）根据条件先判断出的关系，然后根据进行分类讨论，由此求解出的取值范围.【小问1详解】当时，，或，所以【小问2详解】若，则，①当时，；②，则，综上所述，或．22.已知（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）在下面坐标系中画出函数图象，并写出单调区间（无需证明）.【答案】22.奇函数，证明见解析23.作图见解析，单调递增区间为：，单调递减区间为：，.【解析】【分析】（1）根据奇偶性定义判断；（2）根据函数解析式作出函数图象，根据图象得出单调区间.【小问1详解】奇函数，证明如下：函数的定义域为R，当时，，，又，，当时，，，又，，且，故对任意，成立，所以函数是奇函数.【小问2详解】的图象为：单调递增区间为：，单调递减区间为：，.23.已知函数的图像经过点．（1）求函数的解析式；（2）判断函数在上的单调性并证明．【答案】（1）（2）函数在上单调递减；证明见解析【解析】【分析】（1）由的图像经过的点，列出方程组，即可求得答案；（2）根据函数解析式判断其单调性，利用函数单调性定义即可证明.【小问1详解】由题意知函数的图像经过点，故，解得，故；【小问2详解】函数在上单调递减；证明：设，且，则，因为，故，即，故函数在上单调递减.24.已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立.（1）证明函数是上的减函数；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）设，则，由条件得，再由条件可得，即可得证；（2）求出，利用单调性脱去函数符号解不等式求解.小问1详解】设，则，当时，恒成立，则，，即函数是上的减函数．【小问2详解】易知，则．，所以，解得或故x的取值范围是.25.已知函数在区间上的最大值为2，最小值为．（1）求实数a，b的值；（2）若对任意的，恒成立，求实数k的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）换元，转化成关于的二次函数，利用二次函数的单调性即可求解.（2）换元成关于的二次函数，利用参数分离，求解函数的最大值即可.【小问1详解】,令，设，，∵，对称轴为，∴在上单调递增，则即解得，∴实数a的值为1，b的值为0．【小问2详解】由，得，令，则，，当时，恒成立，即；当时，，令，则只需，由于均为上的单调递增函数，所以，在上单调递增，∴，∴，综上，实数k的取值范围为．26.已知函数.（1）解不等式；（2）设，，若对任意的，存在，使得，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）