第八节极值与最值

第八节极值与最值第1页，课件共52页，创作于2023年2月回顾：一元函数

y=f(x)的极值概念：总有第2页，课件共52页，创作于2023年2月（1）极值是一个局部概念，它只是对极值点邻近范围的所有点的函数值进行比较。（2）（极值存在的必要条件）若f(x)在极值点处可导，则导数一定为0，反之不成立。（3）（驻点为极值点的充分条件）设存在，则有（1）如果（3）如果，则为f(x)的极小值；（2）如果，则为f(x)的极大值；，定理失效。第3页，课件共52页，创作于2023年2月定义

：设z=f(x,y)的定义域为D，总有总有是D的一个内点，则称是f(x,y)的极大值；则称是f(x,y)的极小值。若存在点的一个去心邻域

极大值和极小值统称为极值；一、多元函数的极值

第4页，课件共52页，创作于2023年2月例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.

使函数取得极值的点称为极值点；

同一元函数一样，二元函数极值也是一个局部概念

极值点必是D

的内点；结论：二元函数的极值点是其曲面在某个领域的最高（低）点第5页，课件共52页，创作于2023年2月问题：什么点可能成为极值点？什么点必定是极值点？定理1(必要条件)设函数z=f(x,y)在点(x0

,y0)处具有偏导数，且在点(x0

,y0)有极值，则有：

证明:如果取y=y0，则函数f(x,y0)是x的一元函数

同理有第6页，课件共52页，创作于2023年2月极值点的几何意义：若曲面z=f(x,y)在点处有切平面，则切平面使函数的各偏导数同时为0的点，称为驻点.成为平行于xoy坐标面的平面说明：具有偏导数的函数的极值点必定是驻点，但驻点不一定是极值点。极值点也可能是偏导数不存在的点。极值点只可能在驻点或使偏导数不存在的点中产生.例如,有驻点(0,0)第7页，课件共52页，创作于2023年2月例：解：得驻点该函数无极值。···第8页，课件共52页，创作于2023年2月时,具有极值定理2

(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数则f(x,y)在(x0,y0)处取得极值的条件如下：问题：如何判定一个驻点是否为极值点？第9页，课件共52页，创作于2023年2月求极值的步骤第一步解方程组得一切驻点;第二步对所求的驻点求出二阶偏导数极值

AC−B2第10页，课件共52页，创作于2023年2月例1.求函数解:

第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步求二阶偏导数及判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.第11页，课件共52页，创作于2023年2月在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;第12页，课件共52页，创作于2023年2月例2.讨论函数及是否取得极值.解:显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此z(0,0)不是极值.因此为极小值.正负0在点(0,0)并且在(0,0)都有可能为第13页，课件共52页，创作于2023年2月解例3令代入上式，解得驻点为

得第14页，课件共52页，创作于2023年2月第15页，课件共52页，创作于2023年2月二、最值应用问题函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值最值可疑点驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,为极小值为最小值(大)(大)依据第16页，课件共52页，创作于2023年2月求可微函数最大值和最小值的一般方法：（1）求函数在D内的所有驻点；（2）求函数在D的边界上的最大值和最小值；（3）将函数在所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相比较，最大者就是函数在D上的最大值，最小者就是最小值。

在实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数的最大或最小值存在且一定在D的内部取得，而函数在D

内只有一个驻点，则该驻点就是函数在D上的最大或最小值点。第17页，课件共52页，创作于2023年2月把它折起来做成解:设折起来的边长为xcm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为

,积最大.为问怎样折法才能使断面面例4.有一宽为24cm的长方形铁板,第18页，课件共52页，创作于2023年2月令解得:由题意知,最大值在定义域D内达到,而在域D内只有一个驻点,故此点即为所求.第19页，课件共52页，创作于2023年2月解：得唯一驻点（2）在D的边界上所以当断面的面积最大。D把它折起来做成一个断面为等腰梯形的水槽,积最大.问怎样折法才能使断面面例4.有一宽为24cm的长方形铁板,第20页，课件共52页，创作于2023年2月解如图,第21页，课件共52页，创作于2023年2月第22页，课件共52页，创作于2023年2月第23页，课件共52页，创作于2023年2月解：设箱子的长、宽、高分别为x、y、z,容量为V，则V=xyz,设箱子的表面积为S，则S=2(xy+yz+zx)例6.要造一个容量一定的长方形箱子，问选择怎样的尺寸，才能使用的材料最少？解得唯一驻点根据实际问题可知S一定存在最小值，并一定在D

内部取得，所以当S取得最小值，此时用料最省。第24页，课件共52页，创作于2023年2月解由第25页，课件共52页，创作于2023年2月三、条件极值极值问题无条件极值:条件极值:条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化第26页，课件共52页，创作于2023年2月例：求表面积为解：设长方体的长、宽、高分别为x,y,z,体积为V,

则问题可描述为：求体积在约束条件下的最大值转化为无条件极值问题。而体积为最大的长方体体积第27页，课件共52页，创作于2023年2月(1)若z=f(x,y)在取得极值，则有(2)若在的某一邻域内，f(x,y)与均有连续的一阶偏导数，而方法2拉格朗日乘数法.由隐函数存在定理可知，确定一个单值可导且具有连续导数的函数第28页，课件共52页，创作于2023年2月所以，z=f(x,y)在取得所求的极值，即相当于函数取得极值，由一元函数取得极值的必要条件,有而，用隐函数求导公式，有代入上式得：第29页，课件共52页，创作于2023年2月(3)令由(1)、(2)、(3)式得:此即在取极值的必要条件第30页，课件共52页，创作于2023年2月（1）构造拉格朗日函数（Lagrange）

：其中

为参数，称之为拉格朗日乘子（2）联解方程组，求出问题的所有可能的极值点。求函数

z=f(x,y)在约束条件

(x,y)=0下的极值。（3）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判断。拉格朗日乘数法：第31页，课件共52页，创作于2023年2月推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可能点.例如,求函数下的极值.在条件第32页，课件共52页，创作于2023年2月例8.要设计一个容量为则问题为求x,y,令解方程组解:设x,y,z分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问第33页，课件共52页，创作于2023年2月得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时，所用材料最省.因此,当高为思考:1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?提示:利用对称性可知,2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价最省,应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何?提示:长、宽、高尺寸相等.第34页，课件共52页，创作于2023年2月例9：在椭球面上，求距离平面的最近点和最远点。解：设

(x,y,z)

为椭球面上任意一点则该点到平面的距离为问题1：在约束条件下，求距离d的最大最小值。

由于d

中含有绝对值，为便于计算，考虑将问题1

转化为下面的等价问题：第35页，课件共52页，创作于2023年2月（1）作拉格朗日函数（2）联解方程组求得两个驻点：对应的距离为问题2：在条件下，求函数的最大最小值。第36页，课件共52页，创作于2023年2月例9：在椭球面上，求距离平面的最近点和最远点。解：问题1：在约束条件下，求距离d的最大最小值。求得两个驻点：对应的距离为（3）判断：由于驻点只有两个，且由题意知最近距离和最远距离均存在。所以最近距离为最远距离为第37页，课件共52页，创作于2023年2月例10：求在条件解：下的极值，其中，x>0,y>0,z>0,a>0。（1）作拉格朗日函数（2）联解方程组由对称性知，x=y=z，代入最后一个方程解得这是唯一可能的极值点第38页，课件共52页，创作于2023年2月例10：求在条件解：下的极值，其中，x>0,y>0,z>0,a>0。这是唯一可能的极值点（3）判断：设条件所确定的隐函数为代入目标函数中得它有唯一驻点(3a,3a),经计算可得所以，(3a,3a)是函数u=xy

(x,y)的极小值点从而原条件极值问题有极小值点(3a,3a,3a)对应的极小值为第39页，课件共52页，创作于2023年2月解第40页，课件共52页，创作于2023年2月第41页，课件共52页，创作于2023年2月可得即第42页，课件共52页，创作于2023年2月例12求坐标原点到曲线C：的最短距离。解：设曲线C上点（x,y,z）到坐标原点的距离为d，第43页，课件共52页，创作于2023年2月解得和综合上面讨论可知只有两个驻点，它们到坐标原点的距离都是1，由实际问题一定有最短距离，可知最短距离为1。 另外，由于C为双曲线，所以坐标原点到C的最大距离不存在。第44页，课件共52页，创作于2023年2月内容小结1.函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法第45页，课件共52页，创作于2023年2月设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步判别•比较驻点及边界点上函数值的大小•根据问题的实际意义确定最值第一步找目标函数,确定定义域(