2022-2023学年山西省名校高二（下）联考数学试卷及答案解析

2022-2023学年山西省名校高二(下)联考数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.在数列｛%｝中，«1=2,誓i=W1,则。3=()

τan71

A.4B.6C.8D.12

2.已知函数y=f(χ)的导函数y=∕'(x)的图象如图所示，则()

A./(x)在区间(—2,1)上单调递增

B.f(x)在区间(-2,5)上有且仅有2个极值点

C./(x)在区间(-2,5)上有且仅有3个零点

D.f(x)在区间(1,3)上存在极大值点

3.已知椭圆C：芷+==1的离心率为泽则C的长轴长为()

mzn+62

A.8√2B,4√2C.2√2D.4

4.设等差数列｛arι｝,｛为｝的前n项和分别为Sn,Tn,若M=芸⅛则£?=()

IγιTITD"10

AɪB—C—D—

11112646

5.拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数/(x)在闭区间

上的图象连续不间断，在开区间(a,b)内的导数为尸(X),那么在区间(α,b)内至少存在一点c,

使得f(b)-f(α)=f'(c)(b-α)成立,其中C叫做f(x)在［α,b］上的“拉格朗日中值点”.根据

这个定理，可得函数/(乃=0-2)》》在［1,2］上的“拉格朗日中值点”的个数为()

A.0B.1C.2D.3

6.若过点P(2,4)且斜率为k的直线/与曲线y=V¥中有且只有一个交点，则实数k的值不可

能是()

344

C2

A.4-5-3-D.

7.已知数列｛c⅛｝,α1=∣>αn+ι=2an-αnαn+1,若数列｛尹鲁[■｝的前n项和为Sn,则

52023=()

A---------——B---------——Cɪ--------——D----------—

2021d2O22c20232024

A∙32+l'32+1∙32+lɪʃ32+l

8.已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,g'(x)为g(x)的导函数，且/(x)+g'(x)=2,/(x)-

√(4-x)=2,若g(x)为偶函数，则((2022)+g'(2024)=()

A.0B.1C.2D.4

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

aaa=

9.已知｛<⅞｝为等差数列，ι+3+5-108,a2+a4+a6=-102,则()

A.｛an｝的公差为2B.｛斯｝的公差为3

C.｛∣ajJ｝的前50项和为1390D.｛|总｝的前50项和为1290

10.如图，在四棱锥P—ABCD中，PAl平面ABCD,48〃CD,P

/.ABC=AB=PA=2,BC=CD=4,M为PC的中点，/；ʌv

顺)∕⅛v.-.-∖β

A.直线CM与力。所成角的余弦值为黑

B.直线BM与平面PBC所成角的正弦值为手

C.二面角P—BC-M的余弦值为尊

D.点M到直线BC的距离为2√5

11.已知函数/^(x)=XmX+1,g(x)=e^^x+ax,若f(x)与g(x)的图象上有且仅有两对关于

原点对称的点，则a的取值可能是()

A.eB.e+2C.3D.4

12.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1,1,2,

3,5,8,13,21,....该数列的特点如下：前两个数均为1,从第三个数起，每一个数都等于

它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列｛ajl｝称为斐波那契数列，现将｛an｝中的各

项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为｛%｝,数列｛arι｝的前n项和为无，数列｛g｝的

前Tl项和为〃，下列说法正确的是()

ʌ-°2023=°B∙^2023=1349

C.Ct]+。3++a2023=a2024D.52023=a2024—ɪ

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.己知函数f(x)=cos2x,则曲线y=f(x)在点¢,/C))处的切线方程为—.

14.古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从力点走向B点，先走完

总路程的二分之一，再走完剩下路程的二分之一，如此下去，会产生无限个“剩下的路程”，

因此他有无限个“剩下路程的二分之一”要走，这个人永远走不到终点，因古代人们对无限

认识的局限性，所以芝诺得到了错误的结论.设IABl=S,这个人走的第n段距离为αjl,则满

足这个人走的前n段距离的总和Sn∈(盖,鬻)的正的一个值可以为_.

15.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称

奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f'(χ)是/(χ)的导函数，

UIf”(X)I

/''(X)是f'(x)的导函数，则曲线y=/(X)在点(XJ(X))处的曲率K=(i+(∕(χ))2,若曲线/(X)=

/+mX和g(ʌɔ=正在QI)处的曲率分别为K],K2ι则*=___-

16.已知抛物线C：y2=2pχ(p>0)的焦点为F,P(2,l)为抛物线C内侧一点，M为C上的一

动点，IMPl+IMFl的最小值为则P=—,该抛物线C上一点4(非顶点)处的切线，与圆M：

(X+2)2+y2=4相切,则MFl=—.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

在数列｛a71｝中，a1=3,an+1-an=2n+3.

(1)求M；

(2)设勾=诵大]求数列｛%｝的前Ti项和S7l∙

18.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=Inx-

(1)若f(x)在(0,+8)上单调递减，求实数a的取值范围；

(2)若a=1,试问过点(0,1)向曲线y=/(x)可作几条切线？

19.(本小题12.0分)

如图,在四棱柱ABCD-4ιBιG5中,侧棱AiAL^ABCD,AB∕∕DC,AB1AD,AD=CD=2,

AA1=AB=4,E为棱M的中点.

(1)证明：BC1C1E.

(2)设由=4屈(0<X<1),若Cl到平面BBlM的距离为管，求人

20.(本小题12.0分)

已知等比数列满足%=是。的等差中项，数列的前项和为

｛an｝1,&3+12,｛α∏｝nSn.

(I)求｛a*｝的通项公式；

求数歹的前项和

(2)∣J｛(2n-l)Srι｝n

21.(本小题12.0分)

法国数学家加斯帕尔・蒙日创立的的法几何学》对世界各国科学技术的发展影响深远.在双

曲线真-《=l(α>b>O)中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心

是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日

圆.已知双曲线C：圣―∖=l(a>b>O)的实轴长为6,其蒙日圆方程为/+y2=1.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)设。为双曲线C的左顶点，直线/与双曲线C交于不同于。的E,F两点，若以EF为直径的圆

经过点D,且。GJ.E尸于G,证明：存在定点H,使IGHl为定值.

22.(本小题12.0分)

已知函数/(X)=磊・

(1)求/(x)在(-3,+8)上的极值；

(2)若VXe(-3,+8),3≤ax2-2x,求α的最小值.

答案和解析

1.【答案】B

i1

【解析】解：在数列｛即｝中，a1=2,⅛±=⅛,

ann

则幺±1=%

人」九+1n,

又？=2,

即号=2,

则=6,

故选：B.

由已知可得需=*又?=2,然后求解即可.

本题考查了数列的递推式，属基础题.

2.【答案】D

【解析】解：由导函数y=/。)的图象可知，

当X∈(-2,-1)U(2,4)时,尸(X)<0,

当％∈(-1,2)U(4,5)时，［(X)>0,

∙∙∙∕(x)在(-2,-1),(2,4)上单调递减,¢(-1,2),(4,5)上单调递增.

则/Q)在区间(-2,1)上不单调，故A错误；

/Q)在区间(-2,5)上有且仅有3个极值点，故B错误；

/Q)在区间(-2,5)上零点个数不确定，故C错误；

/(x)在区间(1,3)上存在极大值点，故。正确.

故选：D.

由导函数的图象可得原函数的单调区间，结合选项得答案.

本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查数形结合思想，是基础题.

3.【答案】B

【解析】解：•••椭圆C的离心率为苧

=⅜解得m=2,

√m+62

故椭圆C：二+上J=1的长轴长为2√τn+6=4&,

mm+t>

故选：B.

根据椭圆的方程，即可得出答案.

本题考查椭圆的性质，考查对应思想，考查运算能力，属于基础题.

4.【答案】A

19(勺+。]9)

【解析】解：根据条件：*OlQ察2010=%毁+。19*嬴"W[T■"i9'=沪I]9=⅛z×l⅜V+2o=条11

2

故选：A.

根据等差数列的通项公式和前n项和公式可得出产=沪，然后即可得出答案.

DIO119

本题考查了等差数列的通项公式和前几项和公式，考查了计算能力，属于中档题.

5.【答案】B

【解析】解：/(2)=/(1)=0,ʌ∕,(c)=0,

令/'(%)="X+~~="X+1—I=0,则仇％=：—1,在同一坐标系内分别画出函数y=Lnx和

y=2-1的图象如下图所示：

JX

••・方程欣=：-1只有一个解,

∙∙∙y'(c)=o只有一个解，

••・函数/(%)=(%—2)伍X在［1,2］上的“拉格朗日中值点”的个数为L

故选：B.

根据条件可得出/'(c)=0,∕,(x)=Inx+1-1,根据图象可判断方程)x=Z-1的解的个数，从

而可得出函数/(x)=(x—2)伍X在［1,2］上的“拉格朗日中值点”的个数.

本题考查了基本初等函数和积的导数的求导公式，根据图象判断方程解的个数的方法，理解拉格

朗日中值点的定义，考查了计算能力，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】解：如图,

曲线y=√4-%2即％2+y2=4(y>0)表示以。为圆心，2为半径的上半圆，

∣-2∕C+4∣_

因为直线Z：y=ZQ-2)+4即Jcr-y-2k+4=0与半圆相切，所以旧匚一，解得k=不

4—∏

因为P(2,4),½(-2,0),所以曷1,

又直线与曲线y=有且只有一个交点，所以k>kp4或k=

所以实数/C的取值范围是(l,+8)u{3.

故选：B.

根据半圆的切线性质，结合点到直线距离公式进行求解，然后根据图象即可求解.

本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.

7.【答案】D

【解析】解：由an+1=2a-aa,可得t⅛+ι=

nnn+11~1~un

两边取倒数，可得S-=J(；+1),

an+lNan

即有含一I=XA-1)，

则*T=*T)G)z=G)"，

即有α7l=备ɪ,

n

an_2_11

2n+1+l=(2n+l)(2n+1+l)=27f+T-2n+1+l>

Illl11Il

所以S2023=E_y+g_§+…=

故选：D.

由原数列的递推式可得αn+ι=等，两边取倒数，再两边同时减去L结合等比数列的定义和通

ɪʃɑn

项公式，由数列的裂项相消求和，计算可得所求和.

本题考查等比数列的定义、通项公式和数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中

档题.

8.【答案】C

【解析】解：依题意,因为g(x)为偶函数,所以g(x)=g(τ),所以g'(x)=-g'(r),所以g'(x)

为奇函数月.g'(0)=0,

因为f(x)+g'(x)=2,/(x)-√(4-x)=2,令X=2,则有伶T%?U—V

解得(f2)=2,

因为f(χ)-g'(4-χ)=2,

所以/(X+4)-g'(τ)=2,又g'(x)=-g'(τ),

所以f(x+4)+g'(x)=2,

由管+1‘甯‘蓝=2'得"乃=，。+4)，所以/O)是以4为周期的周期函数，

所以f(2022)=/(2)=2,

由瑞二歌二二得匹)+或1)=。,

又g'(%)=-√(-χ)>所以g'(4-X)=g'(-%),

所以g'(x)=g'[x+4),

所以g'(x)是以4为周期的周期函数，所以g'(2024)=g'(0)=0,

所以f(2022)+g'(2024)=/(2)+g'(0)=2+0=2.

故选：C.

根据g(χ)为偶函数，得出g'(χ)为奇函数，再根据已知式中对自变量赋值求出/(χ),g(χ)的周期即

可求解.

本题主要考查抽象函数及其应用，函数的奇偶性与周期性，导数的运算，考查运算求解能力，属

于中档题.

9.【答案】AD

【解析】解：｛α∏｝为等差数列，ɑɪ+α3+ɑʒ=-108,a2+a4+a6=-102,

・••伊1黑=一：鬻解得的=一40,d=2,故A正确，B错误;

(3Ql+9d=-102

an=-40+2(n-1)=2n—42,

由c⅛=2n—42≥0,得n≥21,

∙∙∙｛∣αn∣｝的前50项和为:

Tn=S50-2S20=50×(-40)+2-2[20X(-40)+X2]=1290,故C错误，。正

确.

故选：AD.

利用等差数列的前几项和公式、通项公式能求出结果.

本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

10.【答案】BC

【解析】解：以4为原点，中点和4的连线、48所在直线，AP所在

直线，分别为X轴，y轴，Z轴，

建立空间直角坐标系,则P(0,0,2),8(0,2,0),C(4,2,0),M(2,-l,l),

D(4,-2,0),

于是祝=(2,3,-I)，AD=(4,-2,0),设MC,4。所成的角为0,则

祟，故错误；

cosθ=,I"硬1I=z-∖z-=A

∖MC∖-∖AD∖√14×2√570人0

丽=(2,-3,1),Pfi=(0,2,-2).瓦f=(4,2,-2),设平面PBC的法向量元=(X,y,z),可得

(PB∙n=2y-2z=0

[PC-n=4x+2y-2z=0

令y=l,则元=(0,1,1),故直线BM与平面PBC所成角的正弦值为：∣cos<BM,n>\=

卜3+l∣_√7故B正确;

√2×√4+9+f―

设平面BCM的法向量为：m=(α,fa,c),BC=(4,0,0),祝=(2,3,-1),则

(BC∙m=4a=0

IMd∙m=2α÷3∂-C=O

令b=1,则沆=(0,1,3),设二面角P-BC-M的平面角为α,由题可知α为锐角，则CoSa=ICOSV

万

mtn>\=雪黑=4=第，故C正确；

1∣τn∣∙∣n∣x^×√105

设点M到直线BC的距离为d,cos<BM,BC>=-⅛⅛-=-ɪ-=手，

∖BM∖∙∖BC∖√14×47

则d=IBMISin<丽,近>=gxJl-(^ʃ)2=√Tθ>故。错误.

故选：BC.

建立空间直角坐标系，写出对应直线的方向向量、平面的法向量，根据公式计算即可.

本题考查空间向量在立体几何问题中的应用，属于中档题.

11.【答案】BD

【解析】解：因为若/(χ)与g(χ)的图象上有且仅有两对关于原点对称的点，

所以f(X)与-g(-x)在(。，+8)上有两个交点，即KbIX+1=-ex+ax(x>0)有两个零点，整理得

a+1

Q—ITLXH-------，

X

只需满足y=α与y=Inx+，工(X>0)有两个交点即可，

令∕ι(x)=Inx+(x>0)»则有∕ι'(X)=I，^l^?F-

所以Xe(0,1),∕ι,(x)<0,∕ι(x)单调递减;χ∈(l,+8)时，h'(x)>0,∕ι(χ)单调递增，

ʌ∕ι(x)在X=1处取得最小值九(1)=e+1,

所以只需。>0+1々3.73即可.

故选：BD.

将问题转化为/(X)与-g(-X)在(0,+8)上有两个交点，可构造函数研究.

本题考查导数的应用，

12.【答案】BC

【解析】解：由题意可得数列｛arj｝满足αrι+αn+1=an+2,

将｛即｝中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为｛%｝，

则瓦=1,电=1,b3=0,

依次类推：仿4-2=L⅛k-l=1»坛α=°，∕C∈N+,

对于选项A，力2023=63x675-2=瓦=1，即选项A错误；

对于选项5,T2023=674×(1÷1+O)÷1=1349,即选项8正确；

对于选项Ga2024—a2023=a2022,a2022—a2021=a2Q20,a2020—a2019=a2018,∙∙∙a2~aI=°，

上式累加可得。2024=ɑl+@3+…+。2023,即选项C正确；

a

对于选项D,S2Q23—(。2024—1)=%+。2+a3÷∙∙∙÷2021+1≠0，即选项。错误，

故选：BC.

abb

先阅读题意，可得数列｛αn｝满足α∏+n+l=Qn+2，则63上-2=1，3k-l=1，3k=°，k6N,

然后结合累加法逐一判断即可得解.

本题考查了数列的递推式，重点考查了阅读理解能力，属中档题.

13.【答案】y=-2(x—》

【解析】解：∕,(x)=-2sin2x,则/'(》=-2SiW=-2,

又/《)=CoS/0,

则所求切线方程为y=-2(χ-≡).

故答案为：y=-2(x-J).

对函数求导，利用导数的几何意义求得切线的斜率，再由点斜式得解.

本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.

14.【答案】7(7、8、9,只需写出一个答案即可)

【解析】解：由题意得的=IBan+1=ɪ,

当n≥2时，α7l=2沪，

所以Qn=Sn-Sn-1=(S-2αn+1)-(S-2αn),

1

化简得Qn+ι=-αn,

所以数列｛即｝是公比为:，首项为5的等比数列，

所以Sn=I喀=S[l-g)nb

12

因为Sn≡喘，绘)，所以盖<1一(扔<端，

即焉<(⅛>n<7⅛P所以100<2"<1000,又neM

11.UUULΛJLUU

所以几的取值可以为7、8、9.

故答案：7(7、8、9,只需写出一个答案即可).

根据题意知数列｛arι｝是公比为a首项为:的等比数列，求出前n项和，列出不等式即可求正整数n的

取值.

本题考查根据数列的前n项和作差求通项公式，等比数列的定义与求和公式的应用，属中档题.

15.【答案】2福

【解析】解：/(x)=X2+Inx,则∕7(x)=2x+ɪ,∕,,(x)=2-

,,,170)|i

•••∕(1)=3,∕(1)=1,Ki=-s=—-3=10号，

(1+(∕,(1))2)2(1+9)2

Irl1ɪ13

g(x)=y[χ=χ2^则g'(%)=5%"^2,g"(κ)=一彳％-2，

/zʌ11ZZ—I。"⑴I_4_2之_S

.®吟1，g(I)=F七-D2"函-国-2X52,

_3

则号=ɪɪ=JX=2-∣.

Q2x5-22

故答案为：24.

由函数/(X)和g(χ),分别求出f'(χ),∕''(χ)以及g'(χ)和g''(χ),代入曲率公式计算，化简求值即可.

本题以新定义为载体，主要考查了导数的求解，属于中档题.

16.【答案】3岁

O

【解析】解：由题意，抛物线C：y2=2pχ的准线方程为X=一1

设点M在准线上的投影为D,

根据抛物线的定义可知IMFl=∖MD∖,

则∣MP∣+∣M/I=IMPI+∣M0∣2∣PD∣,当M,P,D三点共线时有最小值,

结合图像可知IPDl的最小值即为点P到准线的距离d=xp+≡=2+∣=^=>p=3;

可得抛物线C：y2=6χ,焦点F(∣,0),

在抛物线上取一点A(α,√6∏),设抛物线在点4的切线的方程为y-√6^=k(x-α),

联立抛物线方程，J=2ak2-2√6α∕c+3=0,解得k=喘，

所以切线的方程为y—标=磊-α),

整理得3x—y[βay+3α=0，

又因为切线与与圆M：(x+2)2+y2=4相切，设切点为B,

由圆M的方程可知圆心M(—2,0),r=2,

则出Ml=甘提©=2,解得α=0(舍去)或α=等所以4谭,2旧)，

同理，点4关于X轴的对称点A育,-2√I6)也符合题意，

则IAFl=J(y-∣)2+(±2W=牌=/

故答案为：3；管

O

设点M在准线上的投影为。，根据抛物线的定义可知IMPl+IMFl=IMP|+|MD当M,P,D≡

点共线时有最小值，结合图像列出方程即可求出P的值；进而可得抛物线方程和焦点坐标，在抛物

线上取一点4(2夜)，设抛物线在点A的切线的方程为y-√^H=k(x-α),联立抛物线方程，利

用Z=0求出斜率，得到切线方程，再根据圆心到切线方程的距离等于半径，列出等式求得α的值，

得到4点坐标，同理，点4关于X轴的对称点4也符合题意，利用两点间距离公式即可求解∣4F∣.

本题考查了抛物线的方程和性质以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题.

17.【答案】解：(1)在数列｛%l｝中，的=3,an+1-an=2n+3,

则当九≥2时，Qn=(Qn-CZn-ɪ)+(⅛-ι—即一2)+…+(。2—Ql)+=(2∏+1)+(2∏—

1)÷...+5+3=n(n+2),

又％=3满足上式，

即αn=n(n+2)；

_,.n

(2)已知勾=而嬴,

则%=

n(n+l)(n+2)n+1n+2

则无=G_p+q-Χ)+…+(,-M)

即数列｛%｝的前n项和S“=T一焉.

【解析】(I)由已知可得当n≥2时,Qn=(αn-QnT)+(%IT-Qn-2)+・・・+(。2-。1)+=

(2n+1)+(2n—1)+…+5+3=π(π+2),然后判断Ql满足上式即可；

(2)由已知可得瓦=丽晶丽=+一击，然后累加求和即可•

本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了裂项求和，属基础题.

18.1答案】解：(1)・・,f(%)=Inx—x2^a="%—∣x+?在(°，+8)上单调递减，

—x2+2x-2α

"(©=；_A爰=≤O恒成立,

∙*∙2α≥(—+21χ)mα%,

又当X>O时，t(x)=-X2+2X=—(%—I)2÷1≤1(当且仅当％=1时取等号)，

ʌ2α≥1,

即实数ɑ的取值范围为故,+8)；

(2)若α=l,贝IJf(X)=Inx—；(久>0),

尸⑴=2G∙

设过点(0,1)与曲线/(X)相切的直线与f(χ)的切点坐标为(XO,y°),

,1=--x1

则yo-1=∕(x0)(⅞-θ)>BRin⅞-∣⅞+ɪ-⅛-o=-1⅞-ɪ.

7

整理得)Xo+f-2=0,

xO

令h(x)=Inx+：-2(x>0),

W(χ)=i-⅜=⅞,

令〃(%)=0,得％=2,

・・・九(X)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，

17

又屿)=2-ln2>0,∕ι(2)=ln2-l<0,h(e2)=£>0，

∙∙∙∕l(x)与X轴有两个交点，

.•・过点(0,1)向曲线y=/(X)可作2条切线.

χ2a2

【解析】(1)依题意，得/'(X)=~^~≤0恒成立=当X>0时，α≥(-%+2x)max,从而可得

答案；

(2)设过点(0,1)与曲线g(X)相切的切线的切点坐标为(XO,%)，利用导数的几何意义写出过点(0,1)

的切线方程，整理可得m出+二-2=0,令九(X)="X+2—2(%>0),求导分析，可得答案.

ɪθX

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题.

19.【答案】证明：⑴以A为坐标原点，分别以AD,AA1,AB所在直线为X轴，y轴，z轴，建立空

间直角坐标系，如图所示：

则B(0,0,4),D(2,0,0),C(2,0,2),E(0,2,0),C1(2,4,2),Bl(0,4,4),

所以前=(2,0,-2)，弱=(2,2,2),

所以近∙EC∖=2×2+0+2×(-2)=0«

所以近1南，即BCIClE；

解：(2)因为西=(0,4,0)，CF=(-2,2,-2)-

所以丽=阮+而=芯+2方=(2-2λ,2λ,-2-2λ),

设平面BBlM的法向量为元=(x,y,z),

所以付竺=°,即八，n，令X=I+九解得记=(1+尢。，1一4)，

因为瓦■互=(2,0,-2),

I瓦片叫4A

所以G到平面BBlM的距离dj=-=-pʒ,

J2+2%

4Λ2√5

由题意可知=解得;I=；1.

J2+2*3

【解析】(1)以a为坐标原点，AD,441，AB所在直线分别为X轴，y轴，Z轴，建立如图所示的空

间直角坐标系，求出相应的点的坐标，再利用比∙EC1=O即可证得BC1C1E;

(2)先求出平面BBlM的一个法向量，再利用点到平面的距离公式求解即可.

本题主要考查了利用空间向量证明两直线垂直，以及求点到平面的距离，属于中档题.

20.【答案】解：(1)已知等比数列｛αzι｝满足的=1,。3+1是。2,的等差中项，

则2(%+1)=α2+a4,

设数列｛an｝的公比为q,

即2(q2+1)=q+q3,

即q=2,

则斯=2n~1;

(2)由(1)可得Sn=⅛y=2n-l>

n

则(2n-l)5n=(2n-1)∙2-(2n-1),

设Xn为数列｛(2n-1)∙2rι｝的前n项和，L为数列｛2n-1｝的前兀项和，

贝IJXn=1×21+3×22+...+(2n-3)X2n-1+(2n-1)×2n,

23n+1

则2X7J=l×2+3×2+...+(2n-3)x2"+(2n-1)×2,

两式相减可得-X"=l×21+2×(22+23+...+2n)-(2n-1)×2π+1-(2n-1)×2n+1,

即一Xn=2+2×处Cq-(2n-1)×2n+1，

n

即Xrj=(2n-3)x2+ι+6,

又〃=n(l+｝-l)=M,

n+12

即数列｛(2n-I)STl｝的前n项和7；=Xn-Yn=(2n-3)×2-n+6.

【解析】(1)设数列｛c⅛｝的公比为q,由已知可得2(q2+i)=q+q3,然后求解即可；

7ln

(2)由(1)可得Sn=≥⅞=2-l.则Qn-I)Sn=(2n-1)∙2-(2n-1),设XJI为数列｛(2n-

1—2

7t

l)∙2｝的前n项和,Kn为数列｛2n-l｝的前n项和,然后求出X”、%即可得解.

本题考查了等比数列通项公式的求法，重点考查了错位相减法求和，属中档题.

21.【答案】(1)解：・••双曲线C：^-∖=l(a>b>0%<^^的6,.∙∙2a=6,.∙.a=3.

Y双曲线。的蒙日圆方程为%2+y2=1,...02_办2=1,

・•・b=2√2∙

∙∙∙c的标准方程为餐_*=i.

(2)证明:设E(xι,%),F(x2,y2).

当直线，的斜率存在时，设，：y=kx+m,

Zy-

I

1kx+m,

«惇-

—y2_消去％得(8—9k2)x2—18kmx—(9m2+72)=O,

—

\至T

则/=(18⅛m)2+4(9m2+72)(8-9∕c2)>0,即徵2-9k2+8>0,

_18km

x+X

12-8-9k2

且一

-9/一72

%2=

8-9k2

•・•症•而=(%ι+3)(x2+3)+y1y2=0,

・・2