2022-2023学年江苏省盐城市三高一年级下册期中联考数学模拟卷（含解析）

2022-2023学年江苏省盐城市三高一下册期中联考数学模拟卷

（含解析）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分：在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数α+3D（2Z-Z）=I0,其中i是虚数单位，［是Z的共辗复数，则z=（）

A.1+iB.1-iC.-l+iD.-l-i

2.已知向量”（1,2）,力=（1,-1）,c=（4,5）.若。与力一志垂直，则实数2的值为（）

1314

A.—B.------C.------D.—

14141411

3.已知CoSla+看］=；,0<α<π,则Sina的值为（）

4.如图，一个矩形边长为1和4,绕它的长为4的边旋转二周后所得如图的一开口容器（下

表面密封），P是BC中点,现有一只妈蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，若这只蚂蚁

要先爬到上口边沿再爬到点P处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（）

ʌ-Vπ2+36B∙7π2+16C√4π2+36

√4π2+1

5.已知A、B、C是平面上不共线的三点，。是AABC的重心，点P满足

OP^-OB+-OC+-OA,则AsACP与，BCP面积比为（）

663

A.5:6B.1:4C.2:3D.1:2

6.《九章算术》涉及算术、代数、几何等诸多领域，书中有如下问题：“今有圆亭，下周三

丈，上周二丈，高二丈，问积几何？”其意思为：“有一个圆台，下底周长为3丈，上底周长

为2丈，高为2丈，那么该圆台的体积是多少？”已知1丈等于10尺，圆周率约为3,估算

出这个圆台体积约有（）

37

A.47立方尺B.527—立方尺

49

3

C.427—立方尺D.1055,立方尺

4

7.已知aABC的内角A8,C所对的边分别为“∕,c,满足/+c?+ac—=0,则

Al-QQ

-tanScos2----2j3sinBsin—cos—的取值范围为()

222

ʌ(H33、θH(13>

D√I3√1

44

8.已知正方形A88的边长为2,现将沿对角线AC翻折，得到三棱锥。—ABC.

记AC,BC,A。的中点分别为0,M,N,则下列结论错误的是（）

D

A

A.MN与平面30。所成角的范围是

B.三棱锥。一A6C体积的最大值为逑

3

C.MN与AC所成角的范围是（二,∙∣）

D.三棱锥。一A6C的外接球的表面积为定值

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项

中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0

分.

9.欧拉公式康=CoSX+isinX是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域

扩大到复数集,建立了三角函数与指数函数的关联,在复变函数论里面占有非常重要的地位,

被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（）

A.e”对应的点位于第二象限

B.e*为纯虚数

e"1

C.-M一的模长等于一

√37+14

D.云的共辗复数为工一也i

e22

10.已知α,£是两个不重合的平面，m,〃是两条不重合的直线，则下列命题正确的是

（）

A.若，ml.an!Iβ,则Cj-A

B.若加_La,n/Ia,则加

C.若mHa,mHn,则〃//ɑ

D.若〃〃/“，allβ,则W与。所成的角和〃与夕所成的角相等

11.《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等直角三角形和中间一个小正方形

拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α、β,其中小正方形的面积为4,

大正方形面积为9,则下列说法正确的是（）

A.每一个直角三角形的面积为3

4

B.3sin∕?-3cosα=2

C.3sin∕7-3sinσ=2

D.COS(i)=∣

12.在长方体ABC。一4302中，AB=3,BC=4,AAt=5,动点P在平面A。AA

内且满足AP=∕L4D+"A4l,0≤;l≤l,0≤4≤l,贝U()

A.无论;l,〃取何值，三棱锥P-BCG的体积为定值30

B.当2=0时，8P+PC∣的最小值为商

C.当〃=1时，直线Pz）与直线CG恒为异面直线

D.当九+幺=1时，BP//平面CBIDl

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.化简-2cos20°=

2tan20°

14.已知二ABC是等腰直角三角形，NA=90°,AB=AC=6,S是一ABC外接圆上一点，

则SA-（SB+SC）的取值范围是.

15.山西应县木塔（如图1）是世界上现存最古老、最高大的木塔，是中国古建筑中的瑰宝,

是世界木结构建筑的典范.如图2,某校数学兴趣小组为测量木塔的高度，在木塔的附近找

到一建筑物AB，高为86米，塔顶尸在地面上的射影为D，在地面上再确定一点C（B,

C,。三点共线），测得BC约为58米，在点AC处测得塔顶尸的仰角分别为30。和60。,

则该小组估算的木塔的高度为米.

16.如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，球的半径r=4,O1,O2

分别为圆柱上、下底面的圆心，。为球心，石厂为底面圆α的一条直径，若P为球面和圆

柱侧面的交线上一动点，线段PE与PE的和为PE+P∕,则PE+P厂的取值范围为

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

17.已知sin（兀一α）=3cos2.

（1）若α为锐角，求CoS（C+5）的值;

（2）求tan（2a-*］的值.

18.已知复数z=立+也.

2

（1）若复数-2机在复平面内对应的点在第二象限，求实数〃7的取值范围；

（2）若z2,0z+z2在复平面（。为坐标原点）内对应点分别为民C.求向量OB在向

量OC上的投影向量〃的坐标.

19.如图，在-ABC中，AC=6,6C=2,NAC5=60。，点Z）为边48的中点，BE=-BC.

⑴求ICOI；

（2）求AAQD的面积S.

20.已知aABC的内角AB,C所对的边分别为α,4c,且2（"一勿=2sιnJsin'

csinΛ÷sιnB

⑴求cosA；

（2）若aABC面积为后,AD为内角A的角平分线，交BC边于点。，求线段A。长的

最大值.

21.如图(1),六边形ABCz)EF是由等腰梯形AZ)E尸和直角梯形ABC。拼接而成，且

/BAD=ZADC=90>A5=AF=EF-ED-2,AD-CD=4,沿AE)进行翻折，得

到的图形如图(2)所示，且NAEC=90'

图(I)图(2)

(1)求二面角C—AE—力余弦值；

(2)求四棱锥C—4DER外接球体积.

22.在面积为S的一ABC中，内角A,8,C所对的边分别为α,Ac,且

2sg⅞+≡⅛(2"

(1)若ABC为锐角三角形，加是关于X的方程∕χ-2S(CeoS8+bcosC)=0的解，求

m的取值范围；

(2)若αcos3=∕wosA且=4BC的外接圆的直径为8,E,F分别在线段BC,CA上运动

(包括端点)，。为边AS的中点，且DEIr)F，J)石尸的面积为S∣.令

54√3

+"+2,求〃的最小值.

DE2DF-1

答案解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分：在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数"+SDRZ-Z)=I0,其中i是虚数单位，I是Z的共轨复数，则Z=()

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-l-i

【正确答案】A

2.已知向量α=(l,2),力=(i,τ),¢=(4,5).若。与力_茏垂直，则实数2的值为()

ɪ314

A.—B.------C.------D.—

14141411

【正确答案】C

3.已知cos（α+∙^∙

∣=y,0<α<π，贝IJSine的值为（）

A.空r5√3「11n13

14141414

【正确答案】C

4.如图，一个矩形边长为1和4,绕它的长为4的边旋转二周后所得如图的一开口容器(下

表面密封)，P是BC中点，现有一只妈蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，若这只蚂蚊

要先爬到上口边沿再爬到点尸处取得米粒，则它所需经过的最短路程为()

τ--p

ʌ-Vπ2+36b-Vπ2+16c-74π2+36d∙

∖∕4π2+1

【正确答案】A

5.已知A、B、C是平面上不共线的三点，。是AABC的重心，点P满足

OP^-OB+-OC+-OA,则ZvlC尸与ABCp面积比为()

663

A.5:6B.1:4C.2:3D.1:2

【正确答案】B

6.《九章算术》涉及算术、代数、几何等诸多领域，书中有如下问题：“今有圆亭，下周三

丈，上周二丈，高二丈，问积几何？'‘其意思为：”有一个圆台，下底周长为3丈，上底周长

为2丈，高为2丈，那么该圆台的体积是多少？”已知1丈等于10尺，圆周率约为3,估算

出这个圆台体积约有（）

37

A.4二立方尺B.527A立方尺

49

31055：立方尺

C.427—立方尺D.

4

【正确答案】D

7.已知aABC的内角AB,C所对的边分别为。力,J满足/+c2+&c-Z72=o,则

A-rr

-tanBcos2---2√3sinBsin—cos一的取值范围为（）

222

33ɪ3、

A.B.

4,2,

44y

√33√3

C.n

344

【正确答案】D

8.已知正方形ABCo的边长为2,现将AAOC沿对角线AC翻折，得到三棱锥。-ABC.

记4。,8。,40的中点分别为。“小，则下列结论错误的是（）

D

A

ππ

A."N与平面80。所成角的范围是

4,2

三棱锥。-AJBC体积的最大值为逆

B.

3

C.MN与AC所成角的范围是（若

D.三棱锥O—ABC的外接球的表面积为定值

【正确答案】C

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项

中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0

分.

9.欧拉公式y=cosx+isinx是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域

扩大到复数集,建立了三角函数与指数函数的关联,在复变函数论里面占有非常重要的地位，

被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（）

A.e”对应的点位于第二象限

B.eld为纯虚数

C.瞪二的模长等于L

√3+ι4

D.M的共视复数为1•一且i

e22

【正确答案】AD

10.已知α,α是两个不重合的平面，m,"是两条不重合的直线，则下列命题正确的是

（）

A.若/〃J_〃，mYa〃///?,则a_L£

B.若加_L。，nlIa,则加_1_〃

C.若初/%/〃〃〃，则〃//ɑ

D.若加〃%allβ,则加与α所成的角和〃与夕所成的角相等

【正确答案】BD

11.《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形

拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α、β,其中小正方形的面积为4,

大正方形面积为9,则下列说法正确的是（

A.每一个直角三角形的面积为3

4

B.3sin万一女OSa=2

C.3sin∕?-3sinα=2

D.CoS(α-尸)=3

【正确答案】ACD

12.在长方体A5C。—44GA中，ΛB=3f8C=4,AA1=5,动点尸在平面AoAA

内且满足AP=几AD+/∕A41Q<2≤1,O<4≤1,则()

A.无论％,M取何值，三棱锥P-BCG的体积为定值30

B.当4=0时，8P+PC∣的最小值为屈

C.当〃=1时，直线PZ）与直线CG恒为异面直线

D.当2+〃=1时，BP//平面CBQl

【正确答案】BD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.化简-2cos20°=

2tan20°

【正确答案】T##0.5

14.已知I.ABC是等腰直角三角形，NA=90°,AB=AC=6,S是，ABC外接圆上一点,

则SA（SB+SC）的取值范围是.

【正确答案】[0,72]

15.山西应县木塔（如图1）是世界上现存最古老、最高大的木塔，是中国古建筑中的瑰宝,

是世界木结构建筑的典范.如图2,某校数学兴趣小组为测量木塔的高度，在木塔的附近找

到一建筑物AB,高为86米，塔顶P在地面上的射影为。，在地面上再确定一点C(B,

C,。三点共线)，测得BC约为58米，在点AC处测得塔顶P的仰角分别为30。和60。,

则该小组估算的木塔的高度为米.

图1图2

【正确答案】41√3

16.如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，球的半径r=4,O],O2

分别为圆柱上、下底面的圆心，。为球心，Ef'为底面圆的一条直径，若P为球面和圆

柱侧面的交线上一动点，线段PE与7Ψ的和为PE+P产，则PE+P厂的取值范围为

【正确答案】[4+4后,86]

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

17.已知Sin(π-α)=3cosα.

(1)若α为锐角，求COS(α+g)值；

(2)求tan∣2α-(∣的值.

√10-3√30

【正确答案】（1）

20

(2)-7

【分析】（1）根据诱导公式及同角三角函数的基本关系列方程求出COSa,sine,再由两角

和的余弦公式求解即可；

（2）根据二倍角的正切公式求解即可.

【小问1详解】

sin（π-α）=sinα=3∞sa,

且sin?<z+cos?a=1,a为锐角，

解得cosa=，sina=ɜʌ^ɪθ

10IO

兀π..π1√10√33√K)√K)-3√30

所以COSa÷-=cosa∞s--sinasin—=—×--------X-----=-----------

I3J3321021020

【小问2详解】

由(1)可知：Sina=3cosa,可得tana=3,

2tana2×3_3

所以ta∏2a=

l-tan2a1-94

-1--

(兀'tan2a-1

所以tan2a——=T÷一7

I4J1+tan2a

1--

4

ɪ8-已知复数Z=与叵

（1）若复数（√∑z-6了-2m在复平面内对应的点在第二象限，求实数”的取值范围;

（2）若z2,8z+z2在复平面（。为坐标原点）内对应的点分别为民C.求向量OB在向

量OC上的投影向量”的坐标.

【正确答案】（1）（0,1）

24)

(2)

5,5y

【分析】（1）利用复数的四则运算以及复数的几何意义，建立方程组进行求解.

（2）利用复数的四则运算、复数的几何意义以及投影向量的计算公式进行求解.

【小问1详解】

因Z=兔毛②，所以-2加=（1一机+1）?-2加=（加2—4∕M）+2（1-m）i.

因为复数（√∑z-〃7『-2〃?在复平面内对应的点在第二象限，

..fm2-4∕M<0,,

所以V,解得0V机<1,

1-m>0

即实数力的取值范围是（0,1）.

【小问2详解】

2

√2+√2i'

^2(l+2i-l),r2

由题可知Z?==----:----=1，√2z+z=1+2i>

~r~)4

则点B(O,I),C(l,2),OB=(0,1),OC=(1,2).

OBOCnr,(24、

因此"∣0C∣155)

'9∙如图,在;加C中,AC=6,6C=2,ZAC5=60点。为边所的中点，BEwBC.

⑴求ICZ)上

（2）求AAOD的面积S.

【正确答案】（1）√13

⑵言

【分析】(1)根据题意得到Co=I(CA+CB),结合向量的数量积的运算公式，求得

ICDI2=13,即可求解;

(2)设=CO=ACD，根据向量的线性运算，求得C0="C4+型”C8及

CO=-CA+-CB,联立方程组，求得∕l=g,4=3,结合S=LX工XS.C,即可求

227772

解.

【小问1详解】

解：在JIBC中，点。为边A3的中点，可得CD=g(CA+CB),

因为AC=6,BC=2,ZACB=60°,

•ɔ1221ʌɔ

所以ICDI2=-(C4+CB+2C4∙CB)=-∙(62+22+2×6×2×COS60O)=13

44

所以ICol=9.

【小问2详解】

13

解：在一ABC中，因为BE=-BC,则CE==C5,

44

又因为O在AE上，设Eo=〃E4,CO=ACD>其中4∈R,"∈R,

可得CO-CE=μ{CA-CE),则CO=μCA+(1-μ)CE=μCA+CB,

OX

又由CO=ACD=-CA+-CB,

22

工

所以C,解得；ι=9,〃=3,所以Co=

777

124v'

3√3

所以Z∖AOD的面积S=为4Sabc=；仓4g创62?E

ɪ

A

DB

20.已知aABC的内角A3,C所对的边分别为α,Ac,且2«一幼=2smC-SinB

csinA+sιnB

⑴求cosA；

（2）若aABC的面积为而,月。为内角A的角平分线，交BC边于点。，求线段A。长的

最大值.

【正确答案】（I）L

4

（2）√5.

【分析】（1）利用正弦定理进行角换边得c?+/-/=Lbc,再利用余弦定理即可得到答

2

案；

（2）求出SinA=巫，结合三角形面积公式得秘=8,再利用二倍角的余弦公式得

4

SinZBAD=SinZGAD=-.最后再次根据三角形面积公式和基本不等式即可得到答案.

4

【小问1详解】

一/口2（α-b）2c-b口r2,22L

由正弦定理，得-------=----—,BPc~-∖-b~-a~~-be,

cα+82

1，

故根据余弦定理有c2+b2-a22ɪ.

cosAλ=-----------=———二—

2bcIfbc4

【小问2详解】

因为A为三角形内角，则由（1）知SinA=Jl-COS?A=Mɪ,

4

因为_ABC的面积为厉，所以（历SinA=JB,

即JLOCX姮=λ∕15，解得〃c=8，

24

Δ1

又因为N8AT>=NCAO=-,cosA=->0,A∈(0,"),所以A∈∣0,/),所以

24

所以sir?ZBAD=sin2ZCAD=∣~。。SA=2SinZBAD=sinZCAD=./!=—.

28V84

于是SABC=:%∙AO∙sinNCAO+gc∙A。SinNBAO=VB.

(1ʌ/ð1ʌ/ð]∕rτ

那么AQ∙-∙b-----1—c------=√15.

∖2424√

所以AO=M^≤生胆=M"=石(当且仅当∕7=C=2√Σ时等号成立)

b+c2痴2√8

故AO的最大值为6.

21.如图(1),六边形A6Cr>b是由等腰梯形ADEE和直角梯形ABCO拼接而成，且

ZBAD=ZADC=90°>AB=AF=EF=ED=2,AD=CD=4,沿AO进行翻折，得

到的图形如图（2）所示，且NAEC=90;

图（I）图（2）

（1）求二面角C—AE—。的余弦值；

（2）求四棱锥C—ADE户外接球的体积.

【正确答案】（1）见

5

力640

3

【分析】（1）作LAz），连接AC,则AC=4近，证得CoI•平面ADEF,得到

C£>_LAE再证得AEL平面CDE,得到AE_LDE，进而得到NCEz）就是二面角

C—AE-O的平面角，在直角，COE中，即可求解；

（2）取AD的中点Q,连接«E,«F,得到。I为等腰梯形ADEF的外心，取AC的中点。,

连接。A,OD,OE,OO∣,证得qO_L平面AoE/，得到。为四棱锥C-ADEF■外接球的球

心，利用球的体积公式，即可求解.

【小问1详解】

解:在等腰梯形Ar)Er中，作£?0，Ar)于M，

则QM=AO；E/=I,AM=3,£M=6,所以AE=√Γ^=2百，

连接AC1则AC=4Λ∕2，

因为NAEC=90，所以EC=26，所以EZP+zχ72=EC2,所以C£)_L石。，

又因为GD,AO,且A£>EO=O,AΓ>,EOu平面AOEF,所以Co，平面Ar>印，

又由AEU平面ADE产，所以CDlAE,

因为CE_LAE且CECcD=C,CE,COu平面CQE,所以AE_L平面CDE,

又因为AEU平面COE,所以A£_LD£,

因为AE_LCE,所以NcE。就是二面角C—AE—。的平面角，

在直角CCDE中，cosZCDE=-ɪɪ=-,

CE2√55

所以二面角C—AE-O的余弦值为《ɪ.

5

【小问2详解】

解：取AO的中点。一连接。也,。尸，可得证四边形01。后尸、OIAPE均为平行四边形，

所以0∣D=0∣A=0∣E=0∣F=2,所以。∣为等腰梯形ADEF的外心，

取AC的中点0,连接。4。2。瓦。O-可得OOJ/CD,

因为C£>_L平面AaE广，所以。。,平面4)EE,

又因为OC=OA=OJD=OE=OF=2√2，所以。为四棱锥C-ADEF外接球的球心，

所以球的半径为R=2√∑,所以丫=3兀/?3=^兀*(2贬)3=粤1小

E

22.在面积为S的JWC中，内角A,B,C所对的边分别为α,Ac,且

2√sinC+sinAμz2+/72)s.nλ

ISinBsinCJv,

(1)若一45C为锐角三角形，加是关于X的方程∕χ-2S(CCoS8+bcosC)=0的解，求

m的取值范围；

(2)若αcosB=Z?CoSA且ABC的外接圆的直径为8,分别在线段BcCA上运动

(包括端点)，。为边AB的中点，且JDElDF，亦F的面积为S∣.令

54√354√3„

--------V----------V+3]求P的最小值.

DE2DF2、

【正确答案】(1)/"∈,√3

√

⑵3竽

(2Si希nɛ*+S黑in√A.:\=(/+从卜EA结合三角形面积公式，正弦定理和余

弦定理得C=',由一"C为锐角三角形得出Aegg),由加是关于X的方程

362

/x—2S(CCoS6+6CoSC)=O的解，整理得加=且(1+二后_),根据正切函数的单调性

4tanA

及A的范围即可求出山的取值范围；

Tl

(2)由αcos6=匕CoSA和C=I得出二ABC为正三角形，由_A3C的外接圆的直径为8

得出“=方=c=4√5,则BD=AD=26，设NBDE=e,0°≤6≤90°,在-BDE和-ADF

中，由正弦定理表示出OE和。尸，进而表示出S∣,代入，，化简整理，由基本不等式即

可得出最小值.

【小问1详解】

在一ABC中，由三角形面积公式得S=LbCSinA,

2

由正弦定理得：2×i⅛csinA∖J-+^=(a*12+⅛2)sinA,

2»221

整理得：a2+b2-c2=ab^由余弦定理得：cosC=a^+'=-,

fIah2

π

又0<C<7l,故。=一，

3

因为..ABC为锐角三角形，

所以A∈(0,二)，B=Ti-A—,B∈(0,—),所以Ae(一,—),

23262

,2S(ccosB÷bcosC)

所以加二----------；---------

a

2S(sinCcosB÷sinBcosC)

一；

矿ɔ∙smA7

_2SsinA

crsinA

bsinC

百Sin(A+殳

2sinA

1.√3人

∕τ-SlnA4+——CoSA

^×2_______2_____

2sinA

因为A呜»

所以tanA∈,+OO

所以XLe（0,3）,

tanA

【小问2详解】

由αcos5=Z?COSA,得Sin（A-5）=0,

所以A=3，

TT

由（I）得C=」，