2022-2023学年河北省保定市高一年级上册期末数学专项提升模拟试题（含解析）

2022-2023学年河北省保定市高一上册期末数学专项提升模拟试题

(含解析)

一、单选题

I.已知集合A={x∣l0g2X≤l},β={x∣x2-3x≤θ},则AB=()

A.[0,3]B.[2,3]C.(→o,3]D.(0,2]

【答案】D

【分析】先解对数不等式与二次不等式化简集合AB,再利用集合的交集运算即可得解.

【详解】因为log2X≤l=log22,所以OCX≤2,则A={x∣log2X≤l}={x∣O<x≤2},

因为f_3χ≤0,所以0≤x43,所以8=kk2_3χ≤o}={χ∣o≤χ≤3},

所以ACB={x∣0<x≤2}=(0,2].

故选：D

2.命题：“3x>0,>[xH—≥1”的否定是()

X

A.3x≤0,∖[xH—≥1B.3x>09>fxH—<1

XX

C.Vx>0,4x+-<lD.Vx≤0,y[x+-≥i

XX

【答案】C

【分析】根据存在量词命题的否定形式，直接判断选项.

【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题，所以“Ξx>O,«的否定是“Vχ>0,

X

7%+ɪ<1,,.

X

故选：C

3.cos1050°=()

A.；B.-ɪC.--D.B

2222

【答案】D

【解析】利用诱导公式，化简求值.

【详解】cos1050=Cos(3×360-30)=cos(-30)=cos30=与.

故选：D

1

4.已知α=sinl53°,。=COS65°,C=I1ogl彳，贝IJ()

5J

A.a>b>cB.c>a>bC.b>c>aD.c>b>a

【答案】B

【分析】三角函数由诱导公式化成锐角三角函数，由正弦函数单调性比较；对数式根据对数函数单

调性与1比较大小.

【详解】α=Sin153?sin(180?27?)sin27?,

b=cos65o=cos(90o-25°)=sin25°,

,1,1,

CTOglτ>lθg∣彳=1,

2ɔ£2

因为27?25?,所以由正弦函数的性质可得l>sin27?sin25?,

∙∖c>l>a>h..

故选：B

5.y=x+Jl-X+3的最大值是()

A.—B.2C.ɪD.4

42

【答案】A

【分析】设f=√i=(d0),可得y=-J+f+4,配方后利用二次函数的性质求解即可.

【详解】设f=JI-X(f≥0)=>X=1-产，

1______17

因为f≥0,所以，=/时，y=x+Jl-X+3的最大值是1,

故选：A.

6.为了得到函数y=cos2x的图象，只需把函数y=cos(2x-g)的图象

6

A.向左平移卷个单位长度B.向右平移*个单位长度

C.向左平移£TT个单位长度D.向右平移9π个单位长度

0O

【答案】A

【分析】将)，=CoS(2》用转化为CoS由此判断出正确选项.

【详解】由于y=cos∣2x-∙^)=cos故需向左平移之TT后得到y=COS2x的图像.

【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，转换过程中要注意是将哪个函数变到哪个函数，属于

基础题.

7.己知函数/(x)=尚，则不等式“2x-3)<3的解集是()

A.(1,2)B.(0,3)

H

C.(→×),1)(2次)D.1吗)［∣,^≈°］

【答案】B

【分析】根据奇偶性定义可知/(x)为偶函数，当x≥0时，根据解析式可判断出/(x)单调性，从而

得到/(x)在(-,O］上的单调性；根据/(3)=∕(-3)=3,结合单调性可得自变量大小关系，解不等

式可求得结果.

【详解】定义域为R，〃T)=鹄=器=〃"，`/(x)为R上的偶函数;

4x=4(1+X)-4=44

当XNO时,`)1+xl÷x1+x

y=4在［°，+8)上单调递减，'/(x)在［°，+8)上单调递增，

又/(χ)为偶函数，图象关于y轴对称，∖/(χ)在(-∞,o］上单调递减;

A

令产r=3,解得：χ=3,∙∙J(3)="-3)=3,

1+x

贝IJ由"2x-3)<3得：-3<2x-3<3,解得：0<x<3,

即“2x-3)<3的解集为(0,3).

故选：B.

8.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学

家哈利奥特首次使用“>"和“<”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.

若实数x+3y=3(x>l,y>；］,则一三+卢T的最大值为()

I3)x+13y+l

A.-B.-C.3D.4

52

【答案】A

【分析】根据分离常数法和均值不等式即可进一步求解.

.»5.「、，X3yx+113y+l1,1,Iʌ,11.

【详解】因为---+—:—=---------+-----------=1--------+1----------=2-(------+--------)

x+13y+↑x+∖x+13y+∖3y+lx+13y+∖x+13y+l

又因为x+3y=3,

所以(x+l)+(3y+l)=5,

所以-L+，』-L+_qi>+D+⑶+H,

x÷l3γ+l(x+l3y÷l)5

LL…11I”3v+lx+l+1)≥*2.5旦+2、4

所以——+----=-(l+--+--------

x+l3y+l5x+l3y+lx+l3y+l5

Ir,,3y+lx+l

当且仅当K=H

即(3y+l『=(^+1)2,

所以(x+l)=(3y+l)且当(x+l)+(3y+l)=5,

即(x+l)=(3y+l)=g,

3I

即X=展P=/时，

∖(+-lU3->∙+¼lmin，5,

所以2-岛+嘉）6

故选：A.

二、多选题

9.若α*,c,d∈R,则下列命题中真命题的是()

A.若a>b,c<d,则α-c>6-dB.若〃<〃<(),则

ab

C.若bc-ad≥U,bd>O9则≤D.若二>与，则α>h

bdcc~

【答案】ACD

【分析】根据不等式的性质，以及做差法，即可判断选项.

【详解】A.a>"c<d,所以-c>-d,则。一。>力一d,故A正确；

B.2-3=b=(〃+〃)伍一〃),当时，a+h<O,b-a>O,ab>Of

ababab

所以即2<f,故B错误；

abab

一什,,c,,Crlbe-ad、八c。、八aca,,ca+b/c-∖-d,,C

C.右bc-ad≥U,bd>Q,则------≥0<=>---≥0,即nπ一≤-o一+1≤-+1t=-------≤-------,故C

bdabbdbdba

正确;

∩h

D.若F>F,则c2>0,两边同时乘以c∙2,则“>力，故D正确.

CC-

故选：ACD

10.若"0<x≤2"是"lnx≤α”的必要不充分条件，则实数。的取值可能为()

A.0B.In2C.∣D.1

【答案】AC

【分析】根据充分，必要条件判断集合的包含关系，列式求实数。的取值.

【详解】lnx≤α,解得：0<χ<ea,

由条件可知，{x∣0<x≤e"}{x∣0<x≤2},所以e“<2,则α<ln2,

由选项可知，满足条件的。为0或g.

故选：AC

/、2

11∙若函数〃加[[(X2」+(2)÷⅛二)X--12,,Λx<≥0。在R上为单调减函数,则实数b的值可以为()

A.0B.—1C.—2D.—

2

【答案】CD

【分析】根据二次函数和一次函数的单调性，以及分段处函数值大小关系可构造不等式组求得结果.

【详解】“X)在R上为单调减函数，∙∙∙26-l<0,解得：ft≤-2,

-l≥b-2

.•力的值可以为-2或-g.

故选：CD.

cos2x-sin2X

12.定义2x2行列式,

=ala4-a2ai,若函数/(X)=(π),则下列表述错误的是

%1••

UJ

()

A.F(X)的图象关于点0)中心对称B.“X)的图象关于y轴对称

C.f(x)在区间0弓上单调递增D.7(x)的最小正周期为兀

【答案】AB

【分析】首先化简函数/(x),再根据三角函数的性质，判断选项.

【详解】由题中所给定义可知/(ɪ)=Cos2x-sin2X-Λ∕3COS(2Λ+=cos2x÷sin2x

=2cos(2x--),

3

2cosO=2≠O,故A错误;

/(0)=2cos∣=l≠÷2,故B错误;

当X∈0,一时，2x—∈—,0此时函数单调递增，故C正确;

L6j3L3

τ=^y=π,故D正确.

故选：AB

三、填空题

13.幕函数〃8)=(病-时5)--5，”在(0,+8)上单调递减，则实数机=.

【答案】3

【分析】根据基函数的特征，列式/-"L5=1,求机的值，再根据函数的性质，确定加的值.

【详解】因为函数是基函数，所以疗-机-5=1,解得：加=-2或加=3,

当加=-2时，∕∖X)=X'A,函数在(0,+∞)上单调递增，不满足条件;

当加=3时，/(x)=X%函数在(0,田)上单调递减，满足条件.

所以〃2=3.

故答案为：3

sin(^∙-a)

14.若。的终边过点(一2,5),则一一.

/sɪnl—÷6rl-cos(^∙÷<2)

【答案】-3##-125

4

sin(ʃr-ɑ)

【分析】先利用三角函数的定义求出tana,对一；利用诱导公式化简后代入即

sɪnl^+al-cos(Λ-+a)

可求解.

【详解】因为a的终边过点(—2,5),所以tana=-^,

sin(∕τ-a)_Sina_Sina_5

所以.(九∖/ʌCoSa—(一COSa)2cosa4.

sιnl—+al-cos(æ÷a)v)

故答案为：-∙∣∙.

4

15.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，℃,空气的温度是min后物体的温

度可由公式6=a+(α-4)e-"求得，其中&是一个随着物体与空气的接触状况而定的正的常数.

若将62C的物体，放在15°C的空气中冷却，可测得Imin以后物体的温度是52℃,由此可求出k的

值约为0.24.现将55℃的物体，放在15。C的空气中冷却，则开始冷却分钟(精确0.01)

后物体的温度是35°C.(参考数据：ln270.693)

【答案】2.89

【分析】根据所给数据代入方程即可求得结果.

【详解】由题意可知4=55,缥=15,6=35,

024,

代入方程θ=θ0+(θt-⅛)e-∙W35=15+(55-15)e«"'即=1,

两边取对数得-0.24r=InL=-In2,

2

由参考数据可知In2≈0.693,

所以t≈2∙89,

故答案为：2.89

16.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且〃x)=∕(2r),当XqO,1］时J(X)=6,则函数

'3S-

g(x)=kanπx∣-∕(x)在一万3上所有零点的个数为.

【答案】10

【分析】根据图象变换画出y=∣tan时的图象,根据/(x)=∕(2-x)及偶函数,求出f(x)的周期及对称

Γ35-

轴,再根据XWO』时,“χ)=6,在同一坐标系下画出y=∣tan同及f(x)在的图象,交点个数

即零点个数.

【详解】解:由题知y=∣an同是由),=tanx纵坐标不变,横坐标变为原来的L倍，

π

再将X轴下方的图象翻到X轴上方即可得到，

又有/(X)是定义在R上的偶函数，

且/(X)=∕(2-X)=∕(X-2),

所以/(x)图象关于直线x=l对称,且周期为2,

又因为xe［0,l］吐/(x)=G,

35

在同一坐标系下,画出y=gn利及/(x)在-1,5的图象如下所示:

由图象可知y=kan∏Λ∙∣与/(x)交点个数为10个，

Γ35-

即8(%)=帆11同-/(6在上所有零点的个数为10个.

故答案为:10

四、解答题

17.己知集合A=Xm^>0,非宅集合8={x∣”-2≤x≤2.+l}.

⑴当α=3时，求A和低A)B.

(2)若XeA是xe3的必要不充分条件，求实数。的取值范围.

【答案】(l)A={x∣x<-3或X>∣},(^4)8={x∣-3≤x≤7};

9

(2)〃>5或-3≤α<-2

【分析】(1)利用分式不等式的解法化简集合A,再利用集合的补集和并集运算求解;

(2)根据XeA是尤e5的必要不充分条件，由8&1求解.

【详解】⑴解：因为集合A=N三*θ}={x∣x<-3或x>,,

所以δkA={x∣-3≤x≤g},又B={x∣l<x≤7},

所以隔A)B={x∣-3≤x≤7};

(2))因为XeA是xe3的必要不充分条件，

所以腔A,

2a+∖≥a-2

2a+∖≥a-2

所以C5或

a-2>-2a+1<—3

2

Q

解得O*或-3≤α<-2,

9

所以实数。的取值范围是或-3≤α<-2.

18.已知函数/(x)=Sin(2x-1)+cos卜X-S)+GQcos,x-l),χ∈R.

⑴将函数/(x)化成4血(5+9)(4>(),0>(),(*8<2兀)的形式，并写出其最小正周期;

Tr

⑵求函数/(χ)在区间0,5上的值域.

【答案】⑴〃x)=2sin(2x+£),最小正周期为",

⑵卜亚2]

【分析】(1)根据和差角公式以及二倍角公式化简得〃X)=Sin2X+GCOS2X,利用辅助角公式即可

化简，

TTTTπ4τt

(2)根据X∈0,-得2x+]∈-,y,即可求解值域.

【详解】(1)f(x)=sinf2x-y^j+cos^2x--ξ∙^+∖∕3(2cos2x-l)

=—sin2x--cos2x+—cos2x+-sin2x+百cos2x

2222

=sin2x÷∖∕3cos2x=2sin2x+-I

Iɜj

最小正周期为兀，

(2)x≡0»y时,2x∈[θ,π],进而2x+,∈ʒ-,-,

所以sin(2x+])€-ɪ,l,所以/(x)∈[-"2]

所以函数/(可在区间θɪ上的值域为[-6,2]

19.回答下面两题

⑴己知Sina+cosα=告，<z∈(θ,π),求Sina-COSa的值;

⑵已知tanα=4g,且sin(α-/)=土叵，0<∕7<α<g,求角夕的值.

142

【答案】(1)回

4

ʌπ

(2)3

【分析】（1）利用平方关系，先求2sinαcosa,再判断角的范围后，再利用平方求Sina-COSa的值;

（2）利用角的变换求SinZy=Sin再利用两角差的正弦公式，展开后求解.

【详解】(1)因为Sina+cosa=也，两边平方后得

4

ɪ7

1+2SinaCoSa=—，即2Sinacosa=——<0,因为a∈(θ,π),

88

所以a∈[∙∣,τr),所以Sina>0,COSa<0,

2715

因为(Sina-COSa)=1-2SinaCoSa=1+—=—,Sina-COSa>0

88

所以Sina-cosa=;

4

TTTt

(2)因为0<4<a<,,所以0<a—/V],

sin(a-1)=(^,所以cos(a-/?)=JI-Sin2(°一夕)=工

^=4√3

CoSaI-

1

tana=4√3,得《sin2a+cos2a=1,解得：sina=ɪ-cosa=一

77

Sina>,cosa

sin∕7=sin[a-(a-/)]=SinaCoS(a-⑶-CoSaSin(2一7?)

=迪UX唯=3,且。”1,

71471422

所以6=5∙

20.①/(x+l)=∕(x)+2xT;②〃x+l)=∕(Ir)且"0)=2；③/(x)≥l恒成立，且40)=2.

在以上三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知二次函数的图像经过点（1,1）,

⑴求“X)的解析式；

⑵若g(x)=Iog2(6-x)+log2(6+x),求g[f(x)]在X∈[0,3]的值域.

【答案】(1)/(X)=X?—2X+2

⑵[k>g2ll,log235]

【分析】(I)任意选择三个中的一个，利用待定系数法求解；

(2)令“=/(x),贝∣J/[1,5],则g[〃x)]=g(u)=log2(36-u2),利用对数函数的单调性求解.

【详解】(1)解:选①：设/(x)=Or2+⅛r+c(af0),

则/(x+l)="(x+l)~+b(x+l)+c=奴*+(2α+b)x+(α+6+c),

由/α/+g、"x/)+、2A1可得[,2aH+h=b+e2/解得([a-=2∖，

则/(x)=χ2-2χ+c,由/⑴=C-I=I可得C=2,

.∙.∕(x)=x2-2x+2；

选②：因为"x+l)="I-x),所以函数/(力的图象关于直线x=l对称，

因为〃1)=1,设f(x)="x-iy+l,

则/(0)=α+l=2,可得〃=1,

所以/(x)=(x-l)^+1=x2-2x+2；

选③：因为/(x)≥l且"1)=1,可设/(x)="(x-iy+l,其中α>0,

则/(0)="+l=2,可得α=l,

所以/(x)=(x—1)+I=/—2x+2；

(2)解：当x∈[0,3]时,/(X)=(X-1)2+1∈[1,5],

令i∕=f(x),则“∈[1,5],

2

(x)=Iog2(6-x)+log,(6+x)=Iog2(36-X),

2

g[f⑼=g(u)=Iog2(36-u),

令f=36-u2,则te[ll,35],

因为函数Y=Iog2，在fe[1L35]上单调递增，

因此函数y=IogJ值域为[log?11,log?35],

所以g[/(切在Xwo,3]的值域为[Iog2IlJog235].

21.已知函数/(x)=ACoS3尤+。)(4>0,。>0,|0区冷)的部分图象如图.

⑴求/(χ)的表达式;

(2)将函数/(x)的图象向右平移十个单位长度得到曲线C,把C上各点的横坐标保持不变,纵坐标变为

原来的2倍得到函数g(x)的图象.若关于X的方程g(x)-〃?=0在0卷恰有一个实数解,求实数，”的

取值范围.

【答案】⑴/(x)=COSl2xq)

(2)—1≤/%V1或机=2

【分析】(1)由图象结合五点法求出函数解析式即可；

⑵由三角函数变换求出g(X)解析式,根据题意进行分离,变为y=g(X)与y=加有一个交点,,对g(X)

进行换元,画出函数图象,根据图象即可分析出范围.

【详解】(1)解:由图可得

T2π

.,.T=π=—,

ω

「.69=2,

Qf(X)χτj(χ)",

.*.A=1,

此时:/(x)=cos(2x÷^),

Tr

解得：二+(p=2kπ,kcZ,

6

TT

即O=——+2kπ,Z∈Z,

6

网苦,

..π

故9=一工，

6

综上：/(x)=cosf

(2)由⑴知/(x)=CoS(2X-S),

f(χ)向右平移;个单位长度得到曲线C：y=cos(2x-年)，

再将C横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,变为:g(x)=2COSl2x-g

因为关于X的方程g(x)-加=0在0弓恰有一个实数解，

即g(x)=%有一个根，

即y=g(χ)与y=他有一个交点，

ʌC2πΓ2ππ

令，=2x-----√∈-----,

3L3ɜj

则即y=2cosx在-y,∣上与丫=加有一个交点，

画出图象如下：

由图可知,实数机的取值范围为-