历年高考数学（文）知识清单-专题07 三角恒等变换与解三角形（原卷+解析版）

专练1．已知x∈(0，π)，且cos2x-＝sin2x，则tanx-等于()C．3D32．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝2a，bsinB－asiA.B.C.D. 0，π2cos2θ-14+θ3．已知θ∈4，且 0，π2cos2θ-14+θcos4A2B44．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若<cosA，则△ABC为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形5．如图，在△ABC中，∠C=，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足．若DE＝2，则cosA等于()A.C.6．若=，则sinαcosα=()A B. 4D. D.3B4D27．已知向量a＝sinα+，1，b＝(4,4cosα-)，若a⊥b，则sinα+＝()AC.C4B1D1BD9．已知sin-α=，则cos2+α的值是()A71BD10．已知在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A=，b＝2acosB，c＝1，则△ABC的面积等于()A.B.C.D.11．已知△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且acosC＋c＝b，若a＝1，c－2b＝1，则角B为()A.CπB.Dπ12．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，a＝3，B=，则b=.________2cos2x－sinx－113．已知tan(3π-x)＝2，则2＝.sinx＋cosx________14．已知<β<αcos(α-β)sin(α+β)则sinα+cosα的值为________.15．已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x+θ)为奇函数，且f＝0，其中a∈R，θ∈(0，π). (2)若f4＝－5， 2A-π(2)求cos 2A-π17．如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1,CD＝3，cosB＝.3(2)若BC＝2，求AB的长.(2)若c＝4，求△ABC的面积.19．已知点P(，1)，Q(cosx，sinx)，O为坐标原点，函数f(x)=·.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若A为△ABC的内角，f(A)＝4，BC＝3，△ABC的面积为，求△ABC的周长.20．如图，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监测点，B，C两点到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8秒后A，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒.(1)设A到P的距离为x千米，用x分别表示B，C到P的距离，并求x的值；(2)求P到海防警戒线AC的距离.21．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且8sin2－2cos2C＝7.(2)若csinB＝2sinA，求a，b的值. A+π22．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asinBbsin A+π(1)求A；(2)若△ABC的面积S＝c2，求sinC的值.高考押题专练1．已知x∈(0，π)，且cos2x-＝sin2x，则tanx-等于()C．3D3【答案】A 2x-π x-πtanx－11 2x-π x-πtanx－11∴tan4＝1＋tanx＝3.2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝2a，bsinB－asiA.C.3B1D【答案】A【解析】由bsinB－asinA＝asinC，且c＝2a， 0，π2cos2θ-14+θ3．已知θ∈4，且 0，π2cos2θ-14+θcos4A2B4【答案】D【解析】法一：由sinθ-cosθ=-， π-θ π-θ因为θ∈0所以-θ∈0 π-θ3所以cos4 π-θ3 π-2θ2cos2θ-1cos2θ π-2θ故π=π=πcos4+θsin4-θsin4故π=π=πsin4sin2-θπ-θ3sin4法二：因为sinθ-cosθ=-，两边平方，整理得2sinθcosθ=，所以(sinθ+cosθ)2＝1＋2sinθcosθ=.因为θ∈4，所以sinθ>0，cosθ>0所以sinθ+cosθ=.所以＝cos2θ-sin2θcos4+θ.cosθ-sinθ.=(cosθ+sinθ)＝.4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若<cosA，则△ABC为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形【答案】A【解析】根据正弦定理得＝<cosA，即sinC<sinBcosA.∵A＋B＋C=π,∴sinC＝sin(A＋B)<sinBcosA，整理得sinAcosB<0.又三角形中sinA>0，∴cosB<0，<B<π,7∴△ABC为钝角三角形.5．如图，在△ABC中，∠C=，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足．若DE＝2，则cosA等于()A.B.C.D.【答案】C【解析】依题意得，BD＝AD∠BDC=∠ABD+∠A＝2∠A.在△BCD中6．若=，则sinαcosα=()--B4D【答案】B.【解析】解法一：由=，得2(sinα+cosα)＝sinα-cosα,即tanα=-3.又sinαcosα=siα==-，故选B.解法二：由题意得=，即4＋8sinαcosα=1－2sinαcosα∴10sinαcosα=-3即sinαcosα=-，故选B.α+πα+4π7．已知向量a＝sin6，1，b＝(4,4cosα-)，若a⊥b，α+πα+4πAB.-8【解析】cos23＝2cos2【解析】cos23＝2cos23－1 π-α17=2sin26－1＝2×9－1＝－9.【答案】B. α+π∴a·b＝4sin6＋4cosα α+π=2sinα+6cosα-=4sinα+－＝0， α+π1 α+π1∴sinα+sinα+.C41DB.D【答案】B【解析】由条件得3×＋5×＝4，即3cos(A－B)＋5cosC＝0，所以3cos(A－B)－5cos(A+B)＝0，所以3cosAcosB＋3sinAsinB－5cosAcosB＋5sinAsinB＝0，即cosAcosB＝4sinAsinB，所以tanA·tanB. π-α1π+α9．已知sin6＝3 π-α1π+αA7【答案】D π+απ+α1BD910．已知在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A=，b＝2acosB，c＝1，则△ABC的面积等于()A.B.C.D.【答案】B【解析】由正弦定理得sinB＝2sinAcosB，故tanB＝2sinA＝2sin又B∈(0，π)，所以B=，又A=，所以△ABC是正三角形，所以S△ABC＝bcsinA＝×1×1×＝.11．已知△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且acosC＋c＝b，若a＝1，c－2b＝1，则角B为()A.B.C.D.【答案】B【解析】因为acosC＋c＝b，所以sinAcosC＋·sinC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，所以sinC＝cosAsinC，因为sinC≠0，所以cosA＝，因为A为△ABC的内角，所以A=，由余弦定理a2=b2＋c2－2bccosA，知1＝b2＋c2－bc，联立c－2b＝1，联立12．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，a＝3，B=，则b=.________【解析】由题意可得S＝acsinB，解得c＝1，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accosB＝9＋1－3＝7，故b= .【答案】2cos2x－sinx－113．已知tan(3π-x)＝2，则2＝.sinx＋cosx【解析】∵tan(3π-x)＝tan(π-x)tanx＝2，故tanx2.所以2cos2－sinx－1＝cosx－sinx＝1－tanx=sinx＋cosxsinx＋cosxtanx＋1-3.【答案】－314．已知<β<αcos(α-β)sin(α+β)则sinα+cosα的值为________.【解析】由<β<α＜知π<α+β42-π<α42-π<α-β<π<α＜⇒αβ>04⇒0<α-β<.根据已知得sin(α-β)cos(α+β)所以sin2α=sin[(α+β)＋(α-β)]＝sin(α+β)cos(α-β)＋cos(α+β)sin(α-β)5×13＋5×1365，所以(sinα+cosα)2＝1＋sin2α=1.因为<α+cosα>0，所以sinα+cosα=.【答案】π15．已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x+θ)为奇函数，且f4＝0，其中a∈R，θ∈(0，π).π(2)若f4＝－5，α【解析】(1)因为f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x+θ)是奇函数，而y1＝a＋2cos2x为偶函数，所以y2＝cos(2x+θ)为奇函数，由θ∈(0，π)，得θ=，所以f(x)＝－sin2x·(a＋2cos2x)，π由f4＝0得－(a＋1)＝0，即a1.πα(2)由(1)得f(x)sin4x，因为f4sinα=-，α π即sinα=，又α∈2，π,从而cosα=-， π所以sinα+＝sinαcos＋cosαsin＝×＋－×＝. 2A-π(2)求cos 2A-π【解析】(1)在△ABC中，由及sinB＝sinC，可得b＝c.(2)在△ABC中，由cosA可得si于是cos2A＝2cos2A－1＝－，sin2A＝2sinA·cosA＝.所以cos2A-＝cos2A·cos＋sin2A·sin＝.17．如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1,CD＝3，cosB＝.(2)若BC＝2，求AB的长.【解析】(1)因为∠D＝2∠B，cosB所以cosD＝cos2B＝2cos2B－1.因为D∈(0，π)，所以sinD.(2)在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cosD＝12，所以AC＝2.因为BC＝22ABABABABsinBsinπ2ABABABABsinBsinπ-2Bsin2B2sinBcosBsinB，所以AB＝4.(2)若c＝4，求△ABC的面积.【解析】(1)由正弦定理得，2sinB＝3sinC.(2)由题意得，c＝4，b＝6.sinB＝sin2C＝2sinCcosCcosB＝cos2C＝cos2C－sin2C∴sinA＝sin(π-B－C)＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝×＋×＝.19．已知点P(，1)，Q(cosx，sinx)，O为坐标原点，函数f(x)=·.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若A为△ABC的内角，f(A)＝4，BC＝3，△ABC的面积为，求△ABC的周长.【解析】(1)由题易知，＝(，1)，＝(－cosx,1－sinx)， x+π所以f(x)＝3－cosx＋1－sinx＝4－2sin x+π所以f(x)的最小正周期为2π.(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c， A+π因为f(A)＝4，所以sin3 A+π则A+＝kπ,k∈Z，即A=-＋kπ,k∈Z，因为△ABC的面积S＝bcsinA所以bc＝3.2＝b2＋c2－2bccosA，可得b2＋所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝12，即b＋c＝2.所以△ABC的周长为3＋2.20．如图，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监测点，B，C两点到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8秒后A，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传