四川省遂宁市2023届高三第二次诊断性考试数学（文）试题(含答案)

遂宁市高2023届第二次诊断性考试

数学(文史类)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合A={X∣(X+3)(X-2)≤0},3={X∣X≤1},则ACB=()

A.∣x∣-3<x<2jB.{x∣-3≤x<l}C.{R-3≤X≤1}D.∣x∣l<x≤2∣

2+i、

2.--=()

3.某乡镇为推动乡村经济发展，优化产业结构，逐步打造高品质的农业生产，在某试验区种植了某农作物.为

了解该品种农作物长势，在实验区随机选取了100株该农作物苗，经测量，其高度(单位：Cm)均在区间[10,20]

内，按照[10,12),[12,14),[14,16),[16,18),[18,20]分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，记

高度不低于16Cm的为“优质苗”.)

A.20B.40

cos2δz÷2sin2a=1,则tana=()

11

A.3B.2C.—D.一

23

5.过直线/：x+y—5=0上的点作圆C：(x-lY+(y+2)2=6的切线，则切线段长的最小值为(

A.√6B.2√3C.√15D.3√2

6.数学与音乐有着紧密的关联,我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音,而是由多种波叠加而成的复合音.如

图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为()

y∙'

，一

y=SinX+」sin2x+Lin3xB.y=sinx-^sin2x-』sin3x

A.

2323

y=sinx+'cos2x+'cos3xD.y=cosx+'cos2x+'cos3x

C.

^23-23

7.已知函数/(x)=3χ4-8l+6f,则/(x)()

A.有2个极大值点B.有1个极大值点和1个极小值点

C.有2个极小值点D.有且仅有一个极值点

8.将函数/(x)=gsinx-Cosx的图象上的所有点向右平移T个单位长度，得到的图象对应的函数可以是

()

A.y=2sinxB.y=2cosxC.y=-2sinxD.y=-2cosx

9.已知四棱柱ABC。—48]GA的底面是正方形，AB=2,AA1=2Λ∕^,点B[在底面ABCz)的射影为BC

中点H,则点G到平面ABCD的距离为()

A.√6B.√7C.2√2D.3

10.已知定点。(2,0),直线/：＞=攵(％+2)化＞0)与抛物线＞2=4%交于两点4,B,若NADB=90。，则

IABI=()

A.4B.6C.8D.IO

11.在AABC中，AB=AC=2,BC=2√5,O为BC的中点,将AACD绕AO旋转至APD,使得BP=百，

则三棱锥P—ABD的外接球表面积为()

8√2π5∖∣5π

A.-----B.-----C.5πD.8π

36

12.已知函数=若过点P（Tm）可以作曲线y=∕（x）三条切线，则机的取值范围是（）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知双曲线C：——/=1,则C的离心率为.

14.已知AB=（L2）,AC=（2,t）,∣BC∣=1,则实数f=.

15.Z∖A3C中，角A,B,C所对的边分别为4,b,c.若（2α-c）cosB=匕CoSe,且b=百，则AABC

面积的最大值为.

16.《定理汇编》记载了诸多重要的几何定理，其中有一些定理是关于鞋匠刀形的，即由在同一直线上同侧的

三个半圆所围成的图形，其被阿基米德称为鞋匠刀形.如图所示，三个半圆的圆心分别为。，0l,O2,半径

分别为R，6，4（其中/?>4>G），在半圆。内随机取一点，此点取自图中鞋匠刀形（阴影部分）的概率

为，Mɪ

r2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个

试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生依据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）

某商店销售某种产品，为了解客户对该产品的评价，现随机调查了200名客户，其评价结果为“-一般"或''良

好”，并得到如下列联表:

一般良好合计

男20100120

女305080

合计50150200

（1）通过计算判断，有没有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？

（2）利用样本数据，在评价结果为“良好”的客户中，按照性别用分层抽样的方法抽取了6名客户.若从这6

名客户中随机选择2名进行访谈，求所抽取的2名客户中至少有1名女性的概率.

附表及公式：

2

P(κ≥k0)0.150.100.050.0250.010

火。2.0722.7063.8415.0246.635

其中----—~ʌ---------------------,n-a+b+c+d.

[a+b）[c+d）（a+c）（b+d）

18.（12分）

已知数列｛4｝是公差为2的等差数歹U，其前3项的和为12.｛2｝是公比大于O的等比数列，4=3,4-d=18.

（1）求数列｛q｝和也｝的通项公式；

（2）若数列｛q,｝满足C,=’一+仇，求｛c,J的前〃项和7；.

a∣∣an+∖

19.（12分）

如图,在三棱锥P-ABC中，H为△ABC的内心,直线A”与BC交于M,NPAB=ZPAC,ZPCA=ZPCB.

（1）证明：平面平面4BC；

（2）若ABL3C,PA=AB=3,BC=4,求三棱锥M—Q4C的体积.

20.（12分）

已知椭圆氏*∙+∕=l（α>0>0）经过A（0,l）,7（—|，一|]两点，M，N是椭圆E上异于7的两动点,

且NM4T=∕24T,直线AM,AN的斜率均存在，并分别记为左，k2.

（1）求证：匕心为常数；

（2）证明直线MN过定点.

21.（12分）

已知函数/（x）="e*—f有两个极值点X],χ2.

（1）求α的取值范围；

（2）若工223%时，不等式玉+恒成立，求义的最小值.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题

记分。

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）

在直角坐标系Xoy中，直线/的参数方程为［"=2+回，C为参数）.以坐标原点O为极点，X轴的正半轴

b=t

为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为402sh√6=3（"—1）.

（1）求C的直角坐标方程；

（2）设直线/与曲线C交于A,B,求∣A8∣.

23.［选修4-5：不等式选讲］（10分）

设函数"x）=∣2x-3∣+∣2x+l∣.

（I）解不等式/（x）<6-x;

⑵令/（%）的最小值为7,正数X,y,z满足x+y+2z=7∖

1

证明：—+-----+

x+1y+1⅛I∙

文科数学参考解答及评分参考

一、选择题

1.答案：C

解析：由（x+3/x-2）≤0解得一3≤x≤2,所以A={H-3<X<2},

An5=∣x∣-3<x≤2∣n∣x∣x≤1∣={R-3≤x≤1}.

命题意图：本小题设置课程学习情境，设计基础性问题，主要考查集合的交集运算等基础知识；考查运算求解

能力，应用意识.

2.答案：A

5丁2+i-2i+l1.

解析：——=------=——ɪ.

2i22

命题意图：本小题设置课程学习情境，设计基础性问题，主要考查复数的乘法与除法运算等基础知识；考查运

算求解能力.

3.答案：C

解析：该农作物苗高度在［16,18）,［18,20］的频率分别为0.4,0.2,则“优质苗”株数为IooX（0.4+0.2）=60

（株）.

命题意图：本小题以乡村振兴、农业生产为命题情境，以直方图为载体考查概率统计问题，考查概率统计思想

和应用意识.

4.答案：B

解析：由COS2α+2sin22=l有l-2si∏2α+4sinαcosα=l,因为αe(θ,∙∣),所以O<sina<l且

Sina=2cosα,所以tanα=2.

命题意图：本小题设置课程学习情境，设计基础性问题，主要考查二倍角与同角三角函数关系等基础知识；考

查运算求解能力，逻辑推理能力，应用意识.

5.答案：B

解析：圆心C(I,一2)到直线/的距离d=3√∑>n,即/与C相离，

故切线段长的最小值为‘(3五/一(指『=2√3.

命题意图：本小题设置课程学习情境，设计基础性问题，主要考查直线、圆的方程，直线与圆的关系，考查数

形结合思想，数学运算核心素养.

6.答案：A

解析：由题可知，该乐音对应的函数为奇函数，A,B选项中的函数为奇函数，选项C中的函数为非奇非偶函

数；D选项中的函数为偶函数，排除C,D.对于选项B,当X=P时，y=2-速<0,不符合题意，故选

612

A.

命题意图：本小题以音乐与数学为应用型情境，以函数图象为载体，考查函数图象的应用，考查数形结合思想；

考查直观想象素养.

7.答案：D

解析：由己知得/'(x)=12χ3-24*+12X=12MX—I)?,则x<0时，/(x)<0,/(x)单调递减；x>0

H寸，∕,(x)≥0,/(x)单调递增，所以，/(x)有唯一一个极值点X=0,且为极小值点.

命题意图：本小题以整式型函数为知识探索情境，以四次型函数极值最值为载体，考查导数应用等知识，考查

化归与转化、数形结合思想；考查抽象概括、推理论证能力；考查逻辑推理、直观想象素养.

8.答案：D

解析：〃X)=百SinX-CoSX=2sin(xW),将函数y=∕(x)的图象上的所有点向右平移T个单位长度，

得到的图象对应的函数为y=2sinx-女一手=-2cosx.

命题意图：本小题设置课程学习情境，设计综合性问题，考查两角和差的三角函数公式，三角函数图象的平移

变换，诱导公式等基础知识；考查运算求解能力，化归与转换思想，数形结合思想.

9.答案：B

解析：由已知，用面ABC£>,BH=I,在RtABB∣H中,BlH=《BB；—BH2=—F=不.即

点用到平面ABCC的距离是J7∙因为ABCZ)-4与CQ是柱体，故与G〃平面A8CZ),所以点C∣到平面

ABC。的距离为77.

命题意图：本小题设置课程学习情境，设计综合性问题，以斜四棱柱为载体，考查线面位置关系、点到平面的

距离，主要考查空间想象能力和数学运算、逻辑推理素养.

10.答案：C

解析：设Aa,χ),B(x2,y2),由+得人2+(4∕-4)X+4&2=0.由A>0得上2<J_,此

V—4Jc2

时%+%=微-4,%％2=4，从而=4JXTx2=8•由NA/)3=90°得

%=8

于是玉+龙2=8,

-

X228-2(玉+々)

1I------J16(l-2∕r2)

解得公=—,IABI=Jl+∕∙Y\——-=8.

311k2

命题意图：本小题设置课程学习情境，设计综合性问题，主要考查直线与抛物线的关系，考查数形结合、化归

与转化思想，考查逻辑推理、数学运算核心素养.

11.答案：C

解析：在aABC中，A3=AC=2,BC=2√3,。为BC的中点，故AO,BC且A£)=1,从而ADJ_平

面8DP,设三棱锥P—ABD的外接球的球心为O,半径为R,。到平面BDP的距离为"，则△=又因为

2

BP=DP=DB=6故DP的外接圆半径为厂=1,从而收=储+/=一，故三棱锥「一粒。的外

4

接球的表面积为4兀N=5兀.

命题意图：本小题设置课程学习情境，设计旋转图象的理解，三棱锥与球体的数量关系的转化，主要考查空间

想象能力，作图能力和数学运算素养.

12.答案：A

解析：由题r(χ)=-3∙,设切点(Xo,半ɪ则切线方程为一黄…。)+空

则

eIe0

加=一,㈠一/)+等=展’过点P可以作三条切线’则方程根=整有三个不同实数根，

ʌ/∖(x+l)21_√

令g(x)=%τ-则/(X)=—1，可知XV-I时,g，(X)VO,g(x)单调递减；-l<x<l时，g'(x)>0,

g(x)单调递增；x>l时，g'(x)<O,g(x)单调递减，则x=—l时，g(x)取得极小值g(—1)=0；当x=l

44

时,g(x)取得极大值g⑴=—・又X->-8时.，g(x)->+R;又%——8时∙，g(x)->0∙则。<加<一时,

方程g(x)="1L有三个不同实数根，此时过点尸可作曲线y=∕(χ)三条切线.

命题意图：本小题是以切线问题设置的探索性问题情境，由一次函数与指数函数构成的新函数为载体，考查导

数的几何意义；考查数形结合、化归与转化等数学思想；考查逻辑推理能力、运算求解能力以及创新能力；考

查数学抽象、逻辑推理、数学运算等素养.

二、填空题

13.答案：--

3

解析：由双曲线方程知α=3,b=l,则c=√iU,所以离心率e=£=典

a3

命题意图：本小题设置课程学习情境，设计基础性问题，主要考查双曲线的方程和离心率，考查数学运算能力.

14.答案：2

22

解析：由BC=AC—A8=(2j)—(1,2)=(U—2),∣BC∣=λ∕l+(Z-2)=1,解得f=2.

命题意图：本小题设置课程学习情境，设计基础性问题，主要考查向量的减法与向量的模等基础知识；考查运

算求解能力，方程思想.

3√3

15.答案:

ɪ

解析：由已知，根据正弦定理得2sinAcos8=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C),即

I1TT

2sinAcosB=sinA,所以COSjB=—,所以B=一,由余弦定理b?=/+c?-2accosB,得

23

(百)-cr-^-C2-ac≥2ac-ac=ac,即gc≤3,当且仅当α=c=g时等号成立，所以

q

o

ΛABC244

命题意图：本小题设置课程学习情境，设计综合性问题，主要考查正余弦定理，两个和差的三角函数，三角形

面积公式，均值不等式求最值等基础知识；考查运算求解能力，化归与转化思想，应用意识.

16.答案：3+2及

解析:由题得，即0,所以二=3+2√Σ或者3-20(舍去).

11^2―Z1+1_6ZiGr

22

rl+r2=R,

命题意图：本小题是以鞋匠刀形设置的应用情境，以几何图形为载体，考查几何概型等基础知识，考查数形结

合思想、统计与概率思想；考查运算求解能力和应用能力.

三、解答题

17.解析:(1)由题，

得心200x(20x5。-30x1。。)、理W635,

4分

50×150×120×809

因此，有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系...................6分

(2)这6名客户中男性有4人，记为A∣,4,A3,A4,女性有2名，记为B∣,B2.................8分

从这6名客户中选取2名客户的所有基本事件有：(A，4),(A，A),(A,4),(4,4)，(4，4)，(4,4),

AABAABAB共

(,,A1),(&,4),(2,2),(ʌ,ʌ)>(，4),(5,2),(A,4),(∣,2)>(4,B2),15

个........................................................10分

其中，至少有一名女性客户的基本事件有9个.....................................11分

93

所以，抽取的2名客户中至少有1名女性客户的概率为一，即一.....................12分

155

命题意图：本小题考查统计案例、卡方分布、离散型随机变量分布列等基础知识；考查统计与概率思想；考查

运算求解、数据处理以及应用意识.

18.解析：(1)由已知q+q+2+q+4=12,所以q=2,

所以数列｛%｝的通项公式为4=2〃.........................................................................2分

设等比数列加,｝的公比为q,由4=3,⅛-⅛2=18

则3q2_3q=18,即/_q_6=0,

解得q=3,q=-2(舍去),

所以数列｛d｝的通项公式为2=3"........................................................................6分

41

+3n.8分

⑵由⑴得g=5ΓG+3"“n〃+1

所以＜]=(1_/)+———H----F---------^)+(3+324----F3〃)

π

113(l-3)H3向一3

=J______I__2____L—____I______.

〃+11-3AZ+12

n3"1—3

所以北=—Γ+-.....................................................................12分

/7+12

命题意图：本小题设置课程学习情境，设计综合性问题，主要考查等差数列和等比数列的通项公式，裂项相消

法求数列之和与等比数列求和等基础知识；考查运算求解能力，化归与转化思想，方程思想，推理论证能力,

应用意识.

19.解析：(1)证明：设PN，平面4BC于点N,

过N作NE于E,NEJ_AC于尸，连接PE,PF.

因为PNL平面ABC,ABu平面ABC,所以/W_LA3.

又因为NE_LAB,所以AB_L平面尸NE,所以ABLPE,同理ACJ.PF............2分

在Rt△/¼E,Rt中，/PAE=/PAF,PA^PA,

故△尸AF,所以AF=AE.

在RtzλA7VE,RtV尸中，AF-AE,AN=AN，

故&ANEm&ANF,所以NE=NF............................................................................4分

即N到AB,AC的距离相等，同理N到BC,AC的距离相等，

故N为ZXABC的内心，N与H重合.

所以PHJ_平面ABC.

又因为P”U平面APM,所以平面/WJ_平面A5C.........................................6分

(2)设ZVLBC的内切圆半径为r,则SAABc=gx4x3=gr(3+4+5),故r=L

22

所以AH=Jr2+A?2=yβ,PH=yjAP-AH=2................................................8分

因为“为ZkABC的内心，所以AH平分N84C,

所以甄=空=3,BM+CM=4,所以CM=』，

CMAC52

故ZVlMC的面积为LCM∙AB="..................................................................10分

24

由于点P到平面ABC的距离为PH=2,

故三棱锥M-PAC的体积为LS..C∙P"=^∙......................................................12分

∕ltτl∖>

命题意图：本小题设置课程学习情境，设计综合性问题，主要考查平面与平面垂直、三棱锥的体积等基础知识,

考查空间想象能力，考查逻辑推理素养和数学运算核心素养.

2

b=1,2

a=4,

解析:（1）椭圆经过点A,T,代入椭圆E的方程，得（649解得1,

20.2

,25a2+25F=1lfe=ι.

所以椭圆E的方程为：—+/ɪl.........................................................................2分

4

由ZMAT=ZNAT知AM与AN关于直线AT：y=x+i对称,

在AM上任取一点EI（X0,%）,

则外关于直线y=x+l对称的点为庶（M-..............................................4分

从而屁=+(XO+ι)τ

K=M左2=M%,

⅞为一1

于是klk2=1.........................................................................................................5分

(2)设点Λ∕(x∣,χ),N(x2,y2),AM：y=⅛∣x+l,

y=k∕+l,

由♦-2得(4好+l)d+8KX=0,所以.=一4；2；］

.4)',

l-4⅛,2

从而X=Kxl+1

4⅛,2+l

同理『4,八坐.

4^+1"4抬+1

,..,,,8幺k；—4

由(1)有女］女2=1，故工2=T2'%=--------2'…7分

«I<v∣十Kl

I-Ak2-4

X-％4公+14+公8—8左4公+1

为方便，记K=M则4=•9

WV2

X1-X2一84一8左8⅛(3⅛-3)3k

4V+14+Jt2

MN：y-yi=kMN(x-x,),

21

cc,,l-4⅛k+∖-Sk

所以y——一二-------X-------ʒ—

-4代+13k4公+1

k2+l8（公+1）i—4Fk2+l5

------X------.........--------------------1----H分

3k3（4左2+1）4⅛2+l3k3

由此可知，当上变化时，直线MN过定点(0,—...................................................12分

I3√

命题意图：本小题设置课程学习情境，设计探索性问题，主要考查直线、椭圆的方程，直线与椭圆的关系等基

础知识，考查数形结合、化归与转化思想，考查逻辑推理素养、数学运算核心素养.

21.解析：⑴由题/(x)=αe*-f得X)=αe*-2x,

因为函数/(x)有两个极值点,

所以方程/'(x)=0有两个不同实数根，即方程α=-r有两个不同实数根，...........2分

设=则M(X)=2产,

ee

知尤<1时，√(x)>0,则“(%)单调递增,%>1时，M(X)<0,则MX)单调递减，

2

所以，X=I时，MX)取得极大值〃(I)=J

又尤<0时，w(x)<0;%>0时，w(x)>0,且％—>+oo时，MX)->0,

2x2

所以，方程。二>有两个不同实数根时，有0<。<一.

ee

即“X)有两个极值点时，α的取值范围是(0。］................................5分

(2)由(1)可知，〃力的两个极值点再，/是方程0e*-2x=0的两根，

2

且0<α<一,O<x<1<X,则有αe'=2x∣>0,aex2=Ix>O,

e-122

两式相除，得e*f=Z,即有々一玉=In三>O,

王玉

由F+得（W-x）≥土，...........................分

λx1>2xtx2XI）（Xl+^22ΛIX2In7

x∖

C,1，

21n∕+--l

所以∕l≥------[—，令f=强23,

Z-1Xj

141

21nr+--l3——+?-2hw

令Mr)=t_1e≥3)，则h'3=Tflp—('≥3)，

41

令夕(。=3---1—；—2In1≥3),

E”\242-2t2+4t-2-2(∕T)-

则。⑺=7+二3=一?一<0,9分

,3

所以单调递减，又夕(3)=3—3+[-21n3=3二生㈣<0,

339

21nfH1

故t≥3时，e")<o,则。«)=—U—单调递减，

则〃(f)≤∕z(3)=ln3-L,故2≥In3—;.

所以X的最小值为In3—1.

12分

3

命题意图：本小题是以初等函数设置探索性情境，考查函数极值、函数零点、不等式证明、导数的应用等基础

知识；考查化归与转化、函数与方程、数形结合等数学思想；考查推理论证能力、运算求解能力和创新能力；

考查逻辑推理、数学运算等数学素养.

选考题

X=QCoS区代入402而2g=3(炉_°,得4#=3(

22.解析：(1)将<x2+/)-3,

y=QsinS','

即曲线C的直角坐标方程为：3f-y2-3=o.5分

。√3

X=2H---

2

(2)直线/的参数方程可改写为4C为参数),6分

1

y=2f

代入曲线C的方程，有3(2+@f2

I=3,

2$

/

整理得2r+6百f+9=0.7分

从而％+芍=—ɜʌ/ɜ,Z∣~，............................................................................8分

所以IA却=M-Z2∣=J(Zl