广西壮族自治区三新学术联盟2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广西壮族自治区三新学术联盟2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试题注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选〖答案〗的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，将答题卡交回.5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的焦点坐标是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由可知抛物线焦点在轴上，且，∴，所以焦点为.故选：B.2.已知向量，，若，则z＝（）A. B.4 C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以.故选:A.3.设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为（）A. B. C.4 D.〖答案〗D〖解析〗椭圆，则，所以，因为是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为.故选：D4.已知等差数列的前5项之和为25，，则公差为（）A.6 B.3 C.4 D.5〖答案〗A〖解析〗在等差数列中，，所以，所以公差.故选：A.5.已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，则两直线与的交点为，依题意得，解得.故选：B.6.正项等比数列的前n项和为，，，则等于（）A.9 B.72 C.70 D.48〖答案〗D〖解析〗由题意，，设公比为q，，.故选:D.7.已知双曲线()，以双曲线C的右顶点A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗由于，因此点A到渐近线距离为，其中一条渐近线方程为，所以有，可得.故选：C.8.如图所示空间直角坐标系A﹣xyz中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线PA和底面ABC所成的角为，则P点的坐标满足（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由正三棱柱，且，根据坐标系可得：，，又是正三棱柱的底面内一动点，则，所以，又平面ABC，所以是平面ABC的一个法向量，因为直线PA和底面ABC所成的角为，所以，整理得，又z＝2，所以.故选:A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若圆M：与圆N：相交，则k的取值可能为（）A. B.1 C.3.8 D.4.2〖答案〗AC〖解析〗两圆的圆心分别为，，圆心距，半径分别为，，因为圆M与圆N相交，所以，解得或.故选：AC.10.关于x，y方程表示的曲线可以是（）A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆〖答案〗ABD〖解析〗由题意得：对于方程，①当时，方程即，表示圆；②当时，方程即，即，表示y轴；③当且时，方程即，若，方程表示双曲线；若且，方程表示椭圆.综合可得：方程不可能抛物线.故选：ABD.11.已知是等差数列，其前n项和为，，则下列结论一定正确的有（）A B.最小C. D.〖答案〗AC〖解析〗根据题意，数列是等差数列，设公差为，若，得，，，所以选项A正确；，如果，则，则最小；如果，则，由于，则最小；如果，则，由，时，则没有最小值，所以选项B错误；，得，所以选项C正确；，所以选项D错误.故选：AC.12.如图，在长方体中，是底面内的动点，，，，分别为，，，的中点，若，则下列说法正确的是（）A.的最大值为2B.三棱锥的体积不变，表面积改变C.若平面，则D.的最小值为〖答案〗BC〖解析〗对于A，是底面内的动点，则存在实数使得，则，所以，当点在线段上时，的最大值为1，故A错误；对于B，因为点到底面的距离为，底面面积为，所以三棱锥的体积为，是定值；三棱锥与三棱锥表面积不同，故B正确；以为原点，，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，于是，，，，设，则，，，所以，，解得，，于是，故C正确；由上述坐标系知，则，于是当，时，取最小值，故D错误.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若点在抛物线上，则该抛物线的方程为______.〖答案〗〖解析〗由在上，代入可得，即抛物线的方程为.故〖答案〗为：.14.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是______.〖答案〗〖解析〗空间向量，，则向量在向量上的投影向量是：.故〖答案〗为：.15.如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图的化学键和原子的个数之和为______个.(用含n的代数式表示)〖答案〗〖解析〗由图，第1个图中有6个化学键和6个原子；第2个图中有11个化学键和10个原子；第3个图中有16个化学键和14个原子，观察可得，后一个图比前一个图多5个化学键和4个原子，则第n个图有个化学键和个原子，所以总数为.故〖答案〗为：16.如图，棱长为1的正方体上有两个动点分别从顶点A、C同时出发并做匀速直线运动，最后同时到达顶点B、D，则在运动的过程中，两个动点间的最小距离为_____________〖答案〗〖解析〗如图，建立空间直角坐标系，根据题意可得：两动点间距离最小值坐标分别为，，，由空间两点间距离公式可得，因为，所以当时，取最小值，故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.在等比数列中.（1）已知，，求前4项和；（2）已知公比，前6项和，求.解：（1）设公比为q，由，，得，所以，所以；（2）由得，.18.已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上.（1）求圆C的方程；（2）过点的直线l与圆C交于P，Q两点，若，求直线l的方程.解：（1）因为，A，B的中点为，故AB的垂直平分线所在的直线方程为，即，由解得，故圆心为，半径，故圆C的方程为；（2）当直线l斜率不存在时，直线l的方程为，此时与圆C没有交点，不合题意；当直线l斜率存在时，设直线l的方程为，即，由，可得圆心到直线l的距离为，解得或0，故直线l的方程为或.19.已知的周长为，其中点，.（1）求点C的轨迹方程；（2）设D为点A关于直线的对称点，求线段CD的长度的取值范围.解：（1）由题意可知，所以，根据椭圆定义可知，点C轨迹为椭圆，且因此，c＝1，可得，则点C轨迹方程为，；（2）设点，因为点A与点D关于直线对称，于是有，解出，即点，设点为点C轨迹方程上一点，满足，，则，由于，所以时，，时，，又因，所以，因此.20.如图，O是圆柱下底面的圆心，该圆柱的轴截面是边长为4的正方形ABCD，P为线段AD上的动点，E，F为下底面上的两点，且，，EF交AB于点G.（1）当时，证明：平面CEF；（2）当为等边三角形时，求二面角的余弦值.解：（1）解法一：连接OP，CG，由题意可知，且，因此，易知，点G为OA中点，考虑与，，，且，因此，故，因此，在圆柱中，平面AEF，平面AEF，因此，又因为，，平面ABCD，因此平面ABCD，由于平面ABCD，因此，由于，，，EF，平面CEF，因此平面CEF；解法二：以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，此时，，，由于，，可求出，，因此，，，设平面CEF的法向量，则不妨令，则，，则，由于，因此平面CEF；（2）以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，则有，，，，设，若为等边三角形，则，，，于是或(舍去)，由（1）知平面的法向量为，，，设平面PEF的法向量为，则取，则，，，设二面角为，由图知为锐角，.21.已知过抛物线的焦点F，斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，且.（1）求抛物线的方程；（2）抛物线的准线与x轴交于点，过点的直线l交抛物线于M，N两点，当时，求直线l的方程.解：（1）由题意可知，设直线AB的方程是，A，B两点的坐标分别为，，与联立，消去y，得，所以，由抛物线定义得，所以，从而抛物线方程是；（2）由题意可知，直线MN的斜率存在且不为0，，设直线MN的方程是，设，联立方程得，化简得，由，解得，则所以，所以，所以，解得，即，满足，所以直线l的方程为.22.已知数列是以