第二章 矩阵及其运算

1矩阵的概念(★)246矩阵的运算逆矩阵矩阵的应用357第2章矩阵及其应用1、矩阵的定义2、矩阵的运算矩阵的应用重点:难点:第2章矩阵及其应用一、学习矩阵的目的矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。§2矩阵及其应用二、矩阵的定义1、矩阵的定义由m×n个数排成的m行n列的矩阵表示为：矩阵一般都是用大写黑体字母A,B,…等表示，为指明矩阵的行列信息，通常带下标，如：Am×n

或[aij]m×n

§2.1矩阵的概念§2.1矩阵的概念【例如】某厂家向四个商店发送四种产品的数量可用矩阵表示。其中aij表示向第i个商店发送第j种产品的数量。这四种产品的单价和重量设用矩阵(bij)4×2表示。其中bi1表示第i种商品的单价，bi2表示第i种商品的重量。§2.1矩阵的概念【例如】四个城市间的直接单向可达航线如图2.1所示。若城市之间的单向航线定义为：【练习】设小明家第一季度水、电、物业和煤气费用如下表所示。请把该表格用矩阵等价的表示；如果用矩阵表示第一季度每个月费用总额如何表示？如果用矩阵表示第一季度水费、电费、物业费和煤气费总额如何表示？§2.1矩阵的概念水费电费物业费煤气费一月20元150元200元10元二月22元100元200元15元三月25元80元200元10元三、特殊矩阵1、方阵2、零矩阵（0）3、行矩阵4、列矩阵5、对角方阵（对角阵）6、单位矩阵（I）:主对角线元素全为1的对角阵。7、矩阵相等8、对称矩阵：aij=aji元素以主对角线为对称轴对应相等。9、负矩阵（-A）§2.1矩阵的概念【例如】设有矩阵相等如下，求x,y,z。§2.1矩阵的概念【例如】设矩阵A如下，求其负矩阵-A。一、矩阵的加法1、定义

设A=[aij]m×n,B=[aij]m×n,以A与B对应元素之和为元素构成的m×n矩阵，称为矩阵A与B的和，记作A+B，公式如下：

§2.2矩阵的运算【练习】A+(-A)=?【例如】【考虑】矩阵的减法2、矩阵加法运算性质设矩阵ABC都是m×n同类型矩阵，则：A+B=B+AA+(B+C)=(A+B)+CA+O=AA+(-A)=0【练习】验证结合律。§2.2矩阵的运算二、矩阵的数乘1、定义设A=[aij]m×n

，k为数，数k与矩阵A的乘积定义为：kA=[kaij]m×n

，或者记为Ak。【例如】设k=5矩阵A如下所示，则5A=？§2.2矩阵的运算2、矩阵数乘的运算性质1A=A(ku)A=k(uA)(k+u)A=kA+Uak(A+B)=ka+kB三、矩阵的线性运算矩阵的加法和数乘称为矩阵的线性运算。四、矩阵的乘法1、定义设A=[ail]m×k

,B=[blj]k×n

,设其乘法矩阵AB用C=[cij]m×n表示如下：§2.2矩阵的运算【例如】设已知矩阵A和B如下，求矩阵AB和BA.§2.2矩阵的运算【思考】BA=?IA=?AI=?【练习】已知矩阵A、B如下所示，求AB=？BA=?【练习】设某厂家向3个商店分别销售了4种产品，如矩阵(aij)3×4所示，每种商品的价钱和重量如矩阵(bij)4×2所示。试用矩阵运算求某厂家对每个商店销售商品的总价钱和总重量。§2.2矩阵的运算2、矩阵乘法运算性质(1)不满足交换律(2)左分配律A(B+C)=AB+AC右分配律(B+C)A=BA+CA(3)结合律A(BC)=(AB)C(4)数与矩阵的结合律(kA)B=A(Kb)=k(AB)【练习】验证矩阵乘法的结合律§2.2矩阵的运算五、矩阵转置1、定义把矩阵A=[aij]m×n的行列互换得到一个新的矩阵，称为矩阵A的转置，记作AT。§2.2矩阵的运算例如【考虑】若矩阵是对称的，则AT与A的关系？【练习】对角矩阵和I的转置矩阵与原矩阵什么关系？2、矩阵转置的运算性质(AT)T=A(2)(kA)T=kAT(3)(A+B)T=AT+BT(4)(AB)T=BTAT【练习】验证(AB)T=BTAT§2.2矩阵的运算【练习】求A+2B,AB-BA.【练习】求ATB,BAT.§2.2矩阵的运算一、逆矩阵1、定义设A是一个n阶方阵，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=In,则称B是A的一个逆矩阵，并称A是一个可逆矩阵。2、逆矩阵性质逆矩阵是唯一的。并记作A-1。(1)(A-1)-1=A(2)如果矩阵A可逆，常数k≠0,则矩阵kA可逆，且(kA)-1=(1/k)A-1(3)如果A、B都是n阶可逆矩阵，则AB是一个n阶可逆矩阵，且(AB)-1=B-1A-1§2.3逆矩阵矩阵分析在计算机中的应用非常多，是一种方便的计算工具，可以以简单的形式表达复杂的公式，比如：数字图像处理、计算机图形学、计算机几何学、人工智能、网络通信、以及一般的算法设计和分析等。

矩阵分析与应用将矩阵的分析分为梯度分析、奇异值分析、特征分析、子空间分析与投影分析五大部分。一、关系的矩阵表示，图形的矩阵表示关系是纯数学理论，是研究关系数据库的重要方法。关系的矩阵表示，利用warshall算法构造关系的传递闭包。