2023-2024学年江苏省扬州市广陵区高一年级下册期中数学模拟试题

2023-2024学年江苏省扬州市广陵区高一下册期中数学

模拟试题

一、单选题

1.已知向量:=(l,-2),⅛=(-2Λ),且4〃匕，那么实数左=()

A.1B.-1C.4D.-A

【正确答案】C

【分析】根据向量共线的坐标表示列出方程即可求解女的值.

【详解】∙.I=(1,一2),⅛=(-2,⅛),且〃〃人

—2×(—2)=l×k9

解得k—4.

故选：C.

2.用二分法求方程的近似解，求得/(x)=V+2x-9的部分函数值数据如下表所示:

X121.51.6251.751.8751.8125

f(χ)-63-2.625-1.459-0.141.34180.5793

则当精确度为0.1时，方程d+2x—9=0的近似解可取为A.1.6B.1.7C.1.8D.1.9

【正确答案】C

【分析】利用零点存在定理和精确度可判断出方程的近似解.

【详解】根据表中数据可知/(L75)=-O.14<O,∕(1.8125)=O∙5793>O,由精确度为0.1可知1.75=1.8,

1.8125≈1.8,故方程的一个近似解为1.8,选C.

不可解方程的近似解应该通过零点存在定理来寻找，零点的寻找依据二分法(即每次取区间的中点，

把零点位置精确到原来区间的一半内)，最后依据精确度四舍五入，如果最终零点所在区间的端点的

近似值相同，则近似值即为所求的近似解.

3.将指数函数的定义域扩大到复数以后，有一个公式：∕=cosx+isinx,i是虚数单位，e为自然对

数的底数.它建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，此公式被誉为“数学中

的天桥”.根据公式可知，e争表示的复数对应的点位于复平面中的()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【正确答案】B

【分析】由题设公式以及复数的几何意义求解即可.

【详解】e争=CoS至+isin型=cos%∕]+isinj-q=J+"i

33(3)[3J22

即e争表示的复数对应的点的坐标为,位于复平面中的第二象限.

故选：B

4.cos28cos17-sin28cos73=()

A.ɪB.走C.—D.--

2222

【正确答案】C

【分析】利用诱导公式及和角余弦公式，即可求值.

5

(详解】原式=cos280Cosl7o-sin28osin170=cos(28o+17o)=cos45°=-ɪ.

故选：C

5.已知ZiABC中，角A,B,C所对的边分别为4,b,c,若A=g,COSB=M6=3,则〃=()

A,ɪ√7B.-√7C.—D.√3

272

【正确答案】A

【分析】根据题意和三角函数的同角关系求出sin8,利用正弦定理计算即可求出α.

【详解】因为CoSB=纽，8∈(0z),

7

所以sin8=Λ∕1-COS2B=,

7

由正弦定理，得上b

sinB

卜.4ɜsinɪA7a万

所以AlnA_3.oχ√3χ7_3√7.

sinBsinB2√212

故选：A.

6.在_43C中，内角A,B,C的对边分别为a,h,c.若AJ-C,贝|J_A3C的形状是（）

acosA

A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【正确答案】C

【分析】通过正弦定理将边化为角，化简即可得结果.

【详解】由正弦定理得SinBcosA=SinA-SinAeoS5,即sinC=SinA,

由于AC为三角形内角，所以C=A.

故选：C.

7.在边长为2的等边AABC中，。为AC的中点，”为AB边上一动点，则MC∙MO的最小值为（）

A.ɪB.UC.2D,

2816

【正确答案】D

【分析】以｛AB,AC｝为基底向量，利用向量的线性运算可得MC=AC-=再

根据数量积可得MCMD=4λ2-3λ+2,结合二次函数求最小值.

【详解】如图：以｛48,4C｝为基底向量，∣A8∣=k4=2,AB∙AC=∣A胤AqeoSzBAC=2

⅛AM=ΛAB,Λe[O,1]

MC=AC-AM=AC-ΛAB,MDAD-AM=^AC-AAB

MCMD=^AC-λAB^∖^AC-λAB∖=-AC2-^λAC∙AB+λ1Al^=4万_32+2当2=。时，取至IJ

8

最小值三23

Io

故选：D.

5tanCLI

8.已知e,∕∈((),7t),sin(a-/?)=-,=,贝!]α+Q=()

A.-πB.πC.-πD.—π

666

【正确答案】C

【分析】先利用三角函数的符号确定角。、β、c+月的范围，再利用两角差的正弦公式、同角三角

函数基本关系的商数关系得到关于SinaCoS"和COSCSin∕?的方程组，再利用两角和的正弦公式求出

sin(ɑ+/?)=-1,进而结合角α+6的范围进行求解.

【详解】因为α,/?G(O,π),黑苴=-；<°，

JTJT

若0<0<5,5<£<兀，贝IJ一兀vα-∕vθ,

此时sin（α-P）VO（舍）；

TTTT

若0</?<一,一<α<π,则0<。一/?<兀，

22

此时sin（。-尸）>0（符合题意），

所以O</<5,]<α<π,

口C（兀3兀）

即rι0+般〔/,引；

因为Sin（"0=∣且黑=q,

LLlCC5LSincrcosyff1

所以sinacos∕?一cosasinp=—且-----;=一~7

6cosasιn∕>4

12

解得SinaCos/=—,CoSaSin0=——,

63

则sin（α+£）=-；,

所以α+4=?.

O

故选：C.

二、多选题

9.下列有关复数Z的叙述正确的是()

A.若zl,则三=iB.若z=l+1,则Z的虚部为一i

1

C.若z=α+αi,(αwR),贝IJZ不可能为纯虚数D.若复数Z满足'eR,则z∈R

Z

【正确答案】ACD

【分析】根据复数的运算、复数的概念判断各选项即可.

3

【详解】对A,z=i=-i,所以彳=i,A正确；

对B,z=l÷τ=l-i,虚部是-1,B错误；

1

对C,z=α+αi,(α∈R),若。=0,则Z=O是实数，若QW0,则z=α+tri是虚数，不是纯虚数，C正

确；

.、1a-b∖ab.

对于D，设z=α+阮(McR),因为Z=再和F=∕7瓦一/市I，

由一∈R得/?=0,则z∈R,所以D正确.

z

故选：ACD.

10.已知向量M=I,W=2,它们的夹角为60。，则()

A.ab=∖B.∣2a+⅛∣=2>∕3

C.∣2o-⅛∣=2√3D.向量“与向量0_方的夹角为90°

【正确答案】ABD

【分析】对于A,根据数量积的定义即可判断；对于B,∖2a+b∖=y∣4a2+b2+4a-b,即可判断；对于

C,∣2"-6∣=J4=∙+b2-44)即可判断;对于D,判断e(4-b)是否为0即可.

【详解】对于选项A,w∙⅛=∣w∣∙∣⅛∣∙cos60o=l×2×∣=l,所以A正确；

对于选项B,∣2a+⅛∣=y∣4a2+h2+4a-b=√4+4+4=,所以B正确；

对于选项C,∖2a-b∖=∖∣4a2+b2-4ab=√4+4-4=2,所以C错误；

对于选项D,a-^a-b^=d2-cι∙b=1-1=0,所以dd,(ɑ-b),所以D正确，

故选：ABD

11.(多选题)下列各式中，值为J的是()

Atan22.5°

A____________B.tan15∙cos215

-1-tan222.5°

C.且cos2二—且Sin2±tan30°

312312，l-tan230°

【正确答案】AC

【分析】利用二倍角的正切公式可求A；利用切化弦以及二倍角正弦公式可求B；利用二倍角的余弦

公式可求解C；利用正切的二倍角公式的可求解D；

【详解】A符合，原式，.S瞥2.5/fan45ɪ

21-tan222.522

B不符合，原式=tanl5∙cos215-cos215=cosl5sin15=JSin30ɪɪ；

cos1524

序式-tan3012tan30°ɪtan60-^.

D不符合,∕ΛKΛ∖∣∙---------------∑:-X-------------—T

l-tan^3021-tan-3022

故选：AC.

12.在jABC中，内角A、B、。所对应边分别为。、b、c,则下列说法正确的是（）

A.若A>B,则CoSA<cosB

B.若点G为一ASC的重心，则GA+G3+GC=0

C.若b=2,A=30的三角形有两解，则α的取值范围为（1,2]

D.若点。为ABC内一点，且OA+203+30C=0，则S酒"：SAABC=1：6

【正确答案】ABD

【分析】利用余弦函数的单调性可判断A选项；利用重心的几何性质可判断BD选项；数形结合求出

。的取值范围，可判断C选项的正误.

【详解】对于A选项，因为（）<3<A<乃且余弦函数V=Cosx在（0,万）上为减函数，

所以，cosA<cosB,A对；

对于B选项，连接AG交BC边于点。，则。为BC的中点，且AG=2GO，如下图所示：

GD=GB+BD=GB+gBC=GB+g（GC-GB）=；（GC+GB

所以，GB+GC=2GD,所以，GA+GB+GC=GA+AG=0^B对;

对于C选项，若人=2,A=30的三角形有两解，如下图所示：

由图可得bsinA<a<b,B∣J1<«<2,C错；

对于D选项，若点。为一ASC内一点，且OA+2OB+3OC=0,

作O9=2O8,OC'=3OC,则OA+OBMOC=O，则。为∆AB'C'的重心,

由重心的儿何性质可知^ΔAOB,=SAAOC=^ΔB,OC'>设^ΔAOB,=^ΔAOC=S"oc=m>

S∣OB111I

因为—=氐=所以，s^)B=-m,同理可得SAB。。=/“，S^oc=-m,

ΛΔAOB'VJDZZOJ

所以,sΛABC=^m+7m+τm=m'因此,SABOC：5△他C=I：6,D对.

263

故选：ABD.

三、填空题

13.若不是方程e*+x=2的解，则不在区间内(填序号).

①(-2,-1)；②(T0)；③(0,1)；@(1,2).

【正确答案】③

【分析】构造函数/(x)=e*+x-2,利用零点存在定理即可判断函数零点所在区间，即方程的根所在

区间.

【详解】构造函数/(x)=e*+x-2,则/(0)=T,f⑴=e-l>0,

显然函数KV)是单调递增函数，且连续不间断，故其有且只有一个零点，

./(0)=-l<0,/(l)=e-l>0,则函数f(x)的零点在区间(0,1)上，

所以e'+x=2的解在区间(0,1)上.

故(3).

14.若(l+ai)2(i为虚数单位)是纯虚数，则实数〃=.

【正确答案】±1

【分析】利用复数的运算，求得(l+αi)2=l-∕+2出，再根据复数为纯虚数，列出方程，即可求解.

【详解】由题意，复数(I+，")。=l+24i+(αi)2=l-∕+24i,

又由复数为纯虚数，则1-/=0,BPa2=I,解得a=±l∙

本题主要考查了复数的运算和复数的分类的应用，其中解答中熟记复数的运算法则和复数的分类是解

答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

15.已知忖=2,M=3,α与/,的夹角为135,则人在ɑ方向上的投影向量为.

【正确答案】-逑“

4

【分析】利用投影向量的定理可得结果.

【详解】由题意可知，B在〃方向上的投影向量为WCOS<α,"∙j=∙∣*［一等=

故答案为.-还“

4

四、双空题

16.如图，位于我国南海海域的某直径为56海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛3与小岛C

2

相距为5海里(小岛的大小忽略不计，测量误差忽略不计)，经过测量得到数据：cosZBAD=­.则

小岛B与小岛。之间的距离为海里；小岛C与小岛。之间的距离为海里.

【分析】由正弦定理求解80,由余弦定理求解C。

【详解】圆的内接四边形对角互补，C为锐角，CoSC=I,sinC=@，

33

在三角形BCD中，由正弦定理得一ζ=2R,得BO=丁.

SinτC3

在三角形BC。中，由余弦定理得8∕T=8C2+C7>-2∙8C∙8∙COSC

解得CD=I°+1°石,(负根舍去).

3

故2510+10后

ɪ3-

五、解答题

17.已知复平面内复数4，z2,4所对应的点分别为A(—1,1),B(l,2),C(-2,-l).

(1)求Z2+Z3,'■的值；

Zl

(2)求cosZABC.

i-3i

【正确答案】⑴―l+i,ɪ

⑵迎

10

【分析】(I)首先根据复数在复平面内的坐标得到复数4,Z2,Z3,再根据复数代数形式的运算法则

计算可得；

(2)首先求出血，BC,再根据向量的夹角公式计算可得；

【详解】(1)解：因为复平面内复数4，z2,Z3所对应的点分别为A(T1),8(1,2),C(-2,-l),

所以Zl=-I+i,z2=l+2i,z3=-2-i,

所以z2+z3=1+2i+e2τ)=τ+i,&=罕

∖/Z1-1+1(-1÷1)(-1-1)2

(2)解：因为A(T,1),3(1,2),C(-2,-l),

所以BA=(Tl)-(1,2)=(-Z-1),BC=(-2,-1)-(1,2)=(-3,-3),

所以β4∙3C=(-3)x(-2)+(T)x(-3)=9,

2222

∣βC∣=λ∕(-3)+(-3)=3√2,∣BΛ∣=√(-2)+(-I)=√5

BA-BC93√10

所以cos，。=网国=Kr-fr

18.在..ABC中，a,b,C分别为内角A,B,C的对边，(&-ɑ)(sinB+sinA)=c(y∣3sinB-sinC).

(1)求A的大小；

(2)再在①α=2,②8=£,③C=J0这三个条件中，选出两个使一ASC唯一确定的条件补充在下

面的问题中，并解答问题.若，,求JLBC的面积.

【正确答案】(1)A=J;(2)见解析

O

(1)由题中条件，根据正弦定理，得到从+'2—"2=∙c∙,再由余弦定理，即可求出结果；

(2)方案一：选条件①和②，先由正弦定理求出6=20，再由余弦定理，求出C=&+#，进而

可求出三角形面积；方案二：选条件①和③，先由余弦定理求出6=2,得到C=2G,进而可求出三

角形面积.

【详解】(1)H√⅛(⅛-ɑ)(sɪnB+sinA)=c(y∣3sinB-sinC),

又由正弦定理=刍=∙≠7,得

sinAsinBsɪnC

S-d)(b+cι)=c(λ∕3⅛-c),

222

BPh+c-a=>j3bcf

∖∣3bc_ʌ/ɜ

所以CoSA=

2bc^T^

因为OVAV乃，

所以4=9.

(2)方案一：选条件①和②.

由正弦定理上7=—二，M⅛=-£-sinB=2√2.

sinAsinBsinA

22

由余弦定理Z?=a+c-IaccosB，得

(2√2)2=22+C2-2×2CCOS^,

解得C=λ∕2+\/6.

所以—A3C的面积S=IaCSinB=LX2x(√∑+")x史=6+1.

222

方案二：选条件①和③.

由余弦定理储=〃+/一劝CCoSA,得

4=⅛2+3⅛2-3Z?2,

贝∣J∕√=4,所以。=2.

所以C=2^3,

所以一ABC的面积S='bcsinA='x2x2gχ1=6.

222

本题主要考查解三角形，熟记正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式即可，属于常考题型.

19.已知α,α为锐角，tanα=∙∣,sin(α->5)=-y.

⑴求COS2α的值；

⑵求tan(α+∕J)的值.

7

【正确答案】⑴-二";

【分析】(1)根根据二倍角公式和同角三角函数基本关系式，转化为tana,即可求解;

⑵根据已知得tan2a与tan(a-p)的值，由tan(α+0=tan[2c-(α-0],即可求解.

,16

Ccos2-α—s∙ιrrɔαl-tan2a_9_7

【详解】()cos2a=——ʒ---------

12

cos^α+sinal÷tana∣+ɪð25

~9

(2)因为0<α<j∣,所以0<2αv4，

.GAΓ∑-24sin2a24

sin2a=∖j∖-cos2a=——,tan2α=--------=------,

25cos227

又*尸为锐角，所以g<a—万苦,

2

cos(σ-β}=y∣∖-sin^a-β)

sin(α~∕?)ɪ

tan(α-/?)=

cos(a-02

tan2a-tan(a-β)41

所以tan(α+P)=tan[2a-(α-/)]二

1+tan2a×tan(a-y0)38

20.已知函数/(X)=2>∕3sinx∙CosX-2cos2x(x∈R).

⑴求函数"x）的值域；

⑵在ABC中，角A3,C的对边分别为々,Ac,若于⑻=-2,a=6求ABC的面积S的最大值.

【正确答案】⑴［一3』

⑵李

4

【分析】（1）根据诱导公式以及二倍角公式即可化简/（X）,进而可求值域;

（2）根据/（A）=-2结合正弦型函数的性质可得A=g,进而由余弦定理以及不等式即可求解.

【详解】（1）解：/（ɪ）=2yβsinX-cosx-2∙ɪ+COS=y/3sin2x-cos2x-1=2sin∣2x-—∣—1,

∙∙.f(x)的值域为[-35.

(2)解：由(1)知〃A)=2sin(2A-升1=-2,即sin(2A-£]=,

由Ae(0,π),得乎

666

又由余弦定理得3=a2=b2+c2-2⅛ccosy=⅛2+c2+^≥3bc,即bc≤∖,当且仅当人=C=I时等号成

立.

•∙S=—besinA≤—×1×—=—,

树arγ2224

∙∙∙ΛBC的面积S的最大值为且，当且仅当b=c=l时取得.

4

21.如图，在/8C中，己知AB=2,AC=3,/BAC=60,N为4C边上的中点，点M在线段BC上,

且CM=2MB；

B

Λ/

C

N

(1)求线段AM的长度，

(2)设AM与BN相交于点P,求/MPN的余弦值.

【正确答案】(I)AM=也

3

(2)_包

481

【分析】(1)设A8=α,AC=/?,把ɑ/作为基底，再根据题意将AM用基底表示出来，然后求出其模

即可，

(2)将BN用表示出来，然后利用向量的夹角公式求解即可

【详解】(1)设AB=a,AC=6,则"=2,忖=3,(〃,6)=3,4-6=3,

11ɔ1ɔ1

AM=ABΛ-BM=AB+-BC=AB+-(AC-AB∖^-AB+-AC=-a+-h

33、,3333

IAM=与，即AM=孚.

(2)因为BN=-。+?,

2212Q113

所以BN=a+