专题12导数的概念与计算（知识梳理精讲）

专题12导数的概念与计算知识点一平均变化率1.变化率事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；2.平均变化率一般地，函数f(x)在区间上的平均变化率为：3.如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法：①作差：求出和②作商：对所求得的差作商，即。例1．（1）、（2023下·高二课时练习）函数从到的平均变化率为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据平均变化率的求法求得正确答案.【详解】当时，；当时，.所以平均变化率为.故选：B2．（2023下·全国·高二专题练习）函数，则自变量从变到时函数值的增量为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据变量的增量的定义进行计算．【详解】因为，所以，故C项正确.故选：C.3．（2023下·内蒙古鄂尔多斯·高二校联考期末）已知质点运动的位移（单位：米）与时间（单位：秒）的关系为，则质点在时刻的瞬时速度为米/秒．【答案】1【分析】求出代入即可.【详解】由题意得，所以，即质点在时刻的瞬时速度为1米/秒．故答案为：1.1．（2023下·辽宁阜新·高二校考期末）若函数，则函数从到的平均变化率为（

）A．6 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根据条件，直接求出，，再利用平均变化率的定义即可求出结果.【详解】因为，所以，，故函数从到的平均变化率为，故选：B.2．（2021下·浙江嘉兴·高二校联考期中）一质点做直线运动，若它所经过的位移与时间的关系为，设其在时间段内的平均速度为（

）A．2 B． C．3 D．【答案】D【分析】根据平均速度的含义，进行计算即可得到答案.【详解】根据题意，质点在时间段内的平均速度为.故选：D.3．（2023下·甘肃武威·高二校联考阶段练习）函数在区间上的平均变化率为（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】根据函数平均变化率的公式，准确计算，即可求解.【详解】由函数的平均变化率的公式，可得.故选：C.知识点二导数的概念定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作例2．（1）、（2023上·全国·高二期末）已知函数在处可导，且则＝．【答案】【分析】根据题目条件得到，结合导数的定义求出答案.【详解】根据题意，，变形可得，又由函数在处可导，则.故答案为：.（2）、（2023上·江苏扬州·高二扬州市广陵区红桥高级中学校考阶段练习）设是定义在R上的可导函数，若（为常数），则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用导数的定义，结合已知求.【详解】由题设.故选：B1．（2023下·高二课时练习）如果函数在处的导数为1，那么＝（

）A． B．1 C．2 D．【答案】A【分析】借助导数定义计算即可得.【详解】因为，所以，所以.故选：A.2．（2022上·安徽芜湖·高二校考期末）已知函数，则（

）A．2 B． C．4 D．【答案】D【分析】根据导数的定义计算可得.【详解】因为，则.故选：D知识点三常见函数的导数公式几个常用函数的导数如下表：函数导数（为常数）例3．（1）、（2024上·天津红桥·高二统考期末）已知函数，则（

）A．4 B． C． D．【答案】D【分析】求出，进而可得.【详解】∵，∴.故选：D.（2）、（2023下·高二课时练习）（多选题）下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】ABC【分析】根据基本初等函数的导数公式计算可得.【详解】对于A：若，则，故A正确；对于B：若，则，故B正确；对于C：若，则，则C正确对于D：当时，，故D错误；故选：ABC（3）、（2024上·云南昭通·高三校考阶段练习）已知函数，且，则的值可以为（

）A．1 B．1 C．2 D．2【答案】AB【分析】应用基本函数求导即可.【详解】，则，则.故选：AB1．（2023下·新疆伊犁·高二统考期中）设，若，则（

）A．2 B．1 C．0 D．1【答案】D【分析】求出导函数，将代入导函数，即可求出【详解】.故选：D2．（2023下·甘肃天水·高二天水市第一中学校考阶段练习）下列求导运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据导数的运算公式，准确计算，即可求解.【详解】对于A中，由，所以A错误；对于B中，由，所以B正确；对于C中，由，所以C错误；对于D中，由，所以D错误.故选：B.3．（2024上·天津红桥·高二统考期末）已知函数，则．【答案】【分析】直接根据求导公式可得答案.【详解】，.故答案为：.4．（2023上·全国·高二期末）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的周长为.【答案】/【分析】先利用导数的几何意义求得切线方程，从而求得切线与坐标轴的交点，由此得解.【详解】因为，所以，则，又，所以切线方程为，即，则切线与坐标轴的交点为，，则所求周长为.故答案为：.5．（2024上·上海闵行·高二闵行中学校联考期末）无论我们对函数求多少次