《实际问题与一元一次方程（2）》名师教案

.4第二课时(蔡琼)工程问题一、教学目标（一）学习目标1.初步感知工程问题中的数量关系.2.会分析工程问题中的数量关系，能准确找出相等关系，并能列出方程表示问题中的相等关系.3.体会建立数学模型的思想.（二）学习重点分析工程问题中的数量关系，能准确找出相等关系.（三）学习难点如何找等量关系列方程.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）工程问题中，通常把总工作量简单表示为“1”；（2）工作量=工作效率工作时间；（3）总工作量=各阶段工作量的和；（4）工作量=人均效率人数时间.预习自测（1）某项工程，甲单独做要6天完成，乙单独做要4天完成，则甲、乙的工作效率分别表示为，两人合做2天可以完成整个工程的．【知识点】工程问题.【解题过程】解：把总工作量看成1，甲单独做要6天完成，则甲每天完成总工程的，即甲的工作效率为.乙单独做要4天完成，则乙每天完成总工程的，即乙的工作效率为，两人合做2天完成的工作量是.【思路点拨】总工作量看成“1”，再分别运用公式：工作效率=工作量÷工作时间；工作量=工作效率×工作时间计算即可.【答案】，；.（2）限期完成一项工程，甲队单独做4天可完成，乙队则需10天完成，现甲队工作2天后，余下的由乙对去做，正好按期完成，问原计划需多少天完成？设原计划需x天完成，则甲队完成了_________，乙队完成__________，由题意列方程得_________________，解得x=_______.【知识点】工程问题．【解题过程】解：设原计划x天完成，甲的工作效率是，则甲完成了：，乙的工作效率是，则乙完成了：，根据题意列方程得：，解得：．【思路点拨】分别表示出甲乙的工作效率，再抓等量关系：甲完成的工作量+乙完成的工作量=1．【答案】；；；.（3）某项工作由甲单独做需3h完成,由乙单独做需4h完成，现在先由乙做1h后，再由甲、乙合做完成剩下的工作，这项工作共需mh完成,则m的值为（）.A.B.C.D.【知识点】从工程问题中抽象出一元一次方程的模型．【解题过程】解：甲每小时完成工作的，乙每小时完成工作的，由题意列方程得：，解得.【思路点拨】根据题意，分别求出甲乙两人的工作效率，再根据等量关系：“乙独做1h的工作量+甲乙合做（m-1）h的工作量”=1列出方程即可.【答案】C．（4）一项工程，甲队单独做需20天完成，乙队单独做需30天完成，丙队单独做需40天完成，开始甲、乙、丙三队合作，后来甲队另有事离开，由乙、丙继续合作，全部工程一共用了12天完成，求甲队工作了多少天？【知识点】工程问题．【解题过程】解：设甲队工作了天，根据题意列出方程为：，解得，答：甲队工作了6天.本题也可列出方程为：.【思路点拨】本题关键便是找出等量关系.“前面甲、乙、丙的工作量”+“后面乙、丙的工作量”=1，从而列出方程.也可以抓“甲的工作量+乙的工作量+丙的工作量”=1.【答案】甲队工作了6天.(二)课堂设计1.知识回顾（1）在小学里我们学过有关工程问题的应用题，这类应用题中一般有工作总量、工作时间、工作效率这三个量.这三个量间的关系是：

=1\*GB3①工作总量=工作时间×工作效率；=2\*GB3②

工作时间=工作总量÷工作效率；=3\*GB3③

工作效率=工作总量÷工作时间；人们常规定工程问题中的工作总量为1

.（2）由以上公式可知：一件工作，甲用a小时完成，则甲的工作量可看成1，工作时间是a小时，工作效率是.若这件工作甲用6小时完成，则甲的工作效率是.2.问题探究探究一工程问题中的基本量●活动①通过引例，回顾旧知问题：整理一块地，由一个人做要80小时完成.（1）一个人做1小时完成的工作量是

；一个人做4小时完成的工作量是；（3）一个人做x小时完成的工作量是

；（4）工作效率相同的5个人做1小时完成的工作量是；

（5）工作效率相同的m个人做1小时完成的工作量是

；（6）工作效率相同的m个人做x小时完成的工作量是

.师问：你能快速、准确地完成以上问题吗？学生举手抢答：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.总结：（1）在工程问题中，通常把全部工作量简单的表示为1.（2）如果一件工作需要n小时完成，那么平均每小时完成的工作量就是.（3）工程问题中，当人均工作效率相同时：工作量=人均效率×人数×工作时间

.【设计意图】通过类比，让学生明白“人数变化”和“时间”的变化以后，工作量的算法及人均工作效率的含义，为新知识的学习作铺垫.探究二解决生活中工程问题★▲●活动①大胆操作，探究新知整理一批图书，由一个人做要40小时完成．现在计划由一部分人先做4小时，然后增加2人与他们一起做8小时，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？师问1：“由一个人做要40小时完成”可以得到什么？生答：把总工作量设为1，则一个人1小时完成的工作量即人均效率为.师问2：题目中哪些是已知量？哪些是未知的量？如果设先安排x人工作，则后来有________人一起工作；学生：已知量有：人均效率、总工作量、先后两个段的工作时间；未知量：前段时间安排的人数，如果设先安排x人工作，则后来有（x＋2）人一起工作；师问3：这件工作是分哪两部分完成的？学生：一部分人先做4小时，然后增加2人一起再做8小时，完成这项工作.【设计意图】通过生活中的实例，用问题串的形式来培养学生仔细审题的习惯.学会抓关键信息分析题意，找到等量关系并能列方程求解.●活动②集思广益，讨论交流解决问题人均功效人数工作时间工作量先x4后x+28师问1：你能找出题目中的等量关系吗？生答：先、后两个时段的工作量之和＝总工作量“1”.师问2：请快速完成表格.师问3：你能根据相等关系列出方程吗？学生：师问4：你能完整解答本题吗？学生：解：设先安排x人先做4小时，则后来有（x＋2）人一起做了8小时；由题意可得：，解得：答：应先安排2人先做4小时.【设计意图】通过提问和学生的回答及填表，引导学生利用表格对信息做出梳理和加工.找出相等关系，列出方程从而解决实际问题.●活动③发散思维变式1：整理一批图书，由一个人做要40小时完成．现在计划由一部分人先做4小时，然后增加2人与他们一起做8小时，完成这项工作的.假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？师问：找出和活动①条件不同的地方，思考哪里发生了变化？该怎样解决这个问题？学生：活动①中是“完成了整项工作”而本题是“只完成这项工作的”.∴只需将总工作量1换成即可.∴方程变为：，解得：，∴应先安排1人工作.变式2：整理一批图书，由一个人做要40小时完成．现在计划由一部分人先做4小时，然后增加2人与他们一起做8小时，最后再由增加的2人做6小时，完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？师问：找出和活动①条件不同的地方，思考哪里发生了变化？该怎样解决这个问题？学生：与活动①相比，多出了一段时间，即最后再由增加的2人做6小时，才完成这项工作.∴先、后两个时段的工作量之和＋增加的2人做6小时的工作量＝总工作量“1”∴方程变为：，解得：，∴应先安排1人工作.总结：通过设置“完成的工作量”的改变，进一步感受“完成的总工作量=各部分工作量之和”.明确工程问题的关键所在，认真读题找到有效的等量关系是解决实际问题的关键所在。【设计意图】通过设置活动①的变式练习使学生刚刚获取的经验得到进一步的巩固和深化，进一步熟悉解决工程问题的方法和过程，从而提高分析和解决问题的能力.不同的问法体现相同的方法。●活动④反思过程，发现规律▲有关工程问题的应用题中：（1）通常把全部工作量简单表示为1.（2）计算工作量的基本公式是：工作量=人均效率×人数×时间，它能对加入“人数”以后的工程问题更好的求解.（3）用一元一次方程解决实际问题的基本过程：【设计意图】通过回顾和提炼解决工程问题的方法和过程，获取到经验，从而提高分析和解决问题的能力，不断完善自己的认识体系，并且感受数学与生活的密切联系.帮助学生慢慢渗透建立实际问题的方程模型的思想.探究三运用知识解决问题★▲●活动①师问：通过前面的探究，我们知道了利用一元一次方程解决实际问题的基本过程，利用这些步骤和方法可以解决一些怎样的工程问题呢?例1某项工作，甲单独做需要4小时，乙单独做需要6小时，甲先做30分钟，然后甲乙合作，问：甲乙合作还需要多少小时才能完成全部工作？【知识点】工程问题.【解题过程】解：设甲乙合作还需要x小时才能完成全部工作，根据题意得：或，解得：.答：甲乙合作还需要2.1小时才能完成全部工作.【思路点拨】抓工程问题中的基本量：工作量=工作时间×工作效率.从题中找出等量关系：甲工作量+乙工作量=总工作量1，注意要化单位.【答案】甲乙合作还需要2.1小时才能完成全部工作.练习：一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天，如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺设好这条管线？【知识点】工程问题.【解题过程】解：设要x天可以铺设好这条管线，根据题意得：，解得：.答：要8天可以铺设好这条管线.【思路点拨】把总工作量看作1.抓等量关系：甲工作量+乙工作量=总工作量1【答案】要8天可以铺设好这条管线.【设计意图】通过一组基础的例题和练习，使学生掌握列一元一次方程解决工程问题.●活动2例2一水池,单开进水管3小时可将水池注满,单开出水管4小时可将满池水放完,现对空水池先打开进水管2小时,然后打开出水管,使进水管、出水管一起开放,问再过几小时可将水池注满?【知识点】工程问题.【解题过程】解：设经再过x小时可以将水池注满，根据题意得：，解得：答：再过4小时可将水池注满.【思路点拨】注意进水管和出水管同时打开，要将水池注满，则需抓等量关系：“进水管的进水量—出水管的出水量”=1.【答案】再过4小时可将水池注满.练习：一件工作，由2个人做要6个月完成，现计划由一部分人先做1个月,然后再增加4个人和他们一起做1个月，完成这件工作的,假设这些人的工作效率相同,问：应先安排多少人工作?【知识点】工程问题.【解题过程】解：设应先安排x个人工作，根据题意得：，解得：.答：应先安排3个人工作.【思路点拨】本题先要求出的是每个人的人均工作效率，然后再根据“先做的工作量+后做的工作量=”这一等量关系列方程.【答案】应先安排的3个人工作.【设计意图】通过第二组例题和练习，进一步巩固用一元一次方程解决工程问题.●活动3例3有一份文件需要录入电脑，由甲单独录入需12小时可以完成，由乙单独录入需8小时可以完成．（1）这份文件由甲、乙两个共同录入，则需要多少小时完成？（2）这份文件由甲、乙两个共同录入，如果中间乙休息1小时，那么录完这份文件共需多少小时？（3）如果这份文件由甲乙轮流打字，每轮中甲先录1小时，再由乙录1小时，那么录完这份文件需要多少小时？【知识点】工程问题.【解题过程】解：（1）设需x小时才能完成，根据题意，列方程得：，解得：.答：需4.8小时才能完成.（2）需y小时才能完成，根据题意，列方程得：，解得：.答：需5.4小时才能完成.（3）甲乙每一轮打完这份文件的，因为，所以打完这份文件需4轮以上，但不到5轮.打4轮以后还剩下的打字任务为：，甲打一小时的工效为，故甲打字一小时后剩下的任务为，所以乙还需小时，因此完成任务共需小时.【思路点拨】弄清每一问中这项工作是怎么完成的？抓等量关系：总工作量=各阶段工作量的和．【答案】4.8小时;5.4小时；小时.练习：安装某小区的自来水管，甲单独完成需要14天，乙单独完成需要18天，丙单独完成需要12天，前7天由甲、乙两人合作，但乙中途离开一段时间，后2天由乙、丙合作完成任务，问乙中途离开了几天？【知识点】工程问题.【解题过程】解：设乙中途离开了x天，根据题意，列方程得：.解得：答：乙中途离开了3天.【思路点拨】把总工作量看作1.抓等量关系：甲工作量+乙工作量+丙工作量=总工作量1，关键是表示乙的工作时间.【答案】乙中途离开了3天.【设计意图】通过这一组提升型例习题，强化正确分析工程问题中的等量关系.3.课堂总结知识梳理（1）列一元一次方程解决实际问题的一般步骤：审、设、列、解、检、答.（2）在工程问题中，通常把全部工作量简单的表示为1.（3）如果一件工作需要n小时完成，那么平均每小时完成的工作量就是（4）工程问题中，当人均工作效率相同时：工作量=人均效率×人数×工作时间

重难点归纳（1）工作量=工作效率工作时间；（2）总工作量=各阶段工作量的和；（3）工作量=人均效率人数时间.（三）课后作业基础型自主突破1.一蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管20小时可注满水池，两管齐开只需12小时，那么单开乙管需（）小时．A．32 B．30C．8 D．以上答案均不对【知识点】工程问题．【解题过程】解：设单开乙管需要x小时，则：，解得：=30，∴单开乙管需30小时，故选B．【思路点拨】等量关系式为：单开乙管需要的时间×乙管的工作效率=1，把相关数值代入即可求解．【答案】B．2.一条公路甲队独修需24天，乙队需40天，若甲、乙两队同时分别从两端开始修，（）天后可将全部修完．A．24 B．40 C．15 D．16【知识点】工程问题．【解题过程】解：设甲、乙两队同时分别从两端开始修，需x天全部修完．根据题意列方程：，解得，故选C．【思路点拨】把工程看作单位1，甲队独修需24天则每天修，乙队需40天，则每天修，就要先设出未知数，然后根据题中的等量关系列方程求解．【答案】C．3.某工程要求按期完成，甲队单独完成需40天，乙队单独完成需50天，现甲队单独做4天，后两队合作，则正好按期完工．问该工程的工期是几天？设该工程的工期为x天．则方程为（）A． ；B．；C．；D．.【知识点】由实际问题抽象出一元一次方程.【解题过程】解：甲4天的工作量为：；甲乙合作其余天数的工作量为：，∴可列方程为：，故选D．【思路点拨】等量关系式为：甲4天的工作量+甲乙合作（x﹣40）天的工作量=1，把相关数值代入即可求解．【答案】D.4.某班组每天需生产50个零件才能在规定的时间内完成一批零件任务，实际上该班组每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件，若设该班组要完成的零件任务为x个，则可列方程为（）A．； B．；C．；D．.【知识点】工程问题.【解题过程】解：实际完成的零件的个数为x+120，实际每天生产的零件个数为50+6，所以根据时间列的方程为：，故选C．【思路点拨】关系式为：零件任务÷原计划每天生产的零件个数﹣（零件任务+120）÷实际每天生产的零件个数=3，把相关数值代入即可求解．【答案】C．5.整理一批图书，由一个人做要40小时完成．现计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？【知识点】工程问题.【解题过程】解：设应先安排x人工作，根据题意得：，化简可得：，即：，解可得：，答：应先安排2人工作．【思路点拨】由一个人做要40小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的，就是已知工作的速度．本题中存在的相等关系是：这部分人4小时的工作+增加2人后8小时的工作=全部工作．设全部工作是1，这部分共有x人，就可以列出方程．【答案】应先安排2人工作．6.为了确保汶川灾区唐家山“堰塞湖”下游群众的安全，需开挖一条泄洪槽，经专家测算，抢险部队计划用10天时间开挖土石13.55万方，施工一天后，考虑天气等不可测因素，为保万无一失，增加了大量设备以提高开挖效率，结果提前4天完成任务．问：提高效率后，平均每天比原计划多开挖土石多少万方？【知识点】工程问题.【解题过程】解：设提高效率后，平均每天比原计划多开挖土石x万方，根据题意得：原计划每天挖运（万方），则提高效率后每天开挖（x+1.355）万方，∴1.355+5（x+1.355）=13.55，解得：x=1.084.答：提高效率后，平均每天比原计划多开挖土石1.084万方．【思路点拨】要注意计划每天的工作量是挖土石13.55÷10=1.355（万方），提高效率后每天多开挖土石x万方，即提高效率后每天开挖土石（1.355+x）万方，等量关系为：计划1天的工作量+提高效率后（10﹣4﹣1）天的工作量=13.55万方，据题意列方程即可解得．【答案】提高效率后，平均每天比原计划多开挖土石1.084万方．能力型师生共研1.甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如下表：天数第3天第5天工作进度则完成这项工作共需天．【知识点】工程问题.【解题过程】解：由题意可知，甲的工作效率为，乙的工作效率为，设这项工作共需x天，则可得方程：，解得：，∴完成这项工作共需9天【思路点拨】本题首先依据题意找出等量关系即工作总量为1，列出方程并解答．【答案】9天.2.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人x人，可列方程为．【知识点】由实际问题抽象出一元一次方程．【解题过程】解：设共有客人x人，根据题意得：．故答案为：．【思路点拨】解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗”列出方程即可．【答案】．探究型多维突破1.某中学举行数学竞赛，计划用A、B两台复印机复印试卷．如果单独用A机器需要90分钟印完，如果单独用B机器需要60分钟印完，为了保密的需要，不能过早复印试卷，学校决定在考试前由两台复印机同时复印．（1）两台复印机同时复印，共需多少分钟才能印完？（2）若两台复印机同时复印30分钟后，B机出了故障，暂时不能复印，此时离发卷还有13分钟．请你算一下，如果由A机单独完成剩下的复印任务，会不会影响按时发卷考试？（3）在（2）的问题中，B机经过紧急抢修，9分钟后修好恢复正常使用，请你再计算一下，学校能否按时发卷考试？【知识点】一元一次方程的应用.【解题过程】解：（1）设共需x分钟才能印完，，解得x=36.答：两台复印机同时复印，共需36分钟才能印完.（2）设由A机单独完成剩下的复印任务需要y分钟才能印完，，解得y=15＞13答：会影响学校按时发卷考试；（3）当B机恢复使用时，两机又共同复印了z分钟印完试卷，解得z=2.4，则有9+2.4=11.4＜13．答：学校可以按时发卷考试．【思路点拨】掌握工作量的有关公式：工作总量=工作时间×工作效率（1）设共需x分钟才能印完，依题意得，解方程即可；（2）设由A机单独完成剩下的复印任务需要y分钟才能印完，依题意得，求解与13分进行比较即可；（3）当B机恢复使用时，两机又共同复印了z分钟印完试卷，依题意得，求解后加9再与13进行比较.【答案】（1）两台复印机同时复印，共需36分钟才能印完；（2）会影响学校按时发卷考试；（3）学校可以按时发卷考试．2.一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作，在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作…若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形．如图1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形．已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a（a＜20），且它是3阶奇异矩形，试通过画图探索出所有a可能的值为．【知识点】一元一次方程的应用.【解题过程】解：第一次操作后剩下的矩形的两边长度为a、，第二次操作后剩下的矩形的两边长度为、a或，，∵矩形ABCD是3阶奇异矩形，∴有①，②，③，④，解得：，，，．故答案为：5或8或12或15．【思路点拨】找出第一、二次操作后剩下矩形的两边长度，令其一边为另一边的二倍，解关于a的一元一次方程即可得出结论．【答案】5或8或12或15．自助餐1．某项工作甲单独做4天完成，乙单独做6天完成，若甲先做1天然后甲乙合作完成整项工作，设甲做了x天，所列方程为（）A．；B．；C．；D．.【知识点】列一元一次方程解决工程问题.【解题过程】解：设甲做了x天，则乙做了（x-1）天，根据题意，列方程得：.【思路点拨】关键确定甲、乙的工作时间及等量关系：甲工作量+乙工作量=总工作量1.【答案】选C.2.某工厂若每小时生产38个零件，在规定时