考点19排列组合（原卷版）-2024年新高考艺体生一轮复习

考点19排列组合一．两个计数原理1.分类加法计数原理（1）概念：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．（2）特征①每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事②各类方法之间是互斥的、并列的、独立的2.分步乘法计数原理（1）概念：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．（2）特征①每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事②各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏3.分类加法和分步乘法计数原理区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.4.利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么．(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类．(3)弄清分步、分类的标准是什么．(4)分类要做到不重不漏．二．排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,（n－m）！)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)性质Aeq\o\al(n,n)＝n！，0！＝1Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)，Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)排列、组合常见类型及解题思路（一）常用方法1.特殊优先2.相邻捆绑法3.不相邻插空法4.定序倍缩法5.对于分堆与分配问题应注意三点①处理分配问题要注意先分堆再分配.②被分配的元素是不同的.③分堆时要注意是否均匀.6.相同元素隔板法7.圆形排列问题：n个不同的事物围成一个圆时总的围成方法有(n－1)！种．解决圆形排列问题时最关键的就是插空思想，即将某个部分插入另外几个部分形成的空隙中考点一排列组合数的计算【例1】（2023·江西）化简计算（1）；（2）（3）（4）【变式】1．（2024·河北）（多选）下列式子正确的是（

）A． B． C． D．2．（2024背景）已知自然数满足，则（

）．A．2 B．3 C．4 D．54.（2023上·江西抚州）（1）求值:；（2）解不等式:.（3）解关于x的不等式．（4）求等式中的n值．考点二排列【例21】（2024·全国·高三专题练习）3名女生和5名男生排成一排．(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法?(2)如果女生都不相邻，有多少种排法?(3)如果女生不站两端，有多少种排法?(4)其中甲必须排在乙前面（可不相邻），有多少种排法?(5)其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法?【例22】（2023北京）用0、1、2、3、4五个数字．(1)可组成多少个五位数？(2)可组成多少个无重复数字的五位数？(3)可组成多少个无重复数字且是3的倍数的三位数？(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数？(5)组成没有重复数字的五位数，将这些数字由小到大排列，42130是第几个数？【变式】1.（2023广东潮州）用0，1，2，3，4五个数字．(1)可组成多少个五位数；(2)可组成多少个无重复数字的五位数；(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数．(5)可以排成多少个不重复的能被2整除的五位数？(6)可以排成多少个四位数？(7)可以排成多少个四位数字的号码？2．（2023湖北）名同学，其中名男同学，名女同学：（1）站成一排，共有多少种不同的排法？（2）站成两排，前排名同学，后排名同学，共有多少种不同的排法？（3）站成两排，前排名女同学，后排名男同学，共有多少种不同的排法？（4）站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？（5）站成三排，前排名同学，中间排名同学，后排名同学，其中甲站在中间排的中间位置，共有多少种不同的排法？（6）站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？（7）站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？（8）站成一排，甲、乙两名同学必须相邻的排法共有多少种？（9）站成一排，名男同学必须站在一起，名女同学也必须站在一起.（10）站成一排，甲、乙两名同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？（11）站成一排，甲、乙两名同学不能相邻的排法共有多少种？（12）站成一排，甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种？（13）站成一排，名男同学都不能相邻，名女同学也不能相邻的排法共有多少种？（14）站成一排，甲必要站在乙的前面(可以相邻也可以不相邻)的排法共有多少种？（15）名同学座圆桌吃饭，只考虑谁挨着谁的排法共有多少种？考点三组合【例3】（2024·全国·高三专题练习）某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种?(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种?(3)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种?(4)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种?【变式】1．（2023·江苏）高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动.（1）其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？（2）其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？（3）恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？（4）至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？（5）至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？2．（2023广西）有100件产品，其中5件次品，95件正品，现要从这100件产品中随机抽取6件进行检查.根据以下要求，计算各有多少种不同的取法.(1)抽到的全是正品；(2)恰抽到2件正品；(3)至少抽到1件次品；(4)至多抽到2件次品.考点四涂色【例41】（2023·全国·高三专题练习）如图，用4种不同的颜色对A，B，C，D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有（

）A．24种 B．48种 C．72种 D．96种【例42】（2023云南）现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同区域），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方法有（

）A．48种 B．64种 C．96种 D．144种【变式】1．（2023·全国·高三专题练习）有4种不同颜色的涂料，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（

）A．1512种 B．1346种 C．912种 D．756种2．（2023下·江西·高三统考阶段练习）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，..，8，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色相同.若有7种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（

）A．1050种 B．1260种 C．1302种 D．1512种3．（2023·全国·高三专题练习）用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，若四种颜色全用上，则共有多少种不同的涂法（

）A．72 B．96 C．108 D．144考点五分组分配【例51】（2024·青海西宁）按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;（3）平均分成三份,每份2本;（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.【例52】（2023·湖北）（1）将个不同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?（2）将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?（3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?（4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?（注：要写出算式，结果用数字表示）【变式】1．（2023上·江西·高三校联考阶段练习）现有个不同的生肖吉祥物，分个给老师，其他个分给位学生，每位学生至少分到个，则这个生肖吉祥物的分配方法共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种2．（2023·上海）某中学为迎接即将到来的元宵节筹备了3款灯谜，现准备将其印制在5个灯笼上，若每个灯谜都必须印制，且每个灯笼仅印制一款灯谜，则不同的审核分配方案有种.3（2024上·黑龙江）2023杭州亚运会于9月23日至10月8日举办，组委会将6名志愿者随机派往黄龙体育中心､杭州奥体中心､浙江大学紫金港校区三座体育馆工作，若每名志愿者只去一座体育馆工作，每座体育馆至少派1名志愿者，其中志愿者甲不去黄龙体育中心，则不同的分配方案种数为（

）A．180 B．300 C．360 D．3804．（2023·全国·模拟预测）6本不同的课本分给甲、乙、丙、丁四位同学，每位同学至少分得1本，则甲、乙分得的课本数量一样的概率是（

）A． B． C． D．5．（2023·全国·高三专题练习）（1）把4个相同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法？（2）把4个不同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法？（3）把4个不同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法？（4）把4个相同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法？1．（2024·全国·模拟预测）这6位同学站成一排照相，要求与相邻，且排在的左边，与不相邻，则这6位同学站队的不同排法数为（

）A．72 B．48 C．36 D．242．（2024·全国·模拟预测）第19届亚运会于2023年9月28日至10月8日在杭州举行，本届亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产良渚古城遗址、西湖和京杭大运河．某同学买了6个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个，现将这6个吉祥物排成一排，且名称相同的两个吉祥物相邻，则排法种数共为（

）A．48 B．24 C．12 D．63．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）在形状、大小完全相同的4个小球上分别写上4位学生的名字，放入袋子中，现在4位学生从袋子中依次抽取球，每次不放回随机取出一个，则恰有1位学生摸到写有自己名字的小球的概率为（

）A． B． C． D．4．（2024·全国·高三专题练习）A，B，C，D，E共5人排成一列，要求A与B不相邻，且C排在A后面，则共有（）种排法．A．36 B．54 C．72 D．965．（2024·全国·高三专题练习）从写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任选2张，其上数字和为偶数的概率是（

）A． B． C． D．6．（2024·上海）某单位计划从5人中选4人值班，每人值班一天，其中第一、二天各安排一人，第三天安排两人，则安排方法数为（

）A．30 B．60 C．120 D．1807．（2023·四川雅安·统考一模）甲、乙、丙、丁4个学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有五个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，则4个学校中至少有3个学校所选研学基地不相同的选择种数共有（

）A．420 B．460 C．480 D．5208．（2024·辽宁沈阳）将20个无任何区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子内的小球个数不小于它的编号数，则不同的放法有（

）A．90种 B．120种 C．160种 D．190种9．（2023·全国·模拟预测）现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景区附近订购了一家酒店的5间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，但最多住2人，男女不同住一个房间，则女生甲和女生乙恰好住在同一间房的概率是（

）A． B． C． D．10．（2023·山东）将4名医生，3名护士分配到3个社区对居民进行健康体检，要求每个社区至少有1名医生和1名护士，则不同的分配方法共有（

）A．64种 B．108种 C．128种 D．216种11．（2023·全国·模拟预测）2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生夏季运动会在四川成都成功举办．某中学积极响应，举办学校运动会．小赵、小钱、小孙、小李、小周5位同学报名参加3个项目，每人只报名1个项目，每个项目至少1人，小赵和小钱不参加同一个项目，则不同的报名方法共有（

）A．72种 B．114种 C．120种 D．144种12．（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（

）A．60 B．114 C．278 D．33613．（2024·吉林白山·统考一模）2023年12月初，某校开展宪法宣传日活动，邀请了法制专家杨教授为广大师生做《大力弘扬宪法精神，建设社会主义法制文化》的法制报告，报告后杨教授与四名男生、两名女生站成一排合影留念，要求杨教授必须站中间，他的两侧均为两男1女，则总的站排方法共有（

）A．300 B．432 C．600 D．86414．（2022·全国·高三专题练习）用4种不同颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，不同的涂色方法共有（

）A．24种 B．36种 C．48种 D．72种15（2024·宁夏）如图，用五种不同的颜色给图中的O，A，B，C，D，E六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（

）A．480 B．720 C．1080 D．120016．（2024·全国·模拟预测）某中学教师节活动分上午和下午两场，且上午和下午的活动均为A，B，C，D，E这5个项目.现安排甲、乙、丙、丁四位教师参加教师节活动，每位教师上午、下午各参加一个项目，每场活动中的每个项目只能有一位老师参加，且每位教师上午和下午参加的项目不同.已知丁必须参加上午的项目E，甲、乙、丙不能参加上午的项目A和下午的项目E，其余项目上午和下午都需要有人参加，则不同的安排方法种数为（

）A．20 B．40 C．66 D．8017．（2024·四川成都·成都七中校考模拟预测）（多选）有五名志愿者参加社区服务，共服务周六､周天两天，每天从中任选两人参加服务，则（

）A．只有1人未参加服务的选择种数是30种B．恰有1人连续参加两天服务的选择种数是40种C．只有1人未参加服务的选择种数是60种D．恰有1人连续参加两天服务的选择种数是60种18．（2024·全国·高三专题练习）（多选题）下列人员的坐法种数为24的是（

）A．4把椅子排成一排，4人随机就座B．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻C．4人均不坐在写着自己名字的座位上D．4把椅子排成一排，甲、乙、丙、丁四人中甲、乙必须相邻19．（2023上·江西）（多选）2023年国外某智库发布尖端技术研究国家竞争力排名，在极超音速和水下无人机等23个领域中，中国在其中19个领域领先.某科技博主从这19个领域中选取了A，，，，，六个领域，准备在2024年1月1—6日对公众进行介绍，每天随机介绍其中一个领域，且每个领域只在其中一天介绍，则（

）A．A，在后3天介绍的方法种数为144B．，相隔一天介绍的方法种数为96C．不在第一天，不在最后一天介绍的方法种数为504D．A在，之前介绍的概率为20．（2023上·山东德州）（多选）带有编号、、、、的五个球，则（

）A．全部投入个不同的盒子里，共有种放法B．放进不同的个盒子里，每盒至少一个，共有种放法C．将其中的个球投入个盒子里的一个另一个球不投入，共有种放法D．全部投入个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法21（2024上·辽宁）（多选）现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到四家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（

）A．所有可能的安排方法有64种B．若三名专家选择两所医院，每所医院至少去一人，则不同的安排方法有6种C．若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，则不同的安排方法有24种D．若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，但是甲不去A医院，则不同的安排方法有18种22（2023上·山东德州）（多选）有本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（）A．分给甲､乙､丙三人，每人各本，有90种分法；B．分给甲､乙､丙三人中，一人本，另两人各本，有种分法；C．分给甲乙每人各本，分给丙丁每人各本，有种分法；D．分给甲乙丙丁四人，有两人各本，另两人各本，有种分法；23．（2024·广东广州·华南师大附中校考一模）（多选）某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理4节课，且该天上午总共4节课，下列结论正确的是（

）A．若数学课不安排在第一节，则有18种不同的安排方法B．若语文课和数学课必须相邻，且语文课排在数学课前面，则有6种不同的安排方法C．若语文课和数学课不能相邻，则有12种不同的安排方法D．若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有3种不同的安排方法24．（2024上·辽宁沈阳）（多选）4个男生与3个女生并排站成一排，下列说法正确的是（

）（选项中排列数的计算结果均正确）A．若3个女生必须相邻，则不同的排法有种B．若3个女生中有且只有2个女生相邻，则不同的排法有种C．若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，则不同的排法共有种D．若3个女生按从左到右的顺序排列，则不同的排法有种25．（2023上·湖北武汉）（多选）传承红色文化，宣扬爱国精神，东湖中学国旗队在高一年级招收新成员，现有小明、小红、小华等6名同学新入方阵参加队列训练，则下列说法正确的是（

）A．6名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为120种B．6名同学站成一排，小明、小红两人相邻，则不同的排法种数为240种C．6名同学站成一排，小明、小红两人不相邻，则不同的排法种数为480种D．6名同学平均分成三组到进行三种不同的队列训练（每种训练必须有人参加），则有540种不同的安排方法26．（2023上·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）将六名志愿者分配到四个场所做志愿活动，其中场所至少分配两名志愿者，其他三个场所各至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有种．（用数字作答）27．（2024·全国·模拟预测）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行．开赛前，组委会欲将某高校4名男志愿者、2名女志愿者共6人平均分成3组，分别担任铁人三项、马术和攀岩3个项目的志愿者，且2名女志愿者不在同一组，则不同的选择方案共有种．28．（2023·全国·模拟预测）杭州第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，竞赛项目设置为40个大项，61个分项，481个小项．甲、乙、丙、丁、戊、己6位记者为亚运会的3个项目写新闻稿，每个项目至少有1人写，且每个人只写1份稿件，甲、乙两位记者不能写一样的项目，则共有种分配方法．29．（2024·广西·模拟预测）第19届杭州亚运会的吉祥物，分别取名为“琮琮”“莲莲”“宸宸”，是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”.现有6个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有.（用数字作答）30．（2024·河南郑州·统考一模）2023年12月6日上午，2023世界5G大会在郑州国际会展中心拉开帷幕．世界5G大会是全球5G领域国际性盛会，也是首次在豫举办．本次大会以“5G变革共绘未来”为主题，以持续推动5G不断演进创新为目标．现场邀请全球有影响力的科学家、企业家、国际组织负责人等参会，并进行高层次、高水平交流研讨．为确保大会顺利进行，面向社会招聘优秀志愿者，参与大会各项服务保障工作．现从包含甲、乙的6人中选派4人参与“签到组”、“服务组”、“物料组”、“机动组”四个不同的岗位工作，每人去一个组，其中甲、乙至少有一人参加且甲不去“签到组”的选派方法共有种．（用数字作答）31．（2024·全国·高三专题练习）用5种不同的颜色给如图标有A，B，C，D的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，且相邻（有公共边）两部分不同颜色，则不同的涂色方法共有.32（2024·全国·高三专题练习）现有红、黄、青、蓝四种颜色，对如图所示的五角星的内部涂色（分割成六个不同部分），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则最多使用三种颜色的不同涂色方案有种．（用数字作答）33．（2023上·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，4人只会日语，2人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有种.34．（2023·全国·模拟预测）杭州第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举办，杭州亚运会竞赛项目设置为40个大项，61个分项，481个小项，并增设电子竞技、霹雳舞两个竞赛项目.现有甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者到乒乓球、电子竞技、霹雳舞三个项目志愿服务，其中每个项目至少一名志愿者，甲必须在霹雳舞项目，则不同的志愿服务方案共有种（用数字作答）.35．（2023上·江苏镇江·高三江苏省扬中高级中学校考阶段练习）国家鼓励中小学校开展课后服务，某中学为了搞好课后服务工作，教务科组建了一批社团，学生们都能积极选择自己喜欢的社团.目前话剧社团、书法社团、舞蹈社团、朗诵社团分别还可以接收1名学生，恰好甲、乙、丙、丁4名同学前来教务科申请加入，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进朗诵社团，乙进书法社团或舞蹈社团的概率为.1．（2024·陕西宝鸡·统考一模）千年宝地，一马当先．2023年10月15日7时30分，吉利银河．2023宝鸡马拉松赛在宝鸡市行政中心广场鸣枪开跑，比赛吸引了全国各地职业选手及路跑爱好者共2万人的热情参与．为确保活动顺利举行，组委会自起点开始大约每隔5公里设置一个饮水站（志愿者为选手递